第4章 三角形-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学课本梳理精讲（大庆市专版）

第四章 三角形 S 第四章 三角形 ...... 第14讲 线段、角、相交线与平行线 《考点梳理·夯基础> 答案P75 考点 线段与直线 2.角的分类 1.直线、射线、线段的关系 分类 图形 直线 射线 线段 锐角 A B m 0<a<90 A m 图示 B 回回回 1 表选 && ② 或 射线AB 直角 ③ a=90 7 B 钝角 90<a<180 表转黑般 D 10 不能 平角 a=180。 双向 无 I 方向 ### 周角 a=360 经过两点有 2 两点之间的 基本 所有连线中, 3.角中度、分、秒的换算 事实 条直线,并且 14 只有3 角的度、分、秒是60进制,即1*}=2 1'=27 最短 "34.5。=28 条直线 2 ③ 112.27*=30 2 2. 两点之间的距离:连接两点间的线段的长度 4.余角和补角 3.线段的和与差及大小比较 a与B关系 关系式 性质 二者关系 图形 (点C是线段AB延长线上一点) 同角(或等 AC=B +BC:AB=16 a+/B= 互余 角)的余角 等量关系 同角(或 17 ;BC= -AB 3 等角)的 大小关系 AB AC:BC 补角比余 同角(或等 角大国 4.线段的中点:如图,点B在线段AC上,且AB= a+B= 互补 3 角)的补角 BC.则点B叫做线段AC的中点,即AB=BC= 3 21 5.角平分线 点量角器的使用 (1)定理:角平分线上的点到这个角两边的 2 ,如图,PE=PF. 量角器的中心0和角的顶点重合,量角器的( (2)逆定理:在一个角的内部,到这个角的两边 刻度线和角的一条边重合,做到两重合后看角的另 相等的点在这个角的角平分线上 一条边对应的刻度线的度数 (3)图示: 考点角及角平分线 1.概念:角由② 具有公共端点的③ 组成,角也可看作由24 绕着它的端点 25 而形成的图形. 见图标号抖高/微信 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 27 数学·精讲本 考点相交线 (3)图示: 1.三线八角 # 考点 平行线 1.平行公理及推论 乙1与3 ;乙2与0 公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线 25与 ;26与 对顶角 平行 对顶角超 推论 若a/b,b/c.则a/c 乙1与/2、4;乙2与/1.4 邻补角 2.平行线的性质与判定 25与 ;乙8与 乙1与47 ;2与 (2)内错角相等 同位角 .判定 /3与 ;24与0 两直线平行 (3)同旁内角互补 内错角 乙3与 ;4与 判定 两直线平行. 同旁内角 乙3与阿 ;74与4 点 命题与反证法 2.垂线 (1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与 1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题 已知直线垂直(基本事实). 2.真命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段 的命题叫做真命题 3.假命题:如果题设成立时,不能保证结论一定成 中,垂线段最短 (3)点到直线的距离:直线外一点到这条直线的 立,这样的命题叫做假命题 4.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的题设 垂线段的长度 3.线段垂直平分线 和结论恰好是另一个命题的结论和题设,那么这 两个命题是互逆命题,原命题成立,其逆命题不 (1)定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段 一定成立. 两个端点的距离55 __,如图,AP= 56 5.反证法;首先假设原命题不成立,然后推理出明 (2)逆定理:到线段两个端点距离相等的点在这 显矛盾的结果,从而下结论说假设不成立,原命 题得证. 条线段的垂直平分线上 答案P75 实战演练·品方法> (株洲)如图,点0在一块直角三角板ABC上 例2(湘潭)如图,一束光沿CD方向,先后经过平 (其中/ABC=30).0V1AB于点M.ON1BC 面镜OB,0A反射后,沿EF方向射出,已知/AOB 于点N.若OM=ON,则乙ABO=_ 度. =120*$_ CDB=20*,则乙AEF=_ 例2题图 例1题图 温馨提示 请完成《精练本1》P67-69 28 见此图号抖音微信码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 第四章 三角形 S 第15讲 一般三角形及其性质 《考点梳理·夯基础> 答案P75 考点 三角形及其边、角关系 2.