期中检测02（能力卷） 2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

期中检测02（能力卷） 检测范围：选择性必修一全册 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高二下·陕西汉中·期末）当点到直线的距离取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 5．（23-24高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏·模拟预测）已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·河南开封·模拟预测）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·甘肃·期末）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 10．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 11．（2024·广东江门·一模）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．随着增大而减小 B．曲线的横坐标取值范围为 C．曲线与直线相交，且交点在第二象限 D．是曲线上任意一点，则的取值范围为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 13．（23-24高二上·山西大同·阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 14．（21-22高二上·浙江宁波·期末）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2022·北京东城·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.    (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 16. (15分) （23-24高二上·广西·阶段练习）已知圆，直线过点. (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17. (15分) （2022·北京西城·一模）已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 18. (17分) （2023·吉林·二模）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，． (1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求； (2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值． 19. (17分) （2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测02（能力卷） 检测范围：选择性必修一全册 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高二下·陕西汉中·期末）当点到直线的距离取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知直线交圆于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．27 D．30 5．（23-24高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏·模拟预测）已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·河南开封·模拟预测）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·甘肃·期末）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 10．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 11．（2024·广东江门·一模）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．随着增大而减小 B．曲线的横坐标取值范围为 C．曲线与直线相交，且交点在第二象限 D．是曲线上任意一点，则的取值范围为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 . 13．（23-24高二上·山西大同·阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 14．（21-22高二上·浙江宁波·期末）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2022·北京东城·一模）如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.    (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 16. (15分) （23-24高二上·广西·阶段练习）已知圆，直线过点. (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 17. (15分) （2022·北京西城·一模）已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 18. (17分) （2023·吉林·二模）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，． (1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求； (2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值． 19. (17分) （2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A C D B BCD ACD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 2．B 【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解. 【详解】向量，则， 因，于是得，解得， 所以. 故选：B. 3．B 【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为. 故选：B 4．D 【分析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为， 连接，则，即，所以， 即， 所以点的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设直线为，则到的最小距离为， 过分别作直线的垂线，垂足分别为， 则四边形是直角梯形，且是的中点， 则是直角梯形的中位线，所以，即， 即， 所以的最小值为30. 故选：D. 5．A 【分析】解法一：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．解法二：根据三棱锥等体积转换求解点到平面的距离. 【详解】解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ． 设平面的法向量为， 则即， 令，则， ，∴点到平面的距离为． 故选：A. 解法二  底面， ，又，且平面， 平面， 平面 ， ， ， ， 在中，， 令点到平面的距离为， ， ， ． 故选：A. 6．C 【分析】设，由取得最小值，则最大，最小求解. 【详解】如图所示： 因为，， 设， 则， 当时，取得最小值， 此时最大，最小， 且，故C正确. 故选：C 7．D 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为． 故选：D． 8．B 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，    则①，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 9．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 对于A，，故， 故，即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，易得四面体为正四面体， 则，故B正确； 对于C，， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故点到平面的距离，故C正确； 对于D，设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故D正确． 故选：BCD 10．ACD 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 11．AD 【分析】首先对、分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B，由双曲线的渐近线与的关系判断C，由点到直线的距离公式得到，即点到直线的距离的倍，求出直线与曲线相切时的值，再由两平行线将的距离公式求出的最大值，即可判断D. 【详解】因为曲线， 当，时，则曲线为椭圆的一部分； 当，时，则曲线为双曲线的一部分， 且双曲线的渐近线为； 当，时，则曲线为双曲线的一部分， 且双曲线的渐近线为； 可得曲线的图形如下所示： 由图可知随着增大而减小，故A正确； 曲线的横坐标取值范围为，故B错误； 因为，所以曲线与直线相交，且交点在第四象限，故C错误； 因为，即点到直线的距离的倍， 当直线与曲线相切时， 由，消去整理得， 则，解得（舍去）或， 又与的距离， 所以， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线的图形，D选项的关键是转化为点到直线的距离. 12． 【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案. 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故，    故，当且仅当共线时取等号， 所以 ， 当且仅当共线时取等号， 而, 故的最小值为， 故答案为： 13．1 【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可. 【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为. 设点为点，设点为点，所以线段的中点为， 由题意可知， 于是有： ， 故答案为：1 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系. 14． 【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 15．(1)证明过程见解析； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系： ， ，因为， 所以，即， （2）设平面的法向量为， ， 所以有， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为： .   【点睛】 16．(1) (2) 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【详解】（1）已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. （2）设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 17．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程； （2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值. 【详解】（1）由题设得，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）由，得， 由，得. 设、，则，， 所以点的横坐标，纵坐标， 所以直线的方程为. 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧. 因为，所以，所以. 又因为，， 所以，解得，所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用平面几何的知识推得，进而得到与，从而利用柱体与锥体的体积公式求得关于的表达式，由此得解； （2）根据题意建立空间直角坐标系，设，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面与平面的法向量与，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为与是底面圆弧所对的圆周角， 所以， 因为，所以在等腰中，， 所以， 因为是圆柱的底面直径，所以，则， 所以，则，即， 所以在等腰，，平分，则， 所以，则， 故在中，，，则， 在中，， 因为是圆柱的母线，所以面， 所以， ， 所以． （2）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，， 则， 所以，，， 因为，所以， 则， 设平面的法向量，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量，则，即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，易知， 所以， 因此二面角的余弦值为． 19．（1）；（2）. 【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程. （2）方法一：设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围. 【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：. （2）[方法一]：通式通法 设，，， 所以直线，由题设可得且. 由可得，故， 因为，故，故. 又，由可得， 同理， 由可得， 所以， 整理得到， 故， 令，则且， 故， 故即， 解得或或. 故直线在轴上的截距的范围为或或. [方法二]：利用焦点弦性质 设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且． 由得，所以． 因为， ，． 由得． 同理． 由得． 因为， 所以即． 故． 令，则． 所以，解得或或． 故直线在x轴上的截距的范围为． [方法三]【最优解】： 设， 由三点共线得，即． 所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为． 设直线的方程为， 则． 所以． 故（其中）． 所以． 因此直线在x轴上的截距为． 【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标. 方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$