27.1 圆的确定（8大题型提分练）（题型专练）数学沪教版五四制九年级下册

27.1 圆的确定 知识点一 圆的定义 ★1、圆的定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形，这个定点是圆心，联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径，这个定长是圆的半径长。 ★2、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 ★3、圆的两要素：圆心（定点）、半径（定长）。 【注意】（1）圆上的点到圆心的距离都等于定长(半径r)；到圆心的距离等于该定长的点都在圆上； （2）同圆的半径长相等；（3）同心圆：圆心重合、半径不同的圆是同心圆。 知识点二 圆内和圆外的定义 ★1、描述性定义：在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部（简称圆内），不含圆心的韶分闻做圆的外部（简称圆外）。 ★2、表示方法：点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外。 知识点三 点与圆的位置关系及其判定方法 ★1、点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外。 ★2、点与圆的位置关系的判定：要判断点和圆的位置关系，只要求出这个点到圆心的距离，再用与圆的半径比较即可。反过来，若已知点与圆的位置关系，则点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系也就随之确定了。 表示方法：设的半径为，点到圆心的距离，则有： 点在圆外⇔；点在圆上⇔；点在圆内⇔。 【注意】符号“⇔”读作“等价于”，表示这个符号两边的数学事实可由左边推出右边，也可由右边推出左边。 知识点四 经过已知点作圆 ★1、经过一个点A作圆：以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个（图1）； ★2、经过两点A、B作圆：由于所作圆的圆心到A、B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆可以作出无数个（图2）； ★3、经过不在同一条直线上的三点作圆：所求的圆要经过A,B,C三点，所以圆心到这三点的距离要相等。因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上（图3）。 作圆步骤： ①分别作出线段AB的垂直平分线 l1和线段BC的垂直平分线 l2，设它们的交点为，则； ②以点为圆心，(或、)为半径，作出经过、、三点的圆。因为过、、三点的圆的圆心只能是点，半径等于，这样的圆只有一个，即 ★4、定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点五 三角形的外接圆 ★三角形的外接圆的有关概念 三角形的三个顶点确定一个圆，经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 【注意】（1）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点； （2）三角形只有1个外接圆，一个圆有无数个内接三角形； （3）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部； （4）经过四边形四个顶点的圆叫做四边形的外接圆。经过多边形每个顶点的圆叫做多边形的外接圆。 ★2、尺规作图——已知钝角三角形ABC，用直尺和圆规作出这个三角形的外接圆。 ①作线段的垂直平分线l1。 ②作线段的垂直平分线l2，设(与l1相交于点O) ③以点为圆心、为半径作⊙。⊙就是所求作的圆。 【注意】分别联结，，，可知,，所以⊙是的外接圆，钝角三角形的外接圆的圆心在这个三角形的外部。 题型一 圆的基本概念辨析 解题技巧提炼 1、圆：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆； 2、圆的两个要素：圆心和半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 特别提醒：（1）“圆”指的是“圆周”，是一条封闭的曲线，不是圆面； （2）半径是线段； （3）圆上任意的两点和圆心构成的三角形是等腰三角形。 1、下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 2、下面说法错误的是（    ） A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍 C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关 3、下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4、如图，是的直径，点在上，于点．已知，，则的半径为 ． 5、在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心M的坐标为 ． 6、如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 题型二 求一点到圆上点的距离 解题技巧提炼 1、圆内一点到圆的最大距离就是圆的半径，最小距离等于圆的半径减去圆心到圆内的点的距离； 2、圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离在该点与圆心的连线所在的直线上。记圆外的点为A，圆上的点为B，圆心为O，记OA=，圆的半径为r。则当O、A、B共线时，若B在线段OA之间，则AB取最小值，若O在线段BA之间，则AB取最大值。 特别提醒：求一点到圆上点的距离本质是两点间距离。涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。 1、已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm 2、点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 3、在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 4、若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 5、如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ． 6、已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 题型三 判断点与圆的位置关系 解题技巧提炼 如果点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；如果点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；如果点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外。 特别提醒：要判断点和圆的位置关系，只要求出这个点到圆心的距离 d，再比较 d与圆半径 R的大小即可。 1、已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 2、若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 3、在中，，，，以点为圆心，半径为8的圆记作圆，那么下列说法正确的是（　　） A．点在圆内，点在圆外 B．点在圆上，点在圆外 C．点、都在圆内 D．点、都在圆外 4、如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 5、在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是 ． 6、在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，的半径为5，则点与的位置关系是 ． 题型四 利用点与圆的位置关系求半径 解题技巧提炼 如果点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；如果点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径；如果点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径。 特别提醒：若已知点与圆的位置关系，只要求出这个点到圆心的距离 d，再用 d与圆的半径 R比较即可确定R的范围。 1、已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、已知的半径为，点P在外，则可能等于（　　） A． B． C． D． 3、已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 4、如图，在中，，，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的整数值是 ． 5、如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .    6、已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 题型五 三角形外接圆的理解运用 解题技巧提炼 1、任何三角形有且只有一个外接圆，但每个圆有无数个内接三角形； 2、外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点；找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点； 3、锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部； 4、直角三角形的外接圆直径是斜边长。 1、三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 2、如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 3、在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 4、如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 5、如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 6、如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 题型六 三角形外心的理解运用 解题技巧提炼 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点； 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 1、点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 2、已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于 ． 3、如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 4、如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5、如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 6、已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 题型七 确定圆的条件的理解运用 解题技巧提炼 1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2、三角形的三个顶点确定一个圆。 特别提醒：当A，B，C三点不在同一条直线上时，任意两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心。 1、下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 2、在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 3、正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 4、若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 5、如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 6、如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 题型八 尺规作图---画圆和确定圆心 解题技巧提炼 1、圆心为弦垂直平分线的交点。 2、作三角形外接圆的方法： 1 作三角形两边的垂直平分线找出交点； 2 以交点为圆心，以圆心到三角形任一顶点的距离为半径作圆。 特别提醒：圆心为弦垂直平分线的交点。 1、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点 . 2、画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x． 3、如图，已知为等腰三角形，点E为的中点，请用尺规作图法，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法） 4、如图，已知，请用尺规作图法，在中求作一点O，使点O为外接圆的圆心，并画出．（保留作图痕迹，不写作法） 5、已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　 　． 6、如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.1 圆的确定 知识点一 圆的定义 ★1、圆的定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形，这个定点是圆心，联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径，这个定长是圆的半径长。 ★2、圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 ★3、圆的两要素：圆心（定点）、半径（定长）。 【注意】（1）圆上的点到圆心的距离都等于定长(半径r)；到圆心的距离等于该定长的点都在圆上； （2）同圆的半径长相等；（3）同心圆：圆心重合、半径不同的圆是同心圆。 知识点二 圆内和圆外的定义 ★1、描述性定义：在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部（简称圆内），不含圆心的韶分闻做圆的外部（简称圆外）。 ★2、表示方法：点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外。 知识点三 点与圆的位置关系及其判定方法 ★1、点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外。 ★2、点与圆的位置关系的判定：要判断点和圆的位置关系，只要求出这个点到圆心的距离，再用与圆的半径比较即可。反过来，若已知点与圆的位置关系，则点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系也就随之确定了。 表示方法：设的半径为，点到圆心的距离，则有： 点在圆外⇔；点在圆上⇔；点在圆内⇔。 【注意】符号“⇔”读作“等价于”，表示这个符号两边的数学事实可由左边推出右边，也可由右边推出左边。 知识点四 经过已知点作圆 ★1、经过一个点A作圆：以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个（图1）； ★2、经过两点A、B作圆：由于所作圆的圆心到A、B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆可以作出无数个（图2）； ★3、经过不在同一条直线上的三点作圆：所求的圆要经过A,B,C三点，所以圆心到这三点的距离要相等。因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上（图3）。 作圆步骤： ①分别作出线段AB的垂直平分线 l1和线段BC的垂直平分线 l2，设它们的交点为，则； ②以点为圆心，(或、)为半径，作出经过、、三点的圆。因为过、、三点的圆的圆心只能是点，半径等于，这样的圆只有一个，即 ★4、定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点五 三角形的外接圆 ★三角形的外接圆的有关概念 三角形的三个顶点确定一个圆，经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 【注意】（1）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点； （2）三角形只有1个外接圆，一个圆有无数个内接三角形； （3）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部； （4）经过四边形四个顶点的圆叫做四边形的外接圆。经过多边形每个顶点的圆叫做多边形的外接圆。 ★2、尺规作图——已知钝角三角形ABC，用直尺和圆规作出这个三角形的外接圆。 ①作线段的垂直平分线l1。 ②作线段的垂直平分线l2，设(与l1相交于点O) ③以点为圆心、为半径作⊙。⊙就是所求作的圆。 【注意】分别联结，，，可知,，所以⊙是的外接圆，钝角三角形的外接圆的圆心在这个三角形的外部。 题型一 圆的基本概念辨析 解题技巧提炼 1、圆：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆； 2、圆的两个要素：圆心和半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 特别提醒：（1）“圆”指的是“圆周”，是一条封闭的曲线，不是圆面； （2）半径是线段； （3）圆上任意的两点和圆心构成的三角形是等腰三角形。 1、下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 【答案】C 【解析】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆； B、只确定圆的半径，不可以确定圆； C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆； D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆； 故选：C． 2、下面说法错误的是（    ） A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍 C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关 【答案】B 【解析】解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确； B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误； C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴； D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确．故选：B． 3、下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误．故选：A． 4、如图，是的直径，点在上，于点．已知，，则的半径为 ． 【答案】5 【解析】解：如图，连接， ，， ， 在中， ， 解得：， 的半径为5． 5、在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心M的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：设M点的坐标为， 由题意知，，， 化简得：， 解得：， 6、如图，点，，在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】解：点，，在上 四边形是平行四边形 四边形是菱形 如图，连接，过点作交于点 则 为等边三角形 四边形的面积为：． 题型二 求一点到圆上点的距离 解题技巧提炼 1、圆内一点到圆的最大距离就是圆的半径，最小距离等于圆的半径减去圆心到圆内的点的距离； 2、圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离在该点与圆心的连线所在的直线上。记圆外的点为A，圆上的点为B，圆心为O，记OA=，圆的半径为r。则当O、A、B共线时，若B在线段OA之间，则AB取最小值，若O在线段BA之间，则AB取最大值。 特别提醒：求一点到圆上点的距离本质是两点间距离。涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。 1、已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm 【答案】A 【解析】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是（cm），因而半径是3cm．故选：A． 2、点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 【答案】或 【解析】解：当点在圆外时， ∵外一点到上各点的最长距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 当点在圆内时， ∵内一点到上各点的最长距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为． 3、在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是，故选：． 4、若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b， 若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为； 当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是；故选C． 5、如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】解：如图，连接，，交半圆O于点， ， 在中，，， ∴， 当点P与点重合时，取得最小值． 6、已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值， 此时直线过点I， 把点I坐标代入中，得：， 解得：；故选：D． 题型三 判断点与圆的位置关系 解题技巧提炼 如果点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；如果点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；如果点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外。 特别提醒：要判断点和圆的位置关系，只要求出这个点到圆心的距离 d，再比较 d与圆半径 R的大小即可。 1、已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】B 【解析】解：∵， ∴点P到圆心的距离小于的半径， ∴点P在圆内，故选：B． 2、若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【解析】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点与的位置关系为：点在圆上，故选：B． 3、在中，，，，以点为圆心，半径为8的圆记作圆，那么下列说法正确的是（　　） A．点在圆内，点在圆外 B．点在圆上，点在圆外 C．点、都在圆内 D．点、都在圆外 【答案】A 【解析】解：在中，，，， ，即， ， ， 点在的内部， ， ， 点在的外部，故选：A． 4、如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】C 【解析】解：∵半径为5， ∴，，，， ∴到圆心O距离为7的点为点，故选：C． 5、在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是 ． 【答案】点在的外面 【解析】解：连接， ∵矩形中，， ∴，， ∴； ∵的半径为4，， ∴点C与的位置关系是：点在的外面． 6、在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，的半径为5，则点与的位置关系是 ． 【答案】点在上 【解析】解：点， 的半径为5， 点在圆上，故答案为：点在上． 题型四 利用点与圆的位置关系求半径 解题技巧提炼 如果点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；如果点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径；如果点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径。 特别提醒：若已知点与圆的位置关系，只要求出这个点到圆心的距离 d，再用 d与圆的半径 R比较即可确定R的范围。 1、已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴， 比较四个选项，只有，故选：D． 2、已知的半径为，点P在外，则可能等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵的半径为，点在外， ．故选：D． 3、已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵半径为，点为内一点，， ∴．故选：B 4、如图，在中，，，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的整数值是 ． 【答案】4 【解析】解：在中，，，， ∴， 点在内且点在外， ，即， ∴r的整数值是4． 5、如图，在中，，cm，cm，以C为圆心，r为半径作，若A，B两点中只有一个点在内，则半径r的取值范围是 .    【答案】 【解析】解：因为A、B两点中只有一个点在⊙C内， 只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外． 因为点B在圆内，所以cm． 当点A在圆上时，cm． 当点A在圆外时，cm． 因此：． 6、已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：，故选：D． 题型五 三角形外接圆的理解运用 解题技巧提炼 1、任何三角形有且只有一个外接圆，但每个圆有无数个内接三角形； 2、外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点；找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点； 3、锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部； 4、直角三角形的外接圆直径是斜边长。 1、三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 【答案】 不在同一直线上 顶点 外接圆 垂直平分线 顶点 2、如图：已知是等边三角形，O为外接圆圆心，以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转 度与原来的三角形重合． 【答案】120 【解析】解：∵O为为外接圆圆心，， ∴点O是的中心， ∵， ∴以O为旋转中心，按顺时针方向至少旋转与原来的三角形重合．故答案为：120． 3、在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】4或5 【解析】当为斜边时， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 4、如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 【答案】B 【解析】 是的外接圆， 点O是的三条边的垂直平分线的交点，故选：B． 5、如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【解析】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个，故选：B． 6、如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：，故选：B． 题型六 三角形外心的理解运用 解题技巧提炼 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点； 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 1、点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【解析】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点，故选：A． 2、已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于 ． 【答案】3 【解析】∵直角的斜边长为6， ∴这个三角形的外接圆的半径等于3． 3、如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【解析】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内，故选：C． 4、如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【解析】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于．故选：C 5、如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴．故选：D． 6、已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【解析】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 题型七 确定圆的条件的理解运用 解题技巧提炼 1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2、三角形的三个顶点确定一个圆。 特别提醒：当A，B，C三点不在同一条直线上时，任意两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心。 1、下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个；故选B． 2、在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【解析】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆．故答案为：不能． 3、正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【解析】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 4、若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【解析】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，故答案为：4 5、如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为．故选：D 6、如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 【答案】2 【解析】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2， 故答案为：2． 题型八 尺规作图---画圆和确定圆心 解题技巧提炼 1、圆心为弦垂直平分线的交点。 2、作三角形外接圆的方法： 1 作三角形两边的垂直平分线找出交点； 2 以交点为圆心，以圆心到三角形任一顶点的距离为半径作圆。 特别提醒：圆心为弦垂直平分线的交点。 1、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点 . 【答案】Q 【解析】根据圆心为弦垂直平分线的交点，故分别作AB、BC的中垂线，交点即为所求，如图所示： 由图可知，这条圆弧所在圆的圆心是点Q.故答案为Q. 2、画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x． 【答案】解：如图所示，即为所求． 3、如图，已知为等腰三角形，点E为的中点，请用尺规作图法，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：作线段的垂直平分线交直线于O，以O为圆心，为半径作，即为所求． 4、如图，已知，请用尺规作图法，在中求作一点O，使点O为外接圆的圆心，并画出．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点O和即为所求． 5、已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】解：（1）如图⊙O即为所求． （2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE＝4，BE＝EC＝3， 在Rt△OBE中，OB＝＝5．故答案为：5． 6、如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）解：如图为所求作的图形． （2）圆的周长， ∴车轮滚动一圈直走的路程是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$