13.5 逆命题与逆定理（5个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

13.5 逆命题与逆定理 课程标准 学习目标 ①了解原命题及其逆命题的概念； ②会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； ③掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，理解三角形的三条垂直平分线的性质； ④掌握角平分线的性质及其逆定理，理解三角形的三条角平分线的性质． 1. 了解原命题及其逆命题的概念； 2. 会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 3.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，理解三角形的三条垂直平分线的性质； 4.掌握角平分线的性质及其逆定理，理解三角形的三条角平分线的性质． 知识点01互逆命题 互逆命题：将命题“如果 ｐ，那么 ｑ”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果 ｑ，那么 ｐ”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题。 【即学即练1】 （24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的逆命题为内错角相等，两直线平行； 故选C 知识点02 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何表示：∵CD是AB的垂直平分线，∴CA=CB。 【即学即练2】 （24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在△ABC中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，△ABC的面积为40，则的最小值为_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，连接，则有，所以，然后可得当点A、M、N三点共线且时最小，进而问题可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，则垂直平分， 连接，过点A作于点H，如图所示： ∴， ∴， 要使的值为最小，则需满足点A、M、N三点共线且，如图中线段的长， ∵，△ABC的面积为40， ∴， ∴的最小值是8； 故答案为：8． 知识点03 线段垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． ∵CA=CB。 ∴点C在AB的垂直平分线上。 【即学即练3】 （24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，△ABC中，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若△ABC的周长为，，求长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵△ABC的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 知识点04 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【即学即练4】 （24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，，的面积是15，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：过D作于E， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵的面积是15， ∴， ∴ 故答案为：． 知识点05 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【即学即练5】 （24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）已知，如图，点B、C分别在射线、上，，的面积等于的面积，求证：平分． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查角平分线的判定，作于E，于F，则，结合垂直即可判定平分． 【详解】证明：作于E，于F，如图， ∵的面积等于的面积，， ∴， ∵，，， ∴平分． 题型01 互逆命题 【典例1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题以及判断命题的真假，写出各命题的逆命题即可判断. 【详解】解：对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，为假命题，故A不符合题意； 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为：绝对值相等的两个数相等．因为绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故逆命题为假命题，故B不符合题意； 两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，为真命题，故C符合题意； 如果两个角都是，那么这两个角相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为，为假命题，故D不符合题意； 故选：C 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果，那么．下列命题中，具有以上特征的命题是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意； B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果，那么，正确，是真命题，不符合题意； C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； D、当时原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·山东泰安·期中）已知下列命题：①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③直角三角形的两个锐角互余；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了原命题与逆命题、真命题与假命题、对顶角相等、平行线的性质与判定，直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识．先根据相关知识判断四个命题的真假，再写出逆命题并判断真假即可求解． 【详解】解：①“对顶角相等”是真命题，逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，不合题意； ②“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，逆命题“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，符合题意； ③“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”是真命题，符合题意； ④“三条边对应相等的两个三角形全等”是真命题，逆命题“两个全等三角形的三条对应边分别相等”是真命题，符合题意． 故选：B 【变式3】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）给出命题：“如果，那么．” (1)写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． (2)请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 【答案】(1)条件为：，结论为：；该命题是真命题；(2)逆命题是假命题，举例见解析 【分析】本题考查的真假命题的判断，逆命题的含义． （1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置并进行判断；再举出反例即可． 【详解】（1）解：命题“如果，那么．”的条件为：， 结论为：； 该命题是真命题； （2）解：此命题的逆命题为：如果，那么； 此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等， 如时，，而． 题型02 互逆定理 【典例1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可． 【详解】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故选D． 【变式1】（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）下列定理中没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．对顶角相等 D．若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了定理及逆定理，会写出一个命题的逆命题；写出各个定理的逆命题，根据相关判定与性质进行判断即可． 【详解】解：“对顶角相等”条件与结论互换为“如果两个角相等，那么它们是对顶角"不是它的逆定理，故C选项符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024·重庆·模拟预测）下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 【变式3】（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点评】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 题型03 线段的垂直平分线 【典例1】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，在△ABC中，l是的垂直平分线，交于点D，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）由等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （）由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：在中， ， ， ， ； （2）解：是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，是△ABC中边的垂直平分线，若厘米，厘米，则△EBC的周长为（   ） A．14厘米 B．16厘米 C．24厘米 D．26厘米 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．利用线段垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长． 【详解】解：∵是△ABC中边的垂直平分线， ∴， ∴△EBC的周长为， ∵厘米，厘米， ∴∴△EBC的周长为厘米， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上动点，则周长的最小值为_______． 【答案】10 【分析】连接，，由于△ABC是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解，本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质． 【详解】解：连接， ∵△ABC是等腰三角形，点是边的中点， ，， ， 解得：, 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为， 的周长最小值， 故答案为：10． 【变式3】（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，△ABC中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂直平分，垂直平分，可得，由的周长为，可得，根据，求解作答即可； （2）由，可求，由，可得，则，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型04 线段垂直平分线的性质的逆定理 【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析；(2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）根据三角形内角和定理可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是_________（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的中与判定，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 【变式2】（23-24八年级下·天津·单元测试）如图，在△ABC中，点D是边的中点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及线段垂直平分线的性质．求出是解答本题的关键． 在中根据勾股定理的逆定理得到，从而得到是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得到结论． 【详解】∵点D是边的中点，， ∴． ∵， ∴在中，， ∴是直角三角形，， ∴． ∵点D是边的中点， ∴是的垂直平分线， ∴． 【变式3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，△ABC中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)见详解 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）利用等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：， ， 又平分， ， 在△ADE和中， ， ， ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，（两点确定一条直线）， ． 题型05 角平分线的性质 【典例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质和判定，过P作于Q，由中点得，结合角平分线的性质得，则，即可判定平分． 【详解】证明：过P作于Q，如图， ∵P是的中点， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【变式1】（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在△ABC中，，，平分，，，则的面积为（    ） A．14 B．12 C．10 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， ． 故选：D 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，△ABC中，，，，，，是两内角平分线，于，则的长为_______．    【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题关键．过点O作于点E，于点F，连接．根据角平分线的性质定理可得出，再根据，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点E，于点F，连接． ∵，是两内角平分线，， ∴． ∵ ， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是△ABC的角平分线，于点E，的面积，，则的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵是△ABC的角平分线，，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06 角平分线的判定 【典例1】（24-25八年级上·天津南开·阶段练习）如图，，，，交于点，连接． (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)求证：平分（提示：过作于于）； (3)求的度数（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、三角形内角和定理等知识． （1）由得到，又由已知，，即可证明； （2）过作于于，根据全等三角形的性质得到，，又由得到，根据角平分线的判定定理即可得到结论； （3）设与相交于点F，由全等三角形的性质得到，由和三角形内角和定理得到，则，利用角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：过作于于， ∵△ACD≌△BCE， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （3）解：设与相交于点F， ∵△ACD≌△BCE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，D是的中点，于E，于F，．求证：是△ABC的角平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定等知识点．先说明，，再证，得到，再结合角平分线的判定即可得是△ABC的角平分线． 【详解】证明：∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴是△ABC的角平分线． 【变式2】（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析；(2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 【变式3】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，点、、在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点，，交于点，连接，证明： (1)； (2)； (3)平分． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定； （1）根据等边三角形的性质得出，，即可证明； （2）根据（1）的结论可得，根据等边三角形的性质结合图形得出，进而证明得出，根据，即可得证； （3）过点作，，垂足分别为点、，证明，根据全等三角形的性质得出，进而根据角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）证明：，为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ， （2）， ，即 ，均为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ∴， ，即， （3）过点作，，垂足分别为点、， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， 平分． 题型07 线段垂直平分线与角平分线的应用 【典例1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案． 【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故选：D 【变式1】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，点P到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线，点P到两个车站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点P即为所求． 【变式3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线性质的应用、角平分线性质的应用，分别作出线段的垂直平分线，的角平分线交于点D即可求解，掌握相关尺规作图方法是关键． 【详解】解：∵发射塔离村庄A、B的距离必须相等， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线上， 又∵发射塔到两条高速公路、的距离也必须相等， ∴发射塔应建在的角平分线上， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线和的角平分线的交点上， ∴连接，作的垂直平分线，作的角平分线交于点， 则点即为发射塔修建位置，如图所示： 1．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】分别写出个命题逆命题，即可求解． 【详解】解：A、逆定理为：两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意； B、逆定理为：两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意； C、逆定理为：两直线平行，同位角相等，故本选项不符合题意； D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，即该定理没有逆定理，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查了逆定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（21-22八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　 　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 3．（23-24八年级上·上海·单元测试）下列命题中逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个锐角都是，那么这两个角互余 C．若，那么 D．等腰三角形两底角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键． 根据选项中的命题写出其逆命题，然后判断命题真假即可． 【详解】解：．对顶角相等的逆命题为：如果两个角相等，则这两个角为对顶角，是假命题，故该选项不符合题意； ．如果两个锐角都是，那么这两个角互余的逆命题为：如果这两个角互余，那么两个锐角都是，是假命题，故该选项不符合题意； ．若，那么的逆命题为：如果，那么，是假命题，故该选项不符合题意； ．等腰三角形两底角相等的逆命题为：两角相等的两个三角形是等腰三角形，是真命题，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，点O是、的平分线的交点，且，，，则点O到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形面积求法．利用角平分线的性质结合三角形的面积得出答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为，连接， 是、的平分线，， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·辽宁辽阳·开学考试）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果，那么 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】D 【分析】写出命题的逆命题，后根据所学知识判断真假即可． 本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键． 【详解】A. 周长相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； B. 对应角相等三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； C. 如果，那么，假命题，不符合题意； D. 两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，符合题意； 故选D． 6．（21-22七年级下·江苏南京·期末）在△ABC中，，若，平分交于点，且，则点到线段的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是求出的长度．先求出的长度，根据角平分线的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ，， 平分，，， ， 故选：B． 7．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，熟练掌握三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等是解题的关键． 根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等，判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， ∴A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 8．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路线问题,垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值． 【详解】解：如图，延长至，使，    延长至，使， 则垂直平分，垂直平分， ，， 根据两点之间，线段最短， 当，，，四点在一条直线时，最小， 则的值最小， 即的周长最小， ，， 可设，， 在中，， ，， ， 故选：A． 9．（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相全等三角形的判定是解题关键． 利用“”证明，由全等三角形的性质证明，即可判断结论①；作于点于点，设交于点证明，即判断结论②；利用三角面积公式证明，由角平分线的判定定理即可判断结论④；题目中条件无法证明结论③正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，故①正确； 如图，作于点，于点，设交于点， 在和中， ，， ， ，故②正确； ，，， ， ， ， ， 平分， ，故④正确； 若③成立，则， ， ，推出， 由题意知，不一定等于， 不一定平分，故③错误； 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个， 故选：C. 10．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则△ABC的周长为（    ） A．26 B．32 C．38 D．44 【答案】C 【分析】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意可得：垂直平分线段，可得、；再根据题意可得，最后求出的周长即可． 【详解】解：由题意可得：垂直平分线段， ∴，, ∵的周长为26， ∴, ∴△ABC的周长． 故答案为：38． 11．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在△ABC中，，平分，，D到的距离是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 【详解】解：作于E，如图， 又，平分， ， 故答案为：3． 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知为△ABC的内角平分线，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质．根据角平分线的性质结合三角形的面积公式得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】 解：如图，作，，垂足分别为， ∵为△ABC的内角平分线， ∴， ∴，又， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在△ABC中，为△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，若，，，则△ABC的面积为______． 【答案】4 【分析】此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题关键；根据角平分线的性质可得然后根据三角形面积公式可得答案； 【详解】解：为△ABC的角平分线，， 故答案为：4； 14．（2024八年级上·上海·专题练习）命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是___________________________________________． 【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键． 交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在△ABC中，，的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】此题考查了线段垂直平分线和三等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论，分当的垂直平分线与边相交和当的垂直平分线与的延长线相交两种情况求解即可． 【详解】解：当的垂直平分线与边相交时，如图①，边的垂直平分线与边交于点D，，则， ∵， ∴． 当的垂直平分线与的延长线相交时，如图②，边的垂直平分线与的延长线交于点D，，则， ∴． ∵， ∴． 综上所述：为或． 故答案为：或． 16．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是△ABC的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为_______． 【答案】11 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质．过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明，，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于H，如图， ∵是△ABC的角平分线，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵和的面积分别为60和38， ∴， ∴． 故答案为：11． 17．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键．延长至点，使，连接，，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 是△ABC的中线，，分别在边，上， ， 又，， 是的垂直平分线， ， 又 ， ， ， ． 故答案为： 18．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则_______． 【答案】84 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，并延长到P，根据线段的垂直平分线的性质得，，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，相加可得结论． 【详解】解：连接，并延长到P， ∵线段、的垂直平分线、相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴； 故答案为：84． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ABC中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时，________（用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键；连接，，与交于点H，连接，由题意易得，要使的周长为最小值，则需满足为最小，即为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：连接，，与交于点H，连接，如图所示： ∵，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴要使的周长为最小值，则需满足为最小，即为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段的长，此时点P与点H重合， ∴， 故答案为． 20．（24-25八年级上·天津南开·阶段练习）如图，的平分线交于点，过点作，垂足分别为．有下列结论：①平分；②；③；④．其中，正确的是_______（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质和判定即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据，得到，即可判断；④和分别是和的角平分线以及三角形内角和为得到∴，再由三角形外角的性质即可判断． 【详解】解：①如图，过点作于点，    平分，，， ， ∵平分，，， ∴， ， ，， ∴平分，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ， ∴， ， 故②错误； ③∵，， ∴， ∴， 故③正确； ④∵和分别是和的角平分线以及三角形内角和为 ∴ ∴， ∴， 故④正确； 故答案为：①③④ 21．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，点P是中一点，于点A，于点B，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，等角对等边，以及三角形内角和定理以及四边形的内角和定理． （1）由已知条件可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明； （2）根据四边形的内角和等于求出的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴平分， 即是的平分线． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 22．（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在△ABC中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解答过程；(2)，理由见解答过程 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：，点是边的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， 点是边的中点， ， ． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，，过点分别作、，垂足分别为、，，连接，． (1)求证：平分； (2)若，点为射线上的一点，且，则_________． 【答案】(1)证明见解析；(2)或． 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，得到，根据角平分线的判定即可证明结论； （2）分两种情况：当点与点重合时，当点与点不重合时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵、， ∴， ∵点为的中点，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴分两种情况： 当点与点重合时，， 当点与点不重合时，则， ∴， ∴， 故答案为：或． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)若，，则的面积为　　　． 【答案】(1)见解析；(2)27 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）由角平分线的性质定理可得出．结合题意可证，即得出，从而由等腰三角形“三线合一”的性质可证垂直平分； （2）根据，，，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，，即垂直平分； （2）解：由（1）可知． ∵，，， ∴． 故答案为：27． 25．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）四边形中，，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)60 【分析】（1）如图1中，过点E作，垂足为F，证明，可得结论； （2）如图2，延长相交于点F，证明，推出，证明，可得结论； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作，垂足为F， ， ， ， ， ，， 平分，，， ， ，， 平分； （2）如图2，延长相交于点F， 平分，平分， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的中点； （3）由（2）得， ，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 26．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， 平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 27．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，作出，的中垂线相交于点，则点是所求的点． 【详解】如图，作出和的中垂线，相交于点，则点是所求的到三村距离相等的点． 理由：点在线段的垂直平分线上， ． 点在线段的垂直平分线上， ， ． 28．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，边，的垂直平分线分别交于点D，E． (1)若，，则； (2)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 【答案】(1)11；(2)点O在的垂直平分线上． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：11； （2）解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，连接，，，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 29．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ABC中，，的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质； （1）根据等边对等角三角形内角和定理，得出，根据垂直平分线的性质可得，则，即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，，进而根据周长为，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ，， ， 又，周长为， 即， ． 30．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）综合与实践 【情境再现】 如图①，的平分线与△ABC的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 （1）试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 （2）如图②，在△ABC中，是上一点，将沿翻折得到与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 （3）如图③，在四边形中，平分，若，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）； （3）． 【分析】（1）由角平分线得，，再由三角形的外角性质得，，进而得，即可得证； （2）延长到，如图，由角平分线的定义得平分，进而由（）得，再根据折叠及直角三角形的性质即可得解； （3）过点作，，，垂足分别为、、，由，，得平分，进而得由（）得，，再根据角平分线的性质定理及判定定理即可得解． 【详解】解：（1）∠， 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）延长到，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴由（1）得， 由折叠得， ∴， ∵， ∴； （3）过点作，，，垂足分别为、、， ∵，， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴由（）得， ∴， ∵平分平分，，，， ∴，， ∴， ∴平分， ∴． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理及判定定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，邻补角性质，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． ( 50 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.5 逆命题与逆定理 课程标准 学习目标 ①了解原命题及其逆命题的概念； ②会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； ③掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，理解三角形的三条垂直平分线的性质； ④掌握角平分线的性质及其逆定理，理解三角形的三条角平分线的性质． 1. 了解原命题及其逆命题的概念； 2. 会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立； 3.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，理解三角形的三条垂直平分线的性质； 4.掌握角平分线的性质及其逆定理，理解三角形的三条角平分线的性质． 知识点01互逆命题 互逆命题：将命题“如果 ｐ，那么 ｑ”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果 ｑ，那么 ｐ”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题。 【即学即练1】 （24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为（   ） A．两直线相交，内错角相等 B．内错角相等，两直线相交 C．内错角相等，两直线平行 D．以上都不对 知识点02 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何表示：∵CD是AB的垂直平分线，∴CA=CB。 【即学即练2】 （24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在△ABC中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，△ABC的面积为40，则的最小值为_______． 知识点03 线段垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． ∵CA=CB。 ∴点C在AB的垂直平分线上。 【即学即练3】 （24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，△ABC中，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若△ABC的周长为，，求长． 知识点04 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【即学即练4】 （24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，，的面积是15，则_______． 知识点05 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 【即学即练5】 （24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）已知，如图，点B、C分别在射线、上，，的面积等于的面积，求证：平分． 题型01 互逆命题 【典例1】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果，那么．下列命题中，具有以上特征的命题是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 【变式2】（22-23七年级下·山东泰安·期中）已知下列命题：①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③直角三角形的两个锐角互余；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）给出命题：“如果，那么．” (1)写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． (2)请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 题型02 互逆定理 【典例1】（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【变式1】（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）下列定理中没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．