专题20 对数与对数函数（6大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题20 对数与对数函数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、对数式的化简与求值 3 题型二、对数函数的图像 4 题型三、对数（型）函数过定点问题 5 题型四、对数（型）函数的定义域与值域 6 题型五、对数（型）函数的单调性与最值 7 题型六、对数（型）函数与不等式 8 压轴能力测评（15题） 9 一、对数的概念 1、定义：一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数， 记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，简记为； 2、自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，简记为 三、对数的运算性质 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 3、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 四、对数函数的概念 1、定义：函数（且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 五、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； 当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 六、判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如的形式，即必须满足以下条件 （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量 七、对数值比较大小的常用方法 1、同底：可直接利用单调性求解； 2、不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量； 3、不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较； 4、底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较； 5、如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏。 八、解简单对数不等式的方法 1、形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； 2、形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式：可利用图象求解。 【题型一 对数式的化简与求值】 一、单选题 1．（23-24高二下·福建南平·期末）若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 3．（23-24高一上·四川德阳·期末）当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（    ）．（精确到百年，参考数据：） A．3800年 B．4200年 C．4600年 D．5000年 4．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一下·北京·开学考试）已知，且，，则 ． 三、解答题 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【题型二 对数函数的图像】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·重庆·期末）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   三、填空题 5．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 【题型三 对数（型）函数过定点问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．4 2．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 3．（22-23高一下·河北保定·阶段练习）已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 5．（23-24高一上·重庆·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 【题型四 对数（型）函数的定义域与值域】 一、单选题 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为 5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值是 ． 7．（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 三、解答题 8．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数． (1)用定义法证明：函数在是单调递增函数； (2)若，求函数的最小值． 【题型五 对数（型）函数的单调性与最值】 一、单选题 1．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 4．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 三、解答题 5．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，. (1)求证：为偶函数； (2)设，判断的单调性，并用单调性定义加以证明. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 7．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 8．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【题型六 对数（型）函数与不等式】 一、解答题 1．（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数且. (1)若在区间上的最大值为2，求实数的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数的取值范围. 3．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·山西·期中）已知函数. (1)当时，试判断在上的单调性，并用定义证明. (2)设，若，，求n的取值范围（结果用m表示）. 一、单选题 1．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 2．（2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 3．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·四川内江·阶段练习），则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高三上·全国·阶段练习）设正实数满足，则 ． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 . 9．（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 10．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知，则= 四、解答题 11．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 12．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，且． (1)判断的奇偶性并予以证明； (2)求使的的解集． 13．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数，其中且． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若存在实数，使得，求的取值范围； 14．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 15．（23-24高一上·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 对数与对数函数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、对数式的化简与求值 3 题型二、对数函数的图像 6 题型三、对数（型）函数过定点问题 9 题型四、对数（型）函数的定义域与值域 12 题型五、对数（型）函数的单调性与最值 17 题型六、对数（型）函数与不等式 23 压轴能力测评（15题） 28 一、对数的概念 1、定义：一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数， 记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，简记为； 2、自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，简记为 三、对数的运算性质 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 3、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 四、对数函数的概念 1、定义：函数（且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 五、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； 当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 六、判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如的形式，即必须满足以下条件 （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量 七、对数值比较大小的常用方法 1、同底：可直接利用单调性求解； 2、不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量； 3、不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较； 4、底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较； 5、如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏。 