专题4.7 相似三角形几何模型（“一线三等角”）（全章专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.7 相似三角形几何模型（“一线三等角”）（全章专项练习） 【模型一】“一线三垂直”模型 如下图：B、C、D三点共线，且ABC =ACE =CDE=，则ABC,，特别地，当点C是BD中点时，则有ABC. 【模型二】“一线三等角”模型 1、 一线三等角模型：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧，若有第三个与之相等的角，其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形.如下图. 2、 一线三等角模型的拓展：如下图，点P在线段AB上，连接CD,若点P是线段AB中点或CD//AB,则△ACP~△BPD~△PCD(反之亦成立). 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，D在边上，，，若的面积等于6，则的面积为（    ）    A． B．3 C． D．6 2．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图，点在反比例函数的图像上移动，连接，作，并满足．在点的移动过程中，追踪点形成的图像所对应的函数表达式为（　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，将矩形折叠，使点落到边上的中点处，折痕为，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，点、、、分别在已知矩形的四条边上，且四边形也是矩形，．若设，，则与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是的中线，于点，且，则的长为（    ） A．13 B．11 C．8 D．6 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在正方形中，，，点F在上运动（不与点A，D重合），过点F作交于点G，则的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 7．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，E是的中点，过点E作，交于点F，连接并延长，交的延长线于点G．则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 8．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，在等边中，，当直角三角板的角的顶点P在上移动时，斜边始终经过边的中点D，设直角三角板的另一直角边与相交于点E，设，那么y与x之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，、、，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，点从运动到时，点随之运动．设点的坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·全国·期中）如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）如图，已知的坐标为的坐标为，且，则的坐标为 ． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，G为上一点，矩形的边经过点A．与交于点H．若，，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知四边形的对角线相交于点E，，，，的面积为18，则的长度为 ． 15．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，矩形中，为边上一点，，为边上一点，连接，将四边形沿翻折，点恰好落在边上处，点的对应点为，，则的长为 ． 16．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线，A，B，C分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为 ． 18．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴上，点B坐标为反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，连接，将沿翻折到处，点恰好落在正比例函数图象上，则值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    20．（8分）（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E； (1)求证：． (2)若，求的值． 21．（10分）（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．   (1)求证：． (2)求证：． 22．（10分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上（点在点的左侧），且点、的横坐标是方程的解，点为轴正半轴上一动点，连接，与的垂直平分线交于点． (1)求点的坐标；（用含的代数式表示） (2)点是点关于轴的对称点，连接，，是否存在这样的值，使与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（10分）（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 24．（12分）（2024·青海西宁·三模）类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B C B C B C B 1．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解： ， ， ，， ， ． ， 的面积等于6， 的面积为：， 故选：A． 2．B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，易得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得，继而求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 即 ∴B点坐标的横坐标和纵坐标的乘积为1，是一个定值， ∴追踪点B形成的图像所对应的函数表达式为 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，相似三角形的判定及性质，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， 又是的中点， ， 在中， ， ， 解得：． 故选：A． 4．B 【分析】此题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确利用矩形的性质，三角形相似、全等的判定与性质解决问题．由题意可知：，，再由，得出，，，由此根据，，列出方程组即可． 【详解】解：四边形和四边形是矩形， ，，， ，， 又，，， ，，， ，， ． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质求线段长是解答的关键．先证明求得，则，过A作于F，证明四边形是矩形得到，，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得，则， 过A作于F，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，正方形的性质，证明是解题的关键． 先求出，设，则，证明，得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ． 四边形是正方形， ． 设，则． ， ． ， ， 又， ． ，即． ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质；先证明，则可求得，从而求得；再证明，即可求得结果． 【详解】解：∵正方形的边长为4，E是的中点， ∴，，； ， ， ， ， ， ， ， ； ∵， ∴， ， ； 故选：C． 8．B 【分析】本题涉及的知识有等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质，解题的关键在于判定，并利用相似的性质建立二次函数关系式． 根据等边三角形的性质得，由于，得，根据三角形相似的判定方法得到，利用相似比即可得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵等边中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 即， 图象开口向下，顶点坐标为， 故选：B． 9．C 【分析】延长交轴于点，则轴．连接．证明，得出，设，则，设，代入整理得到 ，，根据二次函数的性质以及，，求出的最小值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，则轴．