13.4 尺规作图（1个知识点+6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

13.4尺规作图 课程标准 学习目标 ①了解尺规作图的含义； ②掌握基本尺规作图； ③了解尺规作图原理； ④在给定边角条件下，求作三角形. 1.了解尺规作图的含义； 2.掌握基本尺规作图； 3.了解尺规作图原理； 4.在给定边角条件下，求作三角形. 知识点 尺规作图 1.尺规作图的定义 利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图. 要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 2.常见基本作图 【即学即练1】 （22-23七年级上·山东青岛·期末）用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：线段； 求作：线段． 【即学即练2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 题型01 作一条线段等于已知线段 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段． (1)作一条线段，使它等于； (2)作一条线段，使它等于． 【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在△ABC中，E是延长线上一点，且，射线，在上求作点F，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，已知长度为m、n（）的两条线段． (1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若点D是线段的中点，当时，求线段的长度． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）如图，在等边△ABC中，为边上的高． (1)实践与操作：利用尺规，以为边在下方作等边，延长交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母） (2)应用与证明：在（1）的条件下，证明． 题型02 作一个角等于已知角 【典例1】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：，求作：，使． 【变式1】（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 【变式3】（23-24七年级下·山东青岛·期中）作图题 (1)在下面网格图中，A，B、M为格点，画线段线段． (2)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹：已知，D是的边上一点，求作射线，使，交于E． 题型03 作已知角的平分线 【典例1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的角平分线．    【变式1】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在，上分别截取，，使，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到△COD≌△COE，所以．在这个过程中，得到△COD≌△COE的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖南常德·一模）如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是______度． 【变式3】（23-24六年级下·全国·单元测试）（1）利用三角板画，并使得射线与射线在公共边的两侧． （2）用直尺和圆规画的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） （3）计算的度数． 题型04 作垂线 【典例1】（2023·山东青岛·二模）已知：在中，．求作：内部的一点P，使得点P到的距离等于到的距离，且点P在边的高线上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    【变式1】（19-20八年级上·全国·课后作业）已知：如图△ABC． 求作：①AC边上的高BD；②△ABC的角平分线CE． 【变式2】（19-20八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知△ABC：①过A画出中线AD；②画出角平分线CE；③作AC边上的高BF 【变式3】（17-18七年级上·山东威海·期中）用直尺和圆规作图（不写做法，只保留作图痕迹）： （1）在线段AB上找一点P，使点P到BC，AC所在直线的距离相等； （2）在线段AC上找一点Q，使点Q到点B，C的距离相等． 题型05 作已知线段的垂直平分线 【典例1】如图，在△ABC中，，用尺规作图，作的角平分线，的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】如图，在△ABC中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为________． 【变式2】如图，在△ABC中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 【变式3】如图，在的内部找出一点P，使得，且满足点P到与的距离相等． 题型06 作三角形 【典例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知线段a，b和，求作三角形，使其有一内角等于，且此角的对边等于a，另一边等于b．保留作图痕迹，不写作法． 【变式1】（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边 【变式2】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）已知：线段，，，求作：△ABC，使，，． 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知△ABC，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，作已知的平分线，合理的顺序是（   ） ① 作射线；②在，上分别截取，，使；③分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 2．（2015·河北石家庄·一模）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ） A． B． C． D． 4．（19-20七年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作的过程中，弧①是（    ） A．以点为圆心，以长为半径画弧 B．以点为圆心，以长为半径画弧 C．以点为圆心，以长为半径画弧 D．以点为圆心，以长为半径画弧 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线，交于点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，点C在的边上，尺规作图痕迹显示的是（    ）    A．作线段的垂直平分线 B．作的平分线 C．连接，则不是等腰三角形 D．作 8．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）如下图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的余角的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为________． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中的黑色球______（填“能”或“不能”）被击入右下角的袋中．（先估测，再用直尺和圆规作出反射角加以检验） 13．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出的依据是_______．（选填、、、） 14．