3.2函数与方程、不等式之间的关系（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

3.2 函数与方程、不等式 之间的关系 第3章 函数 复习引入 尝试与发现：已知函数，我们知道，这个函数的定义域为_______，而且可以求出，方程的解集为________，不等式的解集为________，不等式的解集为_________. 在图中作出函数的图象，总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系. 新知探索 由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合.具体来说，假设函数的定义域为，若 ，，， 显然，，，两两的交集都为空集，且. 一般地，如果函数在实数处的函数值等于零，即，则称为函数的零点.上述集合就是函数所有零点组成的集合. 不难看出，是函数零点的充分必要条件是，是函数图象与轴的公共点.因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集. 例题 例1 如图所示是函数的图象，分别写出，，的解集. 解：由图可知，的解集为. 的解集为. 的解集为__________________________________. 新知探索 依照零点的定义可知，求函数的零点，实质上就是要解方程，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图象与轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似等不等式的解集. 我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图象是抛物线，因此可以借助二次函数的图象得到一元二次不等式的解集. 例题 例2 利用函数求下列不等式的解集： (1)；(2). 解：设，令，得， 即，从而或. 因此，和都是函数的零点，从而的图象与轴相交于和，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示. 由图可知：(1)所求解集为； (2)所求解集为. 例题 例3 利用函数求下列不等式的解集： (1)；(2). 解：设，令，得， 即，该方程无解. 因此函数无零点，从而的图象与轴没有交点，又因为函数图象是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示. 由图可知：(1)所求解集为； (2)所求解集为. 例题 例4 利用函数求下列不等式的解集： (1)；(2). 解：设，令，得， 即，从而. 因此，函数的零点为，从而的图象与轴相交于，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可知： (1)所求解集为； (2)所求解集为. 新知探索 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数： (1)当时，方程的解集中有两个元素，，且，是的两个零点，的图象与轴有两个公共点，； (2)当时，方程的解集中有一个元素，且是唯一的零点，的图象与轴有一个公共点； (3)当时，方程没有实数根，此时无零点，的图象与轴没有公共点. 更进一步，可以由二次函数的图象得到对应的不等式的解集，有关内容留作练习. 例题 例5 求函数的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式和的解集. 解：函数零点为，，. 函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示. 由此可以作出函数图象的示意图，如图所示. 由图可知的解集为； 的解集为. 新知探索 一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式. 尝试与发现：关于的一元二次方程的求根公式为_________. 但是，对于次数大于或等于3的多项式函数(例如，其中)，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事(事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在通用的求根公式).因此，我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点. 新知探索 尝试与发现：如图所示，已知，都是函数图象上的点，而且函数图象是连接，两点的连续不断的线，作出3种的可能的图象. 判断是否一定存在零点，总结出一般规律. 可以看出，尝试与发现中的函数在区间中一定存在零点. 新知探索 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的，并且(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数在区间中至少有一个零点，即，. 一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的.需要注意的是，反比例函数的图象不是连续不断的. 例题 例6 求证：函数至少有一个零点. 证明：因为，， 所以， 因此，，即结论成立. 例6中的函数在区间中存在零点，但是不难看出，求出的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比如，能否求出一个，使得？ 新知探索 尝试与发现：如果在区间中任取一个数作为的近似值，那么误差小于多少？如果取区间的中点作为的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？ 如果在区间中任取一个数作为的近似值，误差小于；如果取区间的中点作为的近似值，误差小于. 一般地，求的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示. 新知探索 其中第行的区间是，这是因为，其他区间都是用类似方式得到的.最后一行的函数值没有计算，是因为不管，还是，我们都可以将看成的近似值，而且误差小于. 新知探索 当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值. 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法. 在函数零点存在定理的条件满足时(即在区间上的图象是连续不断的，且)，给定近似的精确度，用二分法求零点的近似值，使得的一般步骤如下： 第一步 检查是否成立，如果成立，取，计算结束；如果不成立，转到第二步. 第二步 计算区间的中点对应的函数值，若，取，计算结束；若，转到第三步. 新知探索 第三步 若，将的值赋给(用表示，下同)，回到第一步；否则必有，将的值赋给，回到第一步. 这些步骤可用如图所示的框图表示. 例题 例7 已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数的取值范围. 解：因为函数的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图所示. 不管哪种情况，都可以归结为且， 因此且，解得或. 练习 题型一：简单方式不等式的解法 例1.解下列不等式： (1)(2) 解：(1) ∴原不等式的解集为 (2)∵，∴，即 或 而即. ∴原不等式的解集为或 练习 方法技巧： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 补充 分式不等式与整式不等式的解法： [注：] [注：] 若出现的形式，则需要先通分，再根据分式不等式的步骤进行求解，注意分母不能为零. 练，习 变1.解下列不等式： (1)(2) 解：(1)∵，∴，即 < ∴原不等式的解集为或 (2)原不等式可化为即 即由“穿针引线”法可得： 原不等式的解集为或 练习 题型二：不等式恒成立问题 例2.(1)若对不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若在上恒成立，求的取值范围. 解(1)：原不等式可化为 ∴ ∴ ∴实数的取值范围为. (2)原不等式可化为恒成立， ∴ ∴实数的取值范围为. 练习 变2.(2023·天津模拟)若不等式的解集为，则实数的取值范围是_______. 答案： 解：情形一：当，即时，不等式为3＞0恒成立，故符合题意； 情形二：当，即时， 不等式的解集为. 则解得. 综上，实数的取值范围是 课堂小结&作业 课堂小结： (1)函数的零点； (2)函数零点存在定理； (3)求函数零点的方法. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P115的习题；习题；习题. 谢谢学习 Thank you for learning $$