连接． 在与中，，， ， ， 设，则，设， ， ， ，， 时，有最大值，此时， 时，有最小值0，此时， 的取值范围是． 的最小值是． 故选：． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出与之间的函数解析式是解题的关键． 10．B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 由四边形是矩形，得到，进一步得到，即可判断①；假设成立，因为与不平行，所以，由可推导出，则，所以，可知，矩形是特殊矩形，与已知条件不符，即可判断②；由，得到，，再证明，得到，则，可判断③． 【详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点D关于直线的对称点点F在边上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； 假设成立， ∵与不平行， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，则， ∴， 显然，矩形是特殊矩形，与已知条件不符， ∴不成立，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， 故选：B． 11． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及坐标与图形，解题的关键是正确添加辅助线构造相似三角形相似． 过点作轴，根据可得，根据相似三角形的性质得出和的长即可解答． 【详解】解：过点作轴，则 ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵的坐标为的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，相似三角形的性质与判定，以及勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 设，则，，根据可得，求得正方形的边长为4，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（不符合题意，含去）或， 经检验，是分式方程的解， ∴正方形的边长为4． ∴． ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 作交CE于点M，易得，根据“ASA”证得，再证明，即可解得． 【详解】解：如图，作交CE于点M， 易得． 是由BC绕点B顺时针旋转得到的， ，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ， ，，， ， ， ，即， ． ， ， ． 14．2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用平方根解方程．作于点，设，证明，求得，再证明，求得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于点，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， 解得， ∴的长度为2． 故答案为：2． 15． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，设交于点，过作于点，设，由折叠的性质得，，，由勾股定理得到 ，求出，得到，，由，得到，求出，由，得到，求出 ，得到，由勾股定理求出 ，由，得到，求出，得到，由矩形的性质得到，，求出 ，由勾股定理求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】设交于点，过作于点， 设， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：，，，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．1或4或2.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 17． 【分析】如图所示（见详解），过点作于，延长交于，过点作于，过点作于，设，，则，可求出，得，求得，，且，可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，延长交于，过点作于，过点作于， 设，，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的最值问题，相似三角形的性质与判定，平行线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 18． 【分析】利用反比例函数解析式确定，，，则，，，根据折叠的性质得，，，作于，于，如图，则，，证明，利用相似比得到，设，则，则，，利用得到，解得，然后表示出点的坐标，最后把点的坐标代入中可求出的值．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了折叠的性质和相似三角形的判定与性质． 【详解】解：四边形为矩形，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为6， 当时，， 则； 当时，， 解得， 则，， ，，， 沿翻折到处， ，，， 作于，于，如图， 则，， ，， ， ∴ ， 设， 则， ， ， ， ， 解得， ， 而， ∴ 把，代入 得， 解得． 故答案为：． 19．见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，结合外角定理可得，即可证明； 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质及，易得，，即可得； （2）利用相似三角形的性质及已知，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 22．(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用因式分解法解出的值，得到点与点左边，进而得到的垂直平分线，再根据点的坐标设直线为，求出直线解析式，即可得到点的坐标； （2）利用对称得到点，作轴，轴，，，证明，得到，根据与相似，分以下两种情况①，②，结合勾股定理，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解： 解得，， 点在点的左侧， ，， 的垂直平分线为， 直线为， 点， 设直线为， 有，解得， 直线为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：点为轴正半轴上一动点，且点，点是点关于轴的对称点， 点， ， ， 作轴，轴，，，如图所示： ，， 点是点关于轴的对称点， ， ，即， ， ，，，， ， 为直角三角形， 与相似，即也为为直角三角形， ①， ， ， 即， 解得； ②， ， ， ， 即， 解得或（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使与相似，或． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得：四边形为正方形，进而得；证得，即可； （2）证得，进而得，再证得，即可求解； （3）证可得，分类讨论点落在靠近点的三等分点和点落在靠近点的三等分点两种情况即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点， ∴四边形为矩形， ∵，分别为边上的中点， ∴ ∴四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （2）证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴， 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 综上所述：或 24．（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】（1）证明即可证明； （2）过作轴于点，证明，即可得到，，再根据求解即可； （3）证明即可得到y与x的函数关系，然后根据关系式求最大值即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）过作轴于点， ∵点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y， ∴，，， ∵以为直角边作等腰直角，使， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴y与x的函数关系为； （3）∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵现将沿直线折叠， ∴， ∵过点P作的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵，， ∴当时，为最大值， 故答案为：，． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，二次函数最值，根据一线三垂直模型构造全等或相似是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$