第09讲 相似三角形的判定与性质-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第08讲 相似三角形的判定与性质 课程标准 学习目标 相似三角形的判定与性质 1.理解相似三角形的判定定理，能灵活使用相似三角形的判定定理来判定两个三角形相似. 2.掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 知识点01 平行线截三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边 ,截得的三角形与原三角形 . 【即学即练1】 已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 知识点02 利用两角对应相等判定三角形相似 两角分别 的两个三角形相似. 【即学即练1】 如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 注意：当已知条件中出现平行线、对顶角、公共角或给出几个角的大小时，一般选用“两组角对应相等的两个三角形相似”进行判定. 知识点03 利用两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似 两边成 且夹角 的两个三角形相似. 【即学即练1】 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 知识点04 利用三边成比例判定三角形相似 三边成 的两个三角形相似. 【即学即练1】 已知：在和中， ．求证：． 知识点05 网格中相似三角形的判定 在网格中判断两个三角形相似时,可以利用网格的特点和 求三角形的边长. 【即学即练1】 如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 知识点06 相似三角形对应线段的比 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应边上的中线的比都等于 . 【即学即练1】 如图，已知，，求的长． 知识点07 相似三角形的周长比与面积比 相似三角形的周长比等于 ,面积比等于相似比的 . 【即学即练1】 如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 题型01 证明两个三角形相似 【典例1】如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 【变式1】如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【变式2】如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【变式3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 题型02 选择或补充条件使两个三角形相似 【典例1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点分别是延长线上的点，请添加一个条件：____________________，使得，并写出证明过程． 【变式2】如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 题型03 利用相似三角形的性质求解 【典例1】如图，是的边上的一点，连接，已知，，， (1)证明； (2)求线段的长． 【变式1】如图所示，在中，点在边上，已知，，，如果在上找一点，使得与相似，求的长．    【变式2】在与中，． (1)求证：． (2)直接写出与的面积比． 【变式3】如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 题型04 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】有一块三角形余料，它的边长，高．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？ 【变式1】如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 【变式2】【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 一、单选题 1．四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中不一定成立的是（   ） A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．两个等腰直角三角形相似 4．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 5．在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知四边形为正方形，点是边上一点，连接，过点作于点，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 9．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 10．图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（    ）．    A． B． C． D． 11．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    12．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 13．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 14．如图，在中，，D、E分别为边上的一点，，，点F为边上一点，添加一个条件使与相似，则添加的一个条件是 ． 15．如图，在直角梯形中，，且，那么下底的长是 ． 16．如图，在中，，点是中点，连接．点是中点，过点作于点，交于点．若，则 ． 17．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 18．如图，点为中边上一点，且，连接，交的中线于，若，则的长为 ． 三、解答题 19．如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 20．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 21．如图，在平行四边形中，过点作 垂足为．连接 为线段上一点，且．求证：．   22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 23．如图，中，M为边的中点，E为上一点，且，连接并延长交的延长线于D，求证：． 24．已知：如图，在中，点D，点E分别是边上的点，和相交于点O，且，连接．若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的判定与性质 课程标准 学习目标 相似三角形的判定与性质 1.理解相似三角形的判定定理，能灵活使用相似三角形的判定定理来判定两个三角形相似. 2.掌握相似三角形的性质定理及其证明方法，包括相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 知识点01 平行线截三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的三角形与原三角形相似. 【即学即练1】 已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 则， ∵， 则， 综上所述，共有6对相似三角形； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 即． 知识点02 利用两角对应相等判定三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似. 【即学即练1】 如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，先由平角的定义和三角形内角和定理证明，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 注意：当已知条件中出现平行线、对顶角、公共角或给出几个角的大小时，一般选用“两组角对应相等的两个三角形相似”进行判定. 知识点03 利用两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【即学即练1】 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 知识点04 利用三边成比例判定三角形相似 三边成比例的两个三角形相似. 【即学即练1】 已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 知识点05 网格中相似三角形的判定 在网格中判断两个三角形相似时,可以利用网格的特点和勾股定理求三角形的边长. 【即学即练1】 如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键．根据勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：，，，，，， ，，， ， ． 知识点06 相似三角形对应线段的比 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应边上的中线的比都等于相似比. 【即学即练1】 如图，已知，，求的长． 【答案】9 【分析】题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是关键．根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 知识点07 相似三角形的周长比与面积比 相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 【即学即练1】 如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 题型01 证明两个三角形相似 【典例1】如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，再由公共角即可判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【变式2】如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 【答案】(1)135 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）先求出，即可解答； （2）先得出，再得出，即可求证； （3）分别求出与的面积，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：135． （2）证明：由（1）同理可得， ∵， ∴， 又∵ ∴； （3）解：∵， ∴． 题型02 选择或补充条件使两个三角形相似 【典例1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ A、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； B、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； C、当时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； D、当时，无法证明两个三角形相似，故符合题意； 故选：D ． 