高线:如图,从△ABC的顶点A向它所对的边BC 1.三角形的分类 所在直线画垂线,垂足为D.所得线段AD叫做 (1)按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三 △ABC的边BC上的高. 角形. 性质:AD1同 .即 ADB= ADC=90 (2)按边分类 三,三边都不相等的三角形 角等腰 [底边和腰不相等的等腰三角形 形 三角形等边三角形 -柘展延 2.三角形的边、角关系 垂心:三角形三条高所在直线的交点, (1)三边关系:三角形任意两边之和 3.角平分线:如图,画乙BAC的平分线AD,交 第三边,任意两边之差② 第三边 之BAC所对的边BC于点D.所得线段AD叫做 拓展延神 △ABC的角平分线. 若一个三角形的三边长分别为a,b,c,则a -b<c<a+b. 性质:21=9 (2)角的关系:三角形内角和定理:三角形三个 内角的和等于③ 推论:①三角形的外角④ 与它不相 邻的两个内角的和; -柘屏延 ②三角形的任意一个外角 任何 内心:三角形三条角平分线的交点,也是三 一个与它不相邻的内角 角形内切圆的圆心,该点到三角形三边的距离 (3)边角关系:同一个三角形中,等边对等角,等 相等. 角对等边,大边对大角,大角对大边 3.三角形具有稳定性 4.中位线:如图,在△ABC中,D.E分别是AB.AC 考点三角形中的重要线段 的中点,连接DE,所得线段DE叫做△ABC的中 位线. 1. 中线:如图,连接△ABC的顶点A和它所对的边 三角形的中位线定理:三角形的中位线10 BC的中点D.所得线段AD叫做△ABC的边BC 于三角形的第三边,并且等于II 上的中线. 性质:BD=回 =7 ## BC. _## 拓展延伸 一提点拨 中线将三角形分成面积相等的两个小三角 若三角形三个顶点到某条直线的距离都相 形,即So=Saco= 等,则该直线是这个三角形的中位线所在的 直线. 2重心:三角形三条中线的交点,该点到三角形 顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍. 见图标号抖高/微信 2 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 数学·精讲本 答案P75 《实战演练·品方法> 例2 (宁落)如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的 (哈杂滨)在△ABC中,AD为边BC上的高; 中点,E为BD上一点,F为CE的中点,若AE= ABC=30*, CAD=20*,则 BAC是$ 度 AD.DF=2.则BD的长为 ( A.2/2 B.3 C.2/3 D.4 温馨提示 请完成《精练本1》P70-72 例1题图 第16讲 特殊三角形 <考点梳理·夯基础> 答案P75 考点等腰三角形的性质与判定 考点③直角三角形的性质与判定 图形 图形 图① 1.两腰相等,两个口 相等,即AB=AC. 图② /B=乙C(等边对等角). 1. 直角三角形的两个锐角之和等于90{},即/A+ 2.顶角的平分线、底边上的② 、底边上 乙B=90. 性质 的高互相重合(三线合一). 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的④ 3.是轴对称图形,有1条对称轴(不含等边三角形). 4.两腰上的高相等,两腰上的中线相等,两底角 _,即CD=- 的平分线相等 性质 3.直角三角形中30*角所对的直角边等于斜边的 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形 一半,即BC=AB(如图②). 判定 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形 4.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别 面积 s-BC·AD 为a.b,斜边长为c那么a^{}+=c{} 考点2等边三角形的性质与判定 1.有一个角为90的三角形是直角三角形 2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 判定 3.勾股定理的逆定理;如果三角形的三边长a.b. 图形 c满足a^2+^{}=c^*,那么这个三角形是直角三 角形 面积 1.具有等腰三角形的所有性质 s=-a-ch(如图②) 2.三边相等,即AB=AC=BC. 3.三个角相等,且每个角都等于60,即乙BAC= 性质 柘展延> B=/C=60。 射影定理:如图,在Rt△ABC中,乙ABC= 4.是轴对称图形,有3条对称轴 90°.BD1AC,则: 1.三边都③ 的三角形是等边三角形. (1)BD}=AD·CD; 判定 2.三个角都相等的三角形是等边三角形 (2)AB}-AD·AC; 3.