专题07 期中考压轴题汇编-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题07 期中考压轴题汇编 选择题压轴 1．（23-24七年级上·福建厦门·期中）如果一个数列{an}满足a1=3，（n为自然数），那么是（　 ） 2．（23-24七年级上·福建宁德·期中）已知，则值为多少（     ） A．1或﹣3 B．1或﹣1 C．﹣1或3 D．3或﹣3 3．（23-24七年级上·福建福州·期中）写出一个三位数，它的各个数位上的数字都不相等．用这个三位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的三位数．对于新得到的三位数，重复上面的过程，又得到一个新的三位数．一直重复下去，最后得到的结果是(   ) A．496 B．495 C．494 D．493 4．（23-24七年级上·福建漳州·期中）下列说法中：①1.804(精确到0.01)取近似数是1.80；②若a+b+c=0则可能的值为0或1或2；③两个三次多项式的和一定是三次多项式；④若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a+b=-13；正确的个数有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级上·福建三明·期中）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24七年级上·福建福州·期中）已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“和差操作”，例如：为一次“和差操作”，为“和差操作”的一种运算结果下列说法： ①存在两种“和差操作”运算结果的和为2x； ②不存在两种“和差操作”运算结果的差为； ③所有的“和差操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 填空题压轴 1．（23-24七年级上·福建漳州·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”．例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：． 对，，，进行“差绝对值运算”的结果是； ，，的“差绝对值运算”的最小值是； 当，，时，，，的“差绝对值运算”化简结果是，以上说法中正确的为 ． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）若，则= ． 3．（23-24七年级上·福建三明·期中）中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．同物几何？ 即：一个整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，则这个整数为__________________．（写出符合题意且不超过300的3个正整数） 4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）计算： ． 5．（23-24七年级上·福建南平·期中）现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为 ． 6．（23-24七年级上·福建福州·期中）在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分．负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为（分），则的最小值为 ；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为 场． 7．（23-24七年级上·福建莆田·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 解答题压轴 1．（23-24七年级上·福建莆田·期中）【情景再现】 通过“活动 思考”一节的学习，小红知道了：把一张长方形纸片按下图要求折叠、裁剪、展开，可以得到由长方形裁剪出的一个最大正方形． 【操作探究】 聪明的小红在学习了这一个知识后给出了一个“可裁长方形”的定义：当相邻两边长分别为的长方形通过上述方法裁剪掉一个最大的正方形后，再在剩下的部分裁剪出一个最大的正方形，如此反复，最后剩下的部分也是一个正方形，像这样一类长方形称为可裁长方形．并进行了以下探索： 当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则a的值为 ； 当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的的值为 ； 当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出所有符合条件可裁长方形，标注出裁剪线，并在对应的图形下方写出的值． 【方法迁移】 取一个自然数，若它是奇数，则乘以加上；若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数，最少经过下面步运算可得．即： 自然数最少经过 步运算可得到； 如果自然数最少经过步运算可得到，则所有符合条件的的值为 ． 2．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）某校数学竞赛社团组织不足名男生参加外地的集训，这些学生住宿时，若安排双人间，则有1人单独一间房；若安排三人间，则也有1人单独一间房．按每5人一组分组讨论时，最后一组缺2人．现对每位男生按1，2，3，…，的顺序给一个学号． （1）求参加集训的男生的人数； （2）证明：其中任意8位学生中，必有两人学号之和为15； （3）证明：在数列2021，20212021，202120212021…中，必有的倍数． 3．（23-24七年级上·福建南平·期中）将正方形（如图1）作如下划分： 第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形； 第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形； (2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧． 计算．（直接写出答案即可） 4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）观察下列各式： …… 由上面的规律： （1）求的值； （2）求…+2+1的个位数字． （3）你能用其它方法求出的值吗？ 5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，从左到右，在每个小个子都填入一个整数，使得其中任意三个相邻各自中所填整数之和都相等． (1)可求得x＝ ；第2019个格子中的数为 ； (2)判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2023？若能，求出m的值；若不能，请说明理由； (3)如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a－b|的和可以通过计算：|9－&|＋|9－#|＋|&－#|＋|&－9|＋|#－9|＋|#－&|得到，若a，b为前7个格子中的任意两个数，则所有的|a－b|的和为 ． 6．（23-24七年级上·福建宁德·期中）操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 7．（23-24七年级上·福建漳州·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． (4)请利用（3）的推导公式计算：． 8．（23-24七年级上·福建福州·期中）对于有理数若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为_________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求的值； (3)若和关于1的“友谊数”为和关于2的“友谊数”为和关于3的“友谊数”为和关于101的“友谊数”为； ①的最大值为_________； ②的最小值为_________． 9．（23-24七年级上·福建南平·期中）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作． (1)______，______； (2)若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒6个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 期中考压轴题汇编 选择题压轴 1．（23-24七年级上·福建厦门·期中）如果一个数列{an}满足a1=3，（n为自然数），那么是（　 ） A．603 B．600 C．570 D．573 【答案】D 【分析】根据a1=3，an+1=an+3n（n为自然数），分别求出a2=3+3×1，a3=3+3×1+3×3=3+3×3，…，an=3+，依此即可求出a20的值． 【详解】∵a1=3，an+1=an+3n（n为自然数）， ∴a2=3+3×1， a3=3+3×1+3×2=3+3×3， … an=3+， ∴a20=3+=573． 故选D． 【点睛】本题考查了数字的变化．解题关键是先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律an=3+去求特定的值． 2．（23-24七年级上·福建宁德·期中）已知，则值为多少（     ） A．1或﹣3 B．1或﹣1 C．﹣1或3 D．3或﹣3 【答案】A 【详解】试题分析：根据绝对值的性质及连乘法则，可判断出x、y、z的符号，再根据正负性即可求值. 解：∵， ∴， ∴x、y、z的符号为三负或两正一负. 当x、y、z均为负值时， 原式＝（－1）+（－1）+（－1）＝－3； 当x、y、z为两正一负时， 原式＝1+1+（－1）＝1； ∴值为1或－3. 故选A. 点睛：本题涉及的知识有绝对值、有理数的乘法.解题的关键在于要利用已知条件结合绝对值的性质、有理数连乘法则判断出x、y、z的符号，同时要注意利用分类讨论思想. 3．（23-24七年级上·福建福州·期中）写出一个三位数，它的各个数位上的数字都不相等．用这个三位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的三位数．对于新得到的三位数，重复上面的过程，又得到一个新的三位数．一直重复下去，最后得到的结果是(   ) A．496 B．495 C．494 D．493 【答案】B 【分析】按照题中所讲的方法，用特殊值法任意写几个三位数，求出结果，分析找出规律． 【详解】解：如：428，842-248=594；954-459=495…； 253，532-235=297，972-279=693，963-369=594，954-459=495，954-459=495…； 234，432-234=198，981-189=792，972-279=693，963-369=594，954-459=495…； 综上可知：循环下去都是固定数495． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数字变化类问题，解答本题只要按照题中的方法写出几个数字，从中分析即可． 4．（23-24七年级上·福建漳州·期中）下列说法中：①1.804(精确到0.01)取近似数是1.80；②若a+b+c=0则可能的值为0或1或2；③两个三次多项式的和一定是三次多项式；④若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a+b=-13；正确的个数有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】将说法① ② ③ ④逐一分析，然后找到对的个数，即可求解． 【详解】说法①，正确； 说法②，若a+b+c=0，则a、b、c三个数一定是两正一负或者两负一正，若是两正一负，则，，若是两负一正，则，，故若a+b+c=0则始终只能为0，所以该说法错误； 说法③，错误；两个三次多项式的和有可能为0； 说法④，错误；． 【点睛】本题属于拔高题，综合性题目． 5．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ⑤，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有绝对值的化简，数轴上两点间的距离，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例. 【详解】若，则， 故①错误， 不合题意； 若， 则或或或， 当时， 则有是是正数， 当时， 则有是正数， 当时， 则有是正数， 当时， 则有是是正数， 由上可得， 是正数， 故②正确，符合题意； 三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则或或，故③错误，不合题意； 若代数式的值与无关，则，故④错误，不合题意； ， ∴中一定是一负两正，，， 不妨设 ，故⑤错误，不合题意； 故选： A． 6．（23-24七年级上·福建三明·期中）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 7．（23-24七年级上·福建福州·期中）已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“和差操作”，例如：为一次“和差操作”，为“和差操作”的一种运算结果下列说法： ①存在两种“和差操作”运算结果的和为2x； ②不存在两种“和差操作”运算结果的差为； ③所有的“和差操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合题干，举例即可判断①；直接列举出所有结果即可判断③；将列举的结果任选两组相加，即可判断②；问题随之得解． 【详解】为一次“和差操作”， 为一次“和差操作”， 上述两种“和差操作”运算结果的和为2x，故①正确； 情况1：； 情况2：； 情况3：，与情况1重复； 情况4：； 情况5：； 情况6：，与情况4重复； 情况7：，与情况2重复； 情况8：，与情况4重复； 情况9：； 情况10：，与情况4重复； 情况11：，与情况9重复； 情况12：，与情况2重复； 绝对值中字母对调，不影响结果， 则共计5种结果，故③正确； 将上述五种结果，任意选取两组的结果相减，没有结果为，故②正确， 则正确的有3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，列举出所有可能结果，是解答本题的关键． 填空题压轴 1．（23-24七年级上·福建漳州·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”．例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：． 对，，，进行“差绝对值运算”的结果是； ，，的“差绝对值运算”的最小值是； 当，，时，，，的“差绝对值运算”化简结果是，以上说法中正确的为 ． 【答案】 【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定． 【详解】对，，，进行“差绝对值运算”得： ， 故正确； 对，，进行“差绝对值运算”得： ， ∵表示的是数轴上点到和的距离之和， ∴的最小值为， ∴，，的“差绝对值运算”的最小值是：，故不正确； 对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，， ，故正确； 综上正确， 故答案为：． 【点睛】此题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子中拆项后，抵消即可求出值是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得： ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·福建三明·期中）中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．同物几何？ 即：一个整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，则这个整数为__________________．（写出符合题意且不超过300的3个正整数） 【答案】23，128，233. 【分析】根据“一个整数除以3余2，除以5余3，除以7余2”找到三个数，第一个数能同时被3、5整除，第二个数能同时被3、7整除，第三个数能同时被5、7整除等，然后再将这三个数乘以被7、5、3除的余数再相加，据此进一步求解即可. 【详解】根据题意，我们首先求出三个数： 第一个数能同时被3、5整除，即15， 第二个数能同时被3、7整除，即21， 第三个数能同时被5、7整除，但除以3余1，即70， 然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加， 即：， 最后再进一步减去3、5、7的最小公倍数的若干倍即可：， 综上所述，该数可用表示， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：23，128，233. 【点睛】本题主要考查了有理数与代数式的综合运用，准确找出相应规律是解题关键. 4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）计算： ． 【答案】 【分析】分析已知的几项，得到规律，利用裂项相消法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， =． 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． 5．（23-24七年级上·福建南平·期中）现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了速度路程的问题，有理数的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 分三种情况讨论，画出示意图分析即可． 【详解】解：①高速列车和低速列车第1次相遇，如图： 时间为， ②高速列车到达C站需要，此时低速列车距离C站，高速列车要追到它需要，而，大于低速列车到达B站的时间，显然低速列车先到达B站，而高速列车没有追到它，如图， 此时高速列车距离C站：，距离B站：，低速列车1小时后离开B站，此时高速列车距离B站：，则追到低速列车需要时间为：，显然此时低速列车还没有到达A站，如图： 此后低速列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与低速列车共相遇3次； ③高速列车与低速列车第1次相遇，如图， ， 高速列车先出发1小时，距离B站：，两车此时都向C站走，高速列车需要追到普通列车；④高速列车到达C站返回后与普通列车第2次相遇，如图： ， 高速列车到达C站需要，此时普通列车距离C站，两车还需要相遇，此后高速列车向A站走，此后普通列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与普通列车共相遇3次； ⑤普通列车与低速列车第1次相遇，如图： 普通列车出发时，两车相距，两车相遇需，⑥低速列车第1次出B站的时间是，此时普通列车在距离B站处，要追到低速列车需要大于低速列车到达A站的时间，低速列车从A站返回后与普通列车相遇，如图： 低速列车从A站返回时，普通列车距离A站：，两车还需要第2次相遇，⑦普通列车到达A站用时：，低速列车到达A站需要：，故此时低速列车从A站离开了，走了，则它第2次离开B站还需要，此时普通列车距离B站，则刚好到达B站，两车第3次相遇，此后普通列车不再行驶，故普通列车与低速列车相遇3次，故共相遇9次， 故答案为：9． 6．（23-24七年级上·福建福州·期中）在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分．