专题04 双曲线（7大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（安徽专用）

专题04 双曲线 双曲线的定义及应用 1．（22-23高二下·安徽滁州·期中）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23高三上·安徽·期中）已知是平面内两个不同的定点，为平面内的动点，则“的值为定值，且”是“点的轨迹是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·安徽淮北·期中）已知，下列命题正确的是（    ） A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆 B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线 C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是 D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是 4．（23-24高二上·安徽·期中）已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（21-22高二上·安徽宣城·期中）下列说法正确的个数是（    ） （1）动点满足，则P的轨迹是椭圆 （2）动点满足，则P的轨迹是双曲线 （3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 （4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线 A．0 B．1 C．2 D．3 6．（20-21高二上·安徽六安·期中）若椭圆和双曲线有相同的焦点、，是两条曲线的一个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·安徽·期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为、，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹为直线 B．若，则点P的轨迹为圆 C．若，则点P的轨迹为椭圆 D．若，则点P的轨迹为双曲线 曲线表示双曲线求参数范围 8．（21-22高二上·安徽池州·期中）若方程表示的曲线为C，则（    ） A．是C为椭圆的充要条件 B．是C为椭圆的充分条件 C．是C为双曲线的充分不必要条件 D．是C为双曲线的必要不充分条 9．（23-24高二上·安徽池州·期中）已知 为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ） A．B．C．D． 10．（23-24高二上·安徽·期中）（多选）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为双曲线，且焦点在轴上，则 11．（23-24高二下·安徽池州·期中）方程表示双曲线的充分不必要条件是（    ） A． 或 B． C． D． 或 12．（22-23高二上·安徽·期中）若双曲线：的焦点坐标为，则实数的值为 ． 13．（12-13高二下·安徽蚌埠·期中）若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则1＜t＜4且t≠； ②若C为双曲线，则t＞4或t＜1； ③曲线C不可能是圆； ④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜. 其中正确的命题是 (把所有正确命题的序号都填在横线上)． 14．（22-23高二上·安徽六安·期中）设：关于的方程没有实数根；：方程表示焦点在x轴上的双曲线． (1)若，判断p和q的真假； (2)若p为假，也为假，求实数k的取值范围． 求双曲线的标准方程 15．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 16．（21-22高二上·安徽安庆·期中）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高二下·安徽合肥·期中）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二上·安徽铜陵·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为 ． 19．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）求满足下列条件的曲线的方程： （1）离心率为，长轴长为8的椭圆的标准方程； （2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程. 双曲线的焦点三角形及应用 20．（20-21高二上·安徽安庆·期中）设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 21．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（    ） A．8 B．16 C．24 D． 22．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高二上·安徽安庆·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，在左支上过的弦的长为4，那么的周长是（    ） A．24 B．20 C．16 D．8 24．（22-23高三上·安徽·期中）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（    ） A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为 25．（23-24高二下·安徽·期中）已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则 . 26．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为 . 27．（19-20高二上·安徽阜阳·期中）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ． 28．（23-24高二上·安徽·期中）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 29．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（    ） A．7 B．14 C． D． 双曲线基本几何性质 30．（21-22高三下·安徽·期中）双曲线的一条渐近线斜率为，则（    ） A．2 B． C．3 D． 31．（21-22高二上·安徽六安·期中）若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 32．（20-21高二上·安徽淮南·期中）（多选）某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二下·安徽亳州·期中）（多选）已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 34．（23-24高二上·安徽亳州·期中）（多选）若双曲线C：（，）的实轴长为8，焦距为10，右焦点为F，则（    ） A．C的离心率为 B．C的渐近线方程为 C．C上的点到F距离的最小值为1 D．过F的最短的弦长为 35．（22-23高二下·安徽阜阳·期中）（多选）已知曲线，则下列叙述正确的有（    ） A．若曲线为圆，则 B．若，则曲线的离心率为2 C．若，则曲线焦点坐标为 D．若，则曲线是双曲线且其渐近线方程为 36．（22-23高二上·安徽·期中）（多选）我们知道反比例函数的图象是双曲线，则下列有关双曲线的结论正确的是（　　） A．顶点坐标为， B．虚轴长为 C．离心率为 D．焦点坐标为， 37．（22-23高二上·安徽宿州·期中）（多选）已知曲线，分别为曲线的左､右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线的渐近线方程为 B．若，则曲线的焦点到渐近线的距离为 C．若，为上一个动点，则的最小值为2 D．若，为上一个动点，则面积的最大值为 求双曲线的渐近线 38．（23-24高二下·安徽·期中）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 39．（22-23高二上·安徽·期中）已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 40．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 41．（20-21高二上·安徽安庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左右顶点，点M在E上.且，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 43．（23-24高二下·安徽·期中）与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 A．1 B．2 C．4 D．8 44．（23-24高二下·安徽淮北·期中）若双曲线的一条渐近线方程为，则 . 45．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 ． 求双曲线的离心率 46．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在双曲线的左、右支上，且，以为直径的圆过点，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知椭圆的右焦点与双曲线的一个焦点的连线与的一条渐近线平行，设C的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 48．（21-22高三下·安徽·期中）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 49．（20-21高二下·安徽合肥·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若    ，则双曲线的离心率 . 51．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于，两点.若四边形的面积为，则的离心率为 . 52．（22-23高二上·安徽阜阳·期中）已知双曲线(，)的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线右支上，且，若直线的倾斜角为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 53．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知双曲线(，)的一条渐近线方程为，则此双曲线离心率等于 . 54．（23-24高二下·安徽·期中）过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为 ． 55．（22-23高二上·安徽宿州·期中）若双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 . 双曲线的轨迹方程 56．（21-22高二上·安徽·期中）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 57．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点． 58．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式. (1)求线段的长度； (2)求顶点的轨迹方程. 59．（23-24高二·安徽.期中）已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 60．（20-21高二上·安徽滁州·期中）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 61．（23-24高三上·安徽六安·期中）设圆与圆，动圆C与圆外切，与圆内切． (1)求动圆C的圆心轨迹L的方程； (2)已知点，P为L上动点，求最小值． 求双曲线的最值问题 62．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）点是双曲线右支上一点，是圆上一点，点的坐标为，则的最大值为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 63．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 64．（22-23高二上·安徽滁州·期中）双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（    ） A． B． C． D． 65．（21-22高二下·安徽滁州·期中）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 66．（20-21高三下·安徽·期中）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（    ） A．25 B． C． D． 67．（19-20高二上·安徽淮南·期中）已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，A是圆上的一点，点M在双曲线的右支上，则的取值范围为 . 求双曲线离心率取值范围 68．（21-22高三下·安徽·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，点M在圆上，且C的一条渐近线上存在点N，使得四边形为平行四边形，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 69．（21-22高二上·安徽合肥·期中）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），若与内切圆半径之比为，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 70．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）若斜率为的直线与双曲线，恒有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围（    ） A． B． C． D． 71．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为 A． B． C． D． 72．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 73．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 74．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 直线与双曲线的位置关系 75．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：，若直线与双曲线有且仅有1个公共点，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 76．（22-23高二上·安徽·期中）已知F为双曲线：的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 77．（18-19高二下·安徽·期中）直线与双曲线最多有几个交点（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 78．（16-17高二下·安徽铜陵·期中）是直线与曲线仅有一个公共点的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 79．（21-22高二上·安徽池州·期中）已知双曲线的左､右焦点为，虚轴的上､下端点为，则四边的面积为（    ） A．24 B．12 C．8 D．4 80．（21-22高二上·安徽蚌埠·期中）下列说法正确的是（    ） A．椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为 B．双曲线右支和右焦点所形成的弦中最短的弦长为 C．抛物线上两点，，则弦经过焦点的充要条件是 D．若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与该抛物线相切 81．（20-21高二上·安徽淮南·期中）过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求的长. 82．（21-22高二上·安徽宿州·期中）已知点，，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与点的轨迹交于，两点，若弦的中点坐标为，求直线的方程. 双曲线定值和定点问题 83．（22-23高二下·安徽安庆·期中）已知双曲线的右焦点为为双曲线上一点. (1)求的方程； (2)设直线，且不过点，若与交于两点，点关于原点的对称点为，若，试判断是否为定值，若是，求出值，若不是，请说明理由. 84．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上． (1)求直线，的斜率之积； (2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值． 85．（22-23高二上·安徽·期中）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过且斜率为的直线与C的左支交于点A，且． (1)求C的渐近线方程； (2)若，P为x轴上一点，是否存在直线l：与C交于M，N两点，使得，且？若存在，求出点P的坐标和直线l的方程；若不存在，说明理由． 86．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴.以下三个条件：①一个焦点坐标为；②经过点；③离心率为，从中任选两个条件___________，并根据所选条件求解以下问题. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，过右焦点且与坐标轴都不垂直的直线与交于两点，证明：为定值. 87．（20-21高二下·安徽宿州·期中）若椭圆的方程为，点分别是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上不同于点和的任意一点．若直与的斜率都存在，分别记为，那么与之积是与点无关的定值．试对双曲线写出具有类似特点的正确结论，并加以证明． 88．（22-23高二上·安徽芜湖.期中）已知，分别为椭圆：和双曲线：的离心率． (1)若，求的渐近线方程； (2)过上的动点作的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 89．（23-24高三下·安徽·期中）已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双曲线 双曲线的定义及应用 1．（22-23高二下·安徽滁州·期中）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线定义即可解决问题. 【详解】由双曲线标准方程得：， 由双曲线定义得: 即， 解得（舍去）或， 故选：A. 2．（22-23高三上·安徽·期中）已知是平面内两个不同的定点，为平面内的动点，则“的值为定值，且”是“点的轨迹是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案. 【详解】“的值为定值，”，若，则点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立； “点的轨迹是双曲线”，则必有是平面内两个不同的定点，且满足，故必要性成立； 故选：B 3．（23-24高二上·安徽淮北·期中）已知，下列命题正确的是（    ） A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆 B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线 C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是 D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是 【答案】C 【分析】直接利用椭圆定义和双曲线定义，直线的斜率，渐近线的应用逐个判断选项即可. 【详解】对于A，若到距离之和为， 即， 则点的轨迹为线段，A错误； 对于B，若到距离之差为， 即，又， 则点的轨迹为双曲线的一支，故B错误； 对于C，椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积： ，C正确； 对于D，渐近线为且过点的双曲线方程为， 双曲线过点，则， 故双曲线方程为， 故焦点坐标为和，故D错误. 故选：C 4．（23-24高二上·安徽·期中）已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义直接判断即可. 【详解】根据双曲线的定义，只有当时，点的轨迹才是双曲线， 所以乙甲，但甲乙，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5．（21-22高二上·安徽宣城·期中）下列说法正确的个数是（    ） （1）动点满足，则P的轨迹是椭圆 （2）动点满足，则P的轨迹是双曲线 （3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 （4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆、双曲线定义及公式的几何意义判断（1）、（2），应用两点、点线距离公式求P的轨迹判断（3），由已知条件得或即可判断（4）. 【详解】（1）公式的几何意义为到、的距离之和为4，而、的距离等于4，故P的轨迹不是椭圆，错误； （2）公式的几何意义为到与到的距离之差为5，且、的距离等于4，P的轨迹不是双曲线，错误； （3）由题设，到y轴的距离比到的距离小1，则，可得P的轨迹是或，错误； （4）由题设，或，故P的轨迹是圆和直线（在圆上或圆外部分，即两条射线)，正确. 故选：B. 6．（20-21高二上·安徽六安·期中）若椭圆和双曲线有相同的焦点、，是两条曲线的一个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用椭圆和双曲线的定义可得出关于、的等式组，由此可求得的值. 【详解】由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得， 因为，因此，. 故选：C. 7．（23-24高三上·安徽·期中）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为、，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹为直线 B．若，则点P的轨迹为圆 C．若，则点P的轨迹为椭圆 D．若，则点P的轨迹为双曲线 【答案】AD 【分析】设点，由，求出点P的轨迹可判断A；设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由可得，由两点的斜率公式和两角差的正切公式代入求可判断B；根据椭圆、双曲线的定义可判断C，D. 【详解】选项A：设点，， 化简可得：，所以点P的轨迹为直线，故A正确； 选项B：当或不存在时，动点为， 当、存在时，设点，， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 当时，由可得：，即， 所以，即， 化简可得：， 同理当时，由可得：，即， 所以，即， 化简可得：， 因此点P轨迹为圆上的一段弧（）或上的一段弧（），故B错误； 选项C：由，可知点P轨迹为线段AB，故C错误； 选项D：由，根据双曲线的定义可知， 点P轨迹为双曲线，且，即， 所以点P轨迹方程为，故D正确． 故选：AD. 曲线表示双曲线求参数范围 8．（21-22高二上·安徽池州·期中）若方程表示的曲线为C，则（    ） A．是C为椭圆的充要条件 B．是C为椭圆的充分条件 C．是C为双曲线的充分不必要条件 D．是C为双曲线的必要不充分条 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件结合椭圆双曲线的定义判断即可 【详解】曲线表示椭圆的充要条件是且， 所以A，B不正确. 曲线表示双曲线的充要条件是， 即或，所以C对，D错. 故选：C 9．（23-24高二上·安徽池州·期中）已知 为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】试题分析：直线可化为，其斜率和纵截距分别为，曲线可化为．选项A中，由直线所在位置可知，，而曲线中，不符合；选项B中，由直线所在位置可知，，而曲线中，不符合；选项C中，由直线所在位置可知，，曲线中也有，符合；选项D中，由直线所在位置可知，，而曲线中，不符合，故选C． 考点：本题考查的知识点是圆锥曲线的标准方程，以及直线的斜截式方程的掌握，重点是根据直线的方程和圆锥曲线的标准方程． 10．（23-24高二上·安徽·期中）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为双曲线，且焦点在轴上，则 【答案】AC 【分析】AB选项，计算出时，曲线表示圆，A正确，B错误；C选项，根据焦点在轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，当，即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为的圆，故选项正确，选项错误； C选项，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项正确； D选项，若为双曲线，且焦点在轴上，方程即， 则，解得，故选项D错误. 故选：AC. 11．（23-24高二下·安徽池州·期中）方程表示双曲线的充分不必要条件是（    ） A． 或 B． C． D． 或 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程，方程表示双曲线，可得，解得的范围，根据充分必要条件判断得出结论即可． 【详解】解：方程表示双曲线，可得，解得或； 记集合或； 所以方程表示双曲线的充分不必要条件为集合的真子集， 由于， 故选：． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（22-23高二上·安徽·期中）若双曲线：的焦点坐标为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】 根据给定条件，确定的范围，再列式计算作答. 【详解】依题意，，则，双曲线，而的焦点为， 于是，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 13．（12-13高二下·安徽蚌埠·期中）若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则1＜t＜4且t≠； ②若C为双曲线，则t＞4或t＜1； ③曲线C不可能是圆； ④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜. 其中正确的命题是 (把所有正确命题的序号都填在横线上)． 【答案】①② 【详解】试题分析：据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围判断出①错，据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出②对；据圆方程的特点列出方程求出t的值，判断出③错；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．解：若C为椭圆应该满足(4-t)(t-1)＞0，4-t≠t-1 即1＜t＜4且t≠故①错，若C为双曲线应该满足（4-t）（t-1）＜0即t＞4或t＜1故②对，当4-t=t-1即t=表示圆，故③错，若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4-t＞t-1＞0则1<t<，因此④错，故填写② 考点：圆锥曲线的共同特征． 点评：主要是考查了椭圆方程于双曲线方程的标准形式的运用，属于中档题． 14．（22-23高二上·安徽六安·期中）设：关于的方程没有实数根；：方程表示焦点在x轴上的双曲线． (1)若，判断p和q的真假； (2)若p为假，也为假，求实数k的取值范围． 【答案】(1)p为真，q为假； (2). 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式，结合圆锥曲线的方程，根据题意判断即可； （2）根据的真假情况，列出关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）当时，p：，，方程没有实数根，故p为真； 当时，表示椭圆，不是双曲线，故q为假； 综上所述，为真，为假. （2）当命题p为真时，，得，则命题为假时，， 当命题为真时，满足，解得， ∵p为假，也为假，∴q为真， 故可得且，解得， 即实数k的取值范围为. 求双曲线的标准方程 15．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义求解即可. 【详解】由题意可知，，解得，， 所以双曲线的方程是． 故选：D． 16．（21-22高二上·安徽安庆期中）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点为双曲线的顶点得到双曲线焦点在轴上，，根据椭圆的长轴端点为双曲线的焦点得到，然后根据求双曲线的方程即可. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，所以，，， 所以双曲线的方程为. 故选：B. 17．（21-22高二下·安徽合肥·期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程． 【详解】，是的中点，所以， ，则， ，解得， 所以双曲线方程为． 故选：D． 18．（22-23高二上·安徽铜陵·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的渐近线方程可得,求得椭圆的焦点,可得,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程． 【详解】解：双曲线的渐近线方程为, 由一条渐近线方程为,可得 椭圆的焦点为,， 可得 由可得,, 即双曲线的方程为, 故答案为:． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题． 19．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）求满足下列条件的曲线的方程： （1）离心率为，长轴长为8的椭圆的标准方程； （2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）由椭圆的几何性质可得、的值，由可得的值，讨论椭圆焦点的位置，即可得答案； （2）求出椭圆的焦点坐标，进而可以设双曲线的方程为，由题意可得和，解方程组可得、的值,即可得答案． 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为 ，离心率为， 所以，，解得：，；则， 若椭圆的焦点在轴上，椭圆方程为， 若椭圆的焦点在轴上，椭圆方程为， 所以椭圆的标准方程为或； （2）由椭圆可知椭圆的焦点为和， 所以双曲线的焦点为和， 设所求双曲线的方程为，且，则有①， 又双曲线经过点，则有②， 联立①②解得：，故双曲线的方程为：. 双曲线的焦点三角形及应用 20．（20-21高二上·安徽安庆·期中）设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】不妨设点在第一象限，根据双曲线的定义得到，再由，得到，进而求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得，则， 因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限， 由双曲线的定义可得， 又因为，可得，即， 又由， 可得，解得， 所以的面积为. 故选：C. 21．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知，分别是双曲线的左，右焦点，若是双曲线左支上的点，且．则的面积为（    ） A．8 B．16 C．24 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义可得，再根据余弦定理可得，然后由平方关系得到，即可求出的面积． 【详解】因为是双曲线左支上的点，所以，． 在中， ，即，所以，，故的面积为． 故选：C． 22．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设在右支上，则，利用余弦定理及面积公式得到，从而得解. 【详解】双曲线，则、，所以，不妨设在右支上， 则，， 由余弦定理， 即， 又， ， 所以，即， 所以，又，所以， 则. 故选：C 23．（21-22高二上·安徽安庆·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，在左支上过的弦的长为4，那么的周长是（    ） A．24 B．20 C．16 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义得到，，然后求周长即可. 【详解】   由题意得，，，， 所以的周长为. 故选：A. 24．（22-23高三上·安徽·期中）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（    ） A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为 【答案】D 【分析】由双曲线定义得到，且，进而求出，求出的面积. 【详解】由双曲线方程知，， 恰好为圆的直径，所以，如图所示： 由双曲线定义知，， ∴， 所以 ∴， 故选：D. 25．（23-24高二下·安徽·期中）已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则 . 【答案】/ 【分析】设双曲线的左焦点为，分析可知为矩形，则，分析可知，即可得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，， 由对称性可知：，可知为平行四边形， 且，可知为矩形，可得， 由题意可得：，即， 因为，可得， 整理可得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 26．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为 . 【答案】 【分析】由双曲线的离心率可求得的值，可求得的值，推导出为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】如图所示：因为双曲线的离心率，所以，， 设点在双曲线的右支上，由， 可得，， 所以，， 由双曲线定义可得，由勾股定理可得， 所以，可得， 因此的面积为.    故答案为：. 27．（22-23高二上·安徽阜阳·期中）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ． 【答案】34 【分析】 由双曲线定义可得，再利用之间的关系求得，从而得到所求周长. 【详解】 因为，所以， 故，则， 又，故，则，， 所以的周长为. 故答案为：34. 双曲线基本几何性质 28．（23-24高二上·安徽·期中）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值. 【详解】因为椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为， 故，解得. 故选：B. 29．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（    ） A．7 B．14 C． D． 【答案】B 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解. 【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距. 故选：B 30．（21-22高三下·安徽·期中）双曲线的一条渐近线斜率为，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程可解得答案. 【详解】解：由题意可知m>0，所以双曲线的渐近线方程为 双曲线的一条渐近线斜率为 ，解得 故选：A 31．（21-22高二上·安徽六安·期中）若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先将双曲线化成标准方程，再根据两曲线焦点相同可得，，即可解出． 【详解】双曲线化成标准方程，所以，解得． 故选：C． 32．（20-21高二上·安徽淮南·期中）某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的方程为，利用焦点为求出的值即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近方程为，且焦点为， 所以可设双曲线的方程为， 则，， 所以该双曲线方程为. 故选：D. 33．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 【答案】BC 【分析】根据焦距得出判断A，B选项，根据渐近线公式计算判断C选项，联立方程求出点的坐标结合两点间距离公式计算判断D选项. 【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确； 的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误 故选：BC. 34．（23-24高二上·安徽亳州·期中）若双曲线C：（，）的实轴长为8，焦距为10，右焦点为F，则（    ） A．C的离心率为 B．C的渐近线方程为 C．C上的点到F距离的最小值为1 D．过F的最短的弦长为 【答案】AC 【分析】根据离心率公式直接求解判断A，根据双曲线直接求渐近线方程判断B，根据两点距离公式结合点在双曲线上求最值判断C，分类讨论，设直线方程，联立方程韦达定理，求出弦长表达式，然后求解最值判断D. 【详解】由得，则，所以A正确； ，则双曲线C：，所以渐近线方程为，所以B不正确； 设，则，右焦点， 所以 ，又或， 故当时，取得最小值1，C上的点到F距离的最小值为1，所以C正确； 若过F的直线斜率为0，则弦长为； 若过F的直线斜率不为0，设直线的方程为，直线交双曲线于两点， 联立方程得， 则，， 设，则， 所以由弦长公式得 ，当且仅当即时，等号成立； 因为，所以过F的最短的弦长为，所以D不正确. 故选：AC 35．（22-23高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线，则下列叙述正确的有（    ） A．若曲线为圆，则 B．若，则曲线的离心率为2 C．若，则曲线焦点坐标为 D．若，则曲线是双曲线且其渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】 结合圆的标准方程判断A，根据等轴双曲线的定义和性质判断B，根据椭圆的焦点坐标公式判断C，根据双曲线的渐近线方程判断D. 【详解】 若方程的曲线为圆，则，正确； 若，则曲线为等轴双曲线， 所以双曲线的离心率为，B不正确； 若，则曲线为焦点在轴上，中心为原点， 长半轴上为，短半轴长为的椭圆，半焦距为， 所以其焦点坐标为，C正确； 若，则曲线是中心为原点，焦点在轴上的双曲线， 双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 双曲线的渐近线方程为，D正确. 故选：ACD. 36．（22-23高二上·安徽·期中）我们知道反比例函数的图象是双曲线，则下列有关双曲线的结论正确的是（　　） A．顶点坐标为， B．虚轴长为 C．离心率为 D．焦点坐标为， 【答案】AC 【分析】将反比函数图象逆时针旋转转化为焦点在轴的双曲线，利用双曲线的性质即可求解. 【详解】将双曲线的图象逆时针旋转后可得等轴双曲线， 旋转前后实轴长、虚轴长、焦距保持不变， 因为直线是的长轴所在的直线， 所以联立和解得顶点坐标为，， 所以实轴长，故A正确； 其是等轴双曲线，所以虚轴长为，故B错误； 因为，所以，离心率为，故C正确； 设焦点坐标为和， 因为和在直线上，且焦距等于， 所以，所以， 所以其焦点坐标为，，故D错误． 故选:AC． 37．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知曲线，分别为曲线的左､右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线的渐近线方程为 B．若，则曲线的焦点到渐近线的距离为 C．若，为上一个动点，则的最小值为2 D．若，为上一个动点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】结合已知条件，根据椭圆和双曲线的性质即可求解. 【详解】若，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故A正确； 若，曲线，易知右焦点， 其中一条渐近线为，即， 由双曲线对称性可知，曲线的焦点到渐近线的距离为，故B正确； 若，曲线，则，，， 则的最小值为，故C错； 若，曲线C：，此时，面积的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 求双曲线的渐近线 38．（23-24高二下·安徽·期中）已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，求出双曲线的渐近线方程. 【详解】根据题意，. 故选：A. 39．（22-23高二上·安徽·期中）已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出作答. 【详解】由点在双曲线上，得， 则，即，整理得，解得或， 当时，，此时方程无解， 当时，，而，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 40．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的几何性质及锐角三角函数，结合双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】由已知及双曲线的对称性可得，所以.所以，所以，所以的渐近线方程为. 故选：C. 41．（20-21高二上·安徽安庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左右顶点，点M在E上.且，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求出，进一步求出点的坐标，再代入双曲线方程中，得出的关系即可. 【详解】解：由已知得在双曲线右支上，不妨设在第一象限，如图， ，所以， 由余弦定理得，， , 过作轴于，则，，所以， 所以，， 则双曲线E的渐近线方程为. 故选：C 【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率和双曲线的渐近线时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． （2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量． 42．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】求得椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，运用离心率公式，解方程可得，再由双曲线的渐近线方程，结合直线的斜率和倾斜角关系可得所求角． 【详解】解：设椭圆的离心率为，则， 双曲线的离心率为， 由题意可得， 可得， 由双曲线的渐近线方程为，即， 可得渐近线的倾斜角分别为，， 故选：C． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率和渐近线，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 43．（23-24高二下·安徽·期中）与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入双曲线方程， 解得. 从而所求双曲线方程的焦点坐标为,一条渐近线方程为， 即4x-3y=0， 所以焦点到一条渐近线的距离是， 故选B. 【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 44．（23-24高二下·安徽淮北·期中）若双曲线的一条渐近线方程为，则 . 【答案】 【分析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的一条渐近线方程为，可得 ，从而得到的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 由由双曲线的一条渐近线方程为，即 所以，即 故答案为： 【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线方程求参数的值,属于基础题. 45．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 ． 【答案】 【详解】由题意得，顶点坐标为，渐近线方程为，则顶点坐标为的距离为 求双曲线的离心率 46．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在双曲线的左、右支上，且，以为直径的圆过点，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意画出图形，可得四边形为矩形，设，即可表示出、、，再在直角三角形中利用勾股定理求出，即可求出离心率. 【详解】解：易知四边形为矩形，设，则，，， 在中，，即，解得， 所以，，在中，即， 所以. 故选：C 47．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知椭圆的右焦点与双曲线的一个焦点的连线与的一条渐近线平行，设C的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的右焦点与双曲线的一个焦点与渐近线平行，得到斜率相等，从而表示出离心率，判断大小即可. 【详解】设，则椭圆的离心率，C的右焦点为，的上焦点为， 直线的斜率为， 因为直线与的一条渐近线平行， 所以，即，即， 所以，整理得， 解得， 因为，所以， 因为，所以． 故选：B． 48．（21-22高三下·安徽·期中）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义及，可得，再由即可建立的方程，即得. 【详解】由题意可知，， ， 又， ， 即， ∴，即， ∴. 故选：C. 49．（20-21高二下·安徽合肥·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，即可求出离心率. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，， 离心率. 故选：C. 50．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若    ，则双曲线的离心率 . 【答案】 【分析】设直线，，由，得到，从而有，根据条件有，从而得到，再利用，即可求出结果. 【详解】易知，如图，由对称性不妨设直线，， 由，消得到， 则， 因为，所以，得到，即， 将代入，整理得到， 又易知，所以，得到，即， 所以双曲线的离心率， 故答案：. 51．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于，两点.若四边形的面积为，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，过作的垂线，垂足为，，结合双曲线的定义求得圆的弦长及，然后由面积得出关于的齐次式，变形后求得离心率． 【详解】根据对称性不妨设点在第一象限，如图所示，圆，圆心为，半径为， 设，点在双曲线上，，则有，可得， 过作的垂线，垂足为为的中点， 则，同理，， 由，四边形的面积为，化简得， 则有，则的离心率. 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线的定义以及勾股定理，并结合几何法求圆的弦长，最后得到面积表达式，得到关于的齐次方程即可. 52．（22-23高二上·安徽阜阳·期中）已知双曲线(，)的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线右支上，且，若直线的倾斜角为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量关系式可以得到，从而可得是以为直角顶点的直角三角形，利用可得的关系，故可求双曲线的离心率. 【详解】 取的中点为，连接，则即， 所以，故，所以是以为直角顶点的直角三角形. 在中， . 设，则，故 故，所以离心率， 故选：A. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组． 53．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）已知双曲线(，)的一条渐近线方程为，则此双曲线离心率等于 . 【答案】 【分析】根据渐近线方程可得，再由双曲线参数关系及离心率定义，即可求双曲线离心率. 【详解】由题意知：，即， ∴. 故答案为： 54．（23-24高二下·安徽·期中）过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】先求出AB的长，进而可得，从而可求双曲线的离心率． 【详解】不妨设，代入双曲线，可得． ∵线段AB的长度恰等于焦距， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查由几何关系求双曲线的离心率，属于简单题. 55．（22-23高二上·安徽宿州·期中）若双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】结合已知条件，写出双曲线的渐近线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求出，，之间的关系即可求解. 【详解】对于双曲线，其中渐近线方程为：， 对于圆，化成圆的标准方程为：， 则圆心为，半径， 因为渐近线与圆相切， 由圆的位置关系可知，只能与渐近线相切， 所以圆心到渐近线的距离， 故，解得. 故答案为：. 双曲线的轨迹方程 56．（21-22高二上·安徽·期中）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案. 【详解】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为． 故选：A． 57．（23-24高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件可得出，设点，则，计算出的值，即可得出曲线的方程； （2）设点在点的左侧，则由题意得、，设、、，写出直线的直线方程，与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可得出直线的方程，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）因为点在反比例函数的图象上，所以， 设点，因为点是线段的中点，所以，可得， 所以，整理得． 所以曲线的方程为． （2）证明：不妨设点在点的左侧， 则由题意得、， 设、、，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立得：， 当时，， 由韦达定理得：，解得：，， 同理得：，， 当的斜率存在时，即时，， 直线的方程为，即， 此时恒过点； 当时，、，此时直线的方程为，过点； 当时，、，此时直线的方程为，过点． 综上，直线过定点． 58．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式. (1)求线段的长度； (2)求顶点的轨迹方程. 【答案】(1)线段的长度； (2)顶点的轨迹方程为 【分析】（1）、将椭圆的方程化为标准方程，确定两点的坐标，即可求出的长度； （2）、中根据正弦定理得,代入中并化简得到，即可得到C点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支. 【详解】（1）椭圆的方程为椭圆的方程为 分别为椭圆的左焦点和右焦点，线段的长度 （2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)， C点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且， ，，顶点的轨迹方程为 59．（23-24高二·安徽·期中）已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是圆上任意一点,可得，为的中点可求，结合垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义即可得结果. 【详解】如图，当点在轴左侧时，连接，，则，所以． 结合为线段的垂直平分线，可得， 所以． 同理，当点在轴右侧时，． 故点的轨迹是双曲线，其方程为． 故选：B 【点睛】本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型，并求圆锥曲线的方程，属于中档题. 60．（20-21高二上·安徽滁州·期中）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【答案】. 【分析】由题意可得|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|，利用双曲线的定义即可求解. 【详解】圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1. 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|. ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支， 且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝. 故动圆圆心M的轨迹方程为. 61．（23-24高三上·安徽六安·期中）设圆与圆，动圆C与圆外切，与圆内切． (1)求动圆C的圆心轨迹L的方程； (2)已知点，P为L上动点，求最小值． 【答案】(1)动圆C的圆心轨迹L的方程为； (2)最小值为． 【分析】（1）根据已知条件先求出两圆的圆心和半径，设圆圆心坐标为，半径的为，由题设条件知，所以圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的右支；所以轨迹方程可求； （2）根据双曲线的定义知，把转化为，当三点共线时，有最小值． 【详解】（1）两圆的半径都是2，圆心分别为，设圆圆心坐标为，半径为，由题设条件知， 所以圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的右支； 则，所以轨迹为； （2）根据双曲线的定义知，， 而，所以最小值等于． 求双曲线的最值问题 62．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）点是双曲线右支上一点，是圆上一点，点的坐标为，则的最大值为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意可知，由此可得最大值. 【详解】设分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线右支上一点， 所以，， 所以 ， 故选：D. 63．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D    【点睛】结论点睛：设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为. 64．（22-23高二上·安徽滁州·期中）双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，利用双曲线的定义把的周长用的周长来表示，可求的最小值，从而求a即可. 【详解】 如下图所示：    设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得， ，又，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立. 所以，的周长为， 当且仅当A，P，F三点共线时，的周长取得最小值，即，解得． 故选：D． 65．（21-22高二下·安徽滁州·期中）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值． 【详解】由双曲线知渐近线方程为， 又双曲线与双曲线有相同的渐近线， ，，双曲线方程为， 设，， ，， ， 又弦的中点为， ，，设， ，解得，，解得， 所以双曲线的方程为， 由圆的方程可得， 圆心为，半径为， ． 当且仅当，，三点共线时取等号． 故选：D． 66．（20-21高三下·安徽·期中）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（    ） A．25 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用定义判断，，三点共线时取最值计算得，再结合基本不等式求得的最大值，即得面积的最大值. 【详解】由题意得，故，如图所示， 则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为， ∴，即，当且仅当时，等号成立， 而到渐近线的距离，又，故， ∴，即面积的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于利用双曲线的定义将转移到的最值，即可知三点共线时去最值得到关系，才能再借用基本不等式求的面积的最值. 67．（23-24高二上·安徽淮南·期中）已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，A是圆上的一点，点M在双曲线的右支上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用双曲线的定义，可得，于是，转化求解即可． 【详解】 ∵双曲线的方程为， 右焦点坐标为，连接， 由双曲线的定义，得， ∴， 因为点是圆上的点，设圆心为，则，半径为2， ∴， ∴， 当点M，A在线段上时上式取等号，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题． 求双曲线离心率取值范围 68．（21-22高三下·安徽·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，点M在圆上，且C的一条渐近线上存在点N，使得四边形为平行四边形，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的一条渐渐近线方程，设出M点坐标，求出中点坐标B，建立方程进行转化求解即可. 【详解】由题意，设双曲线一条渐近线方程为，因为， 所以点M在圆上，设，则，四边形为平行四边形，令， 则中点坐标为，代入渐近线方程，即， ∵， ∴ 设，则，则 ∵，∴，则，解得， 故选：A 69．（21-22高二上·安徽合肥·期中）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），若与内切圆半径之比为，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】、的内切圆与直线切于点、，于，证明轴，得到直线的倾斜角与相等，计算，得到，得到离心率范围. 【详解】设与内切圆圆心分别为、，半径分别为、， 、的内切圆与直线切于点、，于. 的内切圆与交于点，与轴交于点， 则， ，故，即与重合，同理可得轴， 故直线的倾斜角与相等， 在中：，，， 故， 直线与双曲线右支有两个交点，需要满足，即， 所以，所以. 故选：A. 70．（20-21高二下·安徽芜湖·期中）若斜率为的直线与双曲线，恒有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点可得渐近线的斜率大于，由此可求离心率的范围. 【详解】∵   斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点， ∴   ， ∴  ， ∴   双曲线的离心率的取值范围是， 故选：D. 71．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据渐近线与圆有公共点得到圆心到渐近线的距离小于等于半径，进而得到关于的关系式，于是可得离心率的范围． 【详解】由得，即为双曲线的渐近线的方程，不妨取， ∵渐近线与圆有公共点， ∴，整理得， ∴， 又， ∴ ， ∴双曲线的离心率范围为． 故选C． 【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 72．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，则，，则，进而可得，即可得出答案． 【详解】由于M在以为直径的圆上，故， 设，则，， 根据双曲线的定义， 所以， 所以，， 所以， 故在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，所以， 故选：D．    73．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求． 【详解】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 74．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设M，G分别是BC，BE与圆的切点，，设，在中，余弦定理求出，即可表示出、，在中，设，由余弦定理可得，，从而求解. 【详解】如图，设M，G分别是BC，BE与圆的切点，由圆的切线性质知， ，设， ，， 在中， ， 以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为， 以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为， 则， 在中，设，，，， 由余弦定理可知： 从而得到，. 由， ，． 【点睛】思路点睛： （1）充分利用所给图形，有利于分析数量关系； （2）借助“换元”，有利于从“数”的角度求解最值问题. 直线与双曲线的位置关系 75．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：，若直线与双曲线有且仅有1个公共点，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与双曲线有且仅有1个公共点：联立方程组消元得方程，分类讨论这个方程的二次项系数，当二次项系数为0时，此时直线与渐近线平行，有且仅有1个交点，在二次项系数不等于0和判别式时有且仅有1个交点. 【详解】 当时，即：时，此时分别与两条渐近平行，所以分别只有一个交点，所以符合. 解得： 综述：或 故选：D. 76．（22-23高二上·安徽·期中）已知F为双曲线：的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线PF为，与双曲线方程联立，然后根据方程有一正根一负根，列方程求解. 【详解】由已知，设直线PF为， 联立，消去得 根据已知可得方程有一正根一负根， ， 解得 故选：D． 77．（23-24高二下·安徽·期中）直线与双曲线最多有几个交点（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线联立的方程思想分析即可. 【详解】由题,联立直线与双曲线可得关于或者的二次方程.最多有两个根.即最多有两个交点. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据方程思想分析直线与双曲线的交点个数问题.属于基础题. 78．（23-24高二下·安徽铜陵·期中）是直线与曲线仅有一个公共点的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】联立方程 ，整理为 ，当时， 时，有1个解，即有一个公共点，若时， ，所以当直线与曲线有一个公共点时，或 ，所以是充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于基础题型，当直线与双曲线只有一个公共点时，包含直线与双曲线相切，直线与渐近线平行，都是只有一个交点，那直线方程与双曲线方程联立，得到关于的二次方程的形式，若，方程是否只有一个交点，此时是与渐近线平行，若，此时是直线与双曲线相切. 79．（21-22高二上·安徽池州·期中）已知双曲线的左､右焦点为，虚轴的上､下端点为，则四边的面积为（    ） A．24 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质结合菱形的面积公式求解即可 【详解】设虚半轴､半焦距分别为b，c，则， 所以四边形的面积为. 故选：B 80．（21-22高二上·安徽蚌埠·期中）下列说法正确的是（    ） A．椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为 B．双曲线右支和右焦点所形成的弦中最短的弦长为 C．抛物线上两点，，则弦经过焦点的充要条件是 D．若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与该抛物线相切 【答案】AB 【分析】对A，设椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，可得，联立可消元化简得； 对B，分别讨论焦点弦所在直线斜率存在不存在的情况，联立方程应用弦长公式即可判断； 对C，讨论充分性、必要性，弦所在直线还需讨论斜率存在与否，设出直线方程，联立抛物线方程结合韦达定理讨论即可； 对D，直线与该抛物线可能是相切，也可能是直线平行抛物线的对称轴 【详解】对A，设椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，∴①， 又∵点在椭圆上，∴，∴代入①，得，故A正确； 对B，设双曲线的右焦点为，过点F的直线与双曲线右支相交于，， 当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为，则. 当直线AB斜率存在时，则直线AB方程为， 联立得， ，， 由，得或， 所以 ， 所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，故B正确； 对C，充分性：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时， 因为，所以，此时直线过焦点. 当直线的斜率存在时，设直线方程为 由，得， 所以，且， 又因为且， 所以，解得或， 所以直线方程为或. 当直线时，取时，，直线过焦点； 当直线时，取时，，直线过点； 所以充分性不成立. 必要性：当直线过焦点时， 设过焦点的直线的方程为，代入， 可得，则， 则，所以必要性成立. 所以抛物线上两点，，则弦经过抛物线的焦点的必要不充分条件是，所以C是不正确的. 对D，直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，故D错误. 故选：AB. 81．（20-21高二上·安徽淮南·期中）过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点. （1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求的长. 【答案】（1），渐近线方程为；（2）. 【解析】（1）由双曲线方程得出，再求出，可得离心率，渐近线方程； （2）写出直线方程，代入双曲线方程，设，，由韦达定理得，然后由弦长公式计算弦长． 【详解】解：（1）因为双曲线方程为， 所以， 则， 所以，渐近线方程为. （2）双曲线右焦点为，则直线l的方程为 代入双曲线中，化简可得 设， 所以，， 所以. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出，然后由弦长公式求出弦长． 82．（21-22高二上·安徽宿州·期中）已知点，，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)直线与点的轨迹交于，两点，若弦的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）根据点差法求解并检验即可得答案. 【详解】（1）解：根据双曲线的定义得动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，，所以， 所以动点的轨迹方程 （2）解：设，则，， 所以，即， 所以， 因为弦的中点坐标为，所以， 所以 所以直线的方程为，即. 联立方程得， 此时，，满足题意. 所以直线的方程为 双曲线定值和定点问题 83．（22-23高二下·安徽安庆·期中）已知双曲线的右焦点为为双曲线上一点. (1)求的方程； (2)设直线，且不过点，若与交于两点，点关于原点的对称点为，若，试判断是否为定值，若是，求出值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用焦点坐标得到，再由点在双曲线上，结合联立方程即可得解； （2）利用设而不求得到关于的值，再由得到的关系式，从而整理得，分析式子即可得到，由此得解. 【详解】（1）由已知可得，故， 因为在双曲线上，所以，解得（负值舍去）， 所以的方程为； （2）联立直线与双曲线的方程， 可得， 则且， 所以且， 设，则，由韦达定理可得， 又， 所以，， 又， 因为，所以， 整理可得，则， 则， 整理可得， 因为不恒为0，所以应有，解得， 所以直线的斜率为定值3. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 84．（22-23高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上． (1)求直线，的斜率之积； (2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，求出直线，的斜率后利用点在双曲线上可求斜率的乘积； （2）利用弦长公式可求. 【详解】（1）设， 由双曲线：可得，， 故， 即. （2）直线，设 由可得，即， 故. 85．（22-23高二上·安徽·期中）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，过且斜率为的直线与C的左支交于点A，且． (1)求C的渐近线方程； (2)若，P为x轴上一点，是否存在直线l：与C交于M，N两点，使得，且？若存在，求出点P的坐标和直线l的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，直线l的方程为． 【分析】（1）由直线的斜率为，可得，再由与双曲线的定义结合余弦定理建立关系，求得，即可求解； （2）先求得双曲线方程，再把双曲线与直线联立，利用根与系数的关系，结合垂直的向量表示即可求解 【详解】（1）因为， 所以， 所以，即（c为半焦距）， 又， 所以， 因为直线的斜率为， 所以， 所以， 由余弦定理，得， 即 所以，所以， 所以，所以， 所以C的渐近线方程为． （2）由，得，所以，， 所以双曲线C的方程为． 联立得， 由题意知，且，即且， 又，所以． 设，，线段MN的中点为， 所以，， 所以，． 假设存在直线l：，设点，使得，且成立， 则，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以， 化简，得，所以， 此时，即，直线l的方程为． 86．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴.以下三个条件：①一个焦点坐标为；②经过点；③离心率为，从中任选两个条件___________，并根据所选条件求解以下问题. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，过右焦点且与坐标轴都不垂直的直线与交于两点，证明：为定值. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知，利用双曲线的标准方程求解即可. （2）利用直线与双曲线相交，联立方程，根据韦达定理、斜率公式进行求解. 【详解】（1）选①②：由题意得，， 双曲线的标准方程为； 选①③：由题意得，， 双曲线的标准方程为； 选②③: 由题意得，， 双曲线的标准方程为； （2）证明：由（1）可知，由题可知，的斜率存在且不为0， 设的方程为，联立， 得 ，设， 则， 则 . 所以为定值0. 87．（20-21高二下·安徽宿州·期中）若椭圆的方程为，点分别是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上不同于点和的任意一点．若直与的斜率都存在，分别记为，那么与之积是与点无关的定值．试对双曲线写出具有类似特点的正确结论，并加以证明． 【答案】答案见解析；证明见解析． 【分析】设，则，代入双曲线方程，利用点差法即可求解. 【详解】解：（1）双曲线类似的结论为：已知双曲线，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上不同于点和点的任意一点，直线的斜率与直线的斜率之积为定值． 证明：设，则， 且①， ②， 两式相减得：， 则， ，是与点位置无关的定值． 88．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知，分别为椭圆：和双曲线：的离心率． (1)若，求的渐近线方程； (2)过上的动点作的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，定值为 【分析】（1）根据椭圆和双曲线离心率公式可求出，进而可求出双曲线渐近线方程； （2）先证明过点的椭圆的切线方程为，进而求出两切点所在直线方程，再联立渐近线方程求出两切点所在直线与两条渐近线的交点，然后根据面积公式和各个量之间的关系计算整理即可. 【详解】（1）由题意得，，所以， 又，解得，故双曲线的渐近线方程为， （2）设两个切点，，由题意知，斜率存在， 下证切线的方程为， 联立，得， 因为，即，则上式可化为， 所以， 直线的方程为：， 所以切线：，同理切线方程为：， 由，过点可得，可得直线的方程为， 联立，解得； 联立，解得； 不妨设直线与双曲线两渐近线交于两点为，， 则围成三角形的面积 因P在双曲线上，，则为定值． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 89．（23-24高三下·安徽·期中）已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线定义得到点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出答案； （2）设，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，得到直线，求出的坐标，同理得到的坐标，得到的中点坐标. 【详解】（1）由题意可得，且为的中点， 又为的中点， 所以，且． 因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以由双曲线的定义可得，点的轨迹是以为焦点的双曲线． ， 故曲线的方程为； （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去得：， 则， 解得，且 ，① 由，得直线， 令，解得，即， 同理可得， 则 ， 所以的中点为定点. 【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得到所求轨迹方程，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$