专题04 圆的有关概念及其应用（6基础题型+1提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题04 圆的有关概念及其应用 利用垂径定理求值 1．（23-24九年级上·天津西青·期中）如图，在中，弦，，垂足为C，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，为的直径，弦于点，已知，则的长为（    ）    A．16 B．12 C．10 D．8 3．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 4．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，    求 (1) (2)的半径． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交圆弧于点，并且，，求的半径．    (1)填空：设这个圆的半径为，则_____．（用含的代数式表示） (2)列出方程，并求出问题的解． 6．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，的半径为，弦AB的长． (1)求的度数； (2)求点O到的距离． 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（22-23九年级上·天津南开·期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，，，则 ．    3．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，AB，CD是的直径，，若，则的度数是 ． 圆周角定理 1．（23-24九年级上·天津·期中）如图，是的弦，D是CA延长线上的一个点，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，都是的半径，，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·天津河西·期中）如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，内接于，，的半径为2，则的长等于（    ）    A．2 B．4 C． D． 5．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，若是的半径，若，则 ． 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知的直径为10，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 7．（23-24九年级上·天津·期中）已知是的内接三角形，的平分线交于点．    (1)如图①，若是的直径，，求的长； (2)如图②，连接，求证：． 8．（22-23九年级上·天津·期中）如图，点，，，都在半径为的上，若，，问： (1)求的度数； (2)求弦的长． 已知圆内接四边形求角度 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津西青·期中）根据所学知识完成下列问题： (1)如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求：①的度数；②的度数． (2)如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．    3．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，四边形内接于，连接，，．    (1)求的大小； (2)若的半径为3，求的长． 4．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）（1）如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求 ①的度数 ②的度数 （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．    判断点与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，的半径为5，若点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 2．（23-24九年级上·天津和平·期中）已知的半径为，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知的半径是，点与圆心的距离分别为．则点A在 ，点在 ，点在 ． 切线的性质定理 1．（23-24九年级上·天津河北·期中）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）在中，弦与直线相交于点， (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小； (3)如图②，若，，求的半径． 3．（20-21九年级上·天津河北·期中）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：平分； （2）若，，试求的半径． 圆的综合问题 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形为圆P的内接四边形，点A，B，C均在格点上，D为与格线的交点，连接．    (1)的长等于______； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，先确定圆心P，再画出弦（点E在弧上），使，并简要说明点P的位置和是如何得到的（不要求证明）． 2．（23-24九年级上·天津河北·期中）如图所示，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点E，作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的边长为2，求的长度． 3．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，点C在网格线上．    （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点D，使平分（不要求证明，保留作图痕迹） 4．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点、点，若正方形绕点O顺时针旋转，得正方形，记旋转角为：    (1)如图①，当时，求和的坐标； (2)如图②，当时，求点的坐标； (3)若P为线段的中点，求长的取值范围（直接写结果）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆的有关概念及其应用 利用垂径定理求值 1．（23-24九年级上·天津西青·期中）如图，在中，弦，，垂足为C，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，得到，根据勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B    【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分弦． 2．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，为的直径，弦于点，已知，则的长为（    ）    A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】先由垂径定理得，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：弦于点， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 3．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，设和交于点M，根据作图得出垂直平分，利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出结果． 【详解】解：连接，设和交于点M， 由作图可知：垂直平分， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果． 4．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，    求 (1) (2)的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据垂径定理求解； （2）连接，设的半径为．根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：的直径， ； （2）连接．设的半径为．   是直角三角形， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交圆弧于点，并且，，求的半径．    (1)填空：设这个圆的半径为，则_____．（用含的代数式表示） (2)列出方程，并求出问题的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】连接，利用垂径定理求解，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案． 【详解】（1）连接，    ∵是弦的中点，且经过圆心， ∴，且， 在Rt中， ∵的半径为，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴， ∴ 整理得，， 解得：． 【点睛】此题考查了垂径定理及勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键． 6．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，的半径为，弦AB的长． (1)求的度数； (2)求点O到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可； （2）作于C，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）解：连接， ， 为等边三角形， ； （2） 过点O作于C，则 由勾股定理得， ， 答：点O到的距离为． 【点睛】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理是解题的关键． 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（22-23九年级上·天津南开·期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵点D，C是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查弧长与圆心角的关系，熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 2．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，，，则 ．    【答案】 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 3．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，AB，CD是的直径，，若，则的度数是 ． 【答案】/64度 【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出，再根据对顶角相等，可推出，最后用即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键． 圆周角定理 1．（23-24九年级上·天津·期中）如图，是的弦，D是CA延长线上的一个点，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选B． 2．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，都是的半径，，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点D，连接，，，由，易得，继而证得，由垂径定理可得，结合同圆种等弧所对的圆周角相等可得，即可证明，C、D选项根据圆周角定理即可证明． 【详解】解：取的中点D，连接，，，    ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，故A错误， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ，故B正确； ∵， ∴，故C正确； ∵， ∴，故D正确； 故选：A． 【点睛】此本题考查了弧、弦与圆心角的关系、垂径定理以及圆周角定理．熟练掌握辅助线的作法是解题关键． 3．（23-24九年级上·天津河西·期中）如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，内接于，，的半径为2，则的长等于（    ）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，再根据半径，利用勾股定理计算结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 5．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，若是的半径，若，则 ． 【答案】/63度 【分析】连接，根据等边对等角可求的度数，根据三角形的内角和定理可求的度数，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，添加辅助线，正确求出的度数是解题的关键． 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知的直径为10，点A，点B，点C在上，的平分线交于点D．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论； （2）利用圆周角定理可以判定和是直角三角形，利用勾股定理可以求得的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵在直角中，， ∴由勾股定理得到：， ∵平分， ∴， ∴， 在直角中，， ， ∴． 7．（23-24九年级上·天津·期中）已知是的内接三角形，的平分线交于点．    (1)如图①，若是的直径，，求的长； (2)如图②，连接，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，进而由角平分线的定义得，即得到，再根据勾股定理即可求解； （）由圆周角定理可得，即得，得到，又由圆周角定理得，，等量代换即可求证； 本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴；    （2）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即． 8．（22-23九年级上·天津·期中）如图，点，，，都在半径为的上，若，，问： (1)求的度数； (2)求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于，先根据垂径定理得到，，再利用圆周角定理得到； （2）在中利用含度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，从而得到的长． 【详解】（1）解：如图， 于， ，， ； （2）解：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等，难度不大，能够综合运用上述知识是解题的关键． 已知圆内接四边形求角度 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆内接四边形，得出，根据是直径得出，则，根据垂径定理得出，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，垂径定理，直径所对的圆周角是直接，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（23-24九年级上·天津西青·期中）根据所学知识完成下列问题： (1)如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求：①的度数；②的度数． (2)如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．    【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据是的直径得到，结合得到，根据圆内接四边形对角互补得到，最后根据等腰三角形性质即可得到； （2）连接，根据弦垂直平分半径，若的半径为4得到，结合勾股定理即可得到答案 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， （2）解：连接，    ∵弦垂直平分半径，的半径为4， ∴，， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，圆内接四边形对角互补． 3．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，四边形内接于，连接，，．    (1)求的大小； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用圆周角定理得出的度数，再利用等弧所对的圆周角相等得到求出答案； （2）连接，，首先求出的度数，得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质求出答案． 【详解】（1）∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，， 则， 又∵， ∴为等边三角形， ∴．    【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）（1）如图1，是的直径，C、D是上的两点，若，，求 ①的度数 ②的度数 （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长．    【答案】（1），；（2） 【分析】（1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用三角形内角和定理计算即可； （2）连接，根据弦垂直平分半径可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：（1）①是直径， ， ， ， ， ②∵， ∴， ∴； （2）连接， 弦垂直平分半径，， ． ，即， 解得， ．    【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 判断点与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，的半径为5，若点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种：设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内；根据题意先利用勾股定理求得点到圆心的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点与的位置关系即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴由勾股定理得，点与的距离， ∵， ∴点在圆内， 故选：A． 2．（23-24九年级上·天津和平·期中）已知的半径为，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】由的半径为，知点到圆心的距离大于半径，从而得出答案． 【详解】解：∵的半径为，， ∴点到圆心的距离大于半径， ∴点在圆外， 故选：B． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知的半径是，点与圆心的距离分别为．则点A在 ，点在 ，点在 ． 【答案】 圆上 圆内 圆外 【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外． 【详解】解：由题意得：点A在圆上；点在圆内；点在圆外， 故答案为：圆上，圆内，圆外． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键． 切线的性质定理 1．（23-24九年级上·天津河北·期中）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理可得，，则，由切线的性质可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∴， 由切线的性质可知， ∴， 故选：D． 2．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）在中，弦与直线相交于点， (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小； (3)如图②，若，，求的半径． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由中外角定理求出的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的值；且，再由直径所对的圆周角等于求出，最后即可得到的值； （2）连接，由先求出，再由圆周角定理求出，最后由切线的性质可知，进而求出的度数． （3）连接，根据，可得，然后在中，利用勾股定理可求得半径 【详解】（1）是的一个外角，且，， ． 在中，， ． 为的直径， ． 在中，， 又， ． （2）如下图所示，连接OD， ， ． ． 在中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： ， ∴， 是的切线， ．即， ， ． （3）连接， ，且为的直径，， ， 设的半径为， 中，，， ， ， 解得：， 即的半径为 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的性质，圆周角定理及其推论是解题的关键． 3．（20-21九年级上·天津河北·期中）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． （1）求证：平分； （2）若，，试求的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，再证，然后再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明即可； （2）作于点，设的半径为，先证四边形是矩形，进而求得OE和AE，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图1：连接， ∵是切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，作于点， 设的半径为． ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，解得， ∴的半径是5． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等内容，灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 圆的综合问题 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形为圆P的内接四边形，点A，B，C均在格点上，D为与格线的交点，连接．    (1)的长等于______； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，先确定圆心P，再画出弦（点E在弧上），使，并简要说明点P的位置和是如何得到的（不要求证明）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）如图所示，取格点M，连接并延长，交于点N，连接与格线的交点即为点P；取与格线的交点F，以及格点H，连接并延长交于E，连接，弦即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：如图所示，取格点M，连接并延长，交于点N，连接与格线的交点即为点P；取与格线的交点F，以及格点H，连接并延长交于E，连接，弦即为所求； 由网格的特点可得，则， 根据90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，再由点P在线段的垂直平分线上，则与格线的交点即为点P； 由网格的特点可知垂直平分，则，则， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了确定一个圆的圆心位置，弧，弦，圆周角之间的关系，相等垂直平分线的性质，三线合一定理，勾股定理，先确定直径，再确定点P的位置，最后确定点E的位置是解题的关键． 2．（23-24九年级上·天津河北·期中）如图所示，已知是等边三角形，以为直径作，交边于点D，交边于点E，作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的边长为2，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质求出，根据切线的判定定理证明即可； （2）连接，根据等边三角形的性质求出，根据面积法结合图形计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴于点D． ∵点D在上， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接，    ∵为直径， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，点C在网格线上．    （Ⅰ）线段的长等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点D，使平分（不要求证明，保留作图痕迹） 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）画图见解析； 【分析】（Ⅰ）直接利用勾股定理进行计算即可； （Ⅱ）如图，取格点，连接交于，记圆与格线的两个交点为，连接，由，可得为直径，取格点，连接并延长与交于点，由，结合为的中点，可得，可得为圆心，记于格线的交点为，由平行线分线段成比例可得为的中点，连接，并延长交于，连接即可； 【详解】解：（Ⅰ）； （Ⅱ）如图，即为所求作的角平分线；    【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，矩形的性质，垂径定理的应用，三角形的外接圆的圆心的确定，熟练的利用垂径定理应用于作图是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点、点，若正方形绕点O顺时针旋转，得正方形，记旋转角为：    (1)如图①，当时，求和的坐标； (2)如图②，当时，求点的坐标； (3)若P为线段的中点，求长的取值范围（直接写结果）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）当时，根据旋转和等腰直角三角形的性质即可求解； （2）过点作x轴垂线，交x轴于点M，过点作的垂线，垂足为N，证明，可得，即可得出点的坐标； （3），相交于点K，则K是的中点，因为P为线段的中点，所以，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出长的取值范围． 【详解】（1）∵、，， ∴四边形是边长为6的正方形， 当时，=， 如图，设与y轴交于D点， ∴、是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴；    （2）如图，过点作x轴垂线，交x轴于点M，过点作的垂线，垂足为N，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，相交于点K，    则K是的中点， ∵P为线段的中点， ∴， ∴P在以K为圆心，3为半径的圆上运动， ∵， ∴最大值为，的最小值为， ∴长的取值范围为． 【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，圆的轨迹问题．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$