第3章 概率的进一步认识 （10大题型）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学 《第3章 概率的进一步认识》 用树状图和表格求概率知识点一 ◆1、用画树状图求事件的概率 ★(1)当一次试验要涉及两个或更多的因素(如从3个口袋中取球)时，为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. ★(2)画树状图求概率的基本步骤： ①明确一次试验有几个步骤和顺序； ② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图； ③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值； ④ 找出符合条件的结果个数 m； ⑤ 求概率 . ◆2、用表格求事件的概率 ★(1)当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. ★(2)用表格求概率的基本步骤： ①选择其中一次操作或一个因素作为横行，另一个操作或另一个因素作为竖行，列出表格. ②确定所有等可能的结果数n和事件A包含的结果数m，运用公式P(A) = （m≤n）计算概率. 用频率估计概率知识点二 ◆1、频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值，称为频率. ◆2、用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 【注意】同一试验中重复的次数越多，事件发生的频率越接近概率，但频率永远不能取代概率，频率稳定在概率附近. ◆3、频率与概率的关系： 联系： 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. 题型一 用树状图或表格求概率（卡片问题） 【例题1】（2024•福州模拟）现有三张形状、大小、质地及背面完全相同的卡片，在其正面分别写有汉字“多”“读”“书”．将这三张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面所写汉字，放回后，洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取的卡片上的汉字可以组成“读书”的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024•河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023•肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】将A，B，C，D四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片．则小青和小云抽中不同字母的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】抽屉里装有3张卡片，两张印有图案，一张印有的，三张卡片除了图案不同外其他完全相同，现在随机从抽屉里抽取一张卡片，不放回然后抽取第二张，则两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的概率是 　 　． 【变式1-5】现有三张正面分别标有数字﹣1，0，2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为b，则满足a•b＝0的概率为 　 　． 【变式1-6】（2023秋•碑林区校级月考）中秋节前，学校举行“传经典•乐中秋”系列活动，共有四项活动：并分别制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为 　 　； （2）小丽从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，求小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）． 【变式1-7】（2024•通海县模拟）数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 　 　； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 题型二 用树状图或表格求概率（摸球问题） 【例题2】（2023•沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 　 　． 【变式2-1】（2024•天山区校级一模）一个袋中有1个白球，3个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到1个白球和1个蓝球的概率是 　 　． 【变式2-2】（2023•武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023•泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023•西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】（2024•山西）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2-6】（2023秋•城关区校级期中）现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“兰”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 　 　； （2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率． 【变式2-7】（2023•灞桥区校级开学）一个不透明的口袋中有4个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3、3，袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球． （1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是 　 　； （2）请利用画树状图或列表法的方法，求两次摸出球上的数字的和为奇数的概率． 【变式2-8】（2023秋•龙湾区月考）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球． （1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率． （2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率． （3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值． 题型三 用树状图或表格求概率（转盘问题） 【例题3】（2023•历下区三模）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023•安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023秋•安州区期末）用如图所示的两个可自由转动的转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针停在分界线上，则重转），则配得紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024•驿城区模拟）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 　 　． 【变式3-4】春节期间，小刚和大明相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》，《你好，李焕英》，《新神榜：哪吒重生》，《熊出没•狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没•狂野大陆》表示为D． （1）请你计算小刚和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的概率． （2）小刚和大明制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），小刚和大明分别转动转盘，如果指针转到相同的区域，那他们就看这个区域所代表的电影．请问，小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的概率是多少？ 【变式3-5】（2024•玉田县二模）数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°． （1）转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为 　 ； （2）若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【变式3-6】某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两种抽奖方案． 方案一：转动转盘A一次，指针指向红的部分可领取一份奖品． 方案二：转动转盘B两次，两次指针都指向红的部分可领取一份奖品． （两个转盘都被平均分成3份，若指针指向分界线，则重转） （1）转动一次转盘A，获得奖品的概率是 　 　； （2）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪种方案？请用列表法或画树状图法说明理由． 题型四 用树状图或表格求概率（电路问题） 【例题4】如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024•平江县二模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让红灯发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023•杏花岭区校级模拟）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡不发光的概率是　 　． 【变式4-4】（2024•辽宁二模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是　 ． 【变式4-5】（2024•睢宁县校级模拟）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）． （1）若K1闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 　 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法） 【变式4-6】（2023秋•兴隆台区校级月考）图1是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A，B，C，D）的示意图，每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排列序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）求王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率； （2）补全图2的树状图，求王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率． 题型五 用树状图或表格求概率（数字问题） 【例题5】（2023•丽水模拟）实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】从﹣2，0，1这三个数中随机选取两个数，其中一个记为m，另一个记为n，则点（m，n）落在y轴上的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024•海淀区校级开学）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则两数之和大于4的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023春•中江县期中）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0 没有实数根的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】（2022秋•新城区校级月考）点P的坐标是（m，n），从﹣3，﹣2，0，2，4这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】（2024•天宁区校级模拟）有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、，乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1、﹣1、2，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为（x，y）． （1）请用列表格或树状图列出点P所有可能的坐标； （2）求点P在第二象限的概率． 题型六 用树状图或表格求概率（实际应用问题） 【例题6】（2024•安徽一模）如图，公园里的方桌旁有4个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024•武汉模拟）某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2023•凤城市一模）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024•凉山州模拟）“石头、剪刀、布”是学生之间喜爱的趣味游戏，一般规定：“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”，若甲乙两位同学做这种游戏，随机出手一次，则甲获胜的概率为 　 　． 【变式6-4】（2023秋•莲湖区校级月考）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”；比赛项目为：A：唐诗；B．宋词；C，论语；D三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是 　 　． （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【变式6-5】（2023秋•潮南区期末）2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C． （1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到B（宸宸）的概率是 　 　． （2）小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率． 【变式6-6】（2023秋•余姚市校级月考）余姚全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是绿色：厨余垃圾；蓝色：可回收垃圾；黑色：其他垃圾；红色：有害垃圾． （1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，他能正确投放垃圾的概率是 　 　． （2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入另外的垃圾桶中的一个．问：两袋垃圾都投放正确的概率？请画出树状图或列表说明理由． 题型七 概率与几何图形相结合问题 【例题7】（2023•太平区二模）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2023•南海区校级三模）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2022秋•丛台区校级期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（2023•抚顺县一模）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是　 　． 【变式7-4】向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． （1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 　 　； （2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由． 题型八 用频率估计概率 【例题8】（2023秋•清远期末）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【变式8-1】（2023春•威海期中）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 【变式8-2】（2023秋•霍林郭勒市校级期末）山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到如图统计图： 由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为（　　） A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95 【变式8-3】（2024秋•新城区校级月考）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（　　） A．4 B．6 C．9 D．10 【变式8-4】（2024•东莞市模拟）广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（　　）（结果精确到0.01） A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【变式8-5】（2024•锦江区校级模拟）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼 　 　条． 【变式8-6】（2024•光明区校级三模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 　 m2． 【变式8-7】（2024•西湖区校级开学）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 （1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　 　； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【变式8-8】（2024•海门区校级开学）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.6　；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少只？ （3）请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 题型九 游戏的公平性问题 【例题9】（2024•灞桥区校级一模）小明和小颖一起做游戏，他们把形状和大小完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张． （1）小明随机抽取一张卡片数字为奇数的概率是 　 ； （2）若抽取的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若抽取的两张卡片数字之和为偶数；则小颖胜．试列表或画树状图分析这个游戏是否公平，若不公平，谁获胜的可能性较大． 【变式9-1】（2024春•巴中期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是 　 　； （2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【变式9-2】（2024•灞桥区校级模拟）请你依据如图图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘： （1）若小颖选择了房间C，那么她获胜的概率为 　 　； （2）用树状图表示出所有可能的寻宝情况；并求出在寻宝游戏中胜出的概率． 寻宝游戏 如图，有三间房，每间房内放有两个柜子，仅有一件宝物藏着某个柜子中，寻宝游戏规则：只允许进入三个房间中的一个房间并打开其中一个柜子即为一次结束．找到宝物为游戏胜出，否则为游戏失败． 【变式9-3】（2024•崇明区模拟）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜． （1）用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【变式9-4】（2023•灞桥区校级开学）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有． （1）明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为3的倍数的概率是 　 　． （2）这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由． 【变式9-5】（2023秋•缙云县期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字﹣2，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． （1）计算x+y的结果为0的概率； （2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足xy＞0，则甲胜；若x，y满足xy＜0，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 题型十 概率与统计知识的综合应用 【例题10】（2023•黄石模拟）2022北京冬奥会期间，数学兴趣小组为了解同学最喜欢的冰雪运动，从全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．