8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-2023教学设计-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

四川省芦山中学    罗良博

【学习目标】

【复习回顾】

矩形面积公式：S=ab      三角形面积公式：S=ah

梯形面积公式：S=(a+b)h    长方体体积：V=abc   正方体体积：V= a3

前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步认识简单几何体的表面积和体积.表面积表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小.

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.

问题1：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

几何体表面积=〉展开图=〉平面图形面积

空间问题=〉平面问题

探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

【新课教学】

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积

（1）直棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

                          

一般棱柱的表面积：                

（2）正棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

=                

          

一般棱锥的表面积也是：

（3）正棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

=                   =             

小结：

（1）棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。这样，求它们的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。

（2） 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积和底面面积之和．

例1四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积.

解：∵∆ABC是正三角形，其边长为a.

又∵四面体P-ABC各棱长均为a，

∴四面体四个都是全等的正三角形，

因此，四面体P-ABC的表面积为

2．棱柱、棱锥、棱台的体积

1．棱柱的体积

(1)棱柱的高是指      之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝      .

2．棱锥的体积

(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，    与     (垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝       .

3．棱台的体积

(1)棱台的高是指        之间的距离．

(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝           ．