广西壮族自治区玉林市2024-2025学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题

2025届高三第一次教学质量监测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2､答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3.已知平面向量满足，则（ ） A.3 B. C. D.1 4.某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下： 成绩 频数 5 25 30 20 10 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A.100名学生成绩的极差为60分 B.100名学生成绩的中位数大于70分 C.100名学生成绩的平均数大于60分 D.100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过 5.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6.圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7.设函数，若曲线与恰有一个公共点，则（ ） A. B. C.1 D.2 8.黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.己知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A.当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B.当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C.无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D.无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数中，对称中心为的有（ ） A. B. C. D. 10.已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C.或 D.线段中点的横坐标为 11.下列关于函数的说法，正确的有（ ） A.是的极大值点 B.函数有两个零点 C.若方程有两根，则 D.若方程有两根，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为，乙加工的正品率为，丙加工的正品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的.现任取一个零件，则它是正品的概率为__________. 13.已知双曲线的左､右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为__________. 14.已知，函数.落曲线与直线交于两点，设的横坐标分别为，写出与的一个关系式：__________；分别过点作轴的垂线段，垂足分别为，则四边形的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 16.（15分）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 （1）将列联表补充完整； （2）根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？ （3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17.（15分）如图，在三棱柱中，为正三角形，四边形为菱形. （1）求证：平面； （2）若，且为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 18.（17分）已知数列满足，点在直线上. （1）设，证明为等比数列： （2）求数列的前项和； （3）设的前项和为，证明：. 19.（17分）已知：①定积分的定义： 设为定义在上的连续非负函数，为求轴围成的曲边梯形的面积，可采取如下方法： 将区间分为个小区间，每个小区间长度为，每个区间即可表示为，再分别过每个区间的左右端点作轴的垂线与图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图， 当时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由轴围成的曲边梯形的面积，即，上式也记为，即对在上求定积分. ②定积分的计算：其中. 根据以上信息，回答以下问题： （1）已知，求证：. （2）将轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值； （3）试证明： 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三第一次教学质量监测 数学参考答案 一、单选题 2(+1)20+1)_2+1)--1-1,所以它的共复数为-1+i, 1.选B.解析: 7-1-1)+1)=*-1 2 故选B. 2.选A.解析:A={0.2.4.6 ,B=x<4,所以AOB=$0.2.4,故选A$$ 3.选C.解析:由(6-)得(6-)=_0→-6--0→6- 4.选C.解析:对于A,极差最大为:100-40=60,最小为:90-50=40,故A错误; 对于B,根据频数分布表可知:5+25+30=60>50,所以中位数不超过70分,故B错误; 对于C,由频数分布表可得,平均值为: (5x45+25×55+30x65+20x75+10x85+10x95)=68.5,故C正确; 100 770% 对于D,成绩大于60分的频数为:30+20+10+10=70,所以大于60分的人数所占比例为: 100 所以D错误:故选C. 5.选C.解析:两圆的标准方程为 C.:(x+2)+y2-4:C(-2.0)r=2 C.:(x-2){+y2-64:C(2.0)8 设动圆圆心为C,半径为r,由外切:[CC=-2+r:由内切:[CC=8-r, 所以CC+CC=10,即动圆C是以C.C。为焦点,10为长轴长的圆, 且c-2.a=5.b-52-22-21,所以动圆圆心的轨迹方程为: 6.选B.解析:设圆锥底面圆心为O,外接球球心为O,半径为R,则RtASO.A在中. $$O=1,ASO30*s$o-.由OO+AO{=AO}→V3-)+1=R} 解得:-2 2 -.故选B. ) 7.选B.解析:由题意得:方程:ae+e*=4x{}+2(a-1)有一根,化简得:ae2*+e*=4x^}-2 有一根.设h(x)=e*+e}*,则h(x)=2e*-2e}*.令h'(x)=0.得x=0.易得 #(x)min=h(o)-2;设o(x)-4x2}-2.易得x=0时,(x)min=-2. 当a>0时,ah(x)与g(x)有交点; 当a<0时,ah(x)开口向下,若只有一个公共点,则ah(o)=o{0),即2a=-2,解得a=-1.故选B 数学答案第1页共7页 8.选D.解析:方案一:设每次购买数为x,则总量为2x,总价为a.x+a,x, ax+axa+a .平均购买成本为W= 2x 2 2 2 2a2. :.平均购买成本为W,=- )) a.+a2 d2 因为a.+a>2aa.当且仅当a.=a时等号成立. 2a.2 +2 即W.>W..所以无论a,a。的大小关系如何,方案二的平均购买成本比方案一更低.故选D 二、多选题 9.选ACD.解析 对于A:令A三kπ.s乙则x三k,当k三1时。 (1.0)为对称中心,故A正确; 对于D:因为(2-x-32-x+2-x+1=-$x+3x}-x-1=-v.故D正确:$故选ACD$ 10.选ABD.解析: 对于A:因为C:y2=2px(p>0),..F在x轴正半轴上,又因为直线/恒过点(1.0). :.F(1.0),:p=2,故A正确: 对于B:由 对于C:设A(x,y),则由AF=3得A到准线:x=-1的距离为3..'.×=2. -,故C错误; 2-4x 设B(x2,y).由{ 对于D: →y2-4ty-4-0.:y+y=4t. x=+1 (+-0)120(+20{-中点模) 故D正确,故选ABD 数学答案 第2页 共7页 11.选AD. 解析: 对于A:由f(x)=x-xlnx得f(x)=-lnx,当f(x)>0时,0<x<1;当f(x)<0时,x>1,即 f(x)在(0.1)上递增,在(1.+oo)上递减,所以x=1是/(x)的极大值点,故A正确; 对于B:令x-xlnx=0,方程在(0.+oo)上只有一根x=e,故B错误; 2 方程f(x)=m的两根,所以x.(1-lnx)=x(1-lnx)=m,所以 x<x.(1-lnx)=x(1-lnx)=x、ln,由不等式lnx<x-1(当且仅当x=1时等号成立)放缩 2 故选AD. 二、填空题 12.答案:0.85 解析:由全概率公式得正品率为: P=0.9x0.3+0.8x0.3+0.85x0.4=0.8$ 14 13.答案: 2 #. sin_PFF2-3,.由正弦定理得 解析:因为 sin/PF.F 又PF -PF=2a,:PF=3a,PF|=a 由于以E.为圆心的圆与EP的延长线相切与点M,.EM1EA 因为FM3FP:F M=3aPM2a.在Rt△MFP中:由勾股定理得MF =5a. 又在RtAMEF,Fr {Mir (MF{} FfI→(a)+(V5) 2))^I→V-14 # 2 14.答案:xx=a(或此式的合理变形也可);4 解析: --2① 不妨设X.<x,则 .2② {2- x2 a()-0 两式相减得:-(r+x)+=0→-(x+x)+ xx2 x2 xx2 代入②式得:2-=2,即AB=2,又A4l=2,:.SB=2×2=4. 数学答案 第3页 共7页 四、解答题 15.解析: (1)由题意得: 1+tan 4=2+3-2tan4-3tan....................1 所以3+3anA-1+3 →tan 6 2 2 3 由余弦定理得:a2}=b^{}+c2-2bccosA=48+9-2x4/33x 3-21,:.a-V21 2 .周长为:3+43+21. 16.解析: (1)将列联表补充如下: 男 女 合计 ;) 了解 20 60 不了解 20 40 合计 60 40 100 (2)零假设为H。:该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联..................3 根据列联表中的数据,经计算得: 100(40x20-20×20)} 25 z2.7783.841..............................8 60x40x40x60 9 根据小概率值g三0.05的独立性检验,没有充分证据推断H。不成立; 因此可以认为H。成立,即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联 所以,X的分布列为 X 2 0 3 P ......................................................12 x的期望为E(x)=np=3x-=1.............................................15 , 3 数学答案 第4页 共7页 17.解析: (1) 证明:设ABOA.B=F,连接CF 因为四边形AAB.B为菱形,所以AB. ..A.B, ..............................2 又因为△AB.C为正三角形,F为AB.的中点,所以CF1AB., ..................4 又CFOAB=F,所以AB. .平面ABC......................................5 (2) AZ 设O,G分别为AC,AB的中点,则OG//BC,B.O1AC. 由(1)得: AB 1平面A,BC,所以AB 1BC, ...............................6 又AC1BC,AB.OAC=A,所以BC1平面ABC, 所以BCB.O,又BO1AC,BCOAC=C,所以BO1平面ABC..............8 所以OG.OC.OB.两两垂直,以O为原点,OG.OC.OB.的方向分别为x轴,v轴,2轴建立空 间直角坐标系,如图. 则A(0.-2.0).C(0.2.0).B.(0.0.23).B(4.2.0) 由BB=CC-(4.2.-23),得C(-4.0.23). 所以E(-2.1.3), 则AB=(0.2.23)BE-(-2.1.-3) 设平面ABE的法向量为u=(x.y,z),则有 ,取i=(3.3.-1). n.BE--2x+y-32 而平面ABC的法向量为v=(0.0.1),设平面ABE与平面ABC的夹角为9. 则cos)- 7 7 数学答案 第5页 共7页 18.解析: ,公比为.的等比数列....................................5 5 3"-1 2 2 (-0- .........................10 a.3--1 1 2 二一 3-123-1 .--1) 19.解析: (1)根据定积分的计算: cos xdr=F(a)-F(0),其中F(x)=sinx+c(c为常数) 所以 所以f(x)<f(o)=o,所以sinx<x............................................6 (2)定积分的形式; -. ............................. )## s=lim 面积和的极限形式: (右端点) ($ #1) (左端点), 两个极限写一个即可) ...............8 由题中所给公式 数学答案 第6页 共7页 121=g(2)-g(1)=ln2. ①若用每个小区间的右端点的函数值近似代替小矩形的长,则每个小矩形面积为; ##11010 1100100+i 1 100 7(101001000 由于/(x)--在[1,2]递减且越来越慢,所以每个小区间的右端点的函数值小于该区间的平均函 。 数值, 所以 #100100#-2. ②若用每个小区间的左端点的函数值近似代替小矩形的长,则每个小矩形面积为 y #11010 1-110099+ 7(1000101 平均函数值 #1#)00#-102- 0 综上: 100101 数学答案 第7页 共7页