23.1 图形的旋转 知识题型讲练_2024-2025学年人教版数学九年级上学期

2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十三章 旋转 23.1　图形的旋转 一、学习目标 1.了解旋转及旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及应用其解决一些实际问，通过观察具体实例认识旋转,探索它的基本性质，了解图形旋转的特征,并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形. 2.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度,会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案. 二、知识要点 知识点1　图形的旋转相关定义 把一个平面图形绕着平面内某一点О转动一个角度，叫做图形的旋转。点О叫做 ，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点Р经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 知识点2　旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离 ; ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ; ③旋转前、后的图形 . 如图所示： OA =OA'，OB =OB'，OC =OC'，∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=旋转角. 知识点3　图形的旋转 （1）作图应确定三要素：旋转中心、旋转角、对应点。 旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来。因此，把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形。 ①旋转中心不变，改变旋转角. ②旋转角不变，改变旋转中心. ③我们可以设计成如图美丽的图案. 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案. （2）图形的旋转的概念与性质的应用： 由于旋转前后的两个图形大小形状未发生改变，所以在利用旋转来解决问题时要注意抓住以下 几点： ①找准旋转中“变”与“不变”； ②找准旋转前后的“对应关系”； ③充分挖掘旋转过程中线段之间的关系. （3）旋转中心的确定方法： 确定旋转中心时,要看旋转中心是在图形上还是在图形外.若在图形上,哪一点在旋转过程中位置没 有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.旋转的角度就是对应线段的夹角或对应顶点与对称中心连线的夹角. 三、典例剖析 类型1　旋转定义判定 【例题】（2024涟水县·月考考题）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 〔知识点〕旋转定义判定 〔分析〕根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 〔详解〕解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 【真题剖析】（2023云南昆明·期中考题）下列运动属于数学上的旋转的是（　　）. A．乘坐升降电梯 B．地球绕太阳转动 C．钟表上的时针运动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 〔知识点〕判断生活中的旋转现象 〔分析〕此题主要考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案，正确把握定义是解题的关键． 〔详解〕、乘坐升降电梯属于平移，不符合题意； 、地球绕太阳转动不属于旋转，不符合题意； 、钟表上的时针运动属于旋转，符合题意； 、将等腰三角形沿着底边上的高对折属于轴对称，不符合题意； 故选：C. 【迁移训练】（2023内蒙古呼和浩特·期中考题）下列运动形式属于旋转的是（　　）. A．足球在地上的滚动 B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动 类型2　利用旋转性质求角度 【例题】如图所示,△ABC为等边三角形,D是BC边上的一点,△ABD逆时针旋转一定角度后得到△ACE,则旋转中心是点A,旋转角为60°,点D的对应点为点E. 〔方法归纳〕借助等边三角形的旋转,旋转角一般是60°;借助正方形的旋转,旋转角一般是90°;借助正方形网格的旋转,旋转角可能是90°;借助三角尺的旋转,旋转角可能是90°,120°,135°,150°等. 【真题剖析1】（2024天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）. A． B． C． D． 〔知识点〕同旁内角互补两直线平行、根据旋转的性质求解、锐角互余的三角形是直角三角形. 〔分析〕本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 〔详解〕解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D. 【真题剖析2】（2024江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（     ）. A． B． C． D． 〔知识点〕三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解. 〔分析〕本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得。，由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 〔详解〕解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【迁移训练】如图所示，△AOB绕着点O旋转至△A'OB'，此时： (1)点B的对应点是 ; (2)旋转中心是 旋转角为 ; (3)∠A的对应角是 ,线段OB的对应线段是 . 类型3　利用旋转性质求线段长度 【例题】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=45°,AC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE,连接BE,交AD于点F,求BE的长. 解：连接BD, ∵∠C=90°,∠BAC=45°,AC=2,∴AB=2. ∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE, ∴AD=AB,∠DAB=60°. ∴△ADB是等边三角形.∴AB=BD. ∵AE=DE,∴BE垂直平分AD. ∴由勾股定理得AF=EF=,BF=. ∴BE=EF+BF=+. 〔方法归纳〕利用旋转的性质求线段长的方法:根据图形旋转前、后的对应边相等,对应角相等,对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角,可以构造特殊三角形求解一些问题. 