期中检测01（基础卷） 2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

期中检测01（基础卷） 检测范围：选择性必修一全册 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2023高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·四川遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·吉林·二模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 5．（22-23高三上·广东惠州·阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 6．（2023·福建·模拟预测）已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 7．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ）．    A． B． C． D． 8．（2022·四川凉山·三模）已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10．（2024·广东江苏·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 11．（2023·吉林长春·一模）已知，下列说法正确的是（    ） A．时， B．若方程有两个根，则 C．若直线与有两个交点，则或 D．函数有3个零点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 13．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 14．（2023·广东广州·一模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为 .点到直线的距离的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 16. (15分) （2023·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)证明：平面平面PBC； (2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 17. (15分) （23-24高二上·云南昆明·期中）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 18. (17分) （23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （2023·江苏南通·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点． (1)若，求证：； (2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测01（基础卷） 检测范围：选择性必修一全册 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2023高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·四川遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·吉林·二模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 5．（22-23高三上·广东惠州·阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（    ） A． B．9 C．4 D．8 6．（2023·福建·模拟预测）已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 7．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ）．    A． B． C． D． 8．（2022·四川凉山·三模）已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量，的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10．（2024·广东江苏·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 11．（2023·吉林长春·一模）已知，下列说法正确的是（    ） A．时， B．若方程有两个根，则 C．若直线与有两个交点，则或 D．函数有3个零点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 13．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 14．（2023·广东广州·一模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为 .点到直线的距离的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 16. (15分) （2023·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)证明：平面平面PBC； (2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 17. (15分) （23-24高二上·云南昆明·期中）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 18. (17分) （23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 19. (17分) （2023·江苏南通·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点． (1)若，求证：； (2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C B D D A BC ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值. 【详解】，， ， ，，，. 故选：A. 2．B 【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果. 【详解】设直线的倾斜角为. 因为，，，所以，. 又，则. 当时，单调递增，解，可得； 当时，单调递增，解，可得. 综上所述，. 故选：B. 3．C 【分析】首先由题得到，结合，即可求得. 【详解】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点, 若是正三角形,则，即，即， 即有，则，解得. 故选：C. 4．C 【分析】利用空间向量四点共面性质求解即可. 【详解】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面， 设， 则，解得． 故选：C. 5．B 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为9. 故选：B. 6．D 【分析】设与渐近线交于，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得的面积. 【详解】 设与渐近线交于，则，，， 所以，， 由分别是与的中点，知且，即， 由得，所以， 故选：D 7．D 【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出. 【详解】平面,平面, 平面, 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.    则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设点到平面的距离为，则 故直线到平面的距离为. 故选：D. 8．A 【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值. 【详解】∵  抛物线的方程为， ∴  ，抛物线的准线方程为， ∵ 方程可化为， ∴过定点， 设，设的中点为，则，因为，为垂足， ∴，所以， 即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 过点作准线的垂线，垂足为，则, ∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立， ∴ ， 过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立， ∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 9．BC 【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D. 【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误； 对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确. 对C，因为，且，所以四点共面,故C正确. 对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误. 故选：BC. 10．ABD 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 11．ABD 【分析】对A：分类讨论求解即可；对B：方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图得的取值范围；对C：直线是以为斜率且恒过的直线，结合的图象得到直线与有两个交点时斜率的范围；对D：分求解. 【详解】对A：当时，，得满足题意； 当时，，得不满足题意，故A正确. 对B：作出的图象，方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图知，故B正确. 对C：直线可化为，故直线是以为斜率且恒过的直线， 如图，为过与两点的直线，其斜率为， 当位于时，直线与有两个交点， 为过且与平行的直线， 其斜率为， 当位于时，直线与只有一个交点， 为过的水平直线，其斜率为， 当位于时，直线与只有一个交点， 为过的竖直直线，其斜率不存在， 当位于时，直线与只有一个交点， 由图可知，要使直线与有两个交点， 则位于之间或位于之间，故，所以，故C错误. 对D：，即，所以或 由得， 由得进而得或， 所以函数有3个零点，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 13． 【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上；在直线上取一点，求得其关于直线对称的点的坐标，该点也在对称直线上；由直线两点式可整理得到结果. 【详解】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 14． 【分析】根据给定条件，作出平面截正方体所得截面，再确定点的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答. 【详解】在正方体中，连接，如图，对角面为矩形， 因为点分别是棱的中点，则，而， 即平面截正方体所得截面为梯形，显然过点与平面平行的平面交平面、平面 分别于，因此，连，平面、平面与平面分别交于，， 因此，而，即四边形为平行四边形，于是， 即点M为的中点，同理为中点，，因为动点始终满足平面， 于是平面，又在侧面上，所以点的轨迹是线段，轨迹长为； 以点D为原点建立空间直角坐标系，则， 则，令， 则有，， 于是点到直线的距离， 当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 15．(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 16．(1)证明见解析 (2)． 【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明； (2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解. 【详解】（1）方法一： 因为底面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为ABCD为正方形，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． 因为平面PAB，所以． 因为，E为线段PB的中点， 所以， 又因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC． 又因为平面AEF， 所以平面平面PBC． 方法二： 因为底面ABCD，平面PAB， 所以平面底面ABCD 又平面底面，，平面ABCD， 所以平面PAB． 因为平面PAB，所以． 因为，E为线段PB的中点，所以． 因为，平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC， 又因为平面AEF， 所以平面平面PBC 解法三：因为底面ABCD，， 以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 设，则， 所以，，，， 设为平面AEF的法向量， 则所以取，则，， 则， 设为平面PBC的法向量， 则所以取，则， ， 则 因为，所以, 所以平面平面PBC. （2）（基于（1）解法一、二） 因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则， 易知是平面PAB的法向量 设，则，所以，， 所以 即，得，所以， 设为平面AEF的法向量，则 所以平面AEF的法向量， 又因为 所以点P到平面AEF的距离为， 所以点P到平面AEF的距离为． （另解）由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角， 所以 解得，故F是BC的中点． 所以，， 的面积为 因为，的面积为 设点P到平面AEF的距离为h，则有 解得 所以点P到平面AEF的距离为． （基于（1）解法三） 易知是平面PAB的法向量 所以， 即，解得 所以， 又因为 所以点P到平面AEF的距离为， 所以点P到平面AEF的距离为． 17．(1) (2)见解析. 【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程. （2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证. 【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得， 所以抛物线的方程为. （2）设， 联立， 由韦达定理得， 所以 所以， 所以以为直径的圆经过原点O.得证 18．(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）合理构造图形，利用线线平行证明线面平行即可. （2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法处理即可. 【详解】（1）取中点，连接分别为的中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点， ， 故四边形是平行四边形，， 又平面平面， //平面. （2）假设在棱上存在点满足题意，如图：连接，，， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 平面，则是四棱锥的高， 设，则， ∴，所以， 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 设， ． 设平面的一个法向量为， 则所以可取. 易知平面的一个法向量为， ，， 故存在点满足题意. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的横坐标，再利用弦长公式可证得成立； （2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，则直线方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出的表达式，同理可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】（1）证明：设、，因为椭圆的焦距为，所以，解得． 又因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为. 因为直线经过、，， 所以，直线的方程为， 设点、，联立可得， 由，得，.         所以， ， 因此，. （2）证明：若直线、中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线平行，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为， 则直线方程为，其中． 联立可得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 易知且，将代入直线的方程可得，即点， 所以 ， 同理可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 学科网（北京）股份有限公司 $$