专题04 直线的交点坐标与距离公式（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

04直线的交点坐标与距离公式 一、知识归纳： 1．两直线的交点：设两条直线的方程分别为，．如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的 ；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有 ，那么以这个解为坐标的点必是直线和直线的交点． 2．两条直线的交点与方程组的解 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 直线的的位置关系 3．（1）相交直线系：若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为 . （2）凡是与直线平行的直线均可设为 ； （3）凡是与直线垂直的直线均可设为 . 4．两点间的距离：点，间的距离公式 . 5．点到直线的距离：点到直线：的距离 ． 6．两条平行直线之间的距离：两条平行直线：与：之间的距离 ． 自检自纠：1．公共解，唯一解 2．一个，无数个，零个，相交，重合，平行 3. （1） （2） （3） 4. 5. 6. 二、分层小练： A.基础练习 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知直线，则与的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，所以两直线的交点为，故选：A 2．点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点到直线距离公式得，故选：B 3．已知直线，,则之间的距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知平行直线与，则与间的距离.故选：B. 4．已知直线l过点，方向向量为，则原点到的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意，在直线中，方向向量为，∴直线l的斜率存在，设，则直线l的斜率为：，∴，∵直线l过点，∴，解得：，∴，即，∴原点到的距离为：，故选：B. 5．已知点P是轴上的点，P到直线 距离为6，则P点坐标为（    ） A．( -6，0) B．(-12，0) C．(-12，0)或(8，0) D．(-6，0)或(6，0) 【答案】C 【详解】由点P是轴上的点，设点,由距离公式可得距离，， 解得：或，所以点坐标为(-12，0)或(8，0).故选：C. 6．如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（    ） A． B． 0 C． D． 【答案】A 【详解】设关于轴对称的直线上的任意一点，则关于轴的对称点在直线上，故，即即为所求．故选：A． 7．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故选：B. 8．已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程组，解得，即，又因为直线与垂直，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，再联立方程组，解得，所以与的交点坐标为．故选：D. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或，故所求直线的方程为或.故选：BC 10．已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意，化简得：，解得，或，故选：AC 11．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设直线，且，直线到直线和的距离分别为， 由题知：，，因为，所以，即，解得或，即直线为或.故选：BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知点到直线的距离为1，则a的值为 . 【答案】 【详解】由题意知，解得.故答案为： 13．若点和到直线的距离相等，则 . 【答案】 【详解】由题意，可列式，得，解得.故答案为： 14．已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，当直线时，显然点，到直线的距离相等，如下图，  则此时，由，且直线过，则直线的方程为，整理可得； 当直线与直线相交时，作于，于，如下图，若，由，，则，可得，即为的中点，其坐标为，此时直线的斜率，直线的方程为，整理可得. 故答案为：或. B.能力强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知直线经过直线与的交点，且直线的斜率为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解方程组得,所以两直线的交点为.因为直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选：C. 2．已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（    ） A．2 B．4 C． D．不确定 【答案】A 【详解】由两直线平行可得，所以 与， 故两直线间的距离为.故选：A 3．点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，解得：，.故选：C. 4．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点是所求直线上任意一点，则关于直线对称的点为，且在直线上，所以，代入可得，整理得．所以，所求直线方程为.故选：B 5．如图，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知直线AB的方程为，设点关于直线AB的对称点为，则解得即．又点关于y轴的对称点为，由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长．故选：. 6．设为动点到直线的距离，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】点到直线的距离,因为,则,所以当时,.故选：C 7．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】设关于的对称点为，则，解得，即 故,,当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】设点关于直线对称的点为，则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为，故选：C 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．若两平行直线3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是（ ） A．2 B．-4 C．5 D．-6 【答案】AD 【详解】依题意知，，解得a＝-4，c≠-2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为， 又两平行线之间的距离为，根据两平行线间的距离公式可得：，解得c＝2或-6.选项AD正确，选项BC错误.故选：AD. 10．两条平行线分别经过点，，下列可能是这两条平行线间的距离的是（    ） A．4 B．7 C．9 D．11 【答案】ABC 【详解】当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别为，则．当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为与，即，．由此可得．当，即时，，成立．当时，由，可得，即，且．综上所述，．故应选ABC． 11．光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线的方程为，当时，；当时，.故选：BD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若为直线与直线的交点，则的值为 【答案】 【详解】因为为直线与直线的交点，所以，解得，所以，故答案为：. 13．若点A在直线上，且点A到直线的距离为，则点A的坐标为 . 【答案】或 【详解】依题意，设点A的坐标为，则有，解得或. 故答案为：或. 14．已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可知直线，所以当且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以，即的取值范围是．故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04直线的交点坐标与距离公式 一、知识归纳： 1．两直线的交点：设两条直线的方程分别为，．如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的 ；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有 ，那么以这个解为坐标的点必是直线和直线的交点． 2．两条直线的交点与方程组的解 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 直线的的位置关系 3．（1）相交直线系：若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为 . （2）凡是与直线平行的直线均可设为 ； （3）凡是与直线垂直的直线均可设为 . 4．两点间的距离：点，间的距离公式 . 5．点到直线的距离：点到直线：的距离 ． 6．两条平行直线之间的距离：两条平行直线：与：之间的距离 ． 自检自纠：1．公共解，唯一解 2．一个，无数个，零个，相交，重合，平行 3. （1） （2） （3） 4. 5. 6. 二、分层小练： A.基础练习 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知直线，则与的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，,则之间的距离为(　　) A． B． C． D． 4．已知直线l过点，方向向量为，则原点到的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 5．已知点P是轴上的点，P到直线 距离为6，则P点坐标为（    ） A．( -6，0) B．(-12，0) C．(-12，0)或(8，0) D．(-6，0)或(6，0) 6．如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（    ） A． B． 0 C． D． 7．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 10．已知点到直线的距离相等，则实数m的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知点到直线的距离为1，则a的值为 . 13．若点和到直线的距离相等，则 . 14．已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 . B.能力强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知直线经过直线与的交点，且直线的斜率为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（    ） A．2 B．4 C． D．不确定 3．点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（    ） A． B． C． D． 6．设为动点到直线的距离，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 7．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．若两平行直线3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是（ ） A．2 B．-4 C．5 D．-6 10．两条平行线分别经过点，，下列可能是这两条平行线间的距离的是（    ） A．4 B．7 C．9 D．11 11．光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若为直线与直线的交点，则的值为 13．若点A在直线上，且点A到直线的距离为，则点A的坐标为 . 14．已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$