【真题剖析1】（2024四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（     ）. A． B． C．2 D． 〔知识点〕用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半. 〔分析〕此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 〔详解〕解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【真题剖析2】（2024江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 〔知识点〕化为最简二次根式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解. 〔分析〕本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 〔详解〕解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 如图所示，过于点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， 当点D运动点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 【迁移训练】如图所示,把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转,使得点A与CB的延长线上的点E重合. (1)三角尺旋转了 度; (2)连接CD,△CBD的形状为 . (3)∠BDC= 度. 类型4　利用旋转性质求对应点位置 【例题】如图所示,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形. 〔解答〕如图所示,△ABE'即为所求. 〔方法归纳〕关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置. 【真题剖析1】（2024湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　）. A． B． C． D． 〔知识点〕全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标. 〔分析〕本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 〔详解〕解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 【真题剖析2】（2024四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（　　）.    A． B． C． D． 〔知识点〕全等三角形综合问题、求绕原点旋转90度的点的坐标. 〔分析〕本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 〔详解〕解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 【迁移训练】四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF. (1)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到; (2)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积. 类型5　作旋转后的图形 【例题】如图所示,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B的对应点的位置以及旋转后的三角形. 〔解答〕如图所示,△DEC即为所求. 〔方法归纳〕已知旋转中心和一对对应点作旋转后的图形的方法:先将对应点与旋转中心连接,确定旋转方向和旋转角,在此基础上,分别找到各个关键点的对应点所在的射线,然后利用对应点到旋转中心的距离相等来确定对应点的具体位置. 【真题剖析】（2023江西南昌·期中考题）如图，在网格中已知格点和点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作，使其与关于点P成中心对称． (2)在图2中作四边形，且四边形ABDP是中心对称图形． 〔知识点〕平行四边形性质的其他应用、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、格点作图题、无刻度直尺作图. 〔分析〕（1）先分别画出点A、B、C关于点P的对应点、、，再依次连接即可；（2）构造平行四边即可． 〔详解〕（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形即为所求． 【迁移训练】如图所示,四边形ABCD绕点O旋转后,顶点A的对应点为E,试确定B,C,D的对应点的位置以及旋转后的四边形. 类型6　求旋转中心 【例题】如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3,2),B(-1,4),C(0,2). (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C; (2)平移△ABC,若A的对应点A2的坐标为(-5,-2),画出平移后的△A2B2C2; (3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标. 解：(1)△A1B1C如图所示. (2)△A2B2C2如图所示. (3)如图所示,旋转中心为(-1,0). 〔方法归纳〕旋转前、后两对对应点所连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心. 【真题剖析】（2024焦作·期末考题）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（　　）. A．点A B．点B C．点C D．点D 〔知识点〕旋转中心 〔分析〕设每个小正方形的边长为1，分别计算出对应点到点A、点B、点C、点D的距离，再根据“对应点到旋转中心的距离相等”判断出A、B、C、D四点中哪个点是旋转中心． 〔详解〕解：∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ， ∴点E与点R是对应点，点F与点P是对应点，点G与点Q是对应点， 设每个小正方形的边长为1， 根据勾股定理得点E到点A的距离是，而点E到点R的距离是1， ∴点E、点R到点A的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点A； ∵点E到点B的距离是，点R到点B的距离是2， ∴点E、点R到点B的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点B； ∵点E与点R到点C的距离都是4，点F与点P到点C的距离都是，点G与点Q到点C的距离都是， ∴旋转中心可能是点C； 观察图形可发现，点C不在线段FP的垂直平分线上， ∴点F与点P到点D的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点D， 故选：C． 