14.1 勾股定理（4个知识点+13类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

14.1 勾股定理 课程标准 学习目标 ①探索勾股定理及其逆定理； ②能运用勾股定理及其逆定理解决简单问题； ③通过实例体会反证法的含义。 1.掌握勾股定理的证明方法； 2.掌握勾股数的概念； 3.学会用勾股定理构造图形解决问题； 4.掌握勾股定理的逆定理； 5.会用反证法证明简单问题。 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　，所以． 【即学即练1】 （23-24八年级下·广西南宁·期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） (1)毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ (2)请你写出弦图（图2）的另一种证法： 专题02 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数.用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）. 【即学即练2】 （24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 知识点03 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 2.勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25； 【即学即练3】 24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，在四边形中，为直角，， (1)试说明； (2)求四边形的面积． 知识点04 反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. 【即学即练3】 （23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 题型01 勾股定理的证明方法 【典例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）1876年，美国总统利用下图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理． 【变式1】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即_______+________=____，化简得： ． 【变式3】（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 题型02 以弦图为背景的计算题 【典例2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（    ）    A．5 B． C．25 D． 【变式1】（2024·福建龙岩·模拟预测）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（2023·山东枣庄·二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则_________． 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为_______． 题型03 勾股定理与无理数 【典例3】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数轴上作出对应的点P． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为__________； 【变式3】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 题型04 用勾股定理构造图形解决问题 【典例4】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【变式1】（2023·河北保定·模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（　　）    A．3 B．5 C．7 D．8 【变式2】（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【变式3】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] 已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； 题型05 勾股数问题 【典例5】（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是_________（结果用含m的式子表示）． 【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若9、41、m是一组勾股数，则m的值为________． 【变式3】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 题型06 勾股定理与网格问题 【典例6】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．△ABC的面积为4 D．点到的距离为2 【变式1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，每个小方格的边长为，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）在图中画出三边的长分别为、、的△ABC； （2）该三角形的面积为_______． 题型07 勾股定理与折叠问题 【典例7】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 【变式1】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则_________． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，长方形中，，沿直线把△ADE折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 题型08 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例8】（20-21八年级下·山东德州·期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式1】（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【变式2】（20-21八年级上·甘肃兰州·期中）中，斜边，则的值是______． 【变式3】（19-20八年级上·江苏无锡·期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为_______． 题型09 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例9】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为△ABC外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【变式1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    【变式2】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，△ABC是等腰直角三角形，，求证：． 【变式3】（2024·山西朔州·二模）阅读与思考 下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务. 构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知，是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ，． .． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单． 任务： (1)上面小论文中的“依据”是________． (2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________． (3)如图3，在四边形中，，，．求证：． 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例10】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9，则正方形A，B，C，D的面积之和为（   ） A．9 B．18 C．81 D．56 【变式1】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，这是由3个正方形和2个等腰直角三角形组成的图形．若正方形A的面积为24，则正方形B的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（　　 ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是__________． 题型11 用勾股定理解三角形 【典例11】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）在△ABC中，，，，． (1)若，，求c的值； (2)若，，求b的值． 【变式1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知在△ABC中，，边上的高，则边的长为（　　） A．9 B．21 C．6或15 D．9或21 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知：如图，在中，两直角边． (1)求的长； (2)求斜边上的高的长． 【变式3】（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）如图，，且，，求线段的长． 题型12 利用勾股定理的逆定理求解 【典例12】（21-22八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状． 【变式1】（21-22八年级·广西南宁·阶段练习）三角形的三边a，b，c满足，则此三角形（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为________． 【变式3】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求△ABC的面积． 题型13 反证法 【典例13】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【变式1】（19-20九年级·浙江杭州·自主招生）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（　　） A．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B．三角形中没有一个角是直角或钝角 C．三角形中三个角全是直角或钝角 D．三角形中有两个或三个角是直角或钝角 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（　　） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【变式3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 1．（22-23八年级下·浙江温州·期中）用反证法证明命题“已知：在△ABC中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C． D．，， 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（   ）亩（1亩平方步） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．21，28，35 C．，， D．8，24，25 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 7．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 8．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知△ABC中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在△ABC中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 9．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，，，在数轴上，且点O、C对应的实数分别是0，，以点O为圆心，的长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点A，设点A所对应的实数为x，则的立方根为（   ） A． B． C．2 D． 10．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别是64，100，则正方形A的边长为________ 12．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则△ABC是________三角形（填直角、锐角或钝角）． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）在△ABC中，的对边分别为a，b，c，且满足，则________． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是________． 15．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则________． 16．（20-21八年级下·湖北武汉·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为________． 17．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为________． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，于点，与相交于点．若，，则________． 19．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在△ABC中，，于，且，，则长为__________． 20．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是△ABC的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 21．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明在△ABC中至多有两个角大于． 22．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 23．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 24．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，以各边长为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知，，． (1)求的长． (2)计算新月形（阴影部分）的面积和． 25．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 26．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形． (1)请利用图1推导勾股定理． 已知：中，，，，． 求证：． 证明：（请补充证明过程） (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 27．（21-22八年级上·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 28．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与应用 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下： 如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，则：，化简得．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【类比探究】 （1）数学兴趣小组的同学也对勾股定理的证明进行了探究，他们惊喜地发现：将两个全等的直角三角形纸片如图2方式摆放，并连接，利用两种方法表示四边形的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2写出证明过程； 【应用拓展】 （2）兴趣小组的同学继续大胆探究，他们在几何图形中，通过构造直角三角形，并应用勾股定理，来研究一些线段之间的数量关系．如图3，是△ABC边上的高． ①请你证明：； ②在图3中，若，，M是上的任意一点，直接写出的值； （3）兴趣小组的同学进一步探究猜想：如图4，在四边形中，若，垂足为点P，则四条线段，，，之间也存在着等量关系，请你用式子表示这个等量关系（不用证明）． ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.1 勾股定理 课程标准 学习目标 ①探索勾股定理及其逆定理； ②能运用勾股定理及其逆定理解决简单问题； ③通过实例体会反证法的含义。 1.掌握勾股定理的证明方法； 2.掌握勾股数的概念； 3.学会用勾股定理构造图形解决问题； 4.掌握勾股定理的逆定理； 5.会用反证法证明简单问题。 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　，所以． 【即学即练1】 （23-24八年级下·广西南宁·期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） (1)毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ (2)请你写出弦图（图2）的另一种证法： 【答案】(1)；；；；(2)证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）根据面积列式即可； （2）根据大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积列式即可． 【详解】（1）证明：∵正方形①的面积， 正方形②的面积， 又∵正方形①与正方形②的边长相等， ∴， ∴； （2）证明：由图可知大正方形的面积4个三角形的面积小正方形的面积， ∴ ∴ 专题02 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数.用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）. 【即学即练2】 （24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、这组数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； C、∵， ∴2，8，10不是勾股数，不符合题意； D、1，，这组数不都是正整数，故1，，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 知识点03 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 2.勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25； 【即学即练3】 24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，在四边形中，为直角，， (1)试说明； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理： （1）先由勾股定理得到，再由勾股定理的逆定理得到，则，即； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由（1）可知 ． 知识点04 反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. 【即学即练3】 （23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 题型01 勾股定理的证明方法 【典例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）1876年，美国总统利用下图验证了勾股定理，请你利用它验证勾股定理． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即可． 【详解】解：， 梯形的面积又可表示为 ， ∴ 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 【变式1】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即_______+________=____，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【变式3】（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 题型02 以弦图为背景的计算题 【典例2】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（    ）    A．5 B． C．25 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型，根据题意求出小正方形的边长再计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的长直角边为9，短直角边为4， ∴小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 【变式1】（2024·福建龙岩·模拟预测）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，c的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可． 【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9， 个直角三角形的面积和为， ， ， ∵， ， ． 故选：B． 【变式2】（2023·山东枣庄·二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，设全等的直角三角形的两条直角边为a、且，则，，，再由正方形的边长为2得到，据此可得答案． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、且， 由题意可知：，，， ∴， ， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为_______． 【答案】(八年级学生可保留) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长． 【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点， 且， ， ， ， ， ， 又， (八年级学生可保留)． 故答案为：(八年级学生可保留)． 题型03 勾股定理与无理数 【典例3】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数轴上作出对应的点P． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，如图，轴，截取，根据勾股定理可得，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴的交点P即为所求． 【详解】解：如图在原点右侧作，轴，截取，连接，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴的交点P，则点P即为所求． ∵，， ∴， ∴， ∵点P在原点O的右边， ∴点P表示的数为． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，， 由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为__________； 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据点P的位置即可得出结论． 【详解】解：如图，设数轴上表示2的数为点Q， ∵正方形的边长为1， ∴P点表示． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴的关系、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．只需作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴的交点即可所求． 【详解】解：如图1，点A表示的数为． 题型04 用勾股定理构造图形解决问题 【典例4】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 【变式1】（2023·河北保定·模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（　　）    A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可； 【详解】连接，则． 如图1，当点在线段上时，；    如图2，当点在的延长线上时，， ∴的取值范围为， 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 由题意得：，，， ， ． 【变式3】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] 已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； 【答案】①，；②； 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． ①根据图形，运用勾股定理即可求解． ②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】和△BDE是直角三角形，， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型05 勾股数问题 【典例5】（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是_________（结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案. 【详解】解：如图， 由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， 正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积， 故选：B. 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若9、41、m是一组勾股数，则m的值为________． 【答案】40 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键． 分两种情况讨论：当m最大时，当41最大时，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：当m最大时，，不是正整数，舍去 当41最大时， ，符合题意． 故答案为：40． 【变式3】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】见详解 【分析】本题考查了勾股数的定义，分别算出、、，再得到，即可求解；理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：n为整数（）， a，b，c为整数， ， ， ， ， ， a，b，c为勾股数． 题型06 勾股定理与网格问题 【典例6】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．△ABC的面积为4 D．点到的距离为2 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离等知识点，利用勾股定理求出长可判定A，利用勾股定理及其逆定理判定B，利用网格图计算三角形的面积可判定C，利用面积公式求出△ABC边的高，即可利用点到直线的距离判定D，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】A．∵，∴，正确，不符合题意； B．∵，，， ∴，∴，正确，不符合题意； C．，原结论错误，符合题意； D．点A到的距离，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，每个小方格的边长为，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，由勾股定理及等腰三角形的定义分为腰和底两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由网格得，， 为腰时，有两个点，可知； 为底时，有个点，可知； ∴点的个数共有个， 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据网格的特点，作图的性质可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）在图中画出三边的长分别为、、的△ABC； （2）该三角形的面积为_______． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理画图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求， （2）， 故答案为． 题型07 勾股定理与折叠问题 【典例7】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中，，，P是射线上一动点，l为长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在l上时，的长为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，轴对称的性质，先由轴对称和长方形的性质得到；，，再由平行线间间距相等得到，由折叠的性质可得，，则由勾股定理得到，可得，设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设直线l分别与交于E、F， ∵l为长方形的一条对称轴， ∴；，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山西·阶段练习）如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则_________． 【答案】1.5 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，先利用勾股定理求得，然后由翻折的性质得到，，则，设，则，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， 由翻折的性质可知：，， 则． 设，则． 中，由勾股定理得：， 即，解得：． ∴． 故答案为：1.5． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，长方形中，，沿直线把△ADE折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握勾股定理，折叠的性质是解题的关键． （1）由题意知，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （2）解：由折叠的性质可知，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长度为． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)详见解析；(2) 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识间的联系和运用是解答的关键． （1）首先由折叠的性质得到，，，然后证明出，得到，进而求解即可； （2）由（1）可知，设，则，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：因为四边形是长方形，，， 所以，，． 由翻折的性质，得，，， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 因为，， 所以； （2）解：由（1）可知， 设，则，， 所以， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 题型08 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【典例8】（20-21八年级下·山东德州·期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得，即可得出结果． 【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD， 即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF， ∴CM=EM=MF=4， ∴EF=8， 由勾股定理得: 故选：D． 【点评】本题考查角平分线的定义、勾股定理、直角三角形的判定；熟练掌握勾股定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键． 【变式1】（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 【变式2】（20-21八年级上·甘肃兰州·期中）中，斜边，则的值是______． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式3】（19-20八年级上·江苏无锡·期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为_______． 【答案】7或25 【分析】将a2﹣6a+9变成（a+3）2的形式，得到平方与绝对值相加得0的形式，求出a与b的值，再利用勾股定理求c值即可. 【详解】解：∵a2-6a+9+∣b-4∣=0 ∴（a-3）2+∣b-4∣=0， ∴a-3=0，b-4=0， ∴a=3，b=4， ①当a、b都为直角边时，第三边c2=a2+b2=32+42=25， ②当b为斜边时，c2=b2-a2=42-32=7， 综上，第三边的平方为7或25. 【点评】将此题考查勾股定理的运用，将完全平方式变形后求出a、b的值是解题关键，特别注意这里a与b不确定是直角边. 题型09 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例9】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为△ABC外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理即可得出④． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ，故③正确； ，， ，故④不正确， 故选：A． 【变式1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    【答案】新意应用：四边形是垂直四边形，理由见解析；性质探究：，证明见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理： 新意应用：连接，根据线段垂直平分线的判定定理，即可求解； 性质探究：根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：新意应用：四边形是垂直四边形， 理由：连接， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂直四边形； 性质探究：，理由如下： ∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，△ABC是等腰直角三角形，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，把绕点A顺时针旋转，得到，证明，得到，勾股定理得到，等量代换后即可得出结论． 【详解】 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，， ∴， 把绕点A顺时针旋转，得到，连接，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ；∴， ∴， 又， ∴． ∴． 【变式3】（2024·山西朔州·二模）阅读与思考 下面是小宇同学收集的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务. 构图法在初中数学解题中的应用构图法指的是构造与数量关系对应的几何图形，用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.巧妙地构造图形有助于我们把握问题的本质，明晰解题的路径，也有利于发现数学结论.本文通过列举一个例子，介绍构图法在解题中的应用， 例：如图1，已知P为等边三角形内一点，，. 求以，，为边的三角形中各个内角的度数. 解析：如何求所构成的三角形三个内角的度数？由于没有出现以，，为边的三角形，问题难以解决.于是考虑通过构图法构造长度为，，的三角形来解决问题． 解：将绕点A顺时针旋转得，则． ，，． 由旋转可知，是等边三角形．【依据】 ，． 就是以，，为边的三角形． ，． .． ． 以，，为边的三角形中，三个内角的度数分别为，，. 构造图形的关键在于通过图形的变化，能使抽象的数量关系集中在一个图形上直观地表达出来，使问题变简单． 任务： (1)上面小论文中的“依据”是________． (2)如图2，已知点P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的度数为________． (3)如图3，在四边形中，，，．求证：． 【答案】(1)有一个角是的等腰三角形是等边三角形；(2)18；(3)证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理： （1）依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （2）将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则，可得是等边三角形，则就是以，，为边的三角形．根据全等三角形的性质及三角形内角和定理分别求得三个内角的度数，即可得到答案； （3）连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，先证明是等边三角形，由旋转的性质可得为等边三角形，进而可得，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：依据是有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 故答案为：有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （2）解：如图，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则， ，，， 由旋转的性质可知， 是等边三角形， ，， 就是以，，为边的三角形， ， ， ， ， ， ， 最小内角的度数为， 故答案为：18； （3）证明：如图，连接，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接， ，， △ABC是等边三角形， ， 由旋转可知，，， 为等边三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得， ． 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例10】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9，则正方形A，B，C，D的面积之和为（   ） A．9 B．18 C．81 D．56 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理推出正方形A，B，C，D的面积之和即为正方形G的面积，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理可知E的面积等于A的面积加上B的面积，F的面积等于C的面积加上D的面积，G的面积等于E的面积加上F的面积， ∴正方形A，B，C，D的面积之和即为正方形G的面积， ∵正方形G的边长为9， ∴正方形A，B，C，D的面积之和为81，故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，这是由3个正方形和2个等腰直角三角形组成的图形．若正方形A的面积为24，则正方形B的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 根据题意得出，求出正方形C的面积为12，再得出，即可解答． 【详解】解：∵均为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵正方形A的面积为24， ∴，则， ∴正方形C的面积为12， ∴，则， ∴正方形B的面积为6，故选B． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律类、等腰直角三角形的性质、勾股定理．先根据题意求得前几个正方形的面积，继而可得第n个正方形的边长为，则，即可求解． 【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴第二个正方形的边长为， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴第三个正方形的边长为， ∴， 同理可得，第四个正方形的边长为， ∴， ⋯， ∴第n个正方形的边长为， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是__________． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 证，得，同理，． 【详解】解：如图所示， 在△ABC和中， ， ， ，， ， 同理可证， ． 故答案为：10． 题型11 用勾股定理解三角形 【典例11】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）在△ABC中，，，，． (1)若，，求c的值； (2)若，，求b的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：在△ABC中，，，， 【变式1】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知在△ABC中，，边上的高，则边的长为（　　） A．9 B．21 C．6或15 D．9或21 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，分△ABC是锐角三角形，和△ABC是钝角三角形，两种情况利用勾股定理分别求出的长，再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，当△ABC是锐角三角形时， ∵边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当△ABC是钝角三角形时， ∵边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为9或21， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知：如图，在中，两直角边． (1)求的长； (2)求斜边上的高的长． 【答案】(1)10；(2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高： （1）根据直角三角形两直角边的长的平方和等于斜边的平方求解即可； （2）根据代值计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，两直角边， ∴； （2）解：由题意得，， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）如图，，且，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先根据垂直得出，根据勾股定理得出，，得出，代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）． 题型12 利用勾股定理的逆定理求解 【典例12】（21-22八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状． 【答案】（1）CD长为12；（2）AB的长为25；（3）△ABC是直角三角形 【详解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB， ∴BD2＋CD2＝BC2 ∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144． ∴CD＝12． （2）在△ACD中，∵CD⊥AB， ∴CD2＋AD2＝AC2 ∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256． ∴AD＝16． ∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25． （3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625， ∴AB2＝BC2＋AC2 ∴△ABC是直角三角形． 【变式1】（21-22八年级·广西南宁·阶段练习）三角形的三边a，b，c满足，则此三角形（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，将所给的等式化简可得，利用勾股定理的逆定理可求解． 【详解】解：三角形的三边a，b，c满足， ， ， 三角形为直角三角形， 故选：B． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求△ABC的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． （1）已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出； （2）在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出△ABC的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 为直角三角形， ∴； （2）解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC的面积． 题型13 反证法 【典例13】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点； 2、则，； 3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾； 4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l． 则证明步骤正确的是②③①④， 故选：B． 【变式1】（19-20九年级·浙江杭州·自主招生）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（　　） A．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B．三角形中没有一个角是直角或钝角 C．三角形中三个角全是直角或钝角 D．三角形中有两个或三个角是直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，先假设三角形中有两个或三个角是直角或钝角， 故选：D． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（　　） A．底角大于 B．底角等于 C．底角小于 D．底角大于等于 【答案】D 【详解】本题考查反证法，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解答】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选D． 【变式3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了反证法的知识，根据反证法的步骤，先假设都小于，可得，与三角形的内角和定理矛盾，即假设错误，进而得到三角形中至少有一个角不小于，掌握反证法的步骤：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立；是解题的关键． 【详解】证明：假设都小于，则， 即，这与三角形的内角和定理矛盾， 故都小于不成立， 所以三角形中至少有一个角不小于． 1．（22-23八年级下·浙江温州·期中）用反证法证明命题“已知：在△ABC中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：第一步应先假设； 故选B． 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，则这三个数是勾股数，进行判断即可． 【详解】解：A、三个数不是整数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，三个数是勾股数，符合题意； D、三个数不是整数，不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（   ）亩（1亩平方步） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为步，根据勾股定理可得，解方程求出宽，再根据长方形面积公式求出面积即可得到答案． 【详解】解：设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为步， 由勾股定理可得， 解得， ∴长方形田的宽为16步， ∴长方形田的面积为亩， 故选：A． 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．21，28，35 C．，， D．8，24，25 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，由勾股定理逆定理代入相关数据进行判定即可 【详解】解：A.∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项A不符合题意； B.∵，∴此三角形是直角三角形，故选项B符合题意； C.∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项C不符合题意； D.∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：B 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，分别用不同的方法表示出大正方形的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：甲方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，即，可以证明勾股定理，故甲正确； 乙方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，不可以证明勾股定理，故乙错误； 故选：A． 7．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高． 【详解】解：如图，在中，，，    则为边上的中线，即为中点， ， 在直角中． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键． 8．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知△ABC中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在△ABC中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在△ABC中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 9．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，，，在数轴上，且点O、C对应的实数分别是0，，以点O为圆心，的长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点A，设点A所对应的实数为x，则的立方根为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理得到，进而得到，据此求出，再根据立方根的定义可得答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴点A表示的数为，即， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为， 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，实数的运算，求一个数的立方根，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键． 10．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键，由已知条件可证，得到，利用折叠知，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的值，再利用面积公式即可得解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由翻折得，，， ∴， 又∵ ∴ ∴，， 设，则 在中，，， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故选∶． 11．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别是64，100，则正方形A的边长为________ 【答案】6 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．根据正方形A的面积+正方形的面积=正方形的面积，即为求解． 【详解】解：正方形A的面积+正方形的面积=正方形的面积， 正方形A的面积=正方形的面积正方形的面积， 正方形的边长等于6， 故答案为：6 12．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则△ABC是________三角形（填直角、锐角或钝角）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）在△ABC中，的对边分别为a，b，c，且满足，则________． 【答案】 【分析】先运用非负数性质求得a，b，c的值，再运用勾股定理的逆定理求得．此题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则________． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 16．（20-21八年级下·湖北武汉·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 根据题意，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点E， 在中，，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，于点，与相交于点．若，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键，先由勾股定理得，再证明（）得，从而即可得解。 【详解】解：∵，，， ∴，， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在△ABC中，，于，且，，则长为__________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，等积法的应用．熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理可求出，再根据等积法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是△ABC的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质的证明，反证法等知识，根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键． 【详解】证明：假设． 在△ABC中，， ． ， ， ， 与假设相矛盾， 假设不成立， 原命题成立，即． 故答案为：；；；；，不成立． 21．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明在△ABC中至多有两个角大于． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了反证法，三角形内角和定理，先假设中有三个内角大于，进而推出三个内角度数之和大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：假设△ABC中有三个内角大于， 则大于，大于，大于， 、、三个角之和大于， 这与三角形内角和等于相矛盾， 故在△ABC中至多有两个角大于． 22．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 【答案】这块空地的面积是 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明，最后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 23．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 【答案】(1)5；；(2)见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为5；； （2）解：由图可知： ，整理得：． 24．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，以各边长为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知，，． (1)求的长． (2)计算新月形（阴影部分）的面积和． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）根据题勾股定理即可解答； （2）根据即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ （2）解： ． 25．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：，即：． 26．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形． (1)请利用图1推导勾股定理． 已知：中，，，，． 求证：． 证明：（请补充证明过程） (2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，则，求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 27．（21-22八年级上·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， 是一组勾股数； （3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 【点评】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键． 28．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与应用 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下： 如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，则：，化简得．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【类比探究】 （1）数学兴趣小组的同学也对勾股定理的证明进行了探究，他们惊喜地发现：将两个全等的直角三角形纸片如图2方式摆放，并连接，利用两种方法表示四边形的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2写出证明过程； 【应用拓展】 （2）兴趣小组的同学继续大胆探究，他们在几何图形中，通过构造直角三角形，并应用勾股定理，来研究一些线段之间的数量关系．如图3，是△ABC边上的高． ①请你证明：； ②在图3中，若，，M是上的任意一点，直接写出的值； （3）兴趣小组的同学进一步探究猜想：如图4，在四边形中，若，垂足为点P，则四条线段，，，之间也存在着等量关系，请你用式子表示这个等量关系（不用证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析，②28；（3） 【分析】（1）连接，过点作边上的高，则由．，则，化简即可求证； （2）①在及中，，，等量代换即可求证；②，同①可得即可求解； （3）同上可得：,变形即可求证． 【详解】解：（1）证明：连接，过点作边上的高，则． ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ． 又 ； （2）①证明：是边上的高， 在及中， ，， ，即 ②解：∵， ∴， 同①可得， ∴； （3）∵， 同上可得：, ∴． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． ( 38 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $