专题06 双曲线的标准方程与几何性质（5基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题06 双曲线的标准方程与几何性质 双曲线的定义与焦点三角形 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川达州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，点为双曲线上一点，若到原点的距离，则的面积是 . 3．（23-24高二上·四川德阳·期中）过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川达州·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆圆心为M，半径为，的内切圆圆心为N，半径为，则下列结论正确的是（     ） A．直线垂直于x轴 B．周长为定值 C．与之和为定值 D．与之积为定值 双曲线的标准方程辨析与求解 1．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知曲线，以下说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是两条直线 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是圆，其半径为 3．（23-24高二上·四川资阳·期中）（多选）已知曲线C方程为：，则下列结论正确的是（    ） A．若，则曲线C为双曲线 B．若曲线C为椭圆，则其长轴长为 C．曲线C不可能为一个圆 D．当时，其渐近线方程为 4．（23-24高二上·四川资阳·期中）直线过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 双曲线的几何性质 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则 ． 直线与双曲线的位置关系 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）若双曲线的渐近线与圆相切，则 . 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为 . 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 4．（23-24高二上·四川德阳·期中）（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．若直线与双曲线C有交点，则 C．点P到C的两条渐近线的距离之积为 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知双曲线经过点，直线和为双曲线的两条渐近线． (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若与的斜率互为相反数，求直线的斜率． 直线与双曲线相交弦问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 求双曲线的离心率 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知是双曲线上的一个动点，且点到的两个焦点距离的差的绝对值为6，的焦点到渐近线的距离为4，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，若，，，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C． D． 3．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，若，且线段的中点在轴上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为 A．2 B． C． D．5 双曲线综合应用小题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（    ） A． B． C．若，则的面积为 D．若平行于轴，则 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）（多选）已知双曲线，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点M，使得四边形为正方形 C．直线，的斜率之积为1 D．存在点M，使得 3．（22-23高二上·四川成都·期中）（多选）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为.若，则（    ） A．、在直线上 B．双曲线的离心率 C．内切圆半径最小值是 D．的范围是 4．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知双曲线与椭圆有公共的左､右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线C及其渐近线在第一象限内分别交于M，N两点，且线段的中点在另一条渐近线上，则的面积为 . 双曲线综合应用大题 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直. (1)求C的方程； (2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 双曲线的标准方程与几何性质 双曲线的定义与焦点三角形 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，又，所以，故选：D． 2．（23-24高二上·四川达州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，点为双曲线上一点，若到原点的距离，则的面积是 . 【答案】 【解析】如下图所示： 不妨取点在双曲线的右支上，由可得点在圆上， 又易知，所以即为圆的直径，所以， 利用双曲线定义可得，利用勾股定理可得， 所以，可得， 因此的面积为. 故答案为： 3．（23-24高二上·四川德阳·期中）过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F， 所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点， 所以AB与相等且平分，所以四边形为矩形， 所以．设，，则， 所以．因为，所以． 因为△ABF的面积为，所以，得，所以， 得，所以，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为．故选：D．    4．（23-24高二上·四川达州·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆圆心为M，半径为，的内切圆圆心为N，半径为，则下列结论正确的是（     ） A．直线垂直于x轴 B．周长为定值 C．与之和为定值 D．与之积为定值 【答案】AD 【解析】由题意，可得如下示意图，其中为内切圆与各边切点， 由图知：， 由，则 令横坐标为，则，即为双曲线右顶点， 同理，内切圆在轴上的切点也为，又都垂直于轴， 所以直线垂直于x轴，A对； 由周长为， 而的长不定，故周长不为定值，B错； 由分别平分，且， 在中，又， 所以，故为定值，D对. 令，则， 显然为直线的倾斜角，其大小不定，故与之和不为定值，C错.故选：AD 双曲线的标准方程辨析与求解 1．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得. 因此，实数的取值范围是.故选D. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知曲线，以下说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是两条直线 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是圆，其半径为 【答案】BC 【解析】对于A，若，则化为， 则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A错误； 对于B，若，即为，即， 即是两条直线，B正确； 对于C，若，不妨设，则化为， 则表示焦点在x轴上的双曲线，， 故其渐近线方程为； 同理当，则化为， 则表示焦点在y轴上的双曲线，， 故其渐近线方程为； 综合知是双曲线，其渐近线方程为，C正确； 对于D，若，则即为， 则是圆，其半径为或，D错误，故选：BC 3．（23-24高二上·四川资阳·期中）（多选）已知曲线C方程为：，则下列结论正确的是（    ） A．若，则曲线C为双曲线 B．若曲线C为椭圆，则其长轴长为 C．曲线C不可能为一个圆 D．当时，其渐近线方程为 【答案】AC 【解析】当时，显然A正确；当，，故， 所以长轴长，B不正确； 因为恒成立，所以C正确； 当时，方程为，其渐近线方程为，故D不正确.故选：AC 4．（23-24高二上·四川资阳·期中）直线过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线，令得，， 由题意得：c=5，，解得， 所以双曲线的方程为故选：A 双曲线的几何性质 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由题设知，，解得.故选:A. 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则 ． 【答案】4 【解析】由题意得椭圆的焦点为和， 所以，所以． 故答案为：4 直线与双曲线的位置关系 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）若双曲线的渐近线与圆相切，则 . 【答案】 【解析】双曲线的渐近线方程为，即， 圆即圆，圆心为，半径， 依题意可得，解得，则. 故答案为： 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值为 . 【答案】2（注：区间内任何一个值） 【解析】由题意可知双曲线的渐近线为，离心率， 若满足直线与C无公共点，则需， 故答案为：2 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点.故选：C. 4．（23-24高二上·四川德阳·期中）（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．若直线与双曲线C有交点，则 C．点P到C的两条渐近线的距离之积为 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 【答案】AC 【解析】双曲线，则， 对于A，C的渐近线方程为，A正确； 对于B，由双曲线的渐近线方程为可知， 若直线与双曲线C有交点，则，B错误； 对于C，设点，则， 点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确； 对于D，易得，，设，则， 所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误．故选：AC. 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知双曲线经过点，直线和为双曲线的两条渐近线． (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若与的斜率互为相反数，求直线的斜率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，可设双曲线的方程为， 将点的坐标代入得， 因此双曲线的方程为； （2）解法一：设直线的斜率为，则直线的方程为， 即，与双曲线联立消去， 得．设， 则与的横坐标为此方程的两个根，即， 因此， 从而， 设，由题意，的斜率为， 类似的可得，， 因此直线的斜率，即直线的斜率为． 解法二：设直线的方程为， 与双曲线的方程联立消去得． 设，，则，． 由于直线的斜率为， 的斜率为，因此， 整理得， 所以，整理得， 即．由于当时，直线经过点不符合题意， 所以．综上所述，直线的斜率为． 直线与双曲线相交弦问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段AB存在，故选：C 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 【答案】(1)；(2)， 【解析】（1）由题意得椭圆的焦点为，， 设双曲线方程为， 则，∴，解得， 双曲线方程; （2）把，分别代入双曲线，两式相减，得 ， 把，，代入，得， ，直线的方程为，即 把代入，消去y得， . 求双曲线的离心率 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知是双曲线上的一个动点，且点到的两个焦点距离的差的绝对值为6，的焦点到渐近线的距离为4，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为，即， 由双曲线的定义知，，所以， 由双曲线的焦点到其渐近线的距离为，即， 所以， 所以的离心率．故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，若，，，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，所以． 由双曲线的定义得：， 所以， 所以 在中， 所以． 故双曲线的离心率为.故选：D. 3．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，若，且线段的中点在轴上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得， 故， 又的中点在轴上，故， 所以， 所以，故.故选：B 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为 A．2 B． C． D．5 【答案】B 【解析】.选B. 双曲线综合应用小题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（    ） A． B． C．若，则的面积为 D．若平行于轴，则 【答案】BCD 【解析】双曲线，即， 所以，不妨设， 而， 到的距离为， 所以，所以A选项错误. B选项，设，其中，则， 所以， 则， ， 由图可知为钝角，为锐角， 所以，则，B选项正确. C选项，若，， 两式相减得， 所以的面积为，C选项正确. D选项，直线的方程为， 由解得，则，所以， 由，所以， ， 所以D选项正确.故选：BCD 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）（多选）已知双曲线，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点M，使得四边形为正方形 C．直线，的斜率之积为1 D．存在点M，使得 【答案】ABC 【解析】对于A：由双曲线，可得， 所以双曲线的离心率为，故A选项正确； 对于B：因为双曲线的渐近线为，所以其渐近线垂直， 又因为分别垂直两条渐近线，所以四边形为矩形， 若要四边形为正方形， 则只需， 根据对称性可知此时点位于双曲线的右顶点， 经检验点到双曲线的两条渐近线的距离均为， 因此存在点M位于双曲线的右顶点，使得四边形为正方形，故B选项正确； 对于C：设，不妨设点分别在第一、四象限，如图所示：    由于，故直线的方程为：，联立：得， ，即点， 同理由于，故直线的方程为：，联立：得， ，即点， 所以直线的斜率为，而， 所以直线，的斜率之积为，故C选项正确； 对于D：由C选项分析可知， 同理， 故， 根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限或右顶点，由可知， 所以此时， 令，所以， 但由可知，是不可能成立的，故D选项错误.故选：ABC. 3．（22-23高二上·四川成都·期中）（多选）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为.若，则（    ） A．、在直线上 B．双曲线的离心率 C．内切圆半径最小值是 D．的范围是 【答案】AC 【解析】设，其中. 设，. 对于A，过分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F， 所以由切线长定理有， 则， 又因为，所以. 又，所以，同理可得.则、在直线上，故A正确； 对于B，因平分，平分，，则. 在中，，. 由射影定理可得，即， 则双曲线离心率为2，故B错误； 对于C，因，则内切圆半径. 其中， 又由B分析可知.则. 其中，又， 则.故.设直线AB方程为， 将其与双曲线联立有：，消去得：， 则， . 又两点在双曲线右支， 则. 又. . 代入，有. 当且仅当，即直线AB与x轴垂直时取等号.故C正确； 对于D，设，又由对称性设直线AB的倾斜角为，其中 . 则. 又由C分析知，，则，所以，得， 则， ， 所以，又在上单调递增， 则.故D错误.故选：AC. 4．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知双曲线与椭圆有公共的左､右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线C及其渐近线在第一象限内分别交于M，N两点，且线段的中点在另一条渐近线上，则的面积为 . 【答案】 【解析】由题意椭圆中，即， 以线段为直径的圆的方程为， 由，解得（取第一象限交点坐标），， 双曲线的不在第一象限的渐近线方程为， ，的中点坐标为，它在渐近线上， 所以，化简得， 又，所以，双曲线方程为， 则得， 所以． 故答案为：． 双曲线综合应用大题 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直. (1)求C的方程； (2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由焦点坐标为得，所以， 又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直， 得即，所以， 所以双曲线C的方程为，即. （2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以， 设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为， 又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即. 联立，消去x得， 则，得， ，，则， 又，所以，， 所以， 所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线， 所以直线BD过点F. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$