每个被调查的学生在4种冰雪运动中只选择最喜欢的一种，4种冰雪运动分别是：A、滑雪，B、滑冰，C、冰球，D、冰壶．该小组将数据进行整理并绘制成如右两幅不完整的统计图． （1）这次调查中，一共调查了 　 　名学生，请补全条形统计图； （2）若全校共有2800名学生，请估计该校最喜欢“冰球”运动项目的学生约有多少人？ （3）数学兴趣小组想要从小明和小亮中选一人参加访谈，班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【变式10-1】（2024•石家庄模拟）某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1）请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有 　 　人； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为 　 　； （2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ （3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 【变式10-2】（2024秋•未央区校级月考）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是 　 　． （2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 【变式10-3】（2024•成都模拟）球类运动是中考体育测试项目之一，球类测试是学生从足球、篮球、排球中选择一项，按照相应规则完成测试．为了解学校学生喜欢球类活动的情况，体育老师对某班采取全面调查的方法，调查了全班学生对足球、篮球、排球三种球类的最喜爱球类（每位学生必选且只能选一种球类），根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据上述信息，解答下列问题． （1）将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中m＝　 　，n＝　 　，表示“足球”的扇形的圆心角是 　 度； （3）喜欢足球的4名学生中有3名男生和1名女生，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的足球队，请用列表或画树状图的方法，求选出的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【变式10-4】（2023•竞秀区校级开学）为了了解我校七年级学生的计算能力，学校随机抽取了部分同学进行了数学计算题测试，王老师将成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”、“很差”五个等级，并将收集的数据整理绘制成图1、2两幅统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 　 　名同学； （2）扇形统计图中表示“较差”的圆心角度数为 　 　，并补全条形统计图； （3）若从调查的人数中随机抽取一人，求抽到的人成绩为“优秀”或“良好”的概率． 【变式10-5】（2023•中原区校级模拟）“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题： （1）本次参与问卷调查的初中生共有　 　人，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“合格”所对应的百分比为　 　%，“较差”所对应的圆心角度数为　 　度； （3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【变式10-6】（2024•喀什地区一模）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　 　名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角α＝　 　度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【变式10-7】（2024春•沙坡头区校级期中）校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生，良好85≤x＜95，优秀95≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的七、八年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 89 a 26.6 40% 八年级 90 b 90 30 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 ； （2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中“优秀”等级共有多少人？ （3）学校决定选取八年级成绩达到优秀的学生去参加比赛，其中有一名女生，请利用树状图或者表格求出参加比赛的人选恰好一男一女的概率是多少？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学 《第3章 概率的进一步认识》 用树状图和表格求概率知识点一 ◆1、用画树状图求事件的概率 ★(1)当一次试验要涉及两个或更多的因素(如从3个口袋中取球)时，为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法. ★(2)画树状图求概率的基本步骤： ①明确一次试验有几个步骤和顺序； ② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图； ③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值； ④ 找出符合条件的结果个数 m； ⑤ 求概率 . ◆2、用表格求事件的概率 ★(1)当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法. ★(2)用表格求概率的基本步骤： ①选择其中一次操作或一个因素作为横行，另一个操作或另一个因素作为竖行，列出表格. ②确定所有等可能的结果数n和事件A包含的结果数m，运用公式P(A) = （m≤n）计算概率. 用频率估计概率知识点二 ◆1、频率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值，称为频率. ◆2、用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率(这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 【注意】同一试验中重复的次数越多，事件发生的频率越接近概率，但频率永远不能取代概率，频率稳定在概率附近. ◆3、频率与概率的关系： 联系： 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. 题型一 用树状图或表格求概率（卡片问题） 【例题1】（2024•福州模拟）现有三张形状、大小、质地及背面完全相同的卡片，在其正面分别写有汉字“多”“读”“书”．将这三张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面所写汉字，放回后，洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取的卡片上的汉字可以组成“读书”的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画出树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的汉字为“读书”的结果数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：根据题意画树状图如下： 一共有9种情况，其中组成“读书”的情况有2种， ∴两次抽取的卡片上的汉字可以组成“读书”的概率为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 【变式1-1】（2024•河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将三张卡片分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式1-2】（2023•肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为2， 所以点P（m，n）在第二象限的概率； 故选：D． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标． 【变式1-3】将A，B，C，D四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片．则小青和小云抽中不同字母的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：由题意，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共有16种等可能的结果，其中小青和小云抽中不同字母的结果有12种， 所以小青和小云抽中不同字母的概率为， 故选：C． 【点评】本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率． 【变式1-4】抽屉里装有3张卡片，两张印有图案，一张印有的，三张卡片除了图案不同外其他完全相同，现在随机从抽屉里抽取一张卡片，不放回然后抽取第二张，则两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的概率是 　 　． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：设两张印有图案的卡片记为A，B，一张印有的的卡片记为C， 则卡片A，B上的图案为轴对称图形． 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的结果有2种， ∴两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、轴对称图形，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率． 【变式1-5】现有三张正面分别标有数字﹣1，0，2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为a，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为b，则满足a•b＝0的概率为 　 　． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中满足a•b＝0的结果有5种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中满足a•b＝0的结果有5种， ∴满足a•b＝0的概率为 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式1-6】（2023秋•碑林区校级月考）中秋节前，学校举行“传经典•乐中秋”系列活动，共有四项活动：并分别制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为 　 　； （2）小丽从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，求小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） ∴一共有12种情况，小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的有6种情况， ∴小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的概率为：． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式1-7】（2024•通海县模拟）数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 　 　； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）∵共有4张卡片， ∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是， 故答案为：． （2）根据题意，画树状图如图， 由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有6种， ∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为 【点评】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型二 用树状图或表格求概率（摸球问题） 【例题2】（2023•沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 　 　． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种， ∴摸出1个红球1个黑球的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式2-1】（2024•天山区校级一模）一个袋中有1个白球，3个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到1个白球和1个蓝球的概率是 　 　． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸到1个白球和1个蓝球的情况数，然后根据概率公式求出答案即可． 【解答】解：根据题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果，摸到1个白球和1个蓝球的有6种， ∴摸到1个白球和1个蓝球的概率是； 故答案为：． 【点评】本题考查列树状图求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式2-2】（2023•武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种， ∴乙获胜的概率， 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式2-3】（2023•泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：列表如下： 白 白 白 红 红 黑 白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白） 白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白） 白 （白，白） （白，白） （红，白） （红，白） （黑，白） 红 （白，红） （白，红） （白，红） （红，红） （黑，红） 红 （白，红） （白，红） （白，红） （红，红） （黑，红） 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） （红，黑） （红，黑） 由表知，共有30种等可能结果，其中取出两个小球都是白色的有6种结果， 所以取出两个小球都是白色的概率为， 故选：A． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率． 【变式2-4】（2023•西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如图： 共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个， ∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为， 故选：C． 【点评】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 【变式2-5】（2024•山西）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的球恰好有一个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 红 白 绿 红 （红，白） （红，绿） 白 （白，红） （白，绿） 绿 （绿，红） （绿，白） 共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，白），（红，绿），（白，红），（绿，红），共4种， ∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法和概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式2-6】（2023秋•城关区校级期中）现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“兰”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 　 　； （2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果，再找出小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【解答】解：（1）由题意，从中任取一个球共有4种结果， 则从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为， 故答案为：． （2）由题意，画出树状图如下： 由图可知，小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果共有12种，其中，小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的结果有2种， 则小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率为P， 答：小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率为． 【点评】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 【变式2-7】（2023•灞桥区校级开学）一个不透明的口袋中有4个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3、3，袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球． （1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是 　 　； （2）请利用画树状图或列表法的方法，求两次摸出球上的数字的和为奇数的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出球上的数字的和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有16种可能的结果，两次摸出球上的数字的和分别为：2，3，4，4，3，4，5，5，4，5，6，6，4，5，6，6， 其中两次摸出球上的数字的和为奇数的结果有6种， ∴两次摸出球上的数字的和为奇数的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式2-8】（2023秋•龙湾区月考）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球． （1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率． （2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率． （3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值． 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得； （3）根据已知列出关于m的方程，解之可得． 【解答】解：（1）∵袋中共有4个小球，其中红球有3个， ∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为； 表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为； （2）列表如下： 白 红 红 红 白 （白，白） （红，白） （红，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） 由表知共有16种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为； （3）根据题意，得： ， 解得m＝3； ∴m的值为3． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 题型三 用树状图或表格求概率（转盘问题） 【例题3】（2023•历下区三模）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论． 【解答】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘， ∴指针落在每个数字上的可能性是相同的． 依据题意列树状图如下： ∵从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种， ∴指针都落在奇数上的概率是：， 故选：B． 【点评】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键． 