8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 人教A版高中数学必修第二册 复习回顾 回顾1：在小学，我们已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的表面积与它们的展开图有什么关系吗？ 问题：一般的棱柱，如何求它的表面积呢？棱锥、棱台的表面积又如何求？ 求几何体表面积 求展开图的面积 空间问题 平面问题 空间问题平面化的思想 回顾2：如果不展开，又如何求得它们的表面积呢？ 课堂新知 棱柱,棱锥,棱台的表面积 一般地,多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和. 注意：表面积 = 底面积+侧面积 图1的是由_____个________形的底面和_____个________形的侧面围成； 图2的是由_____个________形的底面和_____个________形的侧面围成； 图3的是由_____个________形的底面和_____个________形的侧面组成. 空间问题平面化的思想 在求多面体表面积的过程中会涉及到常用平面多边形面积，你能熟练地计算它们的面积吗? 矩形 正方形 三角形 平行四边形 梯形 正三角形 情境引入 小试牛刀 例1：如图，四面体 的各棱长均为 ，求它的表面积. 例2：正四棱台的上、下底面边长分别为2 和4 ，侧面的高（斜高）是5 ，求它的表面积. 情境引入 课堂小实验 实验用具：扑克牌若干 实验要求：摆出两个底面积相等，高相等的棱柱 （1）这两个棱柱的体积有何关系？ 问题2：如何验证呢？ 情境引入 （2）如果底面积相等，高相等，但底面形状不一样呢？是否依旧成立？ h （3）上述实践有一个原理，叫什么名字呢？ 由特殊到一般的数学思想 注：棱柱的高是指两底面之间的距离 情境引入 祖暅 中国南北朝时期的伟大科学家，祖冲之之子。祖暅在数学上做出了突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，比意大利数学家卡瓦列利至少要早1100年。“势”即是高，“幂”是面积，祖暅原理用现代语言可以描述为： 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 夹在平行平面之间的几何体一定要是棱柱吗？ 情境引入 问题3：如果一个棱锥与一个棱柱的底面积相等，高也相等，那么它们的体积有怎样的关系？如何验证？（请用两种方法） 注：棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。 A B C A’ B’ C’ A B C A’ B’ C’ C A’ B’ A B A’ C 1 2 3 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． 深入探究 探究一：如何求得棱台的体积？（只讲思路） 注：棱台的高是指两底面之间的距离 深入探究 探究二：观察上述棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？请结合它们的结构特征进行解释。 巩固练习 【方法小结】组合体的体积 = ____________________________ 各部分几何体的体积之和 巩固练习 【方法小结】________________________________________________________ 等积转化法——改变棱锥的顶点与底面求体积的方法. 巩固练习 巩固练习 巩固练习 3、正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，高为 2，则其体积为_______. 【方法小结】可通过_______法将_______问题转化为_______问题,从而求得棱台的高. 巩固练习 【方法小结】可通过切割法将空间问题转化为平面问题,从而求得棱台的高. 变式3.2：正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧面的高（斜高）为 2，则其体积是多少？ 课堂总结 1.本节课学习了什么知识点？ 2.本节课感悟了什么数学思想？ $$