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 (3)BC*=CD·CA: 面积 (4)AB·BC=AC·BD 30 见此图号抖音微信码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 第四章 三角形 2 考点④等腰直角三角形的性质与判定 展延 含30{}角的直角三角形的三边之比为5 图形 ②等腰直角三角形的三边之比为6 ③顶角为120的等腰三角形的三边之比为7 1.具有直角三角形的所有性质. 性质 2.两个锐角相等且都等于45*,即乙A=/C=45 ,面积为 3.两直角边相等,即AB=BC ×腰长}. 1.顶角为90*的等腰三角形是等腰直角三角形 判定 2.有两个角为45*的三角形是等腰直角三角形 3.两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 4.有一个角为45*的直角三角形是等腰直角三角形 答案P75 <重难研析·理要点> 特殊三角形的几何变换 4巩固调练链接至《精练本1》P129T5>> 典例 (河南)如图.在Rt△ABC中,乙ACB=90*$AC=BC= D思维导引 2./②,点D为AB的中点,点P在AC上,且CP=1.将CP绕点 (1)结合等腰直角三角形的性质,可知AD = 2.连接CD,则CD1AB,且CD= C在平面内旋转,点P的对应点为点0.连接A0.D0.当 2; AD0=90“时,A0的长为_. (2)结合乙AD0=90*及旋转的性质,可以 确定点0在直线CD上,且C0= 1; (3)当点0在点C的左侧时,D0=C0+ CD= 3 ;当点0在点C的右侧时,D0 =CD-c0=1; (4)利用勾股定理,求得A0的长 跟踪训练 (德阳)如图,直角三角形ABC纸片中,乙ACB=90*,点D是AB边上的中点,连接CD,将△ACD沿CD 折叠,点A落在点E处,此时恰好有CE1AB.若CB=1,则CE=_. .温馨提示 请完成《精练本1》P73-78 见l图号扫高/信 对话中考复习助王 考点攻克提分无忧 31 数学·精讲本 微专题2 角平分线的常考模型 [答案P75] 模型二 过角平分线上的点向角两边作垂线 模型(三 平行线构造等腰三角形 模型 过角平分线上一点,作角两边的垂线,得线段相 模型 过角平分线上一点,作与角的一边平行的直线, 分析 分析 等和三角形全等,进而求线段长或面积 构造等腰三角形 图示 图示 条件:如图,0P是乙MOV的平分线,PA1OM 条件及 条件及 条件:如图.0P是乙MON的平分线.PO/ON 结论 PB1OV. 结论:△00P为等腰三角形,00=0P 结论 结论:PA=PB.△APO△BP0 对应练 对应练 3.如图,等边△ABC的边长为6,乙ABC。乙ACB的 1.如图,点P是乙A0C的平分线上一点,PD10A. 平分线交于点D.过点D作EF//BC,交AB,AC 垂足为点D.且PD=3.点M是射线0C上一动 于点E,F,则EF的长为 点,则PM的最小值为 3题图 模型四 1题图 垂线构造等腰三角形、全等三角形 模型 截取线段构造对称全等 模型 过角平分线上一点,作角平分线的垂线,构造两 分析 个全等的直角三角形和等腰三角形 模型 在角一边上截取与角另一边上相等的线段,构 分析 造全等三角形,利用对称性转换线段或角 图示 图示 条件及 条件:如图,0P是乙MON的平分线,AB10P 结论:Rt△AOPRt△BOP,△AOB为等腰三 条件:如图,0P是乙MON的平分线,在ON上 结论 条件及 角形 结论 截取0B=0A,连接PB. 结论:PA=PB,△APO △BP 封应练 对应 4.如图,在四边形ABCD中.AB//DC.过点C作CE 1BC.交AD于点E,连接BE,乙BEC=乙DEC. 2.如图,在△ABC中,BD平分乙ABC,以点B为圆 若AB=6,则CD= 心,AB长为半径画张,交BC于点E,连接DE,已 , 知乙A=70*,则乙CED的度数为 A B 4题图 2题图 .温馨提示 请完成《精练本1》P74-75 32 见此图号抖音微信码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 第四章 三角形 S22 微专题3 特殊三角形中的分类讨论 [答案P75] 类型 等腰三角形中的分类讨论 ·4.如图,在△ABC中.AB=BC=3. ABC=120$*$,点$ 考法一 关于等腰三角形的角的讨论 E是AB边上一个动点(不与端点重合),ED1 方法指 AC于点D.将AADE沿DE折叠,点A的对应点 已知等腰三角形的一个角为a,求顶角或 为F,连接BF.当△BCF为等腰三角形时,则AE 底角的度数时,分以下三种情况讨论; 的长为 (1)若q为钝角,则x为顶角,底角的度数为 (2)若x为直角,则a为顶角,且该三角形为等 4题图 腰直角三角形,底角为45*}; 型 (3)若x为锐角,则需分两种情况讨论:第一种 )直角三角形中的分类讨论 当a为顶角时,底角的度数为(180”-a); 考法一 关于直角三角形的边的讨论 方法指草 当a为底角时,顶角的度数为180{-2a 如图,a,b是直角三角形的两边长,则第三 封应练 边的长可能有以下两种情况; 1.(云南)已知△ABC是等腰三角形,若/A=40* 则△ABC的顶角度数是 2.等腰三角形ABC中,BD1AC,垂足为D.且BD= - ①为直角边长 ②为斜边长 2 一AC.则等腰三角形ABC底角的度数为 对应副练 5.等腰直角三角形的一边长为2,则它的周长为 考法二。 关于等腰三角形的边的讨论 方法指导___ 已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠ 考法二 关于直角三角形的直角顶点的讨论 b),求周长C时,需分两种情况讨论: 方法指导 (1)若a为腰长时,且2a>b,则周长C=2a+b; 如图①,已知点A,B和直线1,在1上找一 (2)若a为底边时,且2b>a,则周长C=2b+a. 点C,使△ABC为直角三角形,分以下三种情 注意:无论哪种情况,都要注意等腰三角形的三 况: 边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个 (1)当点A为直角顶点时,作AC.1AB,交直线/ 角必须满足“三角形的内角和等于180*”. 于点C,如图②,点C.即为所求; 对调 (2)当点B为直角项点时,作BC。上AB,交直线 3.如图,在由边长为1的小正方形组成的5x5的 1于点C.,如图②,点C,即为所求; 网格中,点A.B在小正方形的顶点上,要在小正 (3)当点C为直角项点时,找AB的中点0.以 方形的顶点确定一点C.连接AC.BC.使入ABC 点0为圆心,A0长为半径作⊙0,交直线/ 是等腰三角形,则网格中满足条件的点C的个数 于点C..C.如图②,则点C..C. 即为所求 是 过红 0 ) .B ,乙:. 过来 3题图 图① 图② A.5 B.6 C.7 D.8 见图号拟高/微信 对话中考复习助王考点攻克提分无忧 # 数学·精讲本 对应训 7.如图,在等边三角形ABC中,BC=3+1.点D.E 6.如图,已知点A(-1.0),B(1.2),在坐标轴上确 分别在边AB.BC上,沿DE折叠△DBE,得到 定点P.使得△ABP为直角三角形 ADB'E,且点B'落在边AC上.若△B'EC为直角 (1)若点P在x轴上,则满足条件的点P的坐标 三角形,则BE的长为 为__ (2)若点P在v轴上,则满足条件的点P的坐标 为 7题图 .温馨提示 6题图 请完成《精练本1》P75 微专题4 中点常考模型 [答案P75] 模型 中点构造中位线 {#_# 模型 三角形一边上有中点,考虑作平行线构造中位 分析一 线,利用中位线的性质解决问题 1题图 2题图 过点D作 图示 DE/BC* 2.在△ABC中,点D是BC的中点,/A=2乙BED C B C $ B=9 3.AC-AE=3 3,则BE= & 横型二 模型 三角形两边上都有中点,考虑连接两中点构造 垂线过中点构造中垂线 分析二 中位线,利用中位线的性质解决问题 模型 遇到三角形一边的垂线过该边的中点时,考虑 分析 用垂直平分线的性质解决问题 连接DE 连接CE 0 图示 图示 连接BC 结论 C ①EB=EC;②BD=CD:③ BED= CED 时应训 ①D= 结论 3.如图,在Rt△ABC,C=90*,点D是AC边上的 ③△ADE△ABC 一点,DE垂直平分AB,垂足为点E,若AC=4. 对应 BC-3.则线段DE的长度为 1.如图,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以 ## BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连 接DF.点M.N分别是DC.DF的中点,连接MN. 若AB=7.BE=5.则MV= 3题图 34 见此图标号抖音/微信码 对话中考复习四手 考点攻克 提分无忧 三角形 第四章 2 模型三 等腰三角形构造“三线合一” 模型五 倍长中线构造法 等腰三角形中遇到底边上的中点时,考虑作底 模型 模型 利用倍长中线构造中位线,利用中位线的性质 边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质 分析一 分析 解决问题 解决问题 连接AD 图示 图示 _ AD是△ABC的中线 结论 $①7 BAD= CAD:②BD=CD ①AB=AE:②AD/EC:③AD- 结论 ③AD1BC ,EC 刻应练 模型 利用倍长中线构造全等三角形,利用全等三角 4. 在△ABCP$AB=AC BAC=1 0*}.BC=23$ 分析二 形的性质解决问题 D为BC的中点,AE=-AB,则△EBD的面积为 _ ## 圈示 4题图 AD是△ABC的中线 B.33 A.33 C3 D.3 结论 △ADC△EDB △CFD△BED 模型直角三角形构造斜边上的中线 对应训练 直角三角形中遇到斜边上的中点时,考虑作斜 6. 