2024—2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优课件 《专题2 与三角形有关的特殊线段》

专题2 与三角形有关的特殊线段 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高线. 【2】三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，这个内角的顶点与所交的点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【3】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线. 知识梳理 【4】三角形有三条中线，三条高线，三条角平分线，它们都是线段. 【5】锐角三角形的三条高线在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高线与直角边重合，另一条高线在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高线在三角形外部，一条高线在三角形内部，三条高线所在的直线相交于三角形外一点.三角形三条高线的交点称为三角形的垂心. 知识梳理 【6】三角形的面积等于底边长与高线长乘积的一半， 即 底 高. 根据等底同高的三角形面积相等可知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 重点突破 知识点一：三角形的高线、中线与三角形的面积关系 【例1】如图，在 中， 分别是 的中点， 的面积是16，则涂色部分的面积是___. 4 思路点拨根据三角形的中线将三角形分成面积相 等的两部分可知 是涂色部分的面积的2倍， 的面积是AADC的面积的2倍，由此可解。 重点突破 [解析] 解题过程 分别是 的中点， 故答案为4. 重点突破 【跟踪训练1】如图，在 中， 是高线， 是中线， 若 ，则 的长为 ( ) D A.1 B. C.2 D.4 重点突破 【例2】在 中， 分别是它的高线、角平分线和中线，则下 列说法中，错误的是 ( ) A. B. C. D. 思路点拨根据中线定义可判定选项A;根据当 时，高线 在 的外部，此时 可判定选项 B:根据垂 线段最短可判定选项C;根据中线的性质可判定选项D 重点突破 [解析] 解题过程 在 中， 是 的中线， 故A选项不符合题意. 在 中， 是 的高线， 当 时，高线 在 的外部，此时 故B选项符合题意. 在 中， 是 的高线， 是角平分线，垂线段最 短， 故C选项不符合题意. 在 中， 是 的中线， 故D选项不 符合题意. 故选 重点突破 【跟踪训练2】如图，已知 分别为 的中 点，若 的面积为32，求四边形 的面积. [答案] 分别为 的中点， 重点突破 知识点二：三角形的高线、角平分线与角度计算问题 【例3】如图， 为 的高线， 为 的 角平分线.若 重点突破 （1）求 的度数. 思路点拨根据 ，求出 ， 的度数即可解决问题 重点突破 [答案] 解题过程 为 的角平分线， 为 的高线， 为 的角平分线， 重点突破 （2）若 为线段 上任意一点，当 为直角三角形时，求 的度数. 思路点拨分两种情况:①当 时;②当/ 时，分别求解即可. 重点突破 [答案] 解题过程 分两种情况： ①当 时， ②当 时， 综上所述， 的度数为 或 重点突破 【跟踪训练3】如图，在 中， 平分 交 于点 为 线段 上的任意一点， 交直线 于点 （1）若 ，求 的度数. [答案] ， 平分 又 重点突破 （2）求证： [答案] ， 平分 ， ，即 重点突破 【例4】如图，在 中， 是 的角平分线， 是 边上的高线，设 重点突破 （1）探究与发现： ①如图1，若 ，则 的度数为_ ____， 的度数为_______. <m></m> <m></m> 重点突破 ②试探究 与 的数量关系，并说明理由. [答案] 解题过程 理由如下： 是 的角平分线， 是 边上的高线， 重点突破 （2）拓展与思考： 如图2， 的平分线 交 于点 当 时，求 的度数. 思路点拨利用（1）的结论，结合角平分线的定义可得 ，然后利 用平行线的性质可得 ，从而列出关干 的方程，解出 ， 从而求得结果. 重点突破 [答案] 解题过程由（1）可得 平分 ，解得 ，即 课后练习 A组 基础巩固 1.下列各三角形中，正确画出 边上的高线的是( ) D A.&8& B.&9& C.&10& D.&11& 课后练习 2.如图， 是 的中线， 是 上一点. 若 ，则 的长为( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 3.有下列说法：①三角形的中线、角平分线、高线都是线段；②三角形 的三条高线必交于一点；③三角形的三条角平分线必交于一点；④三角 形的三条高线必在三角形内.其中正确的是 ( ) B A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 课后练习 4.如图， 为 三边的中线 的交点. 若 ，则图中涂色部分的面积为 ( ) C A. B. C. D. 5.已知 是 的中线，若 ，则 与 的周长之差为___. 2 课后练习 4.如图， 为 三边的中线 的交点. 若 ，则图中涂色部分的面积为 ( ) C A. B. C. D. 5.已知 是 的中线，若 ，则 与 的周长之差为___. 2 课后练习 6.如图， ，则线段____是 中 边上的高. <m></m> 7.如图，在 中， 分别为 的中点， 且 ，则涂色部分的面积为___ 1 课后练习 8.如图， 是 的高线， 的两条角平分 线 相交于点 ，求 的度数. [答案] 是 的高线， ， 课后练习 分别平分 相交于点 ， ， 课后练习 9.如图，在 中， ， 若 的中线 把 的周长分成 的两部 分，求边 的长. 课后练习 [答案] 设 ，则 由题意得，① ，解得 ，则 ，解得 ， 则 边 的长为 的长为4或边 的长为 的长为 课后练习 B组 能力提升 10.如图， 是 的角平分线， 为 上 一点， ，垂足为 若 ，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 课后练习 11.如图， 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线， 是 的边 上 的中线.若 的面积是32，则涂色部分的面积是 ( ) B A.9 B.12 C.18 D.20 课后练习 [解析] 是 的边 上的中线， 是 的边 上的中线， 又 是 的边 上的中线， 则 是 的边 上的中线， 课后练习 ， 故选 课后练习 12.如图，已知 的面积是 ，则涂色部分的面积是 _ ______ <m></m> 课后练习 13.如图， 分别为 的内、外角平分 线， 分别为 的内、外角平分线.若 ，则 ____ 11 课后练习 [解析] 平分 平分 ， 又 ， 同理可证 故答案为11. 课后练习 14.如图，在 中，已知 和 的平分线相交于点 （1）求 的度数. [答案] 和 的平分线相交于点 课后练习 （2）试比较 与 的大小，写出推理过程. [答案] 理由如下： 在 中，由三角形的三边关系得 ①，同理可得 ②， ③， ① ② ③得 ， 课后练习 15.已知在 中， 是 的角平分线， 是 的高线. 课后练习 （1）如图1，若 ，求 的度数. [答案] 是 的角平分线， 是 的高线， 课后练习 （2）如图 ，则 之间的数量关系为 _ ____________________. <m></m> [解析] 是 的角平分线， 是 的高线， ，即 故答案为 课后练习 （3）如图3，延长 到点 和 的平分线交于点 ，求 的度数. [答案] 和 的平分线交于点 ， ， ，即 是 的高线， 课后练习 C组 思维拓展 16.如图，已知 课后练习 （1）在图1中，若 分别为 的中点，则涂色部分与 的面积比等于 __. <m></m> [解析] 设 的面积为1，则空白三角形的面积为1，另一个涂色 部分三角形的面积为2， 涂色部分与 的面积比 故答案为 课后练习 （2）在图2中，若 为 的三等分点， 为 的三等分点， 则涂色部分与 的面积比等于 __. <m></m> [解析] 设 的面积为1，则从左到右涂色三角形的面积分别为1， 2，3，从右到左空白三角形的面积分别为 涂色部分与 的 面积比 故答案为 课后练习 （3）在图3中，若 为 的四等分点， 为 的四等 分点，则涂色部分与 的面积比等于 __. <m></m> [解析] 设 的面积为1，则从左到右涂色三角形的面积分别为1， 2，3，4，从右到左空白三角形的面积分别为 涂色部分与 的面积比 故答案为 课后练习 （4）在图4中，若 为 的九等分点， 为 的九等分点，则涂色部分与 的面积比等于 __. <m></m> [解析] 设 的面积为1，则从左到右涂色三角形的面积分别为1， 2，3，4，5，6，7，8，9，从右到左空白三角形的面积分别为8，7，6， 5，4，3，2，1， 涂色部分与 的面积比 故答案为 $$