高二上学期期中数学模拟试卷01（范围：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

绝密★考试结束前 2024-2025学年高二上学期期中数学模拟试卷01 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 4．已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知两条直线，若与平行，则实数（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 6．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，动直线，则下列结论错误的有（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为 B．存在实数k，使得与没有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．原点到直线的距离为 . 13．已知向量，，且，则实数m＝ ． 14．已知A，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知空间向量，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与所成角是锐角，求实数的范围． 16．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 17．已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称． (1)求圆C的方程； (2)过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程． 18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 19．已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024-2025学年高二上学期期中数学模拟试卷01 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：.故选：C. 2．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，即，所以.故选：B. 3．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【解析】由椭圆，得，即， 设左焦点为，右焦点为，则， 因为，所以，即点到左焦点的距离为2.故选:D. 4．已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：.故选：A. 5．已知两条直线，若与平行，则实数（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【解析】直线平行， 则，所以.故选：A 6．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】对于A选项，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B选项，设，则， 此方程组无解，即不存在实数x，y，使得，，共面， 所以，，不共面，故B正确． 对于C选项，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D选项，因为， 所以，，共面，故D错误；故选：B． 7．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以，故选：C 8．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，    由圆的几何性质可知， 易知、分别为、的中点，则，且， 所以，，由椭圆的定义可得， 由勾股定理可得，即， 整理可得，可得， 因此，该椭圆的离心率为，故选：D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，动直线，则下列结论错误的有（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为 B．存在实数k，使得与没有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，的方程为，故倾斜角是，A错误； 对于B，两直线总有公共点，B错误； 对于C，当时，两直线的方程都是，故重合，C错误； 对于D，由于，故两直线不垂直，D正确.故选：ABC. 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为点是的中点，是上的一点，且， 所以， 故， 又，且 ， 所以，故A正确，B错误， 又，所以 ，故C正确，D错误. 故选：AC． 11．已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 【答案】ACD 【解析】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设则， 由得：，故， 故，故D正确.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．原点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】点到直线的距离为：. 故答案为： 13．已知向量，，且，则实数m＝ ． 【答案】/ 【解析】因为，， 所以，， 因为，所以，解得． 故答案为： 14．已知A，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由已知可得，圆的圆心为，半径， 根据垂径定理可得，， 所以，点在以为圆心，1为半径的圆上， 方程为，半径. 由已知可得，，解可得，所以直线过定点. 又，解可得，所以直线过定点. 因为，所以. 又点为两直线的交点， 所以，点在以为直径的圆上. 因为，且中点， 所以，圆心，半径， 所以，圆的方程为. 综上可得，点是圆与圆的公共点， 所以两圆位置关系为相交、外切、内切， 所以，有，即. 又，所以，解得，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知空间向量，. (1)若与共线，求实数的值； (2)若与所成角是锐角，求实数的范围． 【答案】(1);(2){且}． 【解析】（1）由已知可得，． 因为与共线，所以，解得． （2）由(1)知，． 所以，∴． 又当时，与共线， 所以实数的范围为{且}． 16．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以，所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    17．已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2），且圆C关于直线2x+y＝0对称． (1)求圆C的方程； (2)过点D（-3,1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】(1)（x﹣1）2+（y+2）2＝16;(2)x＝﹣3和7x﹣24y+45＝0 【解析】（1）已知圆C经过点A（1,2）和B（5,-2）， 则线段AB的垂直平分线方程为：y＝x-3，即 x-y-3＝0， 又圆心在直线2x+y＝0上， 联立，解得， 所以圆心为C（1,-2），半径为R＝|AC|＝4， 所以圆C的标准方程（x-1）2+（y+2）2＝16； （2）若直线l的斜率存在，方程可设为y＝k（x+3）+1，即kx-y+3k+1＝0， 圆心C（1,-2）到直线l的距离d4，解得k， 故所求的一条切线为7x-24y+45＝0， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝-3，与圆C相切， 所以直线l的方程为x＝-3和7x-24y+45＝0． 18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）连接，因为为等边三角形，为中点，则， 由题意可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 且，，平面，所以平面. （2）在平面内的射影为，所以平面， 由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形， 由平面，平面，可得，， 又因为为等边三角形，为中点，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. （3）因为， 设，，则， 可得，，，即， 可得， 由（2）知：平面的一个法向量 设平面的法向量，则， 令，则，，可得； 则， 令，则， 可得， 因为，则，可得， 所以锐二面角的余弦值的取值范围为 19．已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； （2）设，， ，且为线段的中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； （3）①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时， 设直线的方程为，，，． 联立，化为．解得， 则，则，． ． 又点到直线的距离． ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时， 当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$