第13课 探索勾股定理-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第13课 探索勾股定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握勾股定理，会用勾股定理解决简单的几何问题. 2.掌握勾股定理定理，会用上述定理判定一个三角形是不是直角三角形. ( 知识精讲 ) 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 注：解决直角三角形三边有关问题 知识点02 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 　　注：直角三角形的判定方法 ( 能力拓展 )考点01 勾股定理的应用 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3.6，BD＝6． （1）若∠2＝∠B，求AC的长． （2）若∠1＝∠2，求AC的长． 【即学即练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M． （1）求证：△CDM是等腰三角形； （2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度． 考点02 勾股定理的逆定理的应用 【典例2】下列长度（单位：cm）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C．2，2，3 D．4，5，6 【即学即练2】已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 2．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 3．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠A＝∠B 4．已知某直角三角形两条直角边的长度分别为6cm和8cm，则其斜边上的中线的长度为（　　） A．10cm B．5cm C．4.8cm D．无法确定 5．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝5，b＝12，c＝13 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D． 7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝　　． 8．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　　． 9．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为　　． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则△ABE的周长为 　　． 11．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝　　度． 12．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD＝　　． 13．如图，每个小正方形的边长为1，连结小正方形的顶点AB，AC，BC． （1）求AB的长； （2）求∠ABC的度数． 14．已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由． 15．如图，△ABC是等腰三角形，其中 AC＝AB，BC＝3，D是线段AB上一点，满足BD＝1.8，连接CD，CD＝2.4． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长度． 题组B 能力提升练 16．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（　　） A．4 B． C．4或 D．2或2 17．在△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a2＝b2﹣c2 C． D．a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0） 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 19．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△HCD，△AED）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，点P是AB的中点．连结PE，若BF＝3，且P，E，D在同一直线，则AB的长为（　　） A． B． C．6 D．5 20．如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD＝4，BD＝3，CD＝5． （1）判断△DEC的形状，并说明理由； （2）求∠ADB的度数． 题组C 培优拔尖练 21．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN．设△ABC的面积为S1，△BDF的面积为S2，△DHG的面积为S3，四边形CHET的面积为S4，四边形ATMN的面积为S5，则下列结论正确的是（　　） A．S1+S4＝S2+S3+S5 B．S2+S5＝S1+S3+S4 C．S1+S3＝S2+S3+S4 D．S4+S5＝S1+S2+S3 22．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②△ABD为等腰三角形；③∠ADC＝120°；④BE2+DC2＝DE2，其中正确的有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 23．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 　　． 24．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝1，MN＝2，，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13课 探索勾股定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握勾股定理，会用勾股定理解决简单的几何问题. 2.掌握勾股定理定理，会用上述定理判定一个三角形是不是直角三角形. ( 知识精讲 ) 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 注：解决直角三角形三边有关问题 知识点02 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 　　注：直角三角形的判定方法 ( 能力拓展 )考点01 勾股定理的应用 【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3.6，BD＝6． （1）若∠2＝∠B，求AC的长． （2）若∠1＝∠2，求AC的长． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论； （2）如图，过点D作DE工AB于点E， 根据角平分线的性质得到CD＝DE＝3.6，AC＝AE，根据勾股定理即可得到结论． 【解析】解：（1）∵∠2＝∠B， ∴AD＝BD＝6， ∵∠C＝90°，CD＝3.6， ∴AC＝＝4.8； （2）如图，过点D作DE工AB于点E， ∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE＝3.6，AC＝AE， 在Rt△DEB中，BE＝＝4.8， 在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2， 即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2＝（AC+4.8）2﹣（3.6+6）2， 解得AC＝7.2． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【即学即练1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M． （1）求证：△CDM是等腰三角形； （2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度． 