【迁移训练】如图所示,在平面直角坐标系中,若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C1,则点B的对应点B1的坐标为 . 四、巩固训练 1.下列属于旋转现象的是 (　 　) A.空中落下的物体 B.雪橇在雪地里滑动 C.拧紧水龙头的过程 D.火车在急刹车时向前滑动 2.如图所示,将四边形ABOC绕O点按顺时针方向旋转得到四 边形DFOE,则下列角中,不是旋转角的是 ( 　) A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠AOF 3．（2024四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 4.如图所示,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A'OB',若∠AOB=15°,则∠AOB'的度数是 (　 　) A.25° B.30° C.35° D.40° 5.如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,△ABD经过旋转后到达△ACE的位置. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转的最小角度是多少度? (3)若M是AB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置? 6.将如图(1)所示图案绕点O按照顺时针方向旋转90°,得到的图案是图(2)中的(　 　) (1) (2) 7.如图所示,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是 (　 　) A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 8.如图所示,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.若AB=5,则AD= . 9.如图所示,把△ABC向右平移5个方格,得到△A1B1C1,再把△A1B1C1绕点B1顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2.请画出平移和旋转后的图形,并标明对应字母. 五、学习小结 1.旋转及旋转中心、旋转角的概念，旋转的对应点及其应用，旋转的基本性质，旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别? 2.旋转作图需要找到三要素,分别是什么?利用旋转作图我们可以设计出美丽的图案. 六、课后作业 一、选择题（本题包括8小题，每小题只有1个选项符合题意） 1.下列每个图中都有一对全等三角形，其中的一个三角形只经过一次旋转运动即可和另一个三角形重合的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为若∠1=112°，则的大小是（ ） A. 68° B. 20° C. 28° D. 22° 3.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（ ） A. B. C. +1 D. 2 4.一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（ ） A. 360° B. 270° C. 180° D. 90° 5.如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，∠ABO=30°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD（D点未画出），当旋转后满足BC//OA时，旋转角的大小为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 6.如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7.如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 沿AE所在直线折叠后，△ACE和△ADE重合 B. 沿AD所在直线折叠后，△ADB和△ADE重合 C. 以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90°后与△ADB重合 D. 以A为旋转中心，把△ACB逆时针旋转270°后与△DAC重合 8. 如图，已知A（1，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 1 二、解答题（本题包括4小题） 9.如图，已知点A，B的坐标分别为（0，0）、（2，0），将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°得到△AB1C1.   （1）画出△A1B1C； （2）A的对应点为A1，写出点A1的坐标； （3）求出B旋转到B1的路线长． 10.如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（-1，0），B（0，3）． （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A2B2C2满足A2B2：AB=2：1，请在网格内画出△A2B2C2，并直接填写△A2B2C2的面积为______． 11.如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连结OP，将线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长． 12. △ABC和△DEF的顶点A与D重合，已知∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，∠FDE=90°，DF=DE=4． （1）如图①，EF与边AC、AB分别交于点G、H，且FG=EH.设，在射线DF上取一点P，记：，联结CP设△DPC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x为何值时PC//AB； （3）如图②，先将△DEF绕点D逆时针旋转，使点E恰好落在AC边上，在保持DE边与AC边完全重合的条件下，使△DEF沿着AC方向移动.当△DEF移动到什么位置时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十三章 旋转 23.1　图形的旋转 一、学习目标 1.了解旋转及旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及应用其解决一些实际问，通过观察具体实例认识旋转,探索它的基本性质，了解图形旋转的特征,并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形. 2.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度,会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案. 二、知识要点 知识点1　图形的旋转相关定义 把一个平面图形绕着平面内某一点О转动一个角度，叫做图形的旋转。点О叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点Р经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 知识点2　旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等; ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; ③旋转前、后的图形全等. 如图所示： OA =OA'，OB =OB'，OC =OC'，∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=旋转角. 知识点3　图形的旋转 （1）作图应确定三要素：旋转中心、旋转角、对应点。 旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来。因此，把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形。 ①旋转中心不变，改变旋转角. ②旋转角不变，改变旋转中心. ③我们可以设计成如图美丽的图案. 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以我们可以经过旋转设计出美丽的图案. （2）图形的旋转的概念与性质的应用： 由于旋转前后的两个图形大小形状未发生改变，所以在利用旋转来解决问题时要注意抓住以下 几点： ①找准旋转中“变”与“不变”； ②找准旋转前后的“对应关系”； ③充分挖掘旋转过程中线段之间的关系. （3）旋转中心的确定方法： 确定旋转中心时,要看旋转中心是在图形上还是在图形外.若在图形上,哪一点在旋转过程中位置没 有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心.旋转的角度就是对应线段的夹角或对应顶点与对称中心连线的夹角. 三、典例剖析 类型1　旋转定义判定 【例题】（2024涟水县·月考考题）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（　　）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 〔知识点〕旋转定义判定 〔分析〕根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解． 〔详解〕解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 【真题剖析】（2023云南昆明·期中考题）下列运动属于数学上的旋转的是（　　）. A．乘坐升降电梯 B．地球绕太阳转动 C．钟表上的时针运动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 〔知识点〕判断生活中的旋转现象 〔分析〕此题主要考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案，正确把握定义是解题的关键． 〔详解〕、乘坐升降电梯属于平移，不符合题意； 、地球绕太阳转动不属于旋转，不符合题意； 、钟表上的时针运动属于旋转，符合题意； 、将等腰三角形沿着底边上的高对折属于轴对称，不符合题意； 故选：C. 【迁移训练】（2023内蒙古呼和浩特·期中考题）下列运动形式属于旋转的是（　　）. A．足球在地上的滚动 B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动 〔知识点〕判断生活中的旋转现象 〔分析〕本题考查了旋转的定义，根据“在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转”即可解答． 〔详解〕解：A、足球在地上的滚动是旋转加上平移，不符合题意； B、电梯的运行是平移，不符合题意； C、热气球点火升空是平移，不符合题意； D、钟摆的摆动是旋转，符合题意； 故选：D． 类型2　利用旋转性质求角度 【例题】如图所示,△ABC为等边三角形,D是BC边上的一点,△ABD逆时针旋转一定角度后得到△ACE,则旋转中心是点A,旋转角为60°,点D的对应点为点E. 〔方法归纳〕借助等边三角形的旋转,旋转角一般是60°;借助正方形的旋转,旋转角一般是90°;借助正方形网格的旋转,旋转角可能是90°;借助三角尺的旋转,旋转角可能是90°,120°,135°,150°等. 【真题剖析1】（2024天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）. A． B． C． D． 〔知识点〕同旁内角互补两直线平行、根据旋转的性质求解、锐角互余的三角形是直角三角形. 〔分析〕本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 〔详解〕解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D. 【真题剖析2】（2024江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（     ）. A． B． C． D． 〔知识点〕三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解. 〔分析〕本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得。，由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 〔详解〕解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【迁移训练】如图所示，△AOB绕着点O旋转至△A'OB'，此时： (1)点B的对应点是点B'; (2)旋转中心是点O旋转角为∠AOA'或∠BOB'; (3)∠A的对应角是∠A',线段OB的对应线段是OB'. 类型3　利用旋转性质求线段长度 【例题】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=45°,AC=2,将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE,连接BE,交AD于点F,求BE的长. 解：连接BD, ∵∠C=90°,∠BAC=45°,AC=2,∴AB=2. ∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE, ∴AD=AB,∠DAB=60°. ∴△ADB是等边三角形.∴AB=BD. ∵AE=DE,∴BE垂直平分AD. ∴由勾股定理得AF=EF=,BF=. ∴BE=EF+BF=+. 〔方法归纳〕利用旋转的性质求线段长的方法:根据图形旋转前、后的对应边相等,对应角相等,对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角,可以构造特殊三角形求解一些问题. 【真题剖析1】（2024四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（     ）. A． B． C．2 D． 〔知识点〕用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半. 〔分析〕此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 〔详解〕解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【真题剖析2】（2024江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 〔知识点〕化为最简二次根式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解. 〔分析〕本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 〔详解〕解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 如图所示，过于点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， 当点D运动点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 【迁移训练】如图所示,把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转,使得点A与CB的延长线上的点E重合. (1)三角尺旋转了150度; (2)连接CD,△CBD的形状为等腰三角形. (3)∠BDC=15度. 类型4　利用旋转性质求对应点位置 【例题】如图所示,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形. 〔解答〕如图所示,△ABE'即为所求. 〔方法归纳〕关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置. 【真题剖析1】（2024湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　）. A． B． C． D． 〔知识点〕全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标. 〔分析〕本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 〔详解〕解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 【真题剖析2】（2024四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（　　）.    A． B． C． D． 〔知识点〕全等三角形综合问题、求绕原点旋转90度的点的坐标. 〔分析〕本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 〔详解〕解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 【迁移训练】四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF. (1)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到; (2)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积. 解:(2)∵BC=8,∴AD=8. 在Rt△ADE中,DE=6,AD=8, ∴AE==10. ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到, ∴AE=AF,∠EAF=90°, ∴=AE2=×100=50. 类型5　作旋转后的图形 【例题】如图所示,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B的对应点的位置以及旋转后的三角形. 〔解答〕　如图所示,△DEC即为所求. 〔方法归纳〕已知旋转中心和一对对应点作旋转后的图形的方法:先将对应点与旋转中心连接,确定旋转方向和旋转角,在此基础上,分别找到各个关键点的对应点所在的射线,然后利用对应点到旋转中心的距离相等来确定对应点的具体位置. 【真题剖析】（2023江西南昌·期中考题）如图，在网格中已知格点和点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作，使其与关于点P成中心对称． (2)在图2中作四边形，且四边形ABDP是中心对称图形． 〔知识点〕平行四边形性质的其他应用、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、格点作图题、无刻度直尺作图. 〔分析〕（1）先分别画出点A、B、C关于点P的对应点、、，再依次连接即可；（2）构造平行四边即可． 〔详解〕（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形即为所求． 【迁移训练】如图所示,四边形ABCD绕点O旋转后,顶点A的对应点为E,试确定B,C,D的对应点的位置以及旋转后的四边形. 解:如图所示,四边形EFGH即为所作. 类型6　求旋转中心 【例题】如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3,2),B(-1,4),C(0,2). (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C; (2)平移△ABC,若A的对应点A2的坐标为(-5,-2),画出平移后的△A2B2C2; (3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C,请直接写出旋转中心的坐标. 解：(1)△A1B1C如图所示. (2)△A2B2C2如图所示. (3)如图所示,旋转中心为(-1,0). 〔方法归纳〕旋转前、后两对对应点所连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心. 【真题剖析】（2024焦作·期末考题）如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（　　）. A．点A B．点B C．点C D．点D 〔知识点〕旋转中心 〔分析〕设每个小正方形的边长为1，分别计算出对应点到点A、点B、点C、点D的距离，再根据“对应点到旋转中心的距离相等”判断出A、B、C、D四点中哪个点是旋转中心． 〔详解〕解：∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ， ∴点E与点R是对应点，点F与点P是对应点，点G与点Q是对应点， 设每个小正方形的边长为1， 根据勾股定理得点E到点A的距离是，而点E到点R的距离是1， ∴点E、点R到点A的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点A； ∵点E到点B的距离是，点R到点B的距离是2， ∴点E、点R到点B的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点B； ∵点E与点R到点C的距离都是4，点F与点P到点C的距离都是，点G与点Q到点C的距离都是， ∴旋转中心可能是点C； 观察图形可发现，点C不在线段FP的垂直平分线上， ∴点F与点P到点D的距离不相等， ∴旋转中心不可能是点D， 故选：C． 