如图,在△ABC中. ACB=60*},AC=1.D是 模型 边上的中线,利用直角三角形斜边的中线的性 AB的中点,E是边BC上一点:若DE平分△ABC 分析 质解决问题;由直角+斜边的中点,还可得出 的周长,则DE的长为 ### 等腰三角形 连接AD 图示 6题图 2BC; ①AD=BD=CD= 7.如图,在△ABC中,AD为中线,E在AC边上,AE 结论 =AB$AD=CE.若 BAD=60*$AB=3.则线段$$$$ ②△ADC和△ADB均为等腰三角形 BC的长度为 对应 5. 如图,在△ABC中,AB=AC.AD1BC于点D.作 DE1AC于点E.F是AB的中点,连接EF交AD于 7题图 点P.若AB=4.AE=3,则AP的长等于 .温馨提示 请完成《精练本1》P76 5题图 对话中考复习助王 考点攻克提分无忧 见图号扫高/信 35 数学·精讲本 第17讲 全等三角形 答案P75 考点梳理·夯基础 考点全等三角形的性质与判定 续表 判定方法 图形 1.定义:能够1 的两个三角形叫做全等三 几何语言 角形. 两角分别相等且其 #### 2.性质 IC=2F. 中一组等角的对边 相等的两个三角形 {CA=2D. (1)全等三角形的对应边② ,全等三角 AB=DE, 形的对应角相等 全等,简写为回 . △ABC△DEF (2)全等三角形的周长3 、面积④ 斜边和一条直角边 ### [AB=DE. 对应相等的两个直 (3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中 fAC-DF. 角三角形全等,简 位线都5 .Rt△ABC 写为0 R:△DEF 3.判定方法 提分点拨 判定方法 图形 几何语言 “AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等. AB=DE. #### 三边分别相等的两 2“HL”是判定两个直角三角形全等的特有方 : BC=EF, 个三角形全等,简 法,对于一般三角形不适用。 AC=DF. 写为回 .. △ABC△DEF 4.证明两个三角形全等的思路 AB=DE, 两边及其夹角分别 ,找夹角→SAS #### (1)已知两边 乙B=乙E. 相等的两个三角形 {找直角→HL. LBC=FF. 全等,简写为回 I找第三边→sss . △ABC△DEF .边为角的对边→找另一角→AAS 已知一边 (2) (A= D. 两角及其夹边分别 边为角 找夹角的另一边→SAS #### 和一角 相等的两个三角形 的邻边 找夹边的另一角→ASA IB=乙E. 全等,简写为B (找边的对角→AAS .△ABC△DEF (3)已知两角 [找夹边→ASA 1找其中一角的对边→AAS 《实战演练·品方法》 答案P75 如图,在矩形ABCD中.AB=8cm.AD=12cm. 如图,在△ABC中,AB=AC=16cm, B= 点P从点B出发,以2cm/s的速度沿BC边向点 C.BC=10cm,点D为AB的中点,如果点P在 线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动 C运动,到达点C停止,同时,点0从点C出发. 同时,点0在线段CA上由C点向A点运动.当 以vcm/s的速度沿CD边向点D运动.到达点D ABPD与△C0P全等时,点0的运动速度可能 为 停止,规定其中一个动点停止运动时,另一个动 em/s. 点也随之停止运动,当v为 时,△ABP 与△PC0全等 例2题图 温馨提示 例1题图 请完成《精练本1》P79-84 36 见此图标号抖音/微信码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧参考答案与解析 2 第12讲二次函数的图象与性质 【实战演练·品方法】 【考点梳理·夯基础】 例1D例280或40 ☒4r- 圆减小④增大固小 ☑4r-b 第16讲 特殊三角形 4a 4a 【考点梳理·夯基础】 ☑大图4ac- 回左西右回>四=区< ①底角回中线☒相等④一半 固1：3：2 01:1:w271:1:w3 【重难研析·理要点】 【重难研析·理要点】 典例B 跟踪训练 典例5或/13 C[解析]：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，.a 跟踪训练 <0,c>0.抛物线与x轴交于，点A(-3,0)和点 微专题2角平分线的常考模型 B(1,0)心抛物线对称轴为直线x=-3+L =-1,故② 1.32.110°3.44.3 2 微专题3特殊三角形中的分类讨论 正确：一2 =-1,∴.b=2a<0,.abc>0,故①错误：由1.40或100°2.15°或45°或75°3.B 函数图象可知，当-3<x<0时，抛物线的函数图象在 4.3-3或2[解析]由题意，可知，点F在AC边上，分以下 x轴上方，：当-3<x<0时，x+br+c>0,故③正确： 三种情况进行讨论.