专题03 二次函数【六大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，北京版）

专题03 二次函数【六大题型】 根据实际问题列二次函数关系式 1．（2023•顺义区校级期中）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x） C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x） 2．（2023•房山区校级期中）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（　　） A．S＝x（5﹣x）（0＜x＜5） B．S＝x（10﹣x）（0＜x＜5） C．S＝x（x﹣5）（0＜x＜5） D．S＝x（x﹣10）（0＜x＜5） 3．（2023•西城区校级期中）长方体底面周长为50cm，高为10cm，则长方体体积y（cm3）关于底面的一条边长x（cm）的函数解析式是　 　，其中x的取值范围是　 　． 4．（2023•朝阳区校级期中）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝　 　． 二次函数图象与系数的关系 5．（2023•东城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．a＜0 B．c＞0 C． D．a+b+c＜0 6．（2023•西城区校级期中）关于x的二次函数y＝a（x﹣h）2+k中，若ahk＜0，则下列示意图中符合要求的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 　 　． ①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1． 8．（2023•昌平区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 　 　．（填序号） 二次函数图象上点的坐标特征 9．（2023•石景山区校级期中）二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 10．（2023•西城区校级期中）已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 11．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式a+b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．（2023•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．则c＝　 　，a＝　 　． 13．（2023•密云区期中统考）若M（x1，5），N（x2，5）两点都在抛物线y＝x2﹣4x﹣3上，则x1+x2＝　 　． 14．（2023•东城区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是 　 　． 二次函数图象与几何变换 15．（2023•西城区校级期中）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 16．（2023•大兴区校级期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1 17．（2023•昌平区校级期中）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2向左平移2个单位再向上平移3个单位所得到的抛物线解析式是　 　． 18．（2023•海淀区校级期中）将抛物线y＝x2向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，﹣4），则b的值为 　 　． 二次函数的性质 19．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 20．（2023•大兴区校级期中）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（1，2），B（5，2）两个点，则抛物线的对称轴是直线（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 21．（2023•密云区校级期中）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，以下说法正确的是（　　） A．当 x＞﹣1 时，y随x增大而减小 B．当x＞﹣1时，y随x增大而增大 C．当x＞1时，y随x增大而减小 D．当x＞1时，y随x增大而增大 22．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（0，0）和（3，3），且对称轴为直线x＝t．现有下面四个推断：①若t＝1，则a＝1；②若t＞1，则a＞1；③若t＜1，则a＜1；④存在实数λ，使得a（1﹣λt）为定值．其中推断正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 23．（2023•朝阳区校级期中）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 　 　． 24．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝（x﹣1）2+2，当﹣3＜x＜2时，y的取值范围是 　 　． 25．（2023•西城区校级期中）对于二次函数y＝ax2和y＝bx2．其自变量和函数值的两组对应值如表所示： x ﹣1 m（m≠﹣1） y＝ax2 c c y＝bx2 c+3 d 根据二次函数图象的相关性质可知：m＝　 　，d﹣c＝　 　． 26．（2023•海淀区校级期中）如图，二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），若函数值y＜1，则自变量x的取值范围是 　 　． 27．（2023•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+1（a＜0）上，其中x1＜x2，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当t＝1时，如果y1＝y2＝1，直接写出x1，x2的值； （2）当x1＝﹣1，x2＝3时，总有y2＜y1＜1，求t的取值范围． 28．（2023•朝阳区校级期中）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）抛物线上有不同的两点（﹣1，m），（x0，n），若m＝n，直接写出x0的值； （3）点A（m﹣1，y1），B（m+2，y2）在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y2≤﹣a恒成立？若存在，求出m的取值范围．若不存在，请说明理由． 二次函数的最值 29．（2023•石景山区校级期中）求二次函数y＝x2+2x﹣1的最小值（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 30．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（　　） A．﹣2 B．2 C．5 D．9 31．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）的最大值为2，写出一组符合条件的a和c的值：　 　． 32．（2023•朝阳区校级期中）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是　 　． 33．（2023•西城区校级期中）阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论． 他的解答过程如下： ∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3， ∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等． ∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2； 若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7． 请你参考小明的思路，解答下列问题： （1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为　 　； （2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值； （3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　 　． 34．（2023•海淀区校级期中）已知f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），且方程f（x）＝2x有两相等的实数根． （1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值． （2）是否存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数【六大题型】 根据实际问题列二次函数关系式 1．（2023•顺义区校级期中）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（　　） A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x） C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x） 解：设每本降价x元，则售价为（30﹣x）元，销售量为（200+20x）本， 根据题意得，y＝（30﹣x）（200+20x）， 答案：B． 2．（2023•房山区校级期中）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（　　） A．S＝x（5﹣x）（0＜x＜5） B．S＝x（10﹣x）（0＜x＜5） C．S＝x（x﹣5）（0＜x＜5） D．S＝x（x﹣10）（0＜x＜5） 解：由题意得2（x+y）＝10， 即y＝5﹣x， ∴S＝xy＝x（5﹣x）， 答案：A． 3．（2023•西城区校级期中）长方体底面周长为50cm，高为10cm，则长方体体积y（cm3）关于底面的一条边长x（cm）的函数解析式是　y＝﹣10x2+250x　，其中x的取值范围是　0＜x＜25　． 解：∵长方体底面周长为50cm，底面的一条边长x（cm）， ∴底面的另一条边长为：（25﹣x）cm，根据题意得出： y＝x（25﹣x）×10＝﹣10x2+250x（0＜x＜25）． 答案：y＝﹣10x2+250x，0＜x＜25． 4．（2023•朝阳区校级期中）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝　﹣x2+10x+600　． 解：设应降价x元，销售量为（20+x）个， 根据题意得：y＝（100﹣x﹣70）（20+x）＝﹣x2+10x+600． 答案：﹣x2+10x+600． 二次函数图象与系数的关系 5．（2023•东城区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（　　） A．a＜0 B．c＞0 C． D．a+b+c＜0 解：根据函数图象可知a＜0，c＞0，， 将x＝1代入y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c， 由图象知，此时a+b+c＞0． 答案：D． 6．（2023•西城区校级期中）关于x的二次函数y＝a（x﹣h）2+k中，若ahk＜0，则下列示意图中符合要求的是（　　） A． B． C． D． 解：当a＞0时，若ahk＜0，分两种情况讨论： 当h＞0，k＜0时，此时图象开口向上，与y轴交于负半轴，顶点到第四象限；故A选项的图符合要求； 当h＜0，k＞0时，此时图象开口向上，与y轴交于正半轴，顶点到第二象限；没有符合要求的图； 当a＜0时，若ahk＜0，分两种情况讨论： 当h＞0，k＞0时，此时图象开口向下，与y轴交于正半轴，顶点到第一象限；没有符合要求的图； 当h＜0，k＜0时，此时图象开口向下，与y轴交于负半轴，顶点到第三象限；没有符合要求的图； 答案：A． 7．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 　②④　． ①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1． 解：①∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵对称轴为x0， ∴a、b同号，即b＞0， ∴abc＜0， 故①错误，不符合题意； ②当x＝1时，函数值为2， ∴a+b+c＝2； 故②正确，符合题意； ③∵对称轴直线x1，a＞0， ∴2a＞b， 故③错误，不符合题意； ④当x＝﹣1时，函数值＜0， 即a﹣b+c＜0，（1） 又∵a+b+c＝2， 将a+c＝2﹣b代入（1）， 2﹣2b＜0， ∴b＞1 故④正确，符合题意； 综上所述，其中正确的结论是②④； 答案：②④． 8．（2023•昌平区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 　①③⑤　．（填序号） 解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴为x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac， ∴②错误． ∵b＝﹣2a， ∴③正确． ∵当x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∴④错误． 当x＝1时，y有最大值为a+b+c， ∴对于任意实数m，总有am2+bm+c≤a+b+c， ∴对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b． ∴⑤正确． 答案：①③⑤． 二次函数图象上点的坐标特征 9．（2023•石景山区校级期中）二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 解：二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴相交，则x＝0， 故y＝1，则图象与y轴的交点坐标是：（0，1）． 答案：A． 10．（2023•西城区校级期中）已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2x2+8x﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 解：∵y＝2x2+8x﹣1＝2（x+2）2﹣9， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣4，y3），在抛物线y＝2（x+2）2﹣9上，而点C（﹣4，y3）到对称轴的距离最远，B（﹣2，y2）在对称轴上， ∴y2＜y1＜y3． 答案：D． 11．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式a+b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1）， 把点（1，1）代入二次函数的解析式，得：a+b﹣1＝1， ∴a+b＝2， 答案：D． 12．（2023•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．则c＝　﹣3　，a＝　1　． 解：由题知， 将A，B两点代入函数解析式得， ， 解得． 答案：﹣3，1． 13．（2023•密云区期中统考）若M（x1，5），N（x2，5）两点都在抛物线y＝x2﹣4x﹣3上，则x1+x2＝　4　． 解：∵M（x1，5），N（x2，5）两点都在抛物线y＝x2﹣4x﹣3上， ∴M（x1，5），N（x2，5）两点关于对称轴对称， ∴， ∴x1+x2＝4， 答案：4． 14．（2023•东城区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是 　m＜1或m＞5　． 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点， ∴该抛物线的对称轴为直线x3，函数图象开口向上， ∴点P（5，y1）关于直线x＝3的对称点为（1，y1）， ∵y1＜y2， ∴m＜1或m＞5， 答案：m＜1或m＞5 二次函数图象与几何变换 15．（2023•西城区校级期中）将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2． 答案：D． 16．（2023•大兴区校级期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1 解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1． 答案：D． 17．（2023•昌平区校级期中）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2向左平移2个单位再向上平移3个单位所得到的抛物线解析式是　y＝﹣2（x+1）2+3　． 解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到y＝﹣2（x﹣1+2）2+3．故得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3． 答案：y＝﹣2（x+1）2+3． 18．（2023•海淀区校级期中）将抛物线y＝x2向下平移b（b＞0）个单位长度后，所得新抛物线经过点（1，﹣4），则b的值为 　5　． 解：由题意，得：平移后的解析式为：y＝x2﹣b， ∵新抛物线经过点（1，﹣4）， ∴﹣4＝1﹣b， ∴b＝5； 答案：5． 二次函数的性质 19．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+3， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）． 答案：A． 20．（2023•大兴区校级期中）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（1，2），B（5，2）两个点，则抛物线的对称轴是直线（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 解：∵点A（1，2），B（5，2）的纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为：直线x3． 答案：C． 21．（2023•密云区校级期中）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，以下说法正确的是（　　） A．当 x＞﹣1 时，y随x增大而减小 B．当x＞﹣1时，y随x增大而增大 C．当x＞1时，y随x增大而减小 D．当x＞1时，y随x增大而增大 解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，x＜1时，y随x的增大而增大， 答案：C． 22．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（0，0）和（3，3），且对称轴为直线x＝t．现有下面四个推断：①若t＝1，则a＝1；②若t＞1，则a＞1；③若t＜1，则a＜1；④存在实数λ，使得a（1﹣λt）为定值．其中推断正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（0，0）和（3，3），且对称轴为直线x＝t， ∴c＝0，9a+3b+c＝3，t， ∴9a+3b＝3， ①若t＝1，则1，故b＝﹣2a， 所以9a﹣6a＝3，解得a＝1， ∴①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（0，0）和（3，3），且对称轴为直线x＝t， 若t＞1，则抛物线开口向下，a＜0， ∴②错误； 若t＜1，则抛物线开口向上，a＞0， ∵1， ∴b＞﹣2a， ∵9a+3b＝3， ∴b＝1﹣3a， ∴1﹣3a＞﹣2a 解得a＜1； ∴0＜a＜1， ∴③错误； ∵9a+3b＝3， ∴b＝1﹣3a， ∴t， ∴a（1﹣λt）＝a（1•λ）＝a（1λ）， 当1λ＝0，即λ时，a（1﹣λt）的值与a无关，为定值， ∴存在实数λ，使得a（1﹣λt）为定值． ∴④正确． 答案：B． 23．（2023•朝阳区校级期中）写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是 　y＝﹣x2﹣2x﹣1　． 解：二次函数y＝ax2+bx+c， ①开口向下， ∴a＜0； ②当x＞0时，y随着x的增大而减小，0，即b＜0； ∴只要满足以上两个条件就行， 如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1． 答案：y＝﹣x2﹣2x﹣1． 24．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝（x﹣1）2+2，当﹣3＜x＜2时，y的取值范围是 　2≤y＜18　． 解：∵y＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， 将x＝﹣3代入y＝（x﹣1）2+2得y＝16+2＝18， ∴当﹣3＜x＜2时，2≤y＜18， 答案：2≤y＜18． 25．（2023•西城区校级期中）对于二次函数y＝ax2和y＝bx2．其自变量和函数值的两组对应值如表所示： x ﹣1 m（m≠﹣1） y＝ax2 c c y＝bx2 c+3 d 根据二次函数图象的相关性质可知：m＝　1　，d﹣c＝　3　． 解：由表格可知，x＝﹣1和x＝m时的函数值相等， ∵表格中的两个函数对称轴都是直线x＝0， ∴m+（﹣1）＝0，c+3＝d， ∴m＝1，d﹣c＝3， 答案：1，3． 26．（2023•海淀区校级期中）如图，二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），若函数值y＜1，则自变量x的取值范围是 　0＜x＜2　． 解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），对称轴为直线x＝1， ∴当x＝2时，y＝1， ∵抛物线开口向上， ∴函数值y＜1，自变量x的取值范围是0＜x＜2， 答案：0＜x＜2． 27．（2023•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+1（a＜0）上，其中x1＜x2，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当t＝1时，如果y1＝y2＝1，直接写出x1，x2的值； （2）当x1＝﹣1，x2＝3时，总有y2＜y1＜1，求t的取值范围． 解：（1）根据题意知，当x＝0时，y＝1， ∵抛物线的对称轴x＝1， ∴（0，1）关于对称轴对称的点为（2，1）， ∵y1＝y2＝1，且x1＜x2， ∴x1＝0，x2＝2； （2）根据题意知，当x＝0时，y＝1， ∵a＜0，图象开口向下，满足﹣1＜0，对应y1＜1， ∴t， ∴t， ∴点M（﹣1，y1）关于对称轴对称的点为M′（2t+1，y1）， ∵a＜0，图象开口向下，﹣1＜3，且y2＜y1， ∴2t+1＜3，解得t＜1， ∴t＜1． 