3.1.1&3.1.2椭圆的标准方程与简单几何性质（3知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

3.1.1&3.1.2 椭圆的标准方程与简单几何性质 课程标准 学习目标 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程, 掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质！ （1）掌握椭圆的标准方程; （2）掌握椭圆的简单几何性质； （3）会根据条件求椭圆方程； （4）能够根据椭圆的几何性质求值或证明.（难点) 知识点01 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 【即学即练1】 设定点，，动点P满足条件，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．双曲线 【答案】C 【分析】利用二次函数判断的范围，利用椭圆定义判断即可． 【详解】解：定点，，， 常数，， 所以动点满足条件或，则点的轨迹是线段或椭圆． 故选：C． 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在轴上的椭圆方程为， 焦点在轴上。 【即学即练2】 已知两点，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以为焦点， 长轴长为8的椭圆，进而求解. 【详解】因为，所以， 又是与的等差中项， 所以， 则点P到定点的距离之和为8，（大于）， 所以动点P的轨迹是以为焦点， ，则，， 所以椭圆方程为：， 故选：. 知识点03 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 【即学即练3】 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义求得，取的中点，得到，利用勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆中，，，则，可得， 又由椭圆的定义可得， 取的中点，因为，则， 由勾股定理可得， 所以. 故选：D. 【题型一：椭圆的定义】 例1． 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【分析】由，可得其几何意义为任意一点到点于的距离和为，符合椭圆定义，即可得到答案. 【详解】设， 因为， 所以， 其几何意义为任意一点到点于的距离和为， 又点和之间的距离小于，符合椭圆定义， 所以复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆. 故选：C. 变式1-1．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 变式1-2．已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 【答案】D 【分析】运用圆与圆的位置关系的结论，结合椭圆定义可解. 【详解】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且， 则动圆与圆内切，与圆外切，可得：， 两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆． 故选：D． 变式1-3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 【方法技巧与总结】 1 理解椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 是一大于的定值. 2 注意概念中与两定点距离的大小. 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 【题型二：利用椭圆定义求方程】 例2．已知点，，设点满足，且为函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，点既在椭圆上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值． 【详解】因为， 可知点在以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆上， 即，可得， 所以椭圆的方程为， 又因为为函数图象上的点， 则，解得， 所以． 故选：C. 变式2-1．平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 变式2-2．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程转化为，利用椭圆定义法求标准方程. 【详解】已知动点满足方程， 设，且， 则有， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程， 则，， 故所求轨迹方程为, 故选：B. 变式2-3．一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆位置关系分析可得，结合椭圆的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 因为，可知圆与圆内切于点，    显然圆心不能与点重合，设圆的半径为， 由题意可知：，则， 可知点M的轨迹是以为焦点的椭圆（点除外）， 且，可得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 【方法技巧与总结】 利用椭圆定义求方程时，要确定动点的轨迹是否符合椭圆的定义，确定焦点在轴还是轴，确定与值. 【题型三：根据条件求椭圆方程】 例3．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点位置设出椭圆方程，把点的坐标代入椭圆方程求解即可； （2）设出椭圆方程，将两点代入椭圆方程，列式计算即可求解． （3）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）由题知：焦点在轴，且， 设椭圆标准方程为，则， 由椭圆过点知，解得或（舍去）． 所以椭圆的标准方程为． （2）椭圆经过，两点， 设所求椭圆的方程为， 把点、代入得，解得， 所以所求椭圆的方程为． （3）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 变式3-1．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 变式3-2．过点A（3，）且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共焦点写出椭圆方程，代入点A求出椭圆方程. 【详解】解：由题意得： 该椭圆的焦点为，，即 要求椭圆经过点A（3，），将点代入 ，即（舍去）或 故选：A 变式3-3．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； （2）过点，且与椭圆有相同的焦点． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)由给定条件设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得； (2)根据条件求出半焦距c的平方，设出椭圆方程，将点P的坐标代入计算即得. 【详解】(1)依题意，设椭圆方程为，因椭圆经过点和， 于是得，即，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； (2)因所求方程的椭圆与与椭圆有相同的焦点，则其焦点在x轴上，且半焦距c有， 设所求椭圆方程为，而此椭圆过点， 于是得，又，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【方法技巧与总结】 1 根据条件求椭圆方程，一般采取待定系数法求解； 2 在设椭圆标准方程时，要确定焦点在轴还是轴，若不确定则可分类讨论或设为； 3 根据条件求出和的值. 【题型四：椭圆中焦点三角形的周长问题】 例4．设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆定义可知周长为定值4a，从而可得当最小时，最大，再根据椭圆焦点弦最小为通径即可求解． 【详解】由椭圆的定义知 ∴的周长为， ∴当最小时，最大． 当轴，即AB为通径时，最小，此时， ∴的最大值为． 故选：B． 变式4-1．设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及椭圆的通径求出，即可得出椭圆方程. 