第22章 相似形（单元综合双卷检测）数学沪科版九年级上册

第22章相似形章末综合双卷检测 试卷1【中考真题过关卷】 试卷2【章末过关卷】 试卷1【中考真题过关卷】 一、单选题 1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 3．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 5．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 9．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（    ） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 二、填空题 11．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 12．（2023·江苏南通·中考真题）中，，分别是，的中点，连接，则 ． 13．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 14．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    三、解答题 15．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 16．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 17．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 18．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 19．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 20．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 21．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 22．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 23．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 试卷2【章末过关卷】 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点，则其对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．（2024九年级上·浙江·专题练习）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（　　）米． A．24 B．30 C．32 D．40 7．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，点D是边上任意一点，点E、F分别是和的重心，如果，那么线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，分别是，上的点，，，若四边形的面积为5，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．10 10．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ． 12．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么 ． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，于点D，延长至点E，使，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，若，，求的长． 16．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 17．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点， (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)在（2）的条件下， ______．（直接写答案） 18．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 19．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在矩形中，点G在边上，四边形的边经过点A，与交于点H，，．    (1)求证：； (2)如果四边形是矩形，求证：． 20．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知点D、F在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)如果，，求的值． 21．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长． 22．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，，面积为15，点E从点B出发沿折向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形． (1)则菱形的高为 ； (2)若，当过中点时，求的长； (3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？请直接写出答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章相似形章末综合双卷检测 试卷1【中考真题过关卷】 试卷2【章末过关卷】 试卷1【中考真题过关卷】 一、单选题 1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 2．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】A 【分析】根据黄金分割比可进行求解． 【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数； 故选A． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 3．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 5．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 6．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 7．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 9．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（    ） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 【答案】C 【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题 11．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 12．（2023·江苏南通·中考真题）中，，分别是，的中点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，先由三角形中位线定理得到，再证明，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∵， ∴，即， 整理得：， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， 故答案为：2，． 14．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 三、解答题 15．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）如图，为所作． （2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 16．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 17．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 18．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 19．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 20．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 21．（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． （1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可； （2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值． 【详解】（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为． ， ，，， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）解：①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，（舍去）， ， 由①， ， ， 即的长度的最大值为， 故答案为：80． 22．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以； （3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ， ， ∴是等腰三角形， ∴， ∵为中点， ∴设， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 试卷2【章末过关卷】 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点，则其对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标． 【详解】解∶∵在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点， ∴其对应点D的坐标为，即， 故选∶A． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似三角形的对应边相等，对应角相等．根据相似三角形性质求出即可． 【详解】解：，， ， 故选：A 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解： A、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先根据“两边对应成比例且夹角相等”得，再根据相似三角形的对应角相等得，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得，，比较和各角之间的关系得出答案． 【详解】∵，是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 所以A，C，D正确； 在和中，， 可知这两个三角形不相似． 所以B不正确． 故选：B． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 6．（2024九年级上·浙江·专题练习）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（　　）米． A．24 B．30 C．32 D．40 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，由相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米． 故选：C． 7．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：D． 8．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，点D是边上任意一点，点E、F分别是和的重心，如果，那么线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心、相似三角形的判定与性质，连接并延长交于，连接并延长交于，由三角形重心的性质得出，，，，从而得出，证明，由相似三角形的性质可得，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接并延长交于， ∵点E、F分别是和的重心， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，分别是，上的点，，，若四边形的面积为5，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，得到，则，即可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为5， ∴， ∴， 故选：B 10．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查黄金分割点、一元二次方程的应用等知识点，能根据黄金分割点列一元二次方程是解题的关键． 根据黄金分割点列一元二次方程求解，然后根据矩形的性质即可解答． 【详解】 解：∵是的黄金分割点，， ∴，解得：或（舍去）． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了比例尺，根据，即可解答． 【详解】因为比例尺为，且图上距离是， 所以实际距离是． 故答案为：12． 12．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，D、E分别是的中点，与相交于点G，如果，那么 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先过点E作，交于点F，根据相似三角形的性质可得，进而得出，再结合的长求出，然后证明，可得答案． 【详解】过点E作，交于点F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：9． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，于点D，延长至点E，使，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 先根据题意以及勾股定理可得、；设，则，在中运用勾股定理列方程可得，解得：，即，；如图：过E作交于G，即，易证，根据相似三角形的性质可得，再证，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，，即，解得：， ∴，， 如图：过E作交于G，即， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即解得：． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得出比例式代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， 答：的长为． 16．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四边形中，平分，，，点E为的中点， (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)在（2）的条件下， ______．（直接写答案） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得结论； （2）利用相似三角形的性质可得是直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，，进一步推出，得出，再根据相似三角形的性质即可求得答案； （3）根据已知求出，再利用勾股定理求出和，然后根据，利用相似三角形的性质进一步计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 18．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 19．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知在矩形中，点G在边上，四边形的边经过点A，与交于点H，，．    (1)求证：； (2)如果四边形是矩形，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，可得，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可； （2）先证明，再证明，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，． ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知点D、F在边上，点E在边上，且， (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质： （1）利用平行线分线段成比例的推论即可得证； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，位似图形的性质和画位似图形： （1）根据B、C坐标确定坐标轴的位置，画出坐标系，再求出点A坐标即可； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点的坐标，描出，再顺次连接；利用勾股定理求出对应的边长，进而求出周长，再根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）解：坐标系如图所示，则点A的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∵，，， ∴，， ， ∴的周长为， ∵与的相似比为， ∴与的周长比为， ∴的周长为． 22．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 【答案】 【分析】根据题意，得，，继而得到，，列比例式，解答即可． 本题考查了中心投影，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 答：路灯高为． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，，面积为15，点E从点B出发沿折向终点D运动．过点E作点E所在的边（或）的垂线，交菱形其它的边于点F，在的右侧作矩形． (1)则菱形的高为 ； (2)若，当过中点时，求的长； (3)已知，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与相似（包括全等）？请直接写出答案． 【答案】(1)3 (2)长为或 (3)或或或 【分析】（1）根据菱形的面积公式计算，即可； （2）记中点为点O．分点E在上和点E在上两种情况进行求解即可； （3）过点A作于点M，作于点N．分点E在线段上时，点E在线段上时，点E在线段上，点E在线段上，共四钟情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，面积为15， ∴菱形的高为； 故答案为：3； （2）解：记中点为点O， ①如图中，当点在上时，作．则， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点在上时，作． 同理，，，， ∴， 综上所述，长为或； （3）解：过点A作于点M，作于点N．则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当点E在线段上时，．设，则， 若点H在点C的左侧，，即，如图， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． 若点H在点C的右侧，，即，如图， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 此方程无解． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∴． ②当点E在线段上时，，如图，，，． ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 此方程无解． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的根， ∵， ∴不合题意，舍去； ③当点E在线段上时，，如图，过点C作于点J， 在中，，，． ，， ∴， ∴， ∵，， ∴，符合题意， 此时，． ④当点E在线段上时，， ∵， ∴与不相似． 综上所述，s满足的条件为： 或或或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，分类讨论方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$