【迁移训练】如图所示,在平面直角坐标系中,若将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C1,则点B的对应点B1的坐标为(2,-1). 四、巩固训练 1.下列属于旋转现象的是 (　C　) A.空中落下的物体 B.雪橇在雪地里滑动 C.拧紧水龙头的过程 D.火车在急刹车时向前滑动 2.如图所示,将四边形ABOC绕O点按顺时针方向旋转得到四 边形DFOE,则下列角中,不是旋转角的是 (　D　) A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠AOF 3．（2024四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【知识点】三线合一、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 【详解】解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 4.如图所示,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A'OB',若∠AOB=15°,则∠AOB'的度数是 (　D　) A.25° B.30° C.35° D.40° 5.如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,△ABD经过旋转后到达△ACE的位置. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转的最小角度是多少度? (3)若M是AB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置? 解:(1)旋转中心是点A. (2)旋转的最小角度是60°. (3)若M是AB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了AC的中点处. 6.将如图(1)所示图案绕点O按照顺时针方向旋转90°,得到的图案是图(2)中的(　C　) (1) (2) 7.如图所示,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是 (　B　) A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 8.如图所示,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.若AB=5,则AD=5. 9.如图所示,把△ABC向右平移5个方格,得到△A1B1C1,再把△A1B1C1绕点B1顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2.请画出平移和旋转后的图形,并标明对应字母. 解:如图所示,△A1B1C1,△A2B2C2即为所求. 五、学习小结 1.旋转及旋转中心、旋转角的概念，旋转的对应点及其应用，旋转的基本性质，旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别? 2.旋转作图需要找到三要素,分别是什么?利用旋转作图我们可以设计出美丽的图案. 六、课后作业 一、选择题（本题包括8小题，每小题只有1个选项符合题意） 1.下列每个图中都有一对全等三角形，其中的一个三角形只经过一次旋转运动即可和另一个三角形重合的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为若∠1=112°，则的大小是（ ） A. 68° B. 20° C. 28° D. 22° 3.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（ ） A. B. C. +1 D. 2 4.一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（ ） A. 360° B. 270° C. 180° D. 90° 5.如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，∠ABO=30°，以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转得△ACD（D点未画出），当旋转后满足BC//OA时，旋转角的大小为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 6.如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7.如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是（ ） A. 沿AE所在直线折叠后，△ACE和△ADE重合 B. 沿AD所在直线折叠后，△ADB和△ADE重合 C. 以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90°后与△ADB重合 D. 以A为旋转中心，把△ACB逆时针旋转270°后与△DAC重合 8. 如图，已知A（1，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 1 二、解答题（本题包括4小题） 9.如图，已知点A，B的坐标分别为（0，0）、（2，0），将△ABC绕C点按顺时针方向旋转90°得到△AB1C1.   （1）画出△A1B1C； （2）A的对应点为A1，写出点A1的坐标； （3）求出B旋转到B1的路线长． 10.如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（-1，0），B（0，3）． （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A2B2C2满足A2B2：AB=2：1，请在网格内画出△A2B2C2，并直接填写△A2B2C2的面积为______． 11.如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连结OP，将线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长． 12. △ABC和△DEF的顶点A与D重合，已知∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6，∠FDE=90°，DF=DE=4． （1）如图①，EF与边AC、AB分别交于点G、H，且FG=EH.设，在射线DF上取一点P，记：，联结CP设△DPC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x为何值时PC//AB； （3）如图②，先将△DEF绕点D逆时针旋转，使点E恰好落在AC边上，在保持DE边与AC边完全重合的条件下，使△DEF沿着AC方向移动.当△DEF移动到什么位置时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形． 参考答案 一、选择题 1.【答案】D 【解析】根据旋转的性质以及轴对称变换性质分别分析得出即可．A、无法借助旋转得到，故此选项错误；B、无法借助旋转得到，故此选项错误；C、可以借助轴对称得到，故此选项错误；D、可以只经过一次旋转运动即可和另一个三角形，故此选项正确．故选：D． 点评：此题主要考查了利用旋转设计图案，掌握旋转的性质是解题关键． 2.【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°.∵∠2=∠1= 112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D． 3.【答案】A 【解析】先求出∠ABD′=60°，利用旋转的性质即可得到AB=AB′，进而得到△ABB′是等边三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋转的性质得到∠DAD′=60°，结合AD=AD′，可得到△ADD′是等边三角形，最后得到DD′的长度．∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AD=BC=，∴tan∠ABD==，∴∠ABD=60°， ∵AB=AB′，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′=60°，∴∠DAD′=60°，∵AD=AD′，∴△ADD′是等边三角形，∴DD′=AD=BC=，故选A． 4.【答案】C 【解析】∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C． 点睛：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 5.【答案】B 【解析】∵BC∥OA，∠O=90°，∴∠O+∠OBC=180°，∴∠OBC=90°.又∵∠ABO=30°，∴∠ABC=60°，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，则旋转角是60°．故选B． 6.【答案】C 【解析】如图所示,过点F作FG⊥AC．∵由旋转的性质可知，CE=BC=4,CD=AC=6,∠ECD=∠BCA=90°，∴AE=AC-CE=2．∵FG⊥AC，CD⊥AC，∴FG∥CD．又∵F是ED的中点，∴G是CE的中点，∴EG=2， FG=CD=3．∴AG=AE+EG=4．∴AF==5．故选C． 7.【答案】D 【解析】A，由于△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，则AD=AC，∠BAC=45°，于是∠EAD=135°，∠CAE=135°，所以△ACE≌△ADE，所以A选项的结论正确；B、由于△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，则AB=AE，∠BAC=45°，于是∠BAD=135°，∠DAE=135°，所以△ADB≌△ADE，所以B选项的结论正确；C、由A、B选项得到∠CAD=90°，∠BAE=90°，AB=AE，AD=AC，所以以A为旋转中心，把△ACE逆时针旋转90°后与△ADB重合，所以C选项的结论正确；D、由于四边形ABCD是平行四边形，则△ACB与△DAC为全等的等腰直角三角形，△ACB与△DAC只能经过翻折和平移才能重合，所以D选项的结论错误．故选D． 8.【答案】A 【解析】∵A点坐标为（1，3），∴OA==.∵线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′， ∴OA′=OA=．故选A． 点睛：旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 二、解答题 9.【答案】（1）见解析；（2）由图可知A1（0，6）；（3） 【解析】 (1)根据旋转图形的性质首先得出各点旋转后的点的位置，然后顺次连接各点得出图形；(2)根据图形得出点的坐标；(3)根据弧长的计算公式求出答案． 解：(1)△A1B1C如图所示． (2)A1（0，6）． (3)弧BB1=． 10.【答案】10 【解析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用三角形面积求法得出答案． 解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求， △A2B2C2的面积为：4×6-×2×6-×2×4-×2×4=10． 故答案为：10． 11.【答案】6 解：已知线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，得∠DCP=60°,CP=CD； 所以∠COD+∠POA=120°. 又在△APO中，∠AOP+∠APO=120°，得∠APO =∠COD. 又因为∠A =∠C，所以△APO≌△COD, AP=CO=9-3=6 考点：旋转，全等的性质及判定. 12.【答案】（1）；（2）；（3）当移动到AD=时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形．   【解析】（1）首先证明△DFG≌△DEH（SAS），进而得出∠FDG=∠EDH，进而得出DF=||=x||=x||=4x，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，可得PH′=DP=2x，由y=S△PDC=DC•PH′求出即可；（2）由（1）知∠FDG=30°，得出∠FDG=∠DCP，以及DP=PC若PH⊥AB  则M是DC的中点 DM=6，在Rt△DPH中，∠FDG=30°，利用cos∠FDG=求出AP的长，进而得出x的值；（3）分别利用线段AD、FC、BC的长为斜边时求出符合条件的值即可． 解：（1）如图①，过P作PH′⊥AC于H′． ∵DF=DE，∴∠DFE=∠E 在△DFG和△DEH中， ∴△DFG≌△DEH（SAS），∴∠FDG=∠EDH. ∵∠FDE=90°，且∠FDE=∠FDG+∠EDH+∠BAC ∵∠BAC=30°，∴∠FDG=30°. ∵DF=4，∴||=4.∵=x=x，∴DP=||=x||=x||=4x， 在Rt△DPH中，∠FDG=30°， ∴PH′=DP=2x，∠B=90°，∠BAC=30°，BC=6， ∴AC=CD=12，y=S△PDC=DC•PH′=×12•2x=12x（x＞0）； （2）∵PC∥AB，∴∠BAC=∠DCP. ∵∠BAC=30°，∴∠DCP=30°. 由（1）知∠FDG=30°，∴∠FDG=∠DCP，∴DP=PC. 若PH⊥AB，则M是DC的中点 DM=6， 在Rt△DPH中，∠FDG=30°，cos∠FDG===， ∴AP=4，DP=AP=4x，∴x=； （3）如图②，设AD=t，DC=12-t （0＜t＜12），FC2=DF2+DC2=42+（12-t）2， ①AD2=FC2+BC2，t2=42+（12-t）2+36   解得：t=（FC至少等于4，故不合题意，舍去） ②BC2=FC2+AD2，36=42+（12-t）2+t2，无解， ③FC2=BC2+AD2 ，∴42+（12-t）2=36+t2，解得t=， ∴当△DEF移动到AD=时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形． 图① 图② 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$