【变式3-1】（2023•安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：如图，把分隔线上方的两个扇形记为A、B，下方的半圆分成两个小扇形记为C、D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种， ∴两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率为， 故选：C． 【点评】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键． 【变式3-2】（2023秋•安州区期末）用如图所示的两个可自由转动的转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色配成紫色），两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针停在分界线上，则重转），则配得紫色的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列表得到所有等可能的情况数，然后找出配成紫色的情况数，最后用概率公式求解即可． 【解答】解：依据题意列表如下： 红 绿 红 蓝 白 白红 白绿 白红 白蓝 红 红红 红绿 红红 红蓝 蓝 蓝红 蓝绿 蓝红 蓝蓝 由表可知一共有12种等可能的情况，其中能配成紫色得有3种， ∴配得紫色的概率， 故选：B． 【点评】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率，掌握列表求概率的方法是解题的关键． 【变式3-3】（2024•驿城区模拟）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是 　 　． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果有4种， ∴配成紫色的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式3-4】春节期间，小刚和大明相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》，《你好，李焕英》，《新神榜：哪吒重生》，《熊出没•狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没•狂野大陆》表示为D． （1）请你计算小刚和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的概率． （2）小刚和大明制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），小刚和大明分别转动转盘，如果指针转到相同的区域，那他们就看这个区域所代表的电影．请问，小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的概率是多少？ 【分析】（1）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）从表格中找到小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的结果数，利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 由表知共有16种等可能结果，其中小刚和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的只有1种结果， ∴小刚和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的概率为； （2）由表可知，小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的有4种结果， 所以小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的概率为． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式3-5】（2024•玉田县二模）数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°． （1）转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为 　 ； （2）若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【分析】（1）由题意知，B盘中红色扇形区域所占的圆心角为360°﹣120°＝240°，相当于2个蓝色部分．转动B盘，共有3种等可能的结果，其中指针指向蓝色扇形区域的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°， ∴B盘中红色扇形区域所占的圆心角为360°﹣120°＝240°，相当于2个蓝色部分， ∴指针指向蓝色扇形区域的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 蓝 红 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，红） （蓝，红） 黄 （黄，蓝） （黄，红） （黄，红） 红 （红，蓝） （红，红） （红，红） 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果有（蓝，红），（蓝，红），（红，蓝），共3种， ∴同时转动A盘和B盘，配成紫色的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式3-6】某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两种抽奖方案． 方案一：转动转盘A一次，指针指向红的部分可领取一份奖品． 方案二：转动转盘B两次，两次指针都指向红的部分可领取一份奖品． （两个转盘都被平均分成3份，若指针指向分界线，则重转） （1）转动一次转盘A，获得奖品的概率是 　 　； （2）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪种方案？请用列表法或画树状图法说明理由． 【分析】（1）利用概率公式求解； （2）利用树状图法求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【解答】解：（1）若转动一次A转盘，求领取一份奖品的概率为， 故答案为：； （2）选择方案二． 理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次都转出红色的结果数为4， 所以转动转盘B两次，两次都转出红色可领取一份奖品的概率为． 所以选择方案二． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 题型四 用树状图或表格求概率（电路问题） 【例题4】如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率的值． 【解答】解：有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，其它开关闭合小灯都不发亮， 所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡不发光的概率是； 故选：D． 【点评】本题考查了概率的公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式4-1】（2024•平江县二模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让红灯发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况， ∴能让红灯发光的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握概率公式． 【变式4-2】（2023•杏花岭区校级模拟）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，即AD、BD、CD、DA、DB、DC， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：C． 【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式4-3】如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡不发光的概率是　 　． 【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡不发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：设S1、S2、S3中分别用1、2、3表示， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡不发光的有2种结果， ∴能够让灯泡不发光的概率为：， 故答案为：． 【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式4-4】（2024•辽宁二模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是　 ． 【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出让灯泡L1发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中能让灯泡L1发光的结果数为2， 所以能让灯泡L1发光的概率． 故答案为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【变式4-5】（2024•睢宁县校级模拟）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）． （1）若K1闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为 　 ； （2）求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法） 【分析】（1）利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）在K1闭合的情况下，任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为． 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6， 所以小灯泡发光的概率为． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 【变式4-6】（2023秋•兴隆台区校级月考）图1是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A，B，C，D）的示意图，每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排列序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）求王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率； （2）补全图2的树状图，求王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率． 【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解； （2）利用树状图可进行求解概率． 【解答】解：（1）由题意可知，王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为． （2）补全树状图如图： 所有出现的等可能结果共有12种，其中满足条件的结果有2种． ∴P（两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯）． 【点评】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 题型五 用树状图或表格求概率（数字问题） 【例题5】（2023•丽水模拟）实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数的所有等可能的结果为：32，35，36，23，53，63，共6种结果， 其中是奇数的结果有：35，23，53，63，共4种， ∴实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 【变式5-1】从﹣2，0，1这三个数中随机选取两个数，其中一个记为m，另一个记为n，则点（m，n）落在y轴上的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中点（m，n）落在y轴上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中点（m，n）落在y轴上的结果有2种， ∴点（m，n）落在y轴上的概率是， 故选：D． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式5-2】（2024•海淀区校级开学）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则两数之和大于4的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出两数之和大于4的情况，最后根据概率公式计算即可． 【解答】解：根据题意可列表格如下， 1 2 3 4 1 ﹣ 3 4 5 2 3 ﹣ 5 6 3 4 5 ﹣ 7 4 5 6 7 ﹣ 由表格可知共有12种等可能的情况，其中两数之和大于4的情况有8种， ∴两数之和大于4的概率是． 故选：D． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键． 【变式5-3】（2023春•中江县期中）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0 没有实数根的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，再找出满足Δ＝16﹣4ac＜0的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中满足Δ＝16﹣4ac＜0，即ac＞4的结果有（2，3）、（3，2）这2种结果， ∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为， 故选：B． 【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了根的判别式． 【变式5-4】（2022秋•新城区校级月考）点P的坐标是（m，n），从﹣3，﹣2，0，2，4这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，以及点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果有：（﹣3，2），（﹣3，4），（﹣2，2），（﹣2，4），共4种， ∴点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率为． 故选：A． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式5-5】（2024•天宁区校级模拟）有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、，乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字1、﹣1、2，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为（x，y）． （1）请用列表格或树状图列出点P所有可能的坐标； （2）求点P在第二象限的概率． 【分析】（1）根据题意列表即可． （2）由表格可得出所有等可能的结果数以及点P在第二象限的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）列表如下： 1 ﹣1 2 1 （1，1） （1，﹣1） （1，2） （，1） （，﹣1） （，2） 共有6种等可能的结果． （2）由表格可知，点P在第二象限的结果有：（，1），（，2），共2种， ∴点P在第二象限的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、点的坐标，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 题型六 用树状图或表格求概率（实际应用问题） 【例题6】（2024•安徽一模）如图，公园里的方桌旁有4个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】设甲坐在最上面的圆凳A，把其它三个圆凳分别记为B、C、D，画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：如图，设甲坐在圆凳④上，把其它三个圆凳分别记为①、②、③， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种， ∴甲坐在乙对面的概率为， 故选：C． 【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式6-1】（2024•武汉模拟）某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， ∴他们恰好从同一出口走出的概率是， 故选：C． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式6-2】（2023•凤城市一模）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种， ∴该小孩为女孩的概率为， 故选：C． 【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键． 【变式6-3】（2024•凉山州模拟）“石头、剪刀、布”是学生之间喜爱的趣味游戏，一般规定：“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”，若甲乙两位同学做这种游戏，随机出手一次，则甲获胜的概率为 　 　． 【分析】根据题意列出树状图，找出所有情况及甲获胜的情况即可得到答案． 【解答】解：根据题意画出树状图如下： 由树形图可知共有9种等可能结果，甲获胜有3种情况 所以甲获胜的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解题的关键是正确列出树状图． 【变式6-4】（2023秋•莲湖区校级月考）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”；比赛项目为：A：唐诗；B．宋词；C，论语；D三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是 　 　． （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和小红和小明都没有抽到“论语”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）∵共有4个比赛项目， ∴恰好抽中“三字经”的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小红和小明都没有抽到“论语”的结果有6种， ∴小红和小明都没有抽到“论语”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式6-5】（2023秋•潮南区期末）2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C． （1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到B（宸宸）的概率是 　 　． （2）小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，恰好抽到B（宸宸）的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的结果有2种， ∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【变式6-6】（2023秋•余姚市校级月考）余姚全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是绿色：厨余垃圾；蓝色：可回收垃圾；黑色：其他垃圾；红色：有害垃圾． （1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，他能正确投放垃圾的概率是 　 　． （2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入另外的垃圾桶中的一个．问：两袋垃圾都投放正确的概率？请画出树状图或列表说明理由． 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两袋垃圾都投放正确的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）∵共有4个垃圾桶， ∴他能正确投放垃圾的概率是． 故答案为：． （2）记厨余垃圾桶为A，可回收垃圾桶为B，其他垃圾桶为C，有害垃圾桶为D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两袋垃圾都投放正确的结果有1种， ∴两袋垃圾都投放正确的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 题型七 概率与几何图形相结合问题 【例题7】（2023•太平区二模）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【解答】解：如图，根据等边三角形和正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等， ∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为． 