【详解】如图，    由椭圆定义知， 所以的周长为， 所以， 又最小时，轴，即为椭圆的通径，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为：， 故选：B 变式4-2．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得. 【详解】依题意，设椭圆的方程为，由在上，得， 显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而， 又，于是，，因此，解得， 所以椭圆 的标准方程是. 故选：B 变式4-3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，分别交轴于两点，的周长为6，过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义可得的周长为4a，结合的周长可求出a的值，再根据外角平分线性质求出，由勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意知过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点， 则, 故的周长为， 由于，且O是的中点，O在上，则为的中位线， 则的周长为周长的一半，而的周长为6， 即，则椭圆方程为， 则, 设外角平分线为，又过作外角平分线的垂线与直线交于点， 故，则， 故， 故答案为： 【方法技巧与总结】 1 在椭圆的焦点三角形中，要注意椭圆的定义与解三角形知识点（正弦余弦定理、面积公式）的运用； 2 求周长问题时，把问题转化为线段之和的问题. 【题型五：椭圆中焦点三角形的面积问题】 例5．已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设,表示出的面积，结合向量关系以及垂直关系，求出点，借助椭圆的定义求解即可. 【详解】 结合题意可得：，，设， 则由的面积为，得①， 由，得②． 连接以为直径的圆过，③． 由②③得， 结合①得， ， ，故椭圆的标准方程为， 故选：B． 变式5-1．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及三角形中位线的性质求出、，再由余弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】由题意可得． 如图，因为分别是和的中点，所以， 根据椭圆定义，可得，又因为， 所以， 所以， 故的面积为． 故选：A． 变式5-2．已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义列出，求得，则得为等腰三角形，然后利用等面积法从而求解. 【详解】由可得， 如图，作轴，交轴于点，作，交于点， 设点到轴的距离为，则有，可得，故D正确. 故选：D.    变式5-3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 【答案】/ 【分析】用椭圆的定义和焦点三角形中余弦定理得到的结论为突破口，结合三角形的面积公式解决问题. 【详解】不妨设，，焦距，如图： 由的面积为，得， 由余弦定理，得，则， 所以，即， 所以， 所以，易得，， 所以，所以，， 所以， 所以， 所以，， 所以． 故答案为： 【方法技巧与总结】 1 在椭圆的焦点三角形中，要注意椭圆的定义与解三角形知识点（正弦余弦定理、面积公式）的运用； 2 求面积时，先把所求面积求出，把问题转化为角度或线段问题. 【题型六：求椭圆离心率或离心率的取值范围】 例6．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 变式6-1．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 变式6-2．设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出点坐标，代入中形成齐次方程，解出离心率即可. 【详解】    如图：由题意不妨设在第一象限，知 ， 因为，所以 ， 所以， 则，且，即， 又由，所以，又，即， 结合解得， 代入中，整理得， 即，解得（舍）或. 故选：D. 变式6-3．已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点， 则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则，而，解得. 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 求椭圆的离心率，只需要确定关于三者中两个量间的关系便可； 2 求椭圆的离心率取值范围，只需要确定关于的不等式； 3 注意椭圆的离心率。 【题型七：由椭圆的离心率求参数】 例7．若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆离心率求得，设，表示出的表达式，结合椭圆方程化简，即可得答案. 【详解】由题意知椭圆C：的离心率为， 即， 设，则，又， 故， 又，故， 故选：C 变式7-1．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据离心率求出的关系，根据等腰三角形和椭圆的定义求出答案. 【详解】设椭圆的焦距为，因为离心率为，所以，； 因为为等腰三角形，且在第一象限，所以， 由椭圆的定义可得. 设直线的倾斜角为，则，，； 所以. 故选：B.    变式7-2．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出 【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 , ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是， 故选：C 【方法技巧与总结】 根据椭圆离心率或其取值范围，把它化为的等式或不等式，从而与问题的求解建立对应关系便可. 【题型八：与椭圆几何性质有关的最值范围】 例8．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求蒙日圆的半径，再由可得直径，又利用基本不等式的求得的最大值，进而由面积的最大值为34可得的值. 【详解】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径为，因为， 所以为蒙日圆的直径，所以， 所以， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为， 所以，则. 故选：A. 变式8-1．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 变式8-2．已知点、，动点满足直线、的斜率之积为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先根据条件分析出点的轨迹，然后利用三角换元法求解出的最大值. 【详解】因为，所以， 所以点的轨迹为椭圆去掉左右顶点， 不妨设， 所以 ， 其中，当且仅当时取等号， 所以的最大值为， 故答案为：. 变式8-3．已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】最大当且仅当最大，即最小，再利用余弦定理结合椭圆的定义求解作答. 【详解】因为为的内切圆圆心，则， 显然是锐角，当且仅当最大时，最大，且最大， 又，即有最小， 在椭圆中，， 在中， ，当且仅当时取等号， 因此当，即为正三角形时，取得最大值，取最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正余弦定理，椭圆定义． 变式8-4．已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是 ． 【答案】/0.1875 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合椭圆的定义得，再利用均值不等式求解作答. 【详解】设，依题意，，，由， 得，即， ， 椭圆中，， 在中，由余弦定理得， 即有， 则， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 【方法技巧与总结】 求解椭圆的最值问题，主要是代数法和几何法； 几何法，需要观察题中涉及的图象，根据所学的几何模型（将军饮马、点与圆上点的最值、垂线段最短等）进行求解； 代数法，可引入参数表示所求最值的量，把问题转化为函数最值问题，此时要注意参数的取值范围. 