对顶角相等 D．若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等 【变式2】（2024·重庆·模拟预测）下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【变式3】（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 题型03 线段的垂直平分线 【典例1】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，在△ABC中，l是的垂直平分线，交于点D，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，是△ABC中边的垂直平分线，若厘米，厘米，则△EBC的周长为（   ） A．14厘米 B．16厘米 C．24厘米 D．26厘米 【变式2】（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上动点，则周长的最小值为_______． 【变式3】（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，△ABC中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 题型04 线段垂直平分线的性质的逆定理 【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是_________（填序号） 【变式2】（23-24八年级下·天津·单元测试）如图，在△ABC中，点D是边的中点，，，．求证：． 【变式3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，△ABC中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 题型05 角平分线的性质 【典例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．求证：平分 【变式1】（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在△ABC中，，，平分，，，则的面积为（    ） A．14 B．12 C．10 D．7 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，△ABC中，，，，，，是两内角平分线，于，则的长为_______．    【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是△ABC的角平分线，于点E，的面积，，则的长是_______． 题型06 角平分线的判定 【典例1】（24-25八年级上·天津南开·阶段练习）如图，，，，交于点，连接． (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)求证：平分（提示：过作于于）； (3)求的度数（用含的式子表示） 【变式1】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，D是的中点，于E，于F，．求证：是△ABC的角平分线． 【变式2】（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【变式3】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，点、、在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点，，交于点，连接，证明： (1)； (2)； (3)平分． 题型07 线段垂直平分线与角平分线的应用 【典例1】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式1】（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置． 【变式3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 1．（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 2．（21-22八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　 　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 3．（23-24八年级上·上海·单元测试）下列命题中逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个锐角都是，那么这两个角互余 C．若，那么 D．等腰三角形两底角相等 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，点O是、的平分线的交点，且，，，则点O到边的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·辽宁辽阳·开学考试）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果，那么 D．直角三角形的两个锐角互余 6．（21-22七年级下·江苏南京·期末）在△ABC中，，若，平分交于点，且，则点到线段的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 8．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则△ABC的周长为（    ） A．26 B．32 C．38 D．44 11．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在△ABC中，，平分，，D到的距离是_______． 12．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知为△ABC的内角平分线，，，，则的长为________． 13．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在△ABC中，为△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，若，，，则△ABC的面积为______． 14．（2024八年级上·上海·专题练习）命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是___________________________________________． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在△ABC中，，的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为___________． 16．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是△ABC的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和38，则的面积为_______． 17．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是_______． 18．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则_______． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ABC中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时，________（用含α的代数式表示）． 20．（24-25八年级上·天津南开·阶段练习）如图，的平分线交于点，过点作，垂足分别为．有下列结论：①平分；②；③；④．其中，正确的是_______（填序号）． 21．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，点P是中一点，于点A，于点B，连接，． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 22．（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在△ABC中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 23．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，，过点分别作、，垂足分别为、，，连接，． (1)求证：平分； (2)若，点为射线上的一点，且，则_________． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)若，，则的面积为　　　． 25．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）四边形中，，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 26．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 27．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由． 28．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，边，的垂直平分线分别交于点D，E． (1)若，，则； (2)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 29．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ABC中，，的垂直平分线分别交、于点、． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为，求的长． 30．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）综合与实践 【情境再现】 如图①，的平分线与△ABC的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 （1）试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 （2）如图②，在△ABC中，是上一点，将沿翻折得到与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 （3）如图③，在四边形中，平分，若，求的度数． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$