故选：D． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【变式7-1】（2023•南海区校级三模）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的， 则它最终停留在黑砖上的概率是． 故选：C． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【变式7-2】（2022秋•丛台区校级期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案． 【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a， 则地板的总面积为5a×4a＝20a2，黑砖的面积为20a2（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a2， ∴小球最终停留在黑砖上的概率是， 故选：D． 【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 【变式7-3】（2023•抚顺县一模）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是　 　． 【分析】用阴影部分的面积除以平行四边形的总面积即可求得答案． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积＝S四边形ABCD， ∴点A落在阴影区域内的概率为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 【变式7-4】向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． （1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是 　 　； （2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由． 【分析】（1）由图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得； （2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得． 【解答】解：（1）图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个， ∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是， 故答案为：； （2）涂黑2个； ∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为， ∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，已经涂黑了6个， ∴还需要涂黑2个； 如图所示： 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 题型八 用频率估计概率 【例题8】（2023秋•清远期末）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（　　） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：B． 【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率． 【变式8-1】（2023春•威海期中）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 【分析】根据统计图可知，试验结果在25%附近波动，即其概率P，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【解答】解：A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率为，故此选项符合题意； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项不符合题意； D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大． 【变式8-2】（2023秋•霍林郭勒市校级期末）山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到如图统计图： 由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为（　　） A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95 【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：C． 【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率． 【变式8-3】（2024秋•新城区校级月考）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（　　） A．4 B．6 C．9 D．10 【分析】根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值得到从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率为0.4，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数． 【解答】解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右， ∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率为0.4， ∴袋子中红球的个数可能是10×0.4＝4， 故选：A． 【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 【变式8-4】（2024•东莞市模拟）广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率（精确到0.001） 0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（　　）（结果精确到0.01） A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【分析】在大量重复试验下，利用频率估计概率即可解答． 【解答】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，即估计它能发芽的概率为0.95， 故选：C． 【点评】本题考查利用频率估计概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 【变式8-5】（2024•锦江区校级模拟）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼 　 　条． 【分析】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到5%，然后解方程即可． 【解答】解：设鱼塘中有鱼x条， 根据题意得5%， 解得x＝1000， 经检验x＝1000为原方程的解， 所以估计鱼塘中有鱼1000条． 故答案为：1000． 【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式8-6】（2024•光明区校级三模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 　 m2． 【分析】用正方形的面积乘以小石子落在不规则区域的频率稳定的常数0.25即可得出答案． 【解答】解：根据题意可估计不规则区域的面积是3×3×0.25（m2）， 故答案为：． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【变式8-7】（2024•西湖区校级开学）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 （1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　 　； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【分析】（1）利用频数÷总数＝频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案； （3）先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）251÷1000＝0.251， 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； （2）设袋子中白球的个数为x， 根据题意，得：0.25， 解得x＝3， 经检验x＝3是分式方程的解， ∴估算袋中白球的个数为3； （3）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， ∴两次都摸出白球的概率为． 【点评】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式8-8】（2024•海门区校级开学）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.6　；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少只？ （3）请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6，据此可得答案； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算即可； （3）只要黄球的个数大于白球的个数时即可，答案不唯一． 【解答】解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2）由（1）可估计摸到白球的概率为0.6， ∴5×0.6＝3（只）， 答：估算口袋中白球有3只； （3）由（2）可知白球有3只，黄球有2只， ∴再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，理解并掌握这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 题型九 游戏的公平性问题 【例题9】（2024•灞桥区校级一模）小明和小颖一起做游