精品解析：广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

培英高级中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C D. 3. 如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ） A. 众数<中位数<平均数 B. 众数<平均数<中位数 C. 中位数<平均数<众数 D. 中位数<众数<平均数 4. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（ ） A. 37.5 B. 38 C. 39 D. 40 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知样本数据平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ） A. 18.2 B. 19.6 C. 19.8 D. 21.7 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（ ） A. APP使用人数最多的是微信 B. 微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍 C. 微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和 D. 抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125% 10. 已知事件两两互斥，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ） A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则 B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面 C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为 D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数据的平均数为5，则数据的平均数是__________. 13. 已知点，若，两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______. 14. 若函数的定义域为D，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，平行六面体中，与相交于，设、、， （1）用、、表示； （2）若、、三向量是两两成角的单位向量，求． 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）； （3）现从，，这三组中用比例分配分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数． 17. 如图所示,在三棱柱中,是边长为4的正方形,，. (l)求证:； (2)求二面角的余弦值． 18. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． （1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率； （2）求这3人都参加市知识竞赛的概率； （3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率． 19. 已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. （1）证明：平行六面体是直四棱柱； （2）计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培英高级中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二年级数学 时间：120分钟 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得到，解方程即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，， 所以，解得， 所以的值为4. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：. 故选：B. 3. 如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ） A. 众数<中位数<平均数 B. 众数<平均数<中位数 C. 中位数<平均数<众数 D. 中位数<众数<平均数 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值， 显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数， 由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数， 所以众数<中位数<平均数. 故选：A 4. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（ ） A. 37.5 B. 38 C. 39 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的概念求解． 【详解】数据按从小到大排序为， 而，故第75百分位数， 故选：C 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 6. 在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个独立事件及对立事件来解决问题. 【详解】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为. 故选：D. 7. 连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得出，计算出基本事件的总数以及事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】，，即， 事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个， 所有的基本事件数为，因此，事件“”的概率为. 故选：C. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题. 8. 已知样本数据的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ） A. 18.2 B. 19.6 C. 19.8 D. 21.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式整理可得，由新样本数据的平均数可得，结合方差公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 可得， 且，解得， 所以新样本数据的方差为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（ ） A. APP使用人数最多的是微信 B. 微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍 C. 微信APP使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和 D. 抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125% 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的APP的使用情况，数据整理的柱状图，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据数据的柱状图，可得APP使用人数最多的是微信，所以A正确； 对于B中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格， 所以微信APP的使用人数小于今日头条APP的使用人数的2倍，所以B错误； 对于C中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，快手APP的使用人数占4格， 所以微信APP的使用人数小于今日头条APP与快手APP的使用人数之和，所以C错误； 对于D中，抖音APP的使用人数占5格多，快手APP的使用人数占4格， 则快手APP的使用人数的等于5格， 所以抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的，所以D正确. 故选：AD. 10. 已知事件两两互斥，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算可得. 【详解】因为事件两两互斥，所以，故D正确； ，则，故A正确； ，则，故B错误； ，故C正确. 故选：ACD 11. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ） A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则 B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面 C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为 D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别用立体几何中空间向量法判断A，B，C，求出四面体的外接球的表面积，判断D. 【详解】 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 若秒针指向了钟上数字5，则， 则，，所以，A正确. ，故是平面的一个法向量. 因为，所以， 所以与不垂直，从而与平面不平行，B不正确. 若秒针指向了钟上数字4，则， ， ，C正确. 由，得. 因为，所以外接圆的半径， 则四面体的外接球的半径，则， 故四面体的外接球的表面积为，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数据的平均数为5，则数据的平均数是__________. 【答案】13 【解析】 【分析】根据平均数相关知识进行求解. 【详解】因为数据的平均数为5， 所以， ， 所以的平均数是13. 故答案为：13. 13. 已知点，若，两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______. 【答案】3 【解析】 【分析】先求与方向相同的单位向量，然后由公式可得. 【详解】依题意，而， 故与方向相同的单位向量为， 则所求距离. 故答案为:3 14. 若函数的定义域为D，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为________． 【答案】##0.32 【解析】 【分析】对于分类讨论，结合对勾函数的单调性及古典概率计算即可． 【详解】解：当，时，在上单调递减，在上单调递增，不是单射函数． 当，时，在上单调递增，在上单调递减，不是单射函数． 当，或，时，，不是单射函数． 当，时，不是单射函数． 当，时，是单射函数． 当，时，是单射函数． 故是单射函数的概率为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：由新定义知，要对分类讨论来确定函数是单调函数进行解题． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，平行六面体中，与相交于，设、、， （1）用、、表示； （2）若、、三向量是两两成角的单位向量，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形及向量加法和数乘的几何意义，及向量加法的平行四边形法则，及相等向量和相反向量的定义即可得出； （2）根据条件及进行数量积的运算即可求出的值． 【小问1详解】 解：根据图形，； 【小问2详解】 解：三向量是两两成角的单位向量， 则，所以 ． 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在内，现将所得数据分成6组：，，，，，，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）求这200名员工所得分数的中位数（精确到0.1）； （3）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求这组中抽取的人数． 【答案】（1）， （2）729 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于的方程，解出值，再利用频率分布直方图中平均数公式即可； （2）首先确定中位数所在区间，再设中位数为，列出方程，解出即可； （3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知， 解得. 估计这200名员工所得分数的平均数 ， . 【小问2详解】 的频率为， 的频率为， 所以中位数落在区间，设中位数为， 所以， 解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9. 【小问3详解】 的人数：， 的人数：， 的人数：， 所以这组中抽取的人数为：. 17. 如图所示,在三棱柱中,是边长为4的正方形,，. (l)求证:； (2)求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到； （2）以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是边长为4的正方形，所以， 又，， 由线面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以. （2）在中，有，所以， 分别以AC，AB，为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，同理得平面的法向量， 设二面角的平面角为，则. 【点睛】 本题考查了直线与平面垂直判定与证明，以及空间角的求解问题，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． （1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率； （2）求这3人都参加市知识竞赛的概率； （3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算出3人都没有通过初赛概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）)计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率； （3）计算出3人中有两人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率； 【小问1详解】 由题意可得：3人全通过初赛的概率为， 所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为； 【小问2详解】 甲参加市知识竞赛的概率为， 乙参加市知识竞赛的概率为， 丙参加市知识竞赛的概率为， 所以这3人都参加市知识竞赛的概率为； 【小问3详解】 由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛， 记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件， 则. 19. 已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. （1）证明：平行六面体是直四棱柱； （2）计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 【答案】（1）证明见解析 （2），平行六面体的体积为，的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积 【解析】 【分析】（1）利用向量法证明，，从而可得平面，即可得证； （2）根据公式求出，利用棱柱的体积公式求出该棱住的体积，从而可得出结论. 【小问1详解】 证明：由题意，， ∴，，即，， ∵，是平面内两相交直线，∴平面， ∴平行六面体是直四棱柱； 【小问2详解】 解：， 由题意，，， ，所以， ，， ∴. ∴， 故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$