①当CB=CF时，如答图①，过点F :抛物线对称轴为直线x=-1且开口向下，当x>-1 作FM⊥AB于点M.AB=BC=3,∠ABC=120°，∴∠A 时，y随x的增大而减小，即当x>1时，y随x的增大而减 =∠C=30°.·CF=CB,..∠CFB=∠CBF=75 小，故④错误：抛物线对称轴为直线x=-1且开口向 .∠EBF=120°-750=45°.设AE=x,则EF=x.易得 下，当x=-1时，抛物线有最大值y=a-b+c,am +m+c≤a-b+c,.am+bm≤a-b,故⑤正确.综上所 EF-30F 述，正确的有235，故选C 第13讲二次函数的实际应用 2=3,解得x=3-3,AE=3-5:②当FB=FC时. 【重难研析·理要点 典例解：(1)由题意.得w=(x-30)y=(x-30)(-5x+ 如答图2)，则∠C=∠FBC=30°，∴.∠ABF=90°，.BF 300)=-5x2+450x-9000. 每件T恤的利润不高于成本的80% 3× 3 =5.易知LBEF=60°，EF=AE=BF ∴销售单价不能超过30×(1+80%）=54（元）， 600s13 2 即w=-5x2+450x-9000(30≤x≤54). (2)由(1)，得w=-5x2+450x-9000=-5(x-45)2+ =2;③当BF=BC时，点F与点A重合，不合题意.综上 1125.-5<0,30≤x≤54，∴.当x=45时，w有最大值， 所述，AE的长为3-3或2. 最大值为1125， :当售价定为45元时，每月可获得最大利润，最大利润 为1125元 跟踪训练 4题答图① 4 解：(1)根据题意可知点(5,3.2)为抛物线y=a(x-h)2 5.4+2w2或2+22 +k的顶点， 6.(1)(3.0)或(1,0) ,抛物线的解析式为y=a(x-5)2+3.2. 又·抛物线经过点(0,0.7)， (2)(0,1-2)或(0，-1)或(0,1+2)或(0,3) ∴0.7=a(0-5)2+3.2,解得a=-0.1, 7.3-3或5 “抛物线的解析式为y=-0.1(x-5)2+3.2 微专题4中点常考模型 (2)当y=1.6时，1.6=-0.1(x-5)2+3.2, 解得x1=1,x=9 1.3 2.75354.B5.656日 7.2/13 2 8 5 2 .3-1=2(m),9-3=6(m) 答：小红与爸爸的水平距离为2m或6m 第17讲全等三角形 第四章三角形 【考点梳理·夯基础】 第14讲线段、角、相交线与平行线 ▣完全重合②相等圆相等④相等固相等 考点梳理·夯基础】 6 SSS7 SAS 8 ASA 9 AAS I0 HL 面直线AB回直线BA图直线m④线段AB 【实战演练·品方法】 固线段BA回线段m⑦0回2回不能0能 四单向2一3一4线段固AB 1G AC7BC 例12或 例22或3.2 国AC西<团<团7AC四两条 ☒射线 微专题5全等三角形的常考模型 1.证明：AB∥DE.,∠B=∠DEF 四一条射线因旋转2860团60西342四30 BE CF,..BE EC CF+EC,BC=EF. 301123☒16212390 3网相等3弱180°3网相等 AB DE. 3团90°8距离相等3划∠340L4回L7巴∠8 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠DEF 国相等国∠3E∠6、∠8⑥∠5、∠747∠5 BC=EF. 相第9西285超6 53∠65M∠5 .△ABC≌△DEF(SAS),.∠A=∠D, 实战演练·品方法】 2.23.80° 例115例240 4.证明：·△ABM和△ACN是等边三角形 第15讲 一般三角形及其性质 ,∴，AB=AM,AV=AC.∠BAM=∠NAC=60 考点梳理·奔基础】 又'，∠BAV=∠BAC+∠NAC.∠CAM=∠BAC+∠BAM 血大于回小于☒180°④等于固大于回CD ∴.∠BAN=∠MAC,在△ABN和△AMC中 rAB =AM. 回2 图BC回∠20平行国第三边的一半 ∠BAN=∠MAC,..△ABN≌△AIMC(SAS),.BN=MC AN =AC. 见业图原合抖音微信码 对话冲考复习助手考点攻克提分无忧◆。5】 忍R 数学·精讲本 5.证明：，AE⊥AD,∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE=90° (32-6) 又∠BAC=∠DAC+∠BAD=90°，∴.∠BAD=∠CAE CAB =AC. 4 35-6,故答案为35-6 在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE. 3 6 LAD =AE. 微专题6相似三角形的常考模型 .△ABD≌△ACE(SAS) 6.证明：，·四边形ABCD是正方形。 1.3 2103A45-1596A768 ∴AB=AD,∠BAF+∠DAE=90 DE⊥AG,,∠DAE+∠ADE=90°，∴.∠ADE=∠BAF 9()AD=CB(2)CE=2AD10.11S= BF∥DE,∠BFA=∠AED=9O°，△ABF≌△DAE, .BF =AE,..AF-BF =AF AE EF. 第19讲锐角三角函数及其应用 7.(1)证明：：∠B+∠BDE+∠BED=180° 【考点梳理·夯基础】 ∠DEF+∠FEC+∠BED=18O°，∠B=∠DEF=60°， 四：回：回公 ④a2+b=c2固∠A+∠B=90 ,,∠BDE=∠CEF r∠B=∠C 回仰角☑俯角固陡 (2)解：在△BDE和△CEF中， BD =CE. 【实战演练·品方法】 L∠BDE=∠CEF 例1C .∴.△BDE≌△CEF(ASA),DE=EF DE=3.∴.EF=3. 例25 [解析]如答图，过点C作CE」 8.89.2 AB于点E,则CE=4,AE=3,AC= 10.证明：如答图，把△ACF绕点A顺 时针旋转90°得到△ABG.连接 1E+CE=5sim∠C4B=华.4 A 例2题答图 EG.由旋转的性质可得△ACF≌G, AC=5· △ABG 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 AF =AG.CF BG. 1.解：选取CD=L.6m,BD=4m,∠ACE=67°，：CD⊥BD ∠ACF=∠ABG=45 B 0题答图 AB⊥BD,CE⊥AB,.∠ABD=∠D=∠BEC=90°，.四边 ∠BAC=90°，∠GAF=90°..∠GAE=∠EAF=450 形BDCE为矩形，∴CE=BD=4,BE=CD=1.6,在 AG=AF. 在△AEG和△AEF中， ∠GAE=∠FAE R△4CE中，tan LACE-5,AE=CE·tanLACE=4 AE=AE. tan67°=4×2.36=9.44.AB=AE+BE=9.44+1.6= ∴.△AEG≌△AEF(SAS),∴.EG=EF 11.04a11.0(m). ∠GBE=90°，.BE+BG=EG,即BE2+CF=EF2 答：建筑物AB的高度约为11.0m 第18讲 相似三角形（含位似） 2.解：过D作DH⊥BC于点H,过E作EG⊥BC于点G.由 【考点梳理·夯基础】 题意得，∠BDM=45°，∠CEG=60°，AE=2I米，DE= 可对应角回成比例③相似比④相似比 司相似比的平方回相等回对应边回相似比 9米.在B△CEG中，CG=AE=21米，tam∠CG= EG 【实战演练·品方法】 例1B m0号=75（米）H=EG=73(米). .EG=- 例2 32-6 [解析]连接AD,如 6 在R1△BDH中，∠BDH=45°，∴BH=DH=73(米)， 答图.将AC绕着点C按瓶时针 BC=CG+HG +BH=CG DE +BH=21+9+73= 旋转60°得到CD,AC=CD, (30+73)米 ∴.△ACD是等边三角形，.AC=AD =CD,∠ADC=∠CAD=60°，设AC 答：大楼BC的高度是(30+73)米 =AD=CD=a,剥AB=AC=a,取 例2题答图 3.解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意 AC的中点Ⅱ，连接DH,AH=CI= 24c= 可知，AB=3x,在Rt△AD0中，∠AD0=30°，AD=4000 2a,∠AHD ,.A0=2000.∴.D0=20003.,CD=460.,.0C=0D- =90,DH=5 .设AE=x,则EH=AH-AE=2a-￥ CD=20003-460,在R△B0C中，∠BC0=45°，∴B0= :∠BAC=90°，∠BAE=∠DHE.∠AEB=∠HED, 0C.0B=0A+AB=2000+3x,2000+3x=20005 -460,解得x=335. △ABn△ED能-品 2-t,解得r -=4 答：火箭从A到B处的平均速度约为335米/秒， 2 4.解：过点B作BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F:CD⊥ AD,四边形BEDF是矩形，∴.FD=BE,FB=DE,在 =(2-5)a,即AE=(2-5)a,.EH=AH-AE=20 Rt△ABE中，BE:AE=1:2.4=5:12,设BE=5x,AE=12x, -X= 0-2-5)a2-3e°e302-5)2 根据勾股定理，得AB=13x,.13x=52,解得x=4,∴BE FD =5x =20,AE 12x =48,..DE FB AD -AE =72 -48=24,..在RL△CBF中，CF=FB·1an∠CBF=24× AE AE (2-5)a 2-5.6-3 4 =32.