八、解简单对数不等式的方法 1、形如的不等式：借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分或两种情况讨论； 2、形如的不等式：应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式：可利用图象求解。 【题型一 对数式的化简与求值】 一、单选题 1．（23-24高二下·福建南平·期末）若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【分析】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C 3．（23-24高一上·四川德阳·期末）当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（    ）．（精确到百年，参考数据：） A．3800年 B．4200年 C．4600年 D．5000年 【答案】C 【分析】设该生物的死亡时间为t，根据题意列出关于t的方程，利用指数方程的求解，转化成对数求解即可得到答案． 【详解】设这头大象大约生活在距今t年，则 ， 这头大象大约生活在距今约4600年， 故选：C. 4．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出，然后作差计算出，则可得到答案. 【详解】， 则， 因为，所以， 所以； ， 因为，所以， 所以， 所以． 故选:D． 二、填空题 5．（23-24高一下·北京·开学考试）已知，且，，则 ． 【答案】4 【分析】 令，即可得到，解出，即可得到，再由，得到，从而得到，解得即可. 【详解】 ，且，即， 设，则， ，解得或（舍去），即， ， ， ， ，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 【题型二 对数函数的图像】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据对数函数的性质判断． 【详解】，当或时，，，排除AD， 当时，，，排除C， 故选：B． 3．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 二、多选题 4．（23-24高一上·重庆·期末）若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（    ） A．     B．     C．   D．   【答案】BC 【分析】由已知分两种情况，当时，，当时，，结合函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为， 所以当时，得， 所以在定义域内单调递减，且， 函数的定义域为， 且由简单函数，复合而成， 由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减， 且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误； 当时，得， 所以在定义域内单调递增，且， 当无穷小时，无限趋近于， 此时在内单调递增， 且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误. 故选：BC. 三、填空题 5．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，若，则 ；若，且，则的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围. 【详解】，得或； 由题意可知，， 由函数图象可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或； 【题型三 对数（型）函数过定点问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】C 【分析】求出曲线所过定点，即可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】对于，令，即，则， 即曲线（且）过定点，即， 故，又，， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故选：C 2．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 二、填空题 3．（22-23高一下·河北保定·阶段练习）已知函数（，且）的图像过定点A，若点A在函数的图像上，则 . 【答案】 【分析】首先由对数函数性质确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可. 【详解】因为函数(，且 )的图像过定点A， 所以. 因为点A在函数的图像上， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．（23-24高一上·重庆·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是 故答案为： 【题型四 对数（型）函数的定义域与值域】 一、单选题 1．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可. 【详解】由题意得：得定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 故选：A. 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为的值域为，所以， 又，，所以， 即，解得：且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、填空题 4．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可. 【详解】当时，所以， 所以，即，则， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是 ． 【答案】 【分析】先由题意求得的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由函数的解析式有意义，求得的定义域，化简，令，得到，令，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数有意义， 则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得， 令， 因为， 当且仅当时，即时，即时取等号， 所以， 所以， 所以函数的最小值为4． 故答案为：. 7．（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的定义域为，值域是，则的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用换元法转化函数，结合二次函数的性质及的值域求得的定义域，进而求得的最大值. 【详解】由题意知，， 令，则， 令， 画出的图象如图所示， ，， 由， 要使得的值域为，则t的范围为，且， 则，解得：，， 所以当的定义域为，其中时，值域为. 所以，，， 所以，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 三、解答题 8．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数． (1)用定义法证明：函数在是单调递增函数； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用单调性的定义直接证明即可； （2）通过换元法将原问题等级转换为二次函数动轴定区间的最小值问题，对对称轴的位置分类讨论即可求解. 【详解】（1）不妨设，所以， 因为，所以，即， 所以函数在是单调递增函数. （2）若，则， 所以 ， ， 若，则单调递减， 所以此时， 若，则， 若，则单调递增， 所以此时， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减. 【题型五 对数（型）函数的单调性与最值】 一、单选题 1．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果 【详解】因为，，， ． 故选：D． 2．（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，得到函数的单调性和的解为a＝5，并求出，所以，根据对数函数单调性比较出大小. 【详解】设函数，则为增函数， 因为，所以的解为a＝5， ，所以，． 因为，所以． 故选：B 【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有： （1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较； （2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系； （3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系． 二、填空题 3．（23-24高一上·辽宁大连·期中）已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围. 【详解】因为且，所以当时，函数只能单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 2 【分析】根据对数真数大于0，求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可. 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 故答案为：；2. 三、解答题 5．（23-24高一上·北京大兴·期末）已知函数，. (1)求证：为偶函数； (2)设，判断的单调性，并用单调性定义加以证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)是单调递增函数，证明见解析 【分析】（1）由对数复合型函数的定义域结合偶函数的定义即可得证. （2）直接由函数单调性的定义结合对数函数单调性即可得证. 【详解】（1）函数的自变量满足， 解得， 所以函数的定义域为. 对于，都有， 且 所以函数为偶函数. （2）函数是单调递增函数. 理由如下：设，且， 因为，所以，即， 又知，所以， 因此， 即，由函数单调性定义可知，函数是单调递增函数. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值； （2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． （2）因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 7．（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数． (1)证明：的定义域与值域相同． (2)若，，，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出的值域. （2）设，则，分别求出，即可得出答案. 【详解】（1）证明：由，得， 所以的定义域为． ， 因为在上单调递增． 所以，所以的值域为， 所以的定义域与值域相同． （2）解：由（1）知在上单调递增， 所以当时，． 设， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 因为，，， 所以，即m的取值范围为． 8．（2025·江苏南通·一模）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件得到，利用对数函数的单调性即可得解； （2）依题意将问题转化为，设，转化为，利用对勾函数的单调性求得其最值，从而得解. 【详解】（1）当时，函数， 由，得，则，解得或， 即当时，不等式的解集为. （2）因为，所以在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1， 可得，即， 即，所以， 设，因为，则，， 可得， 当时，， 当 时，可得， 因为在区间上单调递减，可得， 所以，则， 所以实数的取值范围是. 【题型六 对数（型）函数与不等式】 一、解答题 1．（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，从而可求出函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义分析判断； （3）由，得，然后利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为， （2）函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （3）由，得， 所以， 因为在定义域内为减函数，所以，解得， 所以不等式的解集为. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数且. (1)若在区间上的最大值为2，求实数的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，求的值； （2）由函数的值域为，求的值，利用单调性解对数不等式. 【详解】（1）已知函数（且）在区间上的最大值是2． 时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增， 则有或，解得或. （2）函数的值域为， 令，的最小值为2，单调递增，则的最小值为1， 则当，，所以 ，即，得， 解得，即不等式的解集为. 3．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解； （2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 5．（23-24高一上·山西·期中）已知函数. (1)当时，试判断在上的单调性，并用定义证明. (2)设，若，，求n的取值范围（结果用m表示）. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用单调性的定义计算即可证明； （2）令，将条件不等式化为，分离参数得，利用二次函数的性质分类讨论求其最小值即可. 【详解】（1）在上单调递增. 证明如下：任取，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （2）令，因为，所以. 由，得， 因为，所以， 令，得在上有解，则. 当，即时，； 当，即时，. 综上，当时，n的取值范围为；当时，n的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 2．（2023·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 3．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知在分别单调递增，再结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】当时，单调递增， 则由题意可得 化简得,即得, 解得，故a的取值范围是. 故选：A. 4．（23-24高三上·四川内江·阶段练习），则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，，且， 所以，即， 所以， 因为函数在上单调递减，且时，， 所以当时，， 即的范围是. 故选：C. 二、多选题 5．（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先由题意得，对于A，结合对数函数单调性即可得解；对于B，结合A得即可得解；对于C，举一反例，如，时即可判断；对于D，由A结合对勾函数单调性即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，为减函数，； 当时，为增函数，解得，故选项A错误； 对于B，由A得，即，故选项B正确； 对于C，当，时，，故选项C错误； 对于D，在上单调递减，在上单调递增， 所以由A得，选项D正确. 故选：BD. 6．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由对数运算可得，，借助作差法结合对数运算可得A；由对数运算可得B；借助基本不等式与对数运算可得C；借助基本不等式“1”的活用可得D. 【详解】由，则，由，则，即； 对A：，故，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：由，，则， 即，则，故C正确； 对D：由，则， 由，，则，故， 则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（24-25高三上·全国·阶段练习）设正实数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解. 【详解】由，得． 所以． 故答案为： 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 . 【答案】2 【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性求得外层函数的值域，即可解答. 【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是． 由于函数. 化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值． 所以，则的最小值是2． 故答案为：2 9．（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分两种情况结合对数函数值域讨论函数值域为求参数. 【详解】当时，符合题意； 当时，需，解得． 综上可得． 故答案为：. 10．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知，则= 【答案】1 【分析】根据指数式和对数式的互化可得，结合对数运算性质可得的值，化简为，即可得答案. 【详解】由于，故， 故， 则. 故答案为：1 四、解答题 11．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对函数的单调性即可求解， （2）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）的定义域为R． ∵，∴． ∴， ∴的值域为． （2）∵ ， 又∵，∴， ∴当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值2， ∴函数的值域是 12．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，且． (1)判断的奇偶性并予以证明； (2)求使的的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）由奇函数的定义判断即可；（2）利用对数函数的单调性可得. 【详解】（1）是奇函数， 证明如下：因为，所以，解得，即的定义域为． ， 故是奇函数． （2）由得，即， 当时，且，解得，故使的的解集为； 当时，且，解得，故使的的解集为． 13．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数，其中且． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若存在实数，使得，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ， ， ， ，定义域为， 要解不等式，则， ． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 故综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得． 令，由，则， 在有解． 又在上严格增函数， ，即， 又，则. 14．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，不等式转化为，得到，即可求解； （2）把不等式，转化为对任意恒成立， 设，得到对任意恒成立， 设，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得， 由不等式，即，可得，解得， 所以不等式的解集为． （2）解：由不等式，即， 等价于对任意恒成立， 设，即对任意恒成立， 设， 当时，，解得， 当时，，a无解， 综上，a的取值范围是． 15．（23-24高一上·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【详解】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$