2024—2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优课件 《专题3 命题与证明》

专题3 命题与证明 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由条件和结论两部分组成的. 【2】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理. 【3】从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实和定理(包括推论)，一步一步推得结论成立,这样的推理过程叫做证明. 知识梳理 【4】一个命题可写成“如果 那么 ”的形式，这时，“如果”后面接的 部分是条件，“那么”后面接的部分是结论. 【5】命题的“真”“假”是就命题的内容而言的.任何一个命题非真即假.要说明 一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题， 只需举出一个反例即可. 知识梳理 【6】证明就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式.证明几何命题的一般步骤为： （1）按题意画出图形. （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程. 重点突破 知识点一：命题的定义 【例1】下列语句中，属于命题的是( ) D A.你今天打卡了吗？ B.请戴好口罩！ C.画出两条相等的线段 D.同位角相等 思路点拨 分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 重点突破 [解析] 解题过程 A选项是问句，未做判断，故本选项错误； B选项是祈使句，不符合命题的概念，故本选项错误； C选项是描述性语句，未做判断，故本选项错误； D选项符合命题的概念，故本选项正确. 故选 重点突破 【跟踪训练1】下列语句：（1）画线段 ；（2）两条直线相交， 有几个交点？（3）内错角相等；（4）直角都相等；（5）若 ， 则 其中是命题的有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 重点突破 知识点二：真假命题的判断与证明 【例2】判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例. （1）若 ，则 思路点拨 根据倒数的概念、有理数的大小比较法则解答. [答案] 解题过程命题是假命题，例如： ，则 ，而 重点突破 （2）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数. 思路点拨 根据偶数的概念解答. [答案] 解题过程命题是假命题，例如：2是偶数，但2不是4的倍数. （3）两个负数的差一定是负数. 思路点拨 根据有理数的减法法则解答. [答案] 解题过程命题是假命题，例如： 是 正数. 重点突破 【跟踪训练2】请判断命题“若三条线段 满足 ，则这三条线 段 能够组成三角形”的真假性.若是真命题，请说明理由；若是假 命题，请举反例说明. [答案] 若三条线段 满足 ＞ ，则这三条线段 能够 组成三角形，是假命题， 例如：三条线段 满足 ＞ ，但这三条线段 不能够组成三角形. 重点突破 【例3】如图，有以下四个条件：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 请在四个条件中选择三个作为条件，余下的 一个作为结论，写出一个真命题，给予证明. 思路点拨 根据命题的组成和真命题的定义写出命题，再按照证明命题的一般步骤进行，由于问题已经给出图形，所以只要写出命题的已知和求证，再进行推理即可. 重点突破 [答案] 解题过程 答案不唯一，如： 真命题：已知： 平分 ，求证： 平 分 证明： 平分 ，即 平分 重点突破 【跟踪训练3】如图，在 中， ，点 分别在边 上，给出下列信息：① ；② 平分 ；③ （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为 结论组成一个命题.在保证命题正确的情况下，你选择的条件是______， 结论是____.（填序号） ①③ ② 重点突破 （2）请证明（1）中你组成的命题的正确性. [答案] ， 平分 重点突破 【例4】探究问题：已知 ，画一个角 ，使 ， 且 交 于点 与 有怎样的数量关系？ 重点突破 （1）我们发现 与 有两种位置关系：如图1与图2所示. ①图1中 与 的数量关系为______________________；图2中 与 的数量关系为_______________. 选择图1的情况，说明理由. <m></m> <m></m> [答案] 理由如下：如图 思路点拨 利用平行线的性质即可判断. 重点突破 ②由①得出一个真命题，请用文字叙述该命题. 思路点拨 根据平行线的性质解决问题即可. [答案] 解题过程真命题：如果两个角的两边分别互相平行，那么这两个角相等或互补. 重点突破 （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边分别互相平行，且一个角比另一个角的3倍少 ， 求这两个角的度数. 思路点拨 设两个角的度数分别为 和 由题意得 或 解方程即可解决问题。 重点突破 [答案] 解题过程设两个角的度数分别为 和 由题意得 或 ，解得 或 当 时， 当 时， 这两个角的度数为 或 课后练习 A组 基础巩固 1.下列句子中，属于命题的是( ) D A.画 B.小于直角的角是锐角吗？ C.连结 D.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形 课后练习 2.有下列命题，其中是真命题的是( ) A A.无理数都是无限不循环小数 B.数轴上的点只和有理数一一对应 C.两直线平行，内错角互补 D.两直线平行，同旁内角相等 3.要说明命题“若 ，则 ”是假命题，可以举的一个反例是 ( ) D A. B. C. D. 4.下列命题中，属于假命题的是( ) A A. 的算术平方根是2 B.-1的立方根是-1 C.负数没有平方根 D.三角形的内角和是 课后练习 5.命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是________________ ___________，结论是这两条直线平行. 两条直线平行于同一条直线 6.将命题“同角的补角相等”改写成“如果 那么 ”形式为_________ ______________________________________. 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 7.能够说明“设 为任何非零实数，若 ，则 ”是假命题 的一组整数的 值依次为________________________. - 2， - 1（答案不唯一） 课后练习 8.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，请举出一个反例. （1）两个钝角的和一定大于 [答案] 真命题. （2）异号两数相加和为零. [答案] 假命题.反例： . （3）若 ，则 [答案] 假命题.反例： ，而 课后练习 9.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形 我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为 的三 角形是“三倍角三角形”. （1）在 中， 是“三倍角三角形”吗？ 为什么？ [答案] 是“三倍角三角形”.理由如下： 是“三倍角三角形”. 课后练习 （2）若 是“三倍角三角形”，且 ，求 中最小内 角的度数. [答案] 设最小的角为 ①当 时， ； ②当 时， ， 中最小内角的度数为 或 课后练习 B组 能力提升 10.下列命题中，真命题有( ) ①如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0，1； ②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是-1，0，1； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行. B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 课后练习 11.判断命题“若 ，则 ”是假命题，需要举出的反例是_____ ____. <m></m> 课后练习 12.地理老师给同学们分别展示了中国五大名山“五岳”的图片，并给每 座名山都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2座名山来，5个同 学的回答分别是：甲：3号是西岳华山，2号是中岳嵩山；乙：4号是东 岳泰山，2号是南岳衡山；丙：1号是东岳泰山，5号是北岳恒山；丁：4 号是北岳恒山，3号是南岳衡山；戊：2号是西岳华山，5号是中岳嵩山. 地理老师说：“你们每个人都认对了一半.” 根据上述材料可知：4号代表________山. 北岳恒 课后练习 13.如图，已知直线 ，给出下列信息： ① ；② 平分 ；③ 课后练习 （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为 结论组成一个真命题，你选择的条件是____________________，结论是 ____（填序号），并说明理由. （答案不唯一）②③ ① [答案] 理由如下： 平分 ，即 课后练习 （2）在（1）的条件下，若 比 的2倍少 ，求 的度数. [答案] 设 ，则 ，解得 课后练习 14.同学们以“一把三角尺和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答： （1）如图 和 具有怎样的数量关系？请说明理由. 课后练习 图1 [答案] 理由如下： 如图1，延长 交 的延长线于点 由题意知 ， 课后练习 （2）如图 的平分线与 的平分线相交于点 ，求 的度数. 图2 [答案] 如图2，延长 交 的延长线于点 由题意 知 平分 ， 同理可得 课后练习 四边形 的内角和等于 课后练习 C组 思维拓展 15.观察下列算式，完成问题： 算式①： ； 算式②： ； 算式③： ； 算式④： ； 课后练习 （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：___________________ ______. <m></m> 课后练习 （2）上述算式用文字表示为“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数 倍”.设两个连续偶数分别为 和 （ 为整数），请证明上述命 题成立. [答案] 由题意可得， 能被4整除，且 为奇数， 任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍. 课后练习 （3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例. [答案] 设两个连续奇数为 和 .由题意得， 是偶数， 任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍不成立. 反例： ，即 是4的6倍，6是偶数，不是奇数. $$