负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为（分），则的最小值为 ；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为 场． 【答案】 6 4 【分析】本题考查规律型，数字的变化类，根据比赛要求求出总的场次，即可得出所有选手的得分总和的范围，再分析出每名选手的比赛场次，根据题意分析出没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值，此条件下，可得有一名选手至少赢一场，就可与其他选手拉开差距，且此时第一名的成绩也可以尽可能的小，进行计算即可的出结论﹒ 【详解】解：已知5名选手，两两之间只比赛一场， 则共比赛场次为： (场)， 因为胜场得分3分，负一场得分0分，若平局，则两位选手各得1分， 因此10场全为胜场时，所有选手的总分最高为： (分) ， 10场全为平局时，所有选手的总分最少为： (分)， 因为没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值， 所以当10场中9平1胜时，即有一名选手赢一场，就可与其他选手拉开差距， 此时所有选手的总分为：（分）， 此条件下可得第一名的成绩为： (分)， 则m的最小值为6； 当10场中9胜1平时，所有选手总分为：（分）， 当10场中8胜2平时，所有选手总分为：（分）， 当10场中7胜3平时，所有选手总分为：（分）， …… 依次类推，可知：所有选手的总分越大时，平局的场次越少， 即在第一名为6分时，总分越大时，平局得场次就越小， 当第一名为6分，其余四位选手均为5分时，所有选手此时的总分最大， 且为：（分）， 当10场中6胜4平时，所有选手总分为：（分）， 故平局是数最少为4场， 故答案为：6，4． 7．（23-24七年级上·福建莆田·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 【答案】20 【分析】先求出没有写错时的正确答案，再比较错误答案与正确答案相差多少，从而即可推出是哪一个数字前面的符号错了． 【详解】解： ， 结果算成了比小， 是奇数前面的“”错写成了“”， ， 写错的是21前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第20个运算符号写错了， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数的四则混合运算，根据计算得出是奇数前面的“”错写成了“”是解题的关键． 解答题压轴 1．（23-24七年级上·福建莆田·期中）【情景再现】 通过“活动 思考”一节的学习，小红知道了：把一张长方形纸片按下图要求折叠、裁剪、展开，可以得到由长方形裁剪出的一个最大正方形． 【操作探究】 聪明的小红在学习了这一个知识后给出了一个“可裁长方形”的定义：当相邻两边长分别为的长方形通过上述方法裁剪掉一个最大的正方形后，再在剩下的部分裁剪出一个最大的正方形，如此反复，最后剩下的部分也是一个正方形，像这样一类长方形称为可裁长方形．并进行了以下探索： 当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则a的值为 ； 当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的的值为 ； 当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出所有符合条件可裁长方形，标注出裁剪线，并在对应的图形下方写出的值． 【方法迁移】 取一个自然数，若它是奇数，则乘以加上；若它是偶数，则除以，按此规则经过若干步的计算最终可得到．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数，最少经过下面步运算可得．即： 自然数最少经过 步运算可得到； 如果自然数最少经过步运算可得到，则所有符合条件的的值为 ． 【答案】[操作探究]（1）2；（2）1.5或3；（3）见解析；[方法迁移]（1）9；（2）128、21、20、3 【分析】操作探究（1）根据操作的方法可得a=2； （2）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的a的值为3个1或1为2个（a-1）； （3）结合（1）、（2）题作出图形； 方法迁移（1）利用列举法，尝试最小的几个非0自然数，再结合“自然数5．最少经过5步运算可得1”，即可得出结论； （2）首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可． 【详解】解：操作探究： （1）当一个可裁长方形只经过一次裁剪就可以得到全部正方形，则a的值为2个1， 故答案为：2； （2）当一个可裁长方形只经过两次裁剪就可以得到全部正方形，则所有符合条件的a的值为3个1或1为2个（a-1）， 故答案为：1.5或3； （3）当一个可裁长方形只经过三次裁剪就可以得到全部正方形，画出符合条件可裁长方形如图： 方法迁移： （1）如图， 自然数12最少经过9步运算可得到1， 故答案为：9； （2）根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3． 故答案为：128、21、20、3． 【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．此题还考查了推理和论证问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． 2．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）某校数学竞赛社团组织不足名男生参加外地的集训，这些学生住宿时，若安排双人间，则有1人单独一间房；若安排三人间，则也有1人单独一间房．按每5人一组分组讨论时，最后一组缺2人．现对每位男生按1，2，3，…，的顺序给一个学号． （1）求参加集训的男生的人数； （2）证明：其中任意8位学生中，必有两人学号之和为15； （3）证明：在数列2021，20212021，202120212021…中，必有的倍数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据题中所给的条件不断缩小k的取值范围，进而确定k的取值； （2）由（1）可得k=13，然后对这13名学生编一个学号，通过列举可知有12个数据都能成为和为15的数组，那么其中任意8位学生中，就算有学号1，也存在一组和为15的数组； （3）根据能被13整除的数的特征解答即可． 【详解】解：（1）∵按每5人一组分组讨论时，最后一组缺2人， ∴人数的个位为3或8． ∵若安排双人间，则有1人单独一间房； ∴人数为奇数． ∵若安排三人间，则也有1人单独一间房． ∴k≠3，k=13； （2）证明：一共有13名学生，在1到13中，和为15的数组有：2和13，3和12，4和11，5和10，6和9，7和8共12个数， ∴在抽中的8位学生中就算有学号为1，也一定有2个学号的和为15， ∴其中任意8位学生中，必有两人学号之和为15； （3）证明：13的倍数特征：若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除；如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述操作， ∵数列2021，20212021，202120212021…中的各项个位都为1， ∴202120212021可化为20212021202+4=20212021206，再化为2021202144，202120230，20212023，2021214，202137，20241，2028，234，39， ∵39是13的倍数， ∴在数列2021，20212021，202120212021…中，必有的倍数． 【点睛】本题主要考查了数字的规，掌握13的倍数特征是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·福建南平·期中）将正方形（如图1）作如下划分： 第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形； 第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形； (2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧． 计算．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)不能；理由见解析 (4) 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，一元一次方程的应用，掌握从特殊到一般的探究规律的方法是解答本题的关键． （1）探究每次划分所得正方形个数的规律，即可得到答案； （2）利用第（1）题得到的规律列方程求解，即可得到答案； （3）利用第（1）题得到的规律列方程求解，可判断是否符合题意，即可得出答案； （4）由题干的划分方法得到启发，作类似的分割，利用数形结合的思想，计算每次分割后左上角正方形的面积和剩余部分图形的面积，即可从所得规律中得出答案． 【详解】（1）解：第一次划分可得个正方形，第二次划分可得个正方形，第三次划分可得个正方形， 第次划分可得个正方形， 第次划分可得正方形：个； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 第次划分后能有个正方形； （3）解：不能， ， 解得：， 不是整数，不合题意， 不能将正方形划分成有个正方形的图形； （4）解：由题意，我们也将正方形进行如上相同得分割， 那么第一次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第二次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第三次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为， 所以第次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为， ． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）观察下列各式： …… 由上面的规律： （1）求的值； （2）求…+2+1的个位数字． （3）你能用其它方法求出的值吗？ 【答案】（1）63；（2）5；（3） 【分析】（1）根据已知（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，得出原式=（2-1）（25+24+23+22+2+1）求出即可； （2）根据已知（1）中所求，求出2n（n为自然数）的各位数字只能为2，4，8，6，且具有周期性，进而求出答案； （3）根据已知得出，进而求出即可． 【详解】(1)由题可知: 原式＝（2－1）（）＝26－1=64-1=63 ; （2）原式＝ （2－1）（…+2+1）＝22012－1, ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…, ∴2n（n为自然数）的各位数字只能为2，4，8，6，且具有周期性, ∴2012÷4=, ∴…+2+1的个位数字是6－1＝5 ; （3） 则2S= 所以，. 【点睛】考查了数字的变化规律；根据已知得出数字变化与不变是解决本题的突破点． 5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，从左到右，在每个小个子都填入一个整数，使得其中任意三个相邻各自中所填整数之和都相等． (1)可求得x＝ ；第2019个格子中的数为 ； (2)判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2023？若能，求出m的值；若不能，请说明理由； (3)如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a－b|的和可以通过计算：|9－&|＋|9－#|＋|&－#|＋|&－9|＋|#－9|＋|#－&|得到，若a，b为前7个格子中的任意两个数，则所有的|a－b|的和为 ． 【答案】（1）9；2；（2）可能；m=1214；理由见解析；（3）732 【分析】（1）根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”可知此表是由三个整数重复排列而成，便可求得x和&、#的值，再观察这组数，可发现每三个数循环一次，则得出第2019个格子中的数； （2）先计算出三个数的和，再根据规律计算即可，也可求出m的值； （3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复出现的次数进行计算. 【详解】解：（1）根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”可知此表是由三个整数重复排列而成，而表格中给出的9，-6和2，因此就是这三个数重复出现，且必须是按9，-6，2这样的顺序重复才能符合要求，故x的值是9； ，得第2019个格子中的数是2； 故答案为9；2； （2），，且， 故前m个格子中所填数字之和可能为2023； m的值为： 404×3+2=1214； （3）由于是三个数重复出现，那么前7个格子中，这三个数中，9出现了三次，-6和2都出现了2次，故代入式子可得： 故答案为732 【点睛】本题主要考查观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，是一道关于自然数求和的题型，属于探究题型，解答这一类题目的一般思维程序是：仔细观察，细致分析，纵看、横看，局部找规律，整体找联系. 6．（23-24七年级上·福建宁德·期中）操作发现．    操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4．将上述过程记作：或； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示．将上述过程记作： ；如：； (1)利用图3、图4，直接填空： ； ； (2)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，． ①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围； ②当点C表示的数是，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值． 【答案】(1) (2)①是，；②的值为2或4 【分析】（1）按照题中操作一与操作二分别画图即可完成； （2）①由题意得点B表示的数为或；设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e；当点B表示的数为时，点B在点A的右侧；由题意表示出点D及点E表示的数，再计算出即可；当点B表示的数为时，点B在点A的左侧；同理可计算出，从而可作出判断； ②由①得，点B表示的数为，由题意得：，由此即可求得a的值． 【详解】（1）解：由图3知，；由图4知，；    故答案为：； （2）解：①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4； 理由如下：∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为4， ∴点B表示的数为或； 设点C表示的数为x，点D表示的数为d，点E表示的数为e； 当点B表示的数为时，点B在点A的右侧； ∵， ∴A为的中点， ∴， 即； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 当点B表示的数为时，点B在点A的左侧； 同理得：； ∵， ∴的中点是同一点， 而的中点表示的数为， ∴， ∴； ∴ ； 即点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值4． ②∵点C表示的数是， ∴由①得， ∴； ∵点B表示的数为， ∴由题意得：， 即， ∴或， 解得：或． 故的值为2或4． 【点睛】本题是新概念问题，有一定的综合性，考查了数轴的点表示数，数轴上两点间的距离，绝对值的计算，有理数加减运算等知识，理解新概念是解题的关键． 7．（23-24七年级上·福建漳州·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： ， ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． (4)请利用（3）的推导公式计算：． 【答案】(1)，2 (2)② (3)推导过程见解析， (4) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键． （1）根据“除方”的定义，直接计算即可； （2）根据“除方”的定义，可判定①②；分别取与，计算出结果，两者的结果不相等，则可判定③与④均错误； （3）分当与考虑，根据“除方”的定义，把除法转化为乘法运算，即可得到乘方的运算结果； （4）利用（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；2； （2）解：， 而，即， 故①错误； ， 故②正确； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误， 故③错误； 当时，；当时，， 表明对任何正整数n，都有的说法错误； 故④错误； 综上，说法正确的是②； 故答案为：②； （3）解：当时，； 当时，； （4）解： ． 8．（23-24七年级上·福建福州·期中）对于有理数若，则称和关于的“友谊数”为，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为_________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求的值； (3)若和关于1的“友谊数”为和关于2的“友谊数”为和关于3的“友谊数”为和关于101的“友谊数”为； ①的最大值为_________； ②的最小值为_________． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①3；②5050 【分析】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 9．（23-24七年级上·福建南平·期中）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作． (1)______，______； (2)若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒6个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)总路程，停在 (3)存在，，，， 【分析】（1）根据非负数的意义分析即可； （2）根据题意，、、三点重合，则只需计算点的位置以及运动时间即可； （3）根据题意分情况讨论，根据情况建立一元一次方程解决问题． 【详解】（1）∵， ∴，， 故答案为；． （2）当点到达点时，动点从原点出发， 到达点需要：（秒）， 此时点的位置为：， 设秒后停止运动， 则，解得， 此时点的位置在：， 即也停在点位置，对应的有理数为， 运动的时间为秒，速度为每秒个单位， ∴运动路程为：， 综上所述，行驶的总路程为，停留在． （3）存在，的值为：，，，， 理由如下：∵（秒）， ∴秒后、后停止运动， ①当、分别位于的两侧时，如图， 此时，表示的数为，表示的数为， ∴，解得； ②当和重合时，即第一次相遇时，如图， 则，解得； ③当点从点返回时，则点表示的数为：， 若此时未到点，则，如图， 则，解得（不合题意，舍去）， ∴此时已经过点，，如图， 则，解得； ④当点、在点右侧重合时，即第二次相遇时，如图， ，解得，此时点、到达点，停止运动，符合题意； 综上所述，的值为：，，，． 【点睛】本题考查了数轴和数轴上点的运动，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意，分类讨论，分类讨论要做到不重不漏． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$