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，，根据作图痕迹推断的度数为_______． 15．（16-17八年级·江苏盐城·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明________（写出全等的简写）． 16．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交 于点F，则的度数为________． 17．（22-23八年级下·河南郑州·期中）“已知点在直线上，利用尺规作图过点作直线”的作图方法如下：①如图，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作直线．则直线．这样作图的理由是_______． 18．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，利用尺规作的平分线，做法如下：①在上分别截取，使；②分别以点D、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于一点E；③画射线，射线就是的平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_______． 19．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图，，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点， ，画射线，以点为圆心，为半径画弧交 于点 ，以点为圆心，长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点 ，再以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点 ，画射线，反向延长 ，得到射线，画出 的平分线，则_______．（用含 的代数式表示） 20．（2024·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点；③作射线交于点；④过点作，交于点，交于点．若，则的度数为__________． 21．（2024八年级上·贵州·专题练习）如图，在△ABC中，是边上的高． (1)求作：的平分线交于点E，交于点F．（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)当时，求的度数． 22．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． 燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． 23．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）作角：已知： 求作：，使． 作法： 1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，　　　　　长为半径画弧，交于点； 3、以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．依据是（    ）． 24．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知△ABC，请用尺规作图法求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 25．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） (1)如图1，作的角平分线． (2)如图1，点E为边上一点，在上找一点，使点到点A、E距离相等． (3)如图2，连接，用尺规求作，使，，． 26．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线，， (1)若，求的度数； (2)尺规作图：作：的角平分线与相交于点，直接写出的度数． （作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） 27．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，， (1)过点C作射线BF的垂线，垂足为M，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，若，求 28．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如果三角形三边长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、． (1)用含有a和c的代数式表示b，______． (2)求作均匀三角形，使得最短边、最长边（不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等． 29．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）利用尺规，在△ABC的边上方作．在射线上截取连接，并证明（保留作图痕迹） ( 18 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.4尺规作图 课程标准 学习目标 ①了解尺规作图的含义； ②掌握基本尺规作图； ③了解尺规作图原理； ④在给定边角条件下，求作三角形. 1.了解尺规作图的含义； 2.掌握基本尺规作图； 3.了解尺规作图原理； 4.在给定边角条件下，求作三角形. 知识点 尺规作图 1.尺规作图的定义 利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图. 要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 2.常见基本作图 【即学即练1】 （22-23七年级上·山东青岛·期末）用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：线段； 求作：线段． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，熟练掌握基本作图方法是解题关键．以A为端点画一条射线，以A为圆心，线段的长度为半径画圆交射线于点C，再以C为圆心，线段为半径画圆交射线于点D，再以D为圆心，线段为半径画圆交射线于点E，然后以E为圆心，线段为半径画圆交线段于点B，则线段即为所求． 【详解】解：线段即为所求． 【即学即练2】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果． 【详解】解：如图，． 题型01 作一条线段等于已知线段 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段． (1)作一条线段，使它等于； (2)作一条线段，使它等于． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图： （1）如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，最后以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，则线段即为所求； （2）如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，最后以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，则线段即为所求； （2）解：如图所示，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则线段即为所求． 【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在△ABC中，E是延长线上一点，且，射线，在上求作点F，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定，如图，在上截取，连接，再证明即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接，则， 理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，已知长度为m、n（）的两条线段． (1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若点D是线段的中点，当时，求线段的长度． 【答案】(1)见解析；(2)5 【分析】本题考查的是作线段的差，线段中点的含义，线段的和差运算，掌握线段的和差关系是解本题的关键． （1）作射线，在上截取，再在线段上截取，则， （2）先求解，结合为的中点，可得，再利用线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：如图所示线段即为所求； （2）解：如图， 由题意得，， ， 为的中点， ， ． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）如图，在等边△ABC中，为边上的高． (1)实践与操作：利用尺规，以为边在下方作等边，延长交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母） (2)应用与证明：在（1）的条件下，证明． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则等边即为所作，延长交于点，点即为所作； （2）证明，进而可证． 【详解】（1）解：如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则，等边△CDE即为所作，延长交于点，点即为所作； （2）证明：∵△ABC为等边三角形，为边上的高， ∴， ∵等边， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型02 作一个角等于已知角 【典例1】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：，求作：，使． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了作一个角等于已知角的基本作图， 关键是熟练掌握基本作图的方法． 先利用尺规作一个等于已知角的方法作出，然后作出即可． 【详解】如图所示，即为所求． 【变式1】（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查基尺规作图-作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质，根据作图过程和全等三角形的判定“”证得，然后利用全等三角形的对应角相等可得结论． 【详解】解：根据作图痕迹，得，，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 【答案】见解析 【分析】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则． 【详解】如图所示，即为所求．    【点评】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·山东青岛·期中）作图题 (1)在下面网格图中，A，B、M为格点，画线段线段． (2)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹：已知，D是的边上一点，求作射线，使，交于E． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了作图基本作图，作一个角等于已知角，利用网格结构是解题的关键． （1）根据网格的特点和垂线的概念求解即可； （2）利用尺规作一个角等于已知角的方法作出即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求． 题型03 作已知角的平分线 【典例1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的角平分线．    【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，以点为圆心，任意长度为半径画弧交于，于，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线交于，即为所作． 【详解】解：如图：△ABC的角平分线即为所作，    【变式1】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在，上分别截取，，使，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到△COD≌△COE，所以．在这个过程中，得到△COD≌△COE的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，由作图可知，，，，由证明三角形全等即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知，，， 在和， ， ∴， ∴， ∴得到△COD≌△COE的条件是， 故选：D． 【变式2】（2024·湖南常德·一模）如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是______度． 【答案】20 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，属于基础题． 观察可得平分，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质求的度数． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 【变式3】（23-24六年级下·全国·单元测试）（1）利用三角板画，并使得射线与射线在公共边的两侧． （2）用直尺和圆规画的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） （3）计算的度数． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】本题考查利用三角板作角，角平分线的作法，角度的计算． （1）画射线，以三角板的一条直角边和射线重合，直角顶点和O点重合，以O为端点过三角板的另一条直角边画射线，既得，以三角板的角的边和射线重台，顶点和O点重台，在的同侧以O为端点过角的另一条边画射线，即得； （2）以O为圆心以任意长为半径画弧，分别与，相交于点D、E， 以D、E为圆心以大于，为半径画弧相交于点P，连接即可； （3）根据图可知，据此解答． 【详解】解：（1）如图所示，为所求； （2）如图所示，为所求； （3）是的角平分线， ， ， ， ， ． 题型04 作垂线 【典例1】（2023·山东青岛·二模）已知：在中，．求作：内部的一点P，使得点P到的距离等于到的距离，且点P在边的高线上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    【答案】见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，作已知角的平分线及过直线外一点作已知直线的垂线，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作的平分线，过点C作直线的垂线，与射线交于点P即可． 【详解】解∶如下图所示∶ 作的平分线，过点C作直线的垂线，与射线交于点P，点P即为所求作的点．   【变式1】（19-20八年级上·全国·课后作业）已知：如图△ABC． 求作：①AC边上的高BD；②△ABC的角平分线CE． 【答案】答案见解析 【分析】①以点B为圆心，较大的长为半径画弧，交直线AC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点B和这点作射线，交直线AC于点D，BD就是所求的AC边上的高； ②以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CA，CB于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，做过点C和这点的射线交AB于点E，CE即为所求的角平分线． 【详解】如图所示： 【点评】考查线段高线和角平分线的画法，注意钝角三角形的高可能在三角形的外部；角平分线应在角的内部交于一点；三角形的高线和角平分线都是线段． 【变式2】（19-20八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知△ABC：①过A画出中线AD；②画出角平分线CE；③作AC边上的高BF 【答案】答案见解析 【分析】（1）首先找出BC的中点，然后画线段AD即可； （2）利用量角器量出∠BCA的度数，再除以2，算出度数，然后画出线段CE即可； （3）利用直角三角板，一个直角边与AC重合，令一条直角边过点B，画线段BF即可． 【详解】如图所示： 【点评】此题主要考查了画三角形的高、中线、角平分线，关键是注意三角形的高、中线、角平分线都是线段． 【变式3】（17-18七年级上·山东威海·期中）用直尺和圆规作图（不写做法，只保留作图痕迹）： （1）在线段AB上找一点P，使点P到BC，AC所在直线的距离相等； （2）在线段AC上找一点Q，使点Q到点B，C的距离相等． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【详解】试题分析：（1）作∠BAC的角平分线.角平分线上的点到角两边的距离相等. (2)作线段BC的垂直平分线，垂直平分线上的点，到端点的距离相等． 试题解析： 解：（1）如图所示：作∠BAC的角平分线交BC于P,P即为所求； （2）如图所示：作BC的垂直平分线交AC于Q,Q即为所求． 题型05 作已知线段的垂直平分线 【典例1】如图，在△ABC中，，用尺规作图，作的角平分线，的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题重点考查尺规作图、基本作图“作已知角的平分线”、“作已知线段的垂直平分线”等知识，按尺规作图的要求正确地作出图形是解题的关键． 根据作已知角的平分线及作已线段的垂直平分线的作法正确地作出相应的图形即可． 【详解】解：作的平分线：以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交、于点、；连结，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于内部一点；作射线，射线就是所求的图形． 作的垂直平分线：分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、；作直线，直线就是所求的图形． 【变式1】如图，在△ABC中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接，则的周长为________． 【答案】20 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，再代入数值即可． 【详解】解：从作法可知：是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 【变式2】如图，在△ABC中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线；根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【详解】解：边的垂直平分线如图所示． 【变式3】如图，在的内部找出一点P，使得，且满足点P到与的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图，根据角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，作的平分线交于点P，如图所示，点P即为所求． 题型06 作三角形 【典例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知线段a，b和，求作三角形，使其有一内角等于，且此角的对边等于a，另一边等于b．保留作图痕迹，不写作法． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作一个角等于已知角，再截取，然后以B点为圆心，以a的长为半径作圆弧交的另一边于点C，D，连接，则△ABC或即为所求作的三角形． 【详解】解：（1）作， （2）在的一条边上截取， （3）以点B为圆心，以a的长为半径作圆弧交的另一边于点C，D， （4）连接，则△ABC或即为所求作的三角形，如图： 【变式1】（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（ ） A．已知两边及其夹角 B．已知两角及夹边 C．已知两边及一边的对角 D．已知三边 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有．三角形全等的判定定理有，根据以上内容判断即可． 【详解】解：三角形全等的判定定理有， A、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； B、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、根据已知两边及一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意； D、根据定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）已知：线段，，，求作：△ABC，使，，． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解题的关键． 作射线，在射线上顺次截取，分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于点C，连接，，则△ABC即为所求． 【详解】解：如图所示，△ABC即为所求； 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知△ABC，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定．作射线，以为圆心，长度为半径画弧，交于点；分别以、为圆心，、长度为半径画弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 【详解】解：如图：即为所求． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，作已知的平分线，合理的顺序是（   ） ① 作射线；②在，上分别截取，，使；③分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的步骤． 根据作角平分线的步骤即可判断． 【详解】解：作已知的平分线 ，作图步骤是： 第一步：在，上分别截取，，使； 第二步：分别以N，M为圆心，以大于 为半径画弧，两弧在 内交于点C； 第三步：作射线； ∴合理的顺序是：②③①， 故选：C． 2．（2015·河北石家庄·一模）如图，在△ABC中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键． 由作图方法可得是的角平分线，进而根据，求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，根据作图方法可得，由此即可求解． 【详解】解：根据直尺和圆规作一个角等于已知角的作图的方法可得，，，， ∴， ∴， ∴作图的依据是， 故选：A ． 4．（19-20七年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作的过程中，弧①是（    ） A．以点为圆心，以长为半径画弧 B．以点为圆心，以长为半径画弧 C．以点为圆心，以长为半径画弧 D．以点为圆心，以长为半径画弧 【答案】D 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．根据作一个角等于已知角的步骤判断即可． 【详解】解：由题意弧①是以为圆心，为半径画弧， 故选：D 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查尺规作图，根据尺规作图绘制一条线段的垂直平分线、一个角的平分线、一个角等于已知角的作法，逐项判断即可． 【详解】①作一个角的角平分线正确， ②作一个角等于已知角正确， ③如图所示，作一条线段的垂直平分线，不正确， 综上①②正确． 故选：A． 6．