精品解析：江苏省镇江市实验高级中学、镇江市第二中学等校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

镇江市实验高中2024-2025学年第一学期10月考试 高二数学试卷 一、单选题 1. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 48 B. 42 C. 24 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为等差数列，故， 则. 故选：B. 2. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 3. 等比数列中，，公比，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列式即可得解. 【详解】因为数列为等比数列，，，， 所以，解得. 故选：C. 4. 方程表示的图形是（ ） A. 两条直线 B. 四条直线 C. 两个点 D. 四个点 【答案】A 【解析】 【分析】解方程得到，从而得到图形. 【详解】因为，则由，得，解得， 其表示的图形为两条直线. 故选：A. 5. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】，所以该直线的斜率为， 因此该直线的倾斜角为， 故选：D 6. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 7. 在数列中，，，则（ ） A. 380 B. 800 C. 880 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】先根据递推公式得出等差数列得出通项公式，再结合通项正负分组求和即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当时，，当时，， 所以. 故选：B. 8. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 二、多选题 9. 已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用判断选项C；通过举例，判断选项D. 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，故 ，故A正确； 对于B，若是等比数列，则当时，， 且，则； 当时，，舍去，故B正确； 对于C，若，则，， ，故，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，若，则, 此时，不满足，故D错误. 故选：AB 10. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段有公共点 B. 直线的倾斜角大于 C. 的边上的高所在直线的方程为 D. 的边上的中垂线所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】判断在直线的同一侧，判断A的真假；求直线的斜率，根据直线的倾斜角和斜率的关系判断B的真假；根据两直线垂直，斜率之积等于，求出高的斜率，利用点斜式可求边上的高所在的直线方程，判断C的真假；同理可得线段的中垂线的方程，判断D的真假. 【详解】对A：因为，，所以点在直线的同一侧，所以直线与线段无公共点，故A错误； 对B：因为直线的斜率为：，所以直线的倾斜角大于，故B正确； 对C：因为，所以边的高所在直线的斜率为，又直线过点， 由直线的点斜式方程可得的边上的高所在直线的方程为，即，故C正确； 对D：因为线段的中点坐标为，所以线段的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误； 故选：BC 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项. 【详解】由题意得，第层有个球，. 即，，，， 因为，所以，A正确； 由，当时，，故B错误，C正确； 由，D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12. 过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，直线过原点时直接求出斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程，代入点的坐标得答案． 【详解】显然直线的斜率是存在的. 若两坐标轴上截距相等且等于零，设直线方程为，因为过点，所以，所以直线方程为； 若两坐标轴上截距相等且不等于零，设直线方程为，因为过点，所以，故，所以直线方程为，即； 故答案为：或. 13. 已知数列其前项和为，则______. 【答案】5000 【解析】 【分析】按奇偶项分类求和． 【详解】由题意. 故答案为：5000. 14. 已知数列满足，，则数列{}的前9项和为______________． 【答案】8149 【解析】 【分析】利用通项公式求出，然后利用错位相减求和即可. 【详解】由题可知：，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，设的前9项和为，的前9项和为 所以①， ②， ①-②得， 所以 ． 故答案为：8149. 四、解答题 15. 已知常数，设直线，直线. （1）若，求的值； （2）若与平行，求与的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可； （2）结合直线平行的条件先求出，然后结合平行线间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知的法向量为，的法向量为， 若，则； 【小问2详解】 若与平行，则或， 当时，直线，直线，两直线重合，舍去， 当时，则直线，直线， 则与的距离为. 16. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得是公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式可得结果，设数列的公比为，列出方程，求出，即可得到通项公式. （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 设等差数列公差为， 因为，所以 所以是公差为2的等差数列， 所以， 因为成等差数列，所以， 设的公比为，其中， 所以，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，不合题意， 综上，. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以是公差为3的等差数列， 所以. 17. 已知直线. （1）直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； （2）求原点到直线距离的最大值； （3）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 【答案】（1）直线恒过定点； （2） （3）面积的最小值为4，直线方程为 【解析】 【分析】（1）直线可化为，然后结合直线系方程可求； （2）当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． 【小问1详解】 直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； 【小问2详解】 当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； 【小问3详解】 设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 18. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，证明：数列的前n项和. 【答案】（1） （2）由（1）知， 所以， 所以数列的前n项和， 由，可得. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，可得数列的通项公式； （2），裂项相消求得，由，可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，，成等差数列知，， 即， 所以，有，即或. ①当时，，不合题意； ②当时，，得， 所以等比数列的通项公式； 【小问2详解】 略 19. 已知数列的前n项和满足. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合错位相减法求得，再将问题转化为能成立问题，进而求得不等式右式的最大值，从而得解. 【小问1详解】 因为，当时，，得， 当，时，，， 两式相减，得，即， 而，则，， 所以是以1为首项，公比的等比数列， 故； 【小问2详解】 ， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以， 由，得，， 即存在使成立， 因为随着增大，在减小， 所以当时，， 故求的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇江市实验高中2024-2025学年第一学期10月考试 高二数学试卷 一、单选题 1. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 48 B. 42 C. 24 D. 21 2. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，，公比，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 方程表示的图形是（ ） A. 两条直线 B. 四条直线 C. 两个点 D. 四个点 5. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 6. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，则（ ） A. 380 B. 800 C. 880 D. 40 8. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 10. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段有公共点 B. 直线的倾斜角大于 C. 的边上的高所在直线的方程为 D. 的边上的中垂线所在直线的方程为 11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________. 13. 已知数列其前项和为，则______. 14. 已知数列满足，，则数列{}的前9项和为______________． 四、解答题 15. 已知常数，设直线，直线. （1）若，求的值； （2）若与平行，求与的距离. 16. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知直线. （1）直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； （2）求原点到直线距离的最大值； （3）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 18. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，证明：数列的前n项和. 19. 已知数列的前n项和满足. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $