第14讲 一次函数与正比例函数（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第14讲 一次函数与正比例函数（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点4．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点5．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点6．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 题型强化 题型一．一次函数的定义 1．（2024春•门头沟区期末）如果函数是关于的一次函数，且随增大而增大，那么取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•船营区校级期中）若函数是关于的一次函数，则　　． 3．（2023秋•西安期中）已知函数是一次函数，求的值． 题型二．正比例函数的定义 4．（2024春•雨花区校级期末）若函数是正比例函数，则的值是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•德城区期中）若函数是关于的正比例函数，则　　． 6．（2024春•娄底月考）已知关于的函数关系式为：． （1）若是的正比例函数，求的值； （2）若是的一次函数，且图象经过一、二、四象限，求的取值范围． 题型三．待定系数法求一次函数解析式 7．（2022秋•肃州区期末）已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为　　 A． B． C．或 D．或 8．（2024春•鲤城区校级期中）如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是　　． 9．（2023秋•邗江区校级月考）如图，四边形是一张长方形纸片，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． （1）求线段的长； （2）根据所给四边形，以点原点建立直角坐标系并求出点，点的坐标； （3）依据（2）中所建的直角坐标系，求直线的函数表达式． 题型四．待定系数法求正比例函数解析式 10．（2023秋•莲池区校级期中）已知与成正比例，如果时，，那么时，为　　 A． B．2 C． D．3 11．（2024春•西吉县校级期中）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是　　． 12．（2024春•庄浪县期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求的值． 题型五．一次函数与一元一次方程 13．（2023秋•金凤区校级期中）如图，直线过点和点，则方程的解是　　 A． B． C． D． 14．（2024春•秀山县期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是 　　． 15．（2020春•番禺区期末）已知直线的图象经过点和点． （1）求的值； （2）求关于的方程的解； （3）若，、，为直线上两点，且，试比较、的大小． 题型六．根据实际问题列一次函数关系式 16．（2022春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价（元与（升之间的函数关系是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•鹤山市期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂重物后，弹簧伸长，弹簧总长为（单位：随所挂重物（单位：变化的函数解析式为 　　． 18．（2024春•惠州期末）已知摄氏温度与华氏温度之间存在下表关系： 摄氏温度 0 10 20 30 40 50 华氏温度 32 50 68 86 104 122 根据表中提供的信息，写出与之间的函数关系式． 分层练习 一、单选题 1．已知点在一次函数图象上，则的值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．不能确定 2．对于圆的面积公式，以下说法中正确的是（    ） A．S与成正比例 B．S与R成正比例 C．S与成正比例 D．S与成反比例 3．画一次函数的图象需要两个点，若已有一个点，则另一个点可以是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，是的正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 5．下列坐标不经过的是（     ） A． B． C． D． 6．若函数是正比例函数，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0. 7．函数是正比例函数，则，应满足的条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 8．直线y=(2k-1)x+k-1（k是常数）总经过的一个点是（　　） A．(1,1) B．(-, ) C．(0,-1) D．(-,-) 9．若点在直线上，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．2 D．0 10．下列函数（1）（2）（3）（4）（5）中，一次函数有（      ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知一次函数的图象经过点，则 ． 12．如果点在正比例函数图象上，那么 ． 13．若是一次函数，则k＝ ． 14．已知函数是正比例函数，则m= ． 15．如果函数是正比例函数，则的取值范围是 ． 16．已知函数是关于的一次函数，则 ． 17．若平面直角坐标系中，设点在正比例函数的图像上，则点位于第 象限． 18．写出下列变化过程中的函数关系式，指出式子中的自变量及自变量的取值范围． （1）某市出租车起步价是7元（路程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米加收1.6元，求出租车车费（元）与行程（千米）之间的函数关系式； （2）等腰三角形顶角与底角之间的关系 （3）汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶 50千米耗油9升，油箱剩余油量（升）与汽车行驶路程（千米）之间的关系 三、解答题 19．已知关于的函数 （1）和取何值时，该函数是关于的一次函数？ （2）和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 20．（1）计算：． （2）已知y与成正比例，当时，，当时，求y的函数值． 21．（1）已知等腰三角形的周长为30，底边长为y，腰长为x，试写出y与x之间的函数关系式； （2）已知一根蜡烛长20厘米，点燃后匀速燃烧，每分钟燃烧0.2厘米，燃烧x分钟后剩下的蜡烛长y厘米，试写出y与x之间的函数关系式； （3）已知某种商品每件进价为100元，售出1件获利20%，若售出x件的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式． 22．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 23．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 24．如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，若，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，若点是边的中点，是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）. ①在点滑动过程中，是否一定成立？请说明理由； ②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在直线上，求此时点的坐标． 25．请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线 x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 3 2 1 0 1 m 3 4 … (1)表格中：______； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像； 26．商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量（千克）与售价（元）之间的关系如下表. 销量/千克 售价/元 1 1+0.3+0.05 2 2+0.6+0.05 3 3+0.9+0.05 4 4+1.2+0.05 ... ... （1）写出用含的式子表示售价的计算公式。 （2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？ （3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一次函数与正比例函数（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 知识点3．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 知识点4．待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 知识点5．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点6．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 题型强化 题型一．一次函数的定义 1．（2024春•门头沟区期末）如果函数是关于的一次函数，且随增大而增大，那么取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的定义和性质得出且，再求出的范围即可． 【解答】解：函数是关于的一次函数，且随增大而增大， 且， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的定义和性质，解一元一次不等式等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 2．（2024春•船营区校级期中）若函数是关于的一次函数，则　3　． 【分析】根据一次函数的定义可得，求解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数解析式的结构特征是解题的关键． 3．（2023秋•西安期中）已知函数是一次函数，求的值． 【分析】根据一次函数的定义得出关于的不等式组，求出的值即可． 【解答】解：函数是一次函数， ， 解得． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 题型二．正比例函数的定义 4．（2024春•雨花区校级期末）若函数是正比例函数，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的定义得出且，再求出即可． 【解答】解：是正比例函数， 且， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数定义是解此题的关键，注意：形如、为常数，的函数叫一次函数，当时，函数也叫正比例函数． 5．（2024春•德城区期中）若函数是关于的正比例函数，则　1　． 【分析】一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【解答】解：函数是关于的正比例函数， ，， ， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，关键是正比例函数定义的熟练掌握． 6．（2024春•娄底月考）已知关于的函数关系式为：． （1）若是的正比例函数，求的值； （2）若是的一次函数，且图象经过一、二、四象限，求的取值范围． 【分析】（1）根据是的正比例函数列方程，即可得到结论； （2）根据是的一次函数，且图象经过一、二、四象限列不等式组，即可得到结论． 【解答】解：对于关于的函数， （1）是的正比例函数， 且， 解得：； （2）是的一次函数，且图象经过一、二、四象限， ， 解得：． 所以的取值范围为． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，一次函数的定义，根据题意正确的得到等式、不等式或不等式组是解题的关键． 题型三．待定系数法求一次函数解析式 7．（2022秋•肃州区期末）已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为　　 A． B． C．或 D．或 【分析】先求出一次函数与轴和轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【解答】解：一次函数图象过点， ， 令，则， 函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2， ，即， 解得：， 则函数的解析式是或． 故选：． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积公式，有一定的综合性，注意点的坐标和线段长度的转化． 8．（2024春•鲤城区校级期中）如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是　或．　． 【分析】根据自变量的取值范围确定，的值，用待定系数法可求出函数关系式． 【解答】解：一次函数的自变量的取值范围是：， 相应函数值的取值范围是：， 若 函数为递增函数 即当时，，即经过点， 时，．即经过点． 根据题意列出方程组：， 解得：， 则这个函数的解析式是． 若 函数为递减函数，则函数一定经过点和， 设一次函数的解析式是， 则， 解得： 则函数的解析式为， 故答案为：或． 【点评】根据自变量的取值范围确定，的值是解决本题的关键． 9．（2023秋•邗江区校级月考）如图，四边形是一张长方形纸片，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． （1）求线段的长； （2）根据所给四边形，以点原点建立直角坐标系并求出点，点的坐标； （3）依据（2）中所建的直角坐标系，求直线的函数表达式． 【分析】（1）根据轴对称的性质以及勾股定理即可求出线段和的长； （2）根据题意建立坐标系，进而求得，的长，得出，的坐标； （3）根据、的坐标，根据待定系数法即可求得表达式． 【解答】解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在△中，，， ． （2）如图所示， ，则， ，， ； （3）在△中，， 又， ， ， ， ，， 设直线的解析式为， 把、的坐标代入得 ， 解得， 直线的解析式为． 【点评】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质，坐标与图形，勾股定理以及待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型四．待定系数法求正比例函数解析式 10．（2023秋•莲池区校级期中）已知与成正比例，如果时，，那么时，为　　 A． B．2 C． D．3 【分析】根据自变量值的求函数值，设，代入确定解析式，后计算求值即可． 【解答】解：设， 把，代入解析式，得： ， 解得， 故解析式为， 当时， ， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法去一次函数解析式是关键． 11．（2024春•西吉县校级期中）已知一个正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的表达式是　　． 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式． 【解答】解：设函数解析式为，将代入函数解析式，得 ． 解得， 函数解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 12．（2024春•庄浪县期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求的值． 【分析】（1）设，然后把当，代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式可得到的值． 【解答】解：（1）设， 当时，， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）把代入得， 解得， 即的值为9． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为，然后把一组已知的对应代入求出得到正比例函数解析式． 题型五．一次函数与一元一次方程 13．（2023秋•金凤区校级期中）如图，直线过点和点，则方程的解是　　 A． B． C． D． 【分析】根据方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标即可求解． 【解答】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，关键是一次函数和一元一次方程性质的应用． 14．（2024春•秀山县期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是 　　． 【分析】根据图象：得到当时，，由此可以求得方程的解． 【解答】解：一次函数图象经过点 当时，， 即方程的解是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 15．（2020春•番禺区期末）已知直线的图象经过点和点． （1）求的值； （2）求关于的方程的解； （3）若，、，为直线上两点，且，试比较、的大小． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到的值； （2）利用、的值得到次函数解析式为，然后解方程即可； （3）利用一次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）根据题意得，解得， 即的值为1； （2）一次函数解析式为， 当时，，解得； （3）， 随的增大而增大， ， ． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．也考查了一次函数的性质． 题型六．根据实际问题列一次函数关系式 16．（2022春•广阳区校级期末）某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价（元与（升之间的函数关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据油箱内汽油的总价（原有汽油加的汽油）单价． 【解答】解：依题意有，汽油总量， 则． 故选：． 【点评】考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意加的汽油的取值范围． 17．（2024春•鹤山市期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂重物后，弹簧伸长，弹簧总长为（单位：随所挂重物（单位：变化的函数解析式为 　　． 【分析】弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长， 挂上的物体后，弹簧伸长 ， 弹簧总长． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象一次函数关系式的知识，得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键． 18．（2024春•惠州期末）已知摄氏温度与华氏温度之间存在下表关系： 摄氏温度 0 10 20 30 40 50 华氏温度 32 50 68 86 104 122 根据表中提供的信息，写出与之间的函数关系式． 【分析】当摄氏温度每次增加，华氏温度每次就增加，由此判断是一次函数关系式，设一次函数解析式，用“两点法”求解． 【解答】解：根据表格可知，与是一次函数关系，设， 把，和，代入函数关系式得：， 解得：． 所以：． 【点评】本题关键是根据表格确定函数关系式，再代值求函数关系式． 分层练习 一、单选题 1．已知点在一次函数图象上，则的值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】把点代入解方程即可求解． 【详解】解：把点代入得：， 故选C． 【点睛】本题考查求函数的函数值，运用代入法计算是解题的关键． 2．对于圆的面积公式，以下说法中正确的是（    ） A．S与成正比例 B．S与R成正比例 C．S与成正比例 D．S与成反比例 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】将R2看做整体，继而对S与R2的函数关系作出判断． 【详解】解：由于圆的面积公式中是自变量，S是因变量，且是常数， ≠0，则S是R2的正比例函数． 故选：C． 【点睛】本题考查的是正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数．依据正比例函数的定义解题时，应注意三点：①x的次数就为1；②x的系数不为零；③常数项为零． 3．画一次函数的图象需要两个点，若已有一个点，则另一个点可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】分别把各点代入一次函数的解析式进行检验即可． 【详解】解：A．∵当x=3时，y=3+21，故选项错误，不符合题意； B．∵当x=0时，y=0+2=2，故选项正确，符合题意； C．∵当x=2时，y=2+2=4≠1，故选项错误，不符合题意； D．∵当x=-1时，y=-1+2=1≠2，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 4．下列函数中，是的正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比函数，即可． 【详解】A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、不符合正比例函数的定义，不符合题意； C、不符合正比例函数的定义，不符合题意； D、不符合正比例函数的定义，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查正比例函数的知识，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 5．下列坐标不经过的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】此题考查了一次函数上点的坐标特点，将选项中各点分别代入求解判断即可． 【详解】A．将代入得，，故点经过，不符合题意； B．将代入得，，故点经过，不符合题意； C．将代入得，，故点经过，不符合题意； D．将代入得，，故点不经过，符合题意． 故选：D． 6．若函数是正比例函数，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0. 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得关于的方程和不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故选：B． 7．函数是正比例函数，则，应满足的条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据正比例函数的定义，可得，且即可求解． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，且 ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 8．直线y=(2k-1)x+k-1（k是常数）总经过的一个点是（　　） A．(1,1) B．(-, ) C．(0,-1) D．(-,-) 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】把解析式转化为以k为未知数的形式，然后让k的系数等于0，求出x的值，再求y的值. 【详解】y=(2k-1)x+k-1=2xk-x+k-1=(2x+1)k-x-1， 由直线总过一个点，即可知与k的取值无关， 所以2x+1=0，即x=， 代入式子可得y=， 即可知这个定点为()， 故选D. 【点睛】本题考查一次函数的解析式,解析式的形式转化是解题的关键. 9．若点在直线上，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可． 【详解】解：把点代入得， 整理得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号． 10．下列函数（1）（2）（3）（4）（5）中，一次函数有（      ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义进行分析，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，一次函数有：，，，共3个； 故选择：C. 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 二、填空题 11．已知一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】3 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】把点代入一次函数，列出关于m的一元一次方程，解之即可得m的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴把点代入一次函数，得， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函数图像上点的特征得出关于m的一元一次方程是解题的关键． 12．如果点在正比例函数图象上，那么 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】把点的坐标代入解析式计算即可． 【详解】解：把点代入得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数上点的坐标，利用已知条件列出方程求出未知数是解题的关键． 13．若是一次函数，则k＝ ． 【答案】-3 【知识点】正比例函数的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据一次函数的定义得到且，解方程和不等式即可求解． 【详解】解：∵是一次函数， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：－3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义．一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 14．已知函数是正比例函数，则m= ． 【答案】-1 【知识点】正比例函数的定义 【分析】利用正比例函数的定义解题即可，形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且k≠0）的函数是正比例函数 【详解】由题意可得m-1≠0，m2=1 解得m≠1，m=±1 所以综上m=-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查正比例函数的定义，掌握基本定义是解题关键 15．如果函数是正比例函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义：形如（k是常数，）的函数，即可写出答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】2 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义列出方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得： ，解得m=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，关注m+2≠0是解答本题的关键，也是解答本题的易错点． 17．若平面直角坐标系中，设点在正比例函数的图像上，则点位于第 象限． 【答案】一 【知识点】正比例函数的定义、判断点所在的象限 【分析】把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值，进而计算Q的横纵坐标值并判断其所处象限即可． 【详解】解：∵点P（2，a）在正比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为（2，1），位于第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征及判断点所在象限的知识，借助正比例函数解析式计算出a的值是解题关键． 18．写出下列变化过程中的函数关系式，指出式子中的自变量及自变量的取值范围． （1）某市出租车起步价是7元（路程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米加收1.6元，求出租车车费（元）与行程（千米）之间的函数关系式； （2）等腰三角形顶角与底角之间的关系 （3）汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶 50千米耗油9升，油箱剩余油量（升）与汽车行驶路程（千米）之间的关系 【答案】 （ ） 【详解】由题意得y=7+(x-2)1.6, y= . (2) 由题意得y+2x=180°，所以 . (3) 由题意得每公里耗油(0<x<). 三、解答题 19．已知关于的函数 （1）和取何值时，该函数是关于的一次函数？ （2）和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【答案】（1），为任意实数；（2）， 【知识点】根据一次函数的定义求参数、正比例函数的定义 【分析】（1）如果函数关系式是关于自变量的一次式，则称为一次函数，用字母表示为y=kx+b，其中k≠0，且k、b为常数；根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）若一次函数表达式中b=0，即y=kx，其中k≠0，则称此函数为正比例函数，根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）由题意知：，则m=±1 当m=－1时，m+1=0 ∴m=1 n可为任意实数 即当m=1，n为任意实数时，函数为一次函数． （2）由（1）知，m=1 但n－3=0，所以n=3 即当m=1，n=3时，函数是正比例函数． 【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． 20．（1）计算：． （2）已知y与成正比例，当时，，当时，求y的函数值． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】正比例函数的定义、零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，正比例及函数的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用算术平方根，立方根的定义，绝对值的代数意义，零指数幂即可求解； （2）利用正比例的定义，设，把已知的一组对应值代入求出即可得到函数的解析式，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为：， ∴当，． 21．（1）已知等腰三角形的周长为30，底边长为y，腰长为x，试写出y与x之间的函数关系式； （2）已知一根蜡烛长20厘米，点燃后匀速燃烧，每分钟燃烧0.2厘米，燃烧x分钟后剩下的蜡烛长y厘米，试写出y与x之间的函数关系式； （3）已知某种商品每件进价为100元，售出1件获利20%，若售出x件的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式． 【答案】（l） （2） （3）（，且x为整数） 【知识点】求自变量的取值范围、函数解析式 【分析】（1）根据等腰三角形的周长为30列方程，化为函数关系式，再根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可． （2）根据剩余的长度=总长度-燃烧的长度就可以表示出剩下的长度y（厘米）与点燃时间x（分）之间的函数关系式， （3）根据利润等于每件商品的利润乘以商品的件数列式整理即可． 【详解】（1）∵2x+y=30， ∴y=30-2x，即x＜15， ∵两边之和大于第三边，即2x＞y， ∴2x＞（30-2x）. ∴x＞7.5， 综上可得； （2）由题意，得y=20-0.2x． ∵， ∴20-0.2x≥0， ∴x≤100， ∴综上可得：． （3）由题意得，每一件商品的利润为：， 所以，利润y=20x． ∴（，且x为整数） 【点睛】本题考查了函数关系式：根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系.列一次函数关系式的步骤（1）寻找等量关系，可以直接将公式当作等量关系；（2）用字母表示自变量及函数，根据等量关系列出等式；（3）将等式变形，写成函数的一般形式．注意，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义．本题表示出△ACD的面积，关键是要确定底和高． 22．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1) (2)1400元 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 23．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 24．如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，若，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，若点是边的中点，是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）. ①在点滑动过程中，是否一定成立？请说明理由； ②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在直线上，求此时点的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2) AE=EF一定成立，理由见解析；②F点坐标为 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】(1)利用ASA证明△AME≌△ECF，可得结论； (2) ①在AB上截取AM=EC，连接ME，同（1）证明△AME≌△ECF，可得AE=EF； ②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出FG、FH，由角平分线的性质得到关于a的方程，求得a的值，即可得出F的坐标. 【详解】(1)证明：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∵M、E为中点， ∴AM=EC=BE=BM， ∴∠BME＝45°， ∵CF平分∠DCB， ∴∠AME=∠ECF=135°， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF (ASA) ， ∴AE=EF； (2)解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立. 证明：如图2中，在AB上截取AM=EC，连接ME， ∵AB=BC， ∴BM=BE， ∴△MBE是等腰直角三角形， ∴∠AME=180°-45°=135°， 又∵CF是角平分线， ∴∠ECF=90°+45°=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， 在△AME和△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF (ASA) ， ∴AE=EF； ②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3， 则FG=CH=a-1，FH=-2a+6， ∵CF为角平分线， ∴FH=FG， ∴a-1=-2a+6， 解得， 当时，， ∴F点坐标为. 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质及方程思想等知识，能够添加正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键. 25．请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线 x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 3 2 1 0 1 m 3 4 … (1)表格中：______； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像； 【答案】(1)2 (2)图形见解析 【知识点】求一次函数自变量或函数值、用描点法画函数图象 【分析】本题主要考查绝对值函数的性质，熟练掌握绝对值函数的性质是解题的关键． （1）将代入即可得到答案； （2）采用描点、连线的方法画出图像即可． 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：函数图像如图所示． 26．商店要出售一种商品，出售时要在进价的基础上加上一定的利润，其销售量（千克）与售价（元）之间的关系如下表. 销量/千克 售价/元 1 1+0.3+0.05 2 2+0.6+0.05 3 3+0.9+0.05 4 4+1.2+0.05 ... ... （1）写出用含的式子表示售价的计算公式。 （2）此商品的销售量为10千克时，售价为多少？ （3）当售价为26.05元时，商品的销售量为多少千克？ 【答案】（1）；（2）售价为13.05元；（3）商品的销售量为20千克. 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）从图中的x与y的关系：当x=1时，y=1+0.3+0.05，当x=2时，y=2+0.3×2+0.05，……，可以看出y=x+0.3x+0.05=1.3x+0.05； （2）把x=10代入（1）中关系式即可求出y的值； （3）把y=26.05代入（1）中关系式，可以得到x的值． 【详解】解：（1）； （2）把代入可得，， 答：售价为13.05元； （3）把代入， 可得：， 解得：， 答：商品的销售量为20千克． 【点睛】考查数字的变化规律，观察表格得到销量的每一项与相应售价之间的关系是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$