【思路点拨】（1）根据题意和图形，可以求得∠CDM＝∠CMD，然后即可证明结论成立； （2）根据勾股定理可以求得BC的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得CM的长． 【解析】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°， ∵∠BME＝∠CMD， ∴∠ABD+∠CMD＝90°， ∴∠CDB＝∠CMD， ∴CM＝CD， ∴△CDM是等腰三角形； （2）解：作DF⊥AB于点F，如图所示， ∵∠DCB＝90°，BD平分∠ABC， ∴DC＝DF， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC＝＝＝6， ∵S△ABC＝S△BCD+S△ADB， ∴＝， 即， 解得CD＝DF＝3， 由（1）知：CM＝CD， ∴CM＝3， 即CM的长度为3． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 考点02 勾股定理的逆定理的应用 【典例2】下列长度（单位：cm）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．6，8，10 C．2，2，3 D．4，5，6 【思路点拨】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【解析】解：A．∵12+22≠32， ∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵62+82＝102， ∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C．∵22+22≠32， ∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D．∵42+52≠62， ∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，解答本题的关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【即学即练2】已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式． 【思路点拨】（1）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可； （2）根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：（1）∵BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n， ∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2． ∴∠C＝90°． ∴△ABC是为直角三角形； （2）∵∠A＝30°， ∴＝＝， ∴m＝3n． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，AB＝2，则BC的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【思路点拨】直接根据勾股定理列式计算即可． 【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝1，AB＝2， ∴BC＝＝＝， 即BC的长是， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【思路点拨】根据勾股定理解答即可． 【解析】解： 根据勾股定理得出：AB＝， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答． 3．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．∠A＝∠B 【思路点拨】根据题目提供的三角形的三边长，计算它们的平方，满足a2+b2＝c2，哪一个是斜边，其所对的角就是直角． 【解析】解：∵AB2＝（）2＝2，BC2＝（）2＝5，AC2＝（）2＝3， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴BC边是斜边， ∴∠A＝90°． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，本题没有让学生直接判定直角三角形，而是创新的求哪一个角是直角，是一道不错的好题． 4．已知某直角三角形两条直角边的长度分别为6cm和8cm，则其斜边上的中线的长度为（　　） A．10cm B．5cm C．4.8cm D．无法确定 【思路点拨】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【解析】解：由勾股定理得，斜边＝＝10（cm）， 所以，斜边上的中线＝×10＝5（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 5．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2+b2＝c2 B．∠A＝∠B+∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝5，b＝12，c＝13 【思路点拨】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解析】解：A、∵a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C， ∴∠A＝90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠C＝5×15°＝75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵52+122＝132， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D． 【思路点拨】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5， ∴AE＝CE＝5， ∵AD＝2， ∴DE＝3， ∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CD＝＝＝4． 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5． 7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AC、CB为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和S1+S2＝36，则AB＝　6　． 【思路点拨】由正方形的面积公式求得AC2+BC2的值；然后在直角△ABC中，利用勾股定理求得AB的长度． 【解析】解：根据题意知，AC2+BC2＝S1+S2＝36， 则在直角△ABC中，由勾股定理知：AB＝＝＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，利用勾股定理列算式是解题的关键． 8．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　　． 【思路点拨】根据已知先判定其形状，再根据直角三角形斜边上中线的性质求得其中线长． 【解析】解：∵三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理52+122＝132， ∴此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边， ∵三角形斜边上的中线是斜边的一半， ∴三角形最长边上的中线为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆用，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半判断． 9．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为　3　． 【思路点拨】根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【解析】解：设图中直角三角形的边长分别为a、b， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、1， 则a、b满足a﹣b＝1，a2+b2＝， 解得a＝3、b＝2， 故较长的直角边为3， 故答案为 3． 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到a﹣b＝1和a2+b2＝的等量关系是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则△ABE的周长为 　14　． 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，然后利用等线段代换得到△ABE的周长＝AB+BC． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10， ∴BC＝＝＝8， ∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝6+8＝14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理应用，线段垂直平分线的性质，本题中正确的运用勾股定理是解题的关键． 11．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝　45　度． 【思路点拨】根据勾股定理求出BC，根据勾股定理的逆定理得到∠BCD＝90°，结合图形计算，得到答案． 【解析】解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， 在Rt△ABC中，BC＝＝4， CD2+BC2＝22+（4）2＝36，BD2＝62＝36， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 12．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD＝　　． 【思路点拨】在直角三角形AOB中，由OA与AB的长，利用勾股定理求出OB的长，在直角三角形BOC中，由OB与BC的长，利用勾股定理求出OC的长，在直角三角形OCD中，由OC与CD的长，利用勾股定理即可求出OD的长． 【解析】解：∵∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2， ∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB＝＝＝， 在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OC＝＝＝， 在Rt△COD中，根据勾股定理得：OD＝＝＝． 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 13．如图，每个小正方形的边长为1，连结小正方形的顶点AB，AC，BC． （1）求AB的长； （2）求∠ABC的度数． 【思路点拨】（1）根据勾股定理即可得到AB的长度； （2）根据勾股定理得到AB2，BC2，AC2的长度，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，即可得出∠ABC的度数． 【解析】解：（1）根据勾股定理得：AB2＝12+32＝10， ∴AB＝； （2）∵AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5， ∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键． 14．已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【思路点拨】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可； （2）根据勾股定理的逆定理直接判断即可得解． 【解析】解：（1）∵， ∴，b﹣5＝0，＝0， ∴，b＝5，； （2）以a，b，c为边不能构成直角三角形． 理由如下： ∵a2＝8，b2＝25，c2＝18， ∴较小的两边之和为：a2+c2＝8+18＝26， ∴a2+c2≠b2， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形． 【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键． 15．如图，△ABC是等腰三角形，其中 AC＝AB，BC＝3，D是线段AB上一点，满足BD＝1.8，连接CD，CD＝2.4． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC的长度． 【思路点拨】（1）根据勾股定理的逆定理可证CD⊥AB； （2）根据勾股定理可得AD2+CD2＝AC2，即AD2+2.42＝（AD+1.8）2，解方程求出AD，进而得到AC． 【解析】（1）证明：在△BDC中，BC＝3，BD＝1.8，CD＝2.4， ∵BD2+CD2＝1.82+2.42＝32＝BC2， ∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵CD⊥AB， ∴△ADC是直角三角形， ∴AD2+CD2＝AC2， 即AD2+2.42＝AC2， ∵AC＝AB＝AD+BD＝AD+1.8， ∴AD2+2.42＝（AD+1.8）2， 解得AD＝0.7， ∴AC＝1.8+0.7＝2.5． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明△BDC是直角三角形． 题组B 能力提升练 16．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（　　） A．4 B． C．4或 D．2或2 【思路点拨】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【解析】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝4； ②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解． 17．在△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a2＝b2﹣c2 C． D．a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0） 【思路点拨】根据角度关系及内角列式求解即可判断AC，根据勾股定理逆定理即可判断BD，即可得到答案． 【解析】解：当∠A+∠B＝∠C时， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°，解得：∠C＝90°，故A能判断直角三角形，不符合题意， 当时， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴，解得：，，，故C不能判断直角三角形，符合题意， 当a2＝b2﹣c2， a2+c2＝b2 ∴∠B＝90°，故B能判断直角三角形，不符合题意， 当a＝3k，b＝4k，c＝5k时， a2+b2＝9k2+16k2＝25k2＝c2， ∴∠C＝90°，故D能判断直角三角形，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【思路点拨】连接BH，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm），设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm，根据勾股定理得出62+（8﹣x）2＝x2，求出，最后求出结果即可． 【解析】解：连接BH，如图所示： 根据作图可知，EF垂直平分AB， ∴BH＝AH，AD＝BD， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴CG＝CD＝5cm， 根据勾股定理得：， ∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm）， 设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 19．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△HCD，△AED）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，点P是AB的中点．连结PE，若BF＝3，且P，E，D在同一直线，则AB的长为（　　） A． B． C．6 D．5 【思路点拨】利用勾股定理即可解答． 【解析】解：由题意得：AE＝BF＝3，∠HEF＝∠EFG＝90°， ∴PD∥BG， ∵点P是AB的中点， ∴AE＝EF＝3，AF＝AE+EF＝6， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得PD∥BG推出AE＝EF＝3是解题关键． 20．如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD＝4，BD＝3，CD＝5． （1）判断△DEC的形状，并说明理由； （2）求∠ADB的度数． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质，证出△ADB≌△CEB，根据全等三角形的性质，得到AD＝CE，再结合△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△BDE为等边三角形，再根据勾股定理逆定理，判断出△DEC为直角三角形． （2）根据△ADB≌△CEB，得到∠BDA＝∠BEC，求出∠BEC的度数即可． 【解析】解：（1）根据图形的旋转不变性， AD＝EC， BD＝BE， 又因为∠DBE＝∠ABC＝60°， 所以△ABC和△DBE均为等边三角形， 于是DE＝BD＝3， EC＝AD＝4， 又因为CD＝5， 所以DE2+EC2＝32+42＝52＝CD2； 故△DEC为直角三角形． （2）因为△DEC为直角三角形， 所以∠DEC＝90°， 又因为△BDE为等边三角形， 所以∠BED＝60°， 故∠BEC＝90°+60°＝150°， 即∠ADB＝150°． 【点睛】此题考查了图形的旋转不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论． 题组C 培优拔尖练 21．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN．设△ABC的面积为S1，△BDF的面积为S2，△DHG的面积为S3，四边形CHET的面积为S4，四边形ATMN的面积为S5，则下列结论正确的是（　　） A．S1+S4＝S2+S3+S5 B．S2+S5＝S1+S3+S4 C．S1+S3＝S2+S3+S4 D．S4+S5＝S1+S2+S3 【思路点拨】如图，由直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN．得（S2+S3+X）+（S5+Y）＝BC2+AC2＝AB2＝S1+S4+X+Y，得S1+S4＝S2+S3+S5． 【解析】解：如图，由直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，正方形ABDE，正方形BCGF，正方形ACMN． 得（S2+S3+X）+（S5+Y）＝BC2+AC2＝AB2＝S1+S4+X+Y， 得S1+S4＝S2+S3+S5． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是正确应用勾股定理． 22．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②△ABD为等腰三角形；③∠ADC＝120°；④BE2+DC2＝DE2，其中正确的有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】先由∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠CAD＝∠BAF，再利用SAS证明△AFB≌△ADC，①正确；由等腰三角形的判定和三角形的外角性质得出②不正确，③不正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C＝∠ABF＝45°，进而得出∠FEB＝90°，由勾股定理得出④正确；即可得出答案． 【解析】解：①∵∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC， ∴∠BAF＝∠CAD，∠ABC＝∠C＝45°， 在△AFB和△ADC中，， ∴△AFB≌△ADC（SAS），①正确； ②∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝45°+∠CAD，∠BAD＝∠DAE+∠BAE＝45°+∠BAE， 而∠BAE≠∠CAD， ∴∠BAD≠∠BDA， ∴AB≠DB，②不正确； ③∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝45°+45°+∠BAE＝90°+∠BAE≠120°，③不正确； ④由①知△AFB≌△ADC， ∴∠ABF＝∠C＝45°，BF＝DC， ∵∠ABC＝45°， ∴∠EBF＝∠ABC+∠ABF＝90°． ∵∠DAF＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°． 在△AED与△AEF中，， ∴△AED≌△AEF（SAS）， ∴DE＝EF， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF2， ∵BF＝DC，EF＝DE， ∴BE2+DC2＝DE2，④正确． 正确的结论有①④． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 23．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 　14或4　． 【思路点拨】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD． 【解析】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12， ∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12， ∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25， ∴CD＝5， 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81， ∴CD＝9， ∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14； （2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得 CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25， ∴CD＝5， 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81， ∴BD＝9， ∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4． 故答案为14或4． 【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 24．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝1，MN＝2，，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长． 【思路点拨】（1）N是线段AB的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到AM2＝1，MN2＝4，BN2＝3，从而根据AM2+BN2＝MN2，即可得证； （2）点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【解析】解：（1）N是线段AB的勾股分割点， 理由如下： ∵AM＝1，MN＝2，， ∴AM2＝1，MN2＝4，BN2＝3， ∴AM2+BN2＝MN2， ∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N是线段AB的勾股分割点； （2）∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，有两种情况： ①MN为斜边时，有AM2+BN2＝MN2， 设BN＝x，则52+x2＝（7﹣x）2， ∴； ②BN为斜边时，有BN2＝AM2+MN2， 设BN＝x，则52+（7﹣x）2＝x2， ∴； 综上所述，BN的长为或． 【点睛】本题考查新定义问题，读懂题意，按照勾股分割点定义，结合勾股定理求解是解决问题的关键． 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