28．（2023•朝阳区校级期中）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）抛物线上有不同的两点（﹣1，m），（x0，n），若m＝n，直接写出x0的值； （3）点A（m﹣1，y1），B（m+2，y2）在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y2≤﹣a恒成立？若存在，求出m的取值范围．若不存在，请说明理由． 解：（1）∵y＝ax2﹣2ax＝a（x2﹣2x）＝a（x﹣1）2﹣a， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣a）； （2）当m＝n时，点（﹣1，m）与点（x0，n）关于对称轴x＝1对称， ∴x0＝3； （3）存在，理由： 由（1）知，抛物线的顶点坐标为（1，﹣a）， ①当a＜0时，抛物线开口向下，函数的最大值为﹣a， Ⅰ，当m+2≤1，即m≤﹣1时，此时A、B都在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∵m﹣1＜m+2， ∴y1＜y2≤﹣a，满足题意； Ⅱ，当m﹣1≥1，即m≥2时，此时A、B都在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵m﹣1＜m+2， ∴y2＜y1≤﹣a，不满足题意； Ⅲ，当m﹣1＜1＜m+2，即﹣1＜m＜2时，此时A在对称轴左侧，B在对称轴右侧， 要满足y1＜y2≤﹣a， 则1﹣（m﹣1）＞m+2﹣1， 解得﹣1＜m； 当a＞0时，抛物线开口向上，函数的最小值为﹣a，即y≥﹣2， 则y1＜y2≤﹣a不成立． 综上所述，m的取值范围是m． 二次函数的最值 29．（2023•石景山区校级期中）求二次函数y＝x2+2x﹣1的最小值（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 解：y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣2）， ∴二次函数y＝x2+2x﹣1的最小值是﹣2． 答案：C． 30．（2023•西城区校级期中）二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（　　） A．﹣2 B．2 C．5 D．9 解：∵y＝﹣x2+2x+4化成顶点式y＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，顶点为（1，5）， ∴函数的最大值为5， 答案：C． 31．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）的最大值为2，写出一组符合条件的a和c的值：　a＝﹣2，c＝0（答案不唯一）　． 解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）的最大值为2， ∴2，a＜0， ∴c﹣a＝2， 故a＝﹣2时，c＝0， 答案：a＝﹣2，c＝0（答案不唯一）． 32．（2023•朝阳区校级期中）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是　a≥1　． 解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线， 当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4， ∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4， ∴a≥1， 答案：a≥1 33．（2023•西城区校级期中）阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论． 他的解答过程如下： ∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3， ∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等． ∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2； 若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7． 请你参考小明的思路，解答下列问题： （1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为　49　； （2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值； （3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　1或﹣5　． 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49； （2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1， ∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等， ∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1， 若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17； （3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31， 整理得，t2+2t﹣15＝0， 解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5， t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31， 整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0， 解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去）， 所以，t的值为1或﹣5． 34．（2023•海淀区校级期中）已知f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x），且方程f（x）＝2x有两相等的实数根． （1）求f（x）在区间[0，3]上的最大值． （2）是否存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵f（x）＝ax2+bx满足：f（x﹣1）＝f（3﹣x）， ∴对称轴为直线x1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∵方程f（x）＝2x有两相等的实数根， ∴ax2+bx﹣2x＝0，则Δ＝0， ∴（b﹣2）2＝0， ∴b＝2， ∴a＝﹣1， ∴f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， ∴x＝1时，f（x）有最大值1， ∴f（x）在区间[0，3]上的最大值是1； （2）不存在，理由如下， 分三种情况： a、n≤1，有：﹣m2+2m＝4m①，﹣n2+2n＝4n②，m＜n③， 解得m＝n，不合题意； b、m≥1，有：﹣m2+2m＝4n①，﹣n2+2n＝4m②，m＜n③， ①﹣②得：（n﹣m）（m+n）＝6（n﹣m），n﹣m＞0， ∴m+n＝6， 代入①解得：m＝3，n＝3； 不合题意， c、若m＜1，n＞1， ∵此时函数的最大值为1， ∴4n＝1， ∴n， 不合题意， 综上所述：不存在实数m、n，使得f（x）在区间[m，n]上的最小值为4m，最大值为4n． 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