【变式1】如图，点分别是延长线上的点，请添加一个条件：____________________，使得，并写出证明过程． 【答案】 (答案不唯一)；证明见解析 【分析】本题考查了三角形相似，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，得到两个三角形有个对顶角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】 (答案不唯一) 证明：∵点分别是延长线上的点， ∴， 当时， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：； 当时， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：； 当时， ∴根据两直线平行内错角相等可得：， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：． 【变式2】如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解  不一定相似，因为，不是成比例的两边的夹角， 可添加：或或． 题型03 利用相似三角形的性质求解 【典例1】如图，是的边上的一点，连接，已知，，， (1)证明； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定， （1）已知，，根据两组对应角相等的三角形相似证明结论； （2）利用相似三角形对应边成比例先求出的长，再算出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴，解得， ∴． 【变式1】如图所示，在中，点在边上，已知，，，如果在上找一点，使得与相似，求的长．    【答案】或． 【分析】本题考查了相似三角形的性质．由题意知，分，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分，两种情况求解；    当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，； ∴； 综上所述，或． 【变式2】在与中，． (1)求证：． (2)直接写出与的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据三组对应边对应成比例的两个三角形相似，即可得证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴． 【变式3】如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由证明因为得出，再代入数值到，进行计算，即可作答． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，因为，所以，再整理出，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； （2）解：如图：过点D作， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∵， ∴． 题型04 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】有一块三角形余料，它的边长，高．如果把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？ 【答案】矩形零件的两条边长分别为， 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式是解题的关键．由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设，则，易证，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：设矩形的边长，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴这个矩形零件的两条边长分别为，． 【变式1】如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，已知，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）证明，得到，即可证明结论； （2）由可得，即可证明相似； （3）根据相似三角形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ； （2）证明：∵， ， ∵， ， ； （3）解：由（2）得， ， ， ， ， ， ． 【变式2】【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可； （2）证明，即可得证； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴； （3）延长至点，使，连接， ∵为边的中线 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 一、单选题 1．四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项A不符合题意； B.∵，， ∴，故选项B不符合题意； C. ∵，， ∴，故选项C不符合题意； D. 条件，，无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解： A、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； 故选：B． 3．下列命题中不一定成立的是（   ） A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．两个等腰直角三角形相似 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项正确，不符合题意； B. 有一个角是的两个等腰三角形相似，故选项正确，不符合题意； C. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项错误，符合题意； D. 两个等腰直角三角形相似，故选项正确，不符合题意； 故选：C 4．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由格点图可知：，则有： A、，所以该两个三角形不相似； B、，所以该两个三角形不相似； C、，所以该两个三角形不相似； D、，三边对应成比例，所以该两个三角形相似； 故选D． 6．如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 7．已知四边形为正方形，点是边上一点，连接，过点作于点，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上截取，利用正方形的性质和直角三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件设，则，利用勾股定理分别求出和，再证明，由相似三角形的性质求出， 进而求出，最后和相比即可得出答案． 【详解】解：在上截取，如下图： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中， ， 又， ∴， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定以及性质， 全等三角形的判定以及性质，勾股定理，正确画出辅助线是解题的关键． 8．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，，， 解得：， 正方形的周长为 故选：C． 9．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 10．图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过作于点，则点三点共线，则有，，，，通过线段和差得到，，由，证明，最后由相似三角形的性质得出即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，则点三点共线，    由题意得：，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即此时液面宽度为， 故选：． 二、填空题 11．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 12．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，在中，，D、E分别为边上的一点，，，点F为边上一点，添加一个条件使与相似，则添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明可得，再添加条件即可证明． 【详解】 当时， 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，在直角梯形中，，且，那么下底的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，根据“两角相等的两个三角形相似”得，再根据相似三角形对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，点是中点，连接．点是中点，过点作于点，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正确找到相似三角形并证明是解题的关键． 利用相似三角形的判定及性质求解即可． 【详解】证明：∵点是中点，点是中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 18．如图，点为中边上一点，且，连接，交的中线于，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是过点作交于点；根据相似三角形的判定，则，则，根据，点是的中点，则；根据，则，根据，推出，则，，再根据，即可． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 20．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在平行四边形中，过点作 垂足为．连接 为线段上一点，且．求证：．   【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，结合， ，即可得出，进而可证出． 【详解】解：四边形是平行四边形，    ， ， ， ． ∴． 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 23．如图，中，M为边的中点，E为上一点，且，连接并延长交的延长线于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，找准对边作平行线构造相似三角形是解题的关键．过点作的平行线，根据同位角，内错角，公共角得出，进而得出，由为中点，得出，然后由对顶角得出，得出对应边，由于，，得出，根据得出即可得出结论． 【详解】证明：过点作，交于点， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即, ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 24．已知：如图，在中，点D，点E分别是边上的点，和相交于点O，且，连接．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$