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 【答案】B 【分析】易得点在圆内，则圆内切与圆，再根据椭圆的定义即可得解. 【详解】因为，所以点在圆内， 所以圆内切与圆， 由两圆内切的关系可知，， 从而， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：B. 2.已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 3.与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 4.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 结合椭圆定义，有，即可得各边长与的关系，得到，结合即可求解. 【详解】设，则，所以， 因为，即，故， 所以， 所以，故，即， 所以. 故选：B. 5.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 6.设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合椭圆定义可求出，再由通径定义可得，进而求出，再由结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以由椭圆定义得， 又由椭圆通径定义可知，所以，即， 所以. 故选：A. 7. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，从而利用两点距离公式与二次函数的性质即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 则两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径， 设，则，故，， 所以圆心到椭圆的最大距离 ， 因为开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减，故，则， 所以两点间的最大距离是． 故选：B． 8. 已知，则的最大值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可． 【详解】如图所示， 不妨设，，，，，满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ，，，所以该椭圆方程为， 而，即， 即，这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当，，三点共线， 故只需求的最大值即可，因为点在椭圆上面运动， 所以不妨设， 则， 所以当，且，，三点共线时， 有最大值，． 故选：C． 【点睛】关键点点睛，本题的关键是转化化归数学思想的灵活应用，比如，转化为动点的轨迹为椭圆，然后再利用转化为，三点共线时取最值.最后一个关键点转化，就是求最大值时，转化为了三角换元，从而求得最值. 二、多选题 9． 若焦点在轴的椭圆两个顶点之间的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的性质分类讨论计算即可. 【详解】由题且， 若左右顶点距离为4，则， 若上下顶点距离为4，则， 若上顶点与右顶点距离为4，则， 结合选项代入可知ABD正确，C错误． 故选：ABD 10. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对A项, 根据椭圆的定义,即可判断; 对B项, 设出点 的坐标，根据两点间距离公式和椭圆的定义, 即可求出点;对C项,表示出,据椭圆的范围即可得到范围，进而判断; 由椭圆的定义可得, ,,求出的范围,即可判断. 【详解】 由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点 ,根据两点间距离公式和椭圆的定义得, 即,解得或,故B正确; 对C项, 设点 ,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得,所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且,所以的取值范围为,故D正确. 故选:BCD. 三、填空题 12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据已知条件结合椭圆定义求出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】设，，根据椭圆定义得 ， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为. 故答案为： 13.椭圆上有两点分别为椭圆的左､右焦点，是以为中心的正三角形，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据正三角形几何关系可以确定，再根据重心定理可将三角形各边用表示出来，利用几何关系求出椭圆c值即可求出答案. 【详解】设边与轴交于点，且是以为中心的正三角形， 则，且为的重心， 由重心定理可得，，则， 在Rt中，，则， 所以，由椭圆的定义可得， ，即 化简可得，则． 所以的周长为． 故答案为：18-6. 14. 已知椭圆短轴长为4，焦距为，分别是椭圆的左、右焦点，若点为 上的任意一点，的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义，，则，利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 15．已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． 【答案】 【分析】作图分析，由中垂线性质可得，即有点M到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义求解即可得. 【详解】，，的中垂线交于点E． 则有，， 所以E点在以，为焦点的椭圆上， 设该椭圆的方程为（），半焦距为， 由，得，由，得， 所以． 故点E的轨迹方程为． 16．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程，代入两点，列出方程组，求解即得； （2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得. 【详解】（1）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （2）椭圆，即，故， 则焦点为，， 依题意，设所求椭圆的标准方程， 则有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 17. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值. 【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 18.已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 . (1)求椭圆的方程； (2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义可得解； （2）设点，结合向量线性运算及模长公式化简可得证. 【详解】（1） 由已知，则，即， 又的周长为， 则，， 则， 即椭圆方程为：； （2）由（1）可知，， 设， 则，，， ， 又， 即， 即， 所以无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 19．在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在直线上取点，使得，，.（，且）证明：当直线运动过程中，点在某定直线上，并求出该定直线方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据可得是的重心，取点，并设，，由几何关系得，满足椭圆定义，按椭圆定义求方程即可. （2）设出的坐标，根据题意，，（，且），代入坐标并整理可得，，再由点，在椭圆上，得到，，由并结合③④可得定直线方程为 。 【详解】（1），是的重心， 取点，， 不妨设，，则，，且 ， 所以点是以，为焦点的椭圆（除去长轴端点）， 设椭圆的方程是，则，， 于是，即，从而， 点的轨迹方程为. （2）设，，，，（，且）， 于是，， ，， 从而，， 又点，在椭圆上，即， ， 由并结合③④可得 ， 即点总在定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1&3.1.2 椭圆的标准方程与简单几何性质 课程标准 学习目标 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程, 掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质！ （1）掌握椭圆的标准方程; （2）掌握椭圆的简单几何性质； （3）会根据条件求椭圆方程； （4）能够根据椭圆的几何性质求值或证明.（难点) 知识点01 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 【即学即练1】 设定点，，动点P满足条件，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．双曲线 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在轴上的椭圆方程为， 焦点在轴上。 【即学即练2】 已知两点，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 知识点03 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 【即学即练3】 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【题型一：椭圆的定义】 例1． 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 变式1-1．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 变式1-2．已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆 变式1-3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【方法技巧与总结】 1 理解椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 是一大于的定值. 2 注意概念中与两定点距离的大小. 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 【题型二：利用椭圆定义求方程】 例2．已知点，，设点满足，且为函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用椭圆定义求方程时，要确定动点的轨迹是否符合椭圆的定义，确定焦点在轴还是轴，确定与值. 【题型三：根据条件求椭圆方程】 例3．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 变式3-1．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．过点A（3，）且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点； （2）过点，且与椭圆有相同的焦点． 【方法技巧与总结】 1 根据条件求椭圆方程，一般采取待定系数法求解； 2 在设椭圆标准方程时，要确定焦点在轴还是轴，若不确定则可分类讨论或设为； 3 根据条件求出和的值. 【题型四：椭圆中焦点三角形的周长问题】 例4．设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 变式4-1．设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆 的标准方程是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，分别交轴于两点，的周长为6，过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 . 【方法技巧与总结】 1 在椭圆的焦点三角形中，要注意椭圆的定义与解三角形知识点（正弦余弦定理、面积公式）的运用； 2 求周长问题时，把问题转化为线段之和的问题. 【题型五：椭圆中焦点三角形的面积问题】 例5．已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D． 变式5-3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的延长线交椭圆C于点Q，且，的面积为，记与的面积分别为，，则 ． 【方法技巧与总结】 1 在椭圆的焦点三角形中，要注意椭圆的定义与解三角形知识点（正弦余弦定理、面积公式）的运用； 2 求面积时，先把所求面积求出，把问题转化为角度或线段问题. 【题型六：求椭圆离心率或离心率的取值范围】 例6．点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 求椭圆的离心率，只需要确定关于三者中两个量间的关系便可； 2 求椭圆的离心率取值范围，只需要确定关于的不等式； 3 注意椭圆的离心率。 【题型七：由椭圆的离心率求参数】 例7．若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 根据椭圆离心率或其取值范围，把它化为的等式或不等式，从而与问题的求解建立对应关系便可. 【题型八：与椭圆几何性质有关的最值范围】 例8．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知点、，动点满足直线、的斜率之积为，则的最大值为 ． 变式8-3．已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为 . 变式8-4．已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是 ． 【方法技巧与总结】 求解椭圆的最值问题，主要是代数法和几何法； 几何法，需要观察题中涉及的图象，根据所学的几何模型（将军饮马、点与圆上点的最值、垂线段最短等）进行求解； 代数法，可引入参数表示所求最值的量，把问题转化为函数最值问题，此时要注意参数的取值范围. 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 2.已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3.与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 4.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6.设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7. 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（    ） A． B． C． D． 8. 已知，则的最大值为（    ） A． B．4 C．6 D． 二、多选题 9． 若焦点在轴的椭圆两个顶点之间的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 10. 设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题 12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 . 13.椭圆上有两点分别为椭圆的左､右焦点，是以为中心的正三角形，则的周长为 ． 14. 已知椭圆短轴长为4，焦距为，分别是椭圆的左、右焦点，若点为 上的任意一点，的最小值为 . 四、解答题 15．已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． 16．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 17. 已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 18.已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 . (1)求椭圆的方程； (2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数. 19．在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在直线上取点，使得，，.（，且）证明：当直线运动过程中，点在某定直线上，并求出该定直线方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$