∴.CD=FD+CFw20+32=52(米). EDED N3(2-3)a2 =N3 答：大楼的高度CD约为52米 24-25 18-25+6 (32)2-2×32x6+(6) 5.解：过Q作QC⊥AP于C,由题意知，QB⊥AB,PA⊥AB 4 ∠PAQ=63.5°，∠ABP=45°，AB=300,∴∠BAP=∠ABQ 3 =90°，∴.AP∥BQ,.四边形ACQB是矩形，.∠AQB= ∠PAQ=63.5°，AC=BQ,CQ=AB=300,在Rt△ABP中， 160 见业图标合抖音微信码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 参考答案与解析 22 ∠ABP=45°，.PA=AB=300,在Rt△ABQ中，tan63.5°= 第24讲 与圆有关的计算 B0-390=150.PC=150.心P0=C0+PC3 【考点梳理·夯基础】 1505335(米). ☐πK 180 （或宁刷 ☒mr2国2mr 固360， 答：医院与大厦的直线距离约有335米 ⑥2☑弧长 第五章四边形 【实战演练·品方法】 第20讲平行四边形与多边形 例1B例2C 【考点梳理·夯基础】 微专题10与圆有关的阴影部分面积的计算 回相等回相等图互补④互相平分固中心 回平行回相等圆平行且相等回相等0互相平分 1, 3π2.A3.C 459-号5号+号6B7 4-2 Π首尾顺次区(n-2)×180°3360° 【实战演练·品方法】 8.2 9.π3 3 10.号1.年-号12m-4 3 例1D例2 910 50 第七章图形的变化 第21讲 特殊的平行四边形 第25讲尺规作图与无刻度直尺作图 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 面直角②互相平分且相等 图直角4用直角 固相等 回适当长 6相等7互相垂直且平分 囫相等回相等而垂直 回大于？MN的长圆∠AOB的内部 山相等2直角3相等国平行四边形固矩形 矩形团菱形B菱形四四边形 国大于之B的长 固直线MN⑥适当长 【重难研析·理要点】 回大于子AB的长图PW长回大于之AB的长为半径 典例2或5-√13 跟踪训练 好 【重难研析·理要点】 典例A 第六章圆 跟踪训练D 第22讲圆的基本性质 第26讲 视图与投影 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 回圆回圆心图半径④直径固优弧石劣弧 回由左向右②实线 图虚线④正方形固长方形 圆心因圆⑨中心对称山圆心山相等应弦 回扇形团三角形 国相等国一半固相等6直角团直径图平分 实战演练·品方法】 回三个顶点①互补 2四180°22∠A 例1B例2C 实战演练·品方法】 第27讲 图形的对称与折叠 例1B例2B 【考点梳理·夯基础】 第23讲 与圆有关的位置关系 团（成轴）对称②对称轴3图轴对称图形4④对称轴 【考点梳理·夯基础】 固垂直平分⑥对称轴☑全等⑧因相等⑨相等 四>回=圆< ④<固=☑> ☑垂直图1 G中心，对称田对称中心2中心对称图形 回垂直0等于 【实战演练·品方法】 【重难研析·理要点】 例1A例29 典例A 微专题11 几何图形的折叠问题 跟踪训练迈 方法指导 微专题8圆中常见辅助线的作法 (2)AD AG FD∠D∠DAG四边形FDAG(3)AE 1.c25352°4号 4).∠4GF 5.证明：(1)连接OB.如答图 12.5攻102号或5 3.1.5或2.5 .OB=OC,.∴.∠OCB=∠OBC AC是⊙0的直径，∴.∠CBA=90°. 4.4-23或25-2 .∠CAB+∠OCB=90°. 第28讲 图形的平移与旋转 ∠CBD=∠CAB 【考点楂理·夯基础】 D ∴.∠CBD+∠OCB=90° 回距离四相等☒相等 ④全等固旋转角度 5题答图 ..∠CBD+∠OBC=90° 回相等团旋转角⑧全等回(x,y±n)0(x,-y) .,∠OBD=90°，，PD是⊙0的切线 【实战演练·品方法】 (2)由(1)知PD是⊙0的切线，直线PA与⊙0相切. 例1D ,P0垂直平分AB.∴.∠AMP=∠AM0=90°. 例290°，180°或270°[解析]如答 .∴.∠APM+∠PAM=90°. 图，连接AC,取BC的中，点E,连接 ,∠0AP=90°，∴.∠PAM+∠OAM=90 AE,则BE=CE=AB.又∠ABE= ∠APM=∠OMM△0AM∽△APMA=W 60°，.△ABE是等边三角形，，AE有 PM=AM· =BE=CE,∴，点A在以点E为圈心 例2题答图 ..AM=OW·PM 的圆上且BC为该圆的直径，，∠BAC=90°（依据：直径 6.52 所对的国周角为0°)，文，·AB∥CD,∴，∠ACD=∠BAC 微专题9辅助圆问题 =90°，AP=AB,,点P在以点A为圈心，AB为半径的 圆上运动.讨论如下： 1.B2.13-23.2+14.3-15.26.24+43 见业图倾合抖音微信码 对证中考复习助手考点攻克提分无忧