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线，交于点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，以及平行线的性质，根据题意得出平分是解题关键．根据平行线的性质得到，由角平分线的定义，可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：由题意得：平分， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ 故选：B． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，点C在的边上，尺规作图痕迹显示的是（    ）    A．作线段的垂直平分线 B．作的平分线 C．连接，则不是等腰三角形 D．作 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键． 根据作图得出，得出，得出即可． 【详解】解：连结, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D．    8．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中， ．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；② 分别以D，E 为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③ 作射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出，再由平分即可得到答案. 【详解】解：∵ ． ∴ 由题意可知，平分， ∴ 故选：B 9．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 10．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）如下图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的余角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，余角，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定． 根据作图过程可得，，利用证明，得，从而得出，然后利用余角定义即可得结果． 【详解】解；根据作图过程可知：，， 在和中， ， ， ， ， 则的度数为， ∴的余角的度数为． 故选：A． 11．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查基本作图—作角，根据作图可知，，求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴； 故答案为：． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）图中的黑色球______（填“能”或“不能”）被击入右下角的袋中．（先估测，再用直尺和圆规作出反射角加以检验） 【答案】能 【分析】本题考查了作图的应用与设计，解题的关键是根据“作角等于已知角的基本作法”作图． 【详解】解：图中的黑色球能被击入右下角的袋中， 如图所示：作即可， 故答案为：能． 13．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出的依据是_______．（选填、、、） 【答案】 【分析】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角的步骤和全等三角形的判定方法，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的步骤是解题关键．根据作图痕迹得出，，即可利用证明，根据全等三角形的性质得出，即可得答案． 【详解】解：根据作法可知，，， ∴， ∴， ∴画出的依据是， 故答案为： 14．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，，根据作图痕迹推断的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用，利用基本作图得到平分，平分，根据三角形内角和得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴， ， ∵ ， 而， ∴． 故答案为：． 15．（16-17八年级·江苏盐城·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明________（写出全等的简写）． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图-作角相等的相关知识，由作两个角相等的操作步骤，确定从而得到答案，熟记尺规作图-作角相等的操作是解决问题的关键． 【详解】解：由尺规作图的操作可知，，， ， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交 于点F，则的度数为________． 【答案】 【分析】题目主要考查垂线的作法，三角形内角和定理及等边对等角，根据题意得出，，结合图形及各角之间的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据作图痕迹得：， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（22-23八年级下·河南郑州·期中）“已知点在直线上，利用尺规作图过点作直线”的作图方法如下：①如图，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作直线．则直线．这样作图的理由是_______． 【答案】等腰三角形，三线合一 【分析】本题考查了经过直线上一点作已知直线的垂线，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形，三线合一，是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，，， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴由三线合一可得， ∴作图的理由是：等腰三角形，三线合一， 故答案为：等腰三角形，三线合一． 18．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，利用尺规作的平分线，做法如下：①在上分别截取，使；②分别以点D、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于一点E；③画射线，射线就是的平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键．连接，根据作图的过程证明三角形全等即可． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图，，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点， ，画射线，以点为圆心，为半径画弧交 于点 ，以点为圆心，长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点 ，再以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点 ，画射线，反向延长 ，得到射线，画出 的平分线，则_______．（用含 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了尺规基本作图-作角等于已知角、作角的平分线，与角平分线相关的角的运算，关键是掌握利用角平分线的定义和角的和差的计算． 根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：由作法可得，， ， 为的角平分线， ， 故答案为：． 20．（2024·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点；③作射线交于点；④过点作，交于点，交于点．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的作法，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理． 根据题意可得平分，再根据，证明，得到，再根据，结合三角形内角和定理得到，进而得到，再利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：根据题意可得平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（2024八年级上·贵州·专题练习）如图，在△ABC中，是边上的高． (1)求作：的平分线交于点E，交于点F．（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，角平分线定义，直角三角形两个锐角互余，对于（1），以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点G,H，再分别以点G，H为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点E，交于点F； （2）先根据高的定义和角平分线的定义得到∠ADB＝90°，∠CBF＝25°，再根据三角形内角和计算出∠BED，然后根据对顶角相等得到∠AEF的度数． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）∵是边上的高， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 22．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． 燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，作图−应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P， 则点P即为所求． 沿线段，铺设管道，管道总长度最短． 23．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）作角：已知： 求作：，使． 作法： 1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，　　　　　长为半径画弧，交于点； 3、以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．依据是（    ）． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，先补全作法，再根据“”证明即可 【详解】1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 3、以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．理由如下： 连接， 由作法可知，，，， ∴， ∴；故答案为：；；； 24．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知△ABC，请用尺规作图法求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图作三角形，先以为圆心，长为半径画圆，圆上任取一点即为，此时，再分别以、为圆心，、长为半径画弧交点即为，此时，，此时即为所求． 【详解】如图，即为所求． 25．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） (1)如图1，作的角平分线． (2)如图1，点E为边上一点，在上找一点，使点到点A、E距离相等． (3)如图2，连接，用尺规求作，使，，． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，作角平分线，作垂直平分线，作三角形，解决问题的关键是熟练掌握基本图形的作法； （1）根据角平分线的作法作的角平分线即可； （2）作线段的垂直平分线与的交点即为所求； （3）先作，再作，然后作，与交于点D，即为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：F即为所求． （3）解：如图：△DMN即为所求． 26．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线，， (1)若，求的度数； (2)尺规作图：作：的角平分线与相交于点，直接写出的度数． （作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法） 【答案】(1)；(2)见解析， 【分析】（1）由三角形的外角性质得．再由角平分线定义得，进而利用三角形的内角和定理即可得解； （2）依据角平分线的尺规作图方法，即可得出的角平分线与相交于点；依据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵ ∴． ∵是△ABC的角平分线， ∴， ∴在中，． （2）解：尺规作图，如图所示； ∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了角平分线定义，三角形的外角性质，基本作图以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和是180度． 27．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，， (1)过点C作射线BF的垂线，垂足为M，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，若，求 【答案】(1)图见解析；(2)． 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点、，再以点、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，交射线于点，则即为所求的垂线； （2）由（1）知，，得到，进一步得到，再根据，，得到，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于点、，再以点、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，交射线于点，则即为所求的垂线，如图： （2）解：连接，如图： 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，∴， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如果三角形三边长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a、． (1)用含有a和c的代数式表示b，______． (2)求作均匀三角形，使得最短边、最长边（不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）中的三角形内部求作一点P，使P点到此三角形三边距离相等． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，作垂线和角平分线，解题的关键是正确分析题意． （1）将变形求解即可； （2）先作线段，使，，作线段的垂直平分线，交于点E，以点B为圆心，线段a的长度为半径画弧，以点C为圆心，线段的长度为半径画弧，两弧交于点C，连接，，本题得以解决； （3）分别作出和的平分线交于点P即为所求． 【详解】（1）∵ ∴；∴；∴； （2）解：如图所示，△ABC为所求作的三角形， （3）如图所示，点P即为所求． 29．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）利用尺规，在△ABC的边上方作．在射线上截取连接，并证明（保留作图痕迹） 【答案】图见解析，证明见解析 【分析】利用基本作图—作一个角等于已知角作出，再截取，证明得出，即可得解． 【详解】解：如图，，即为所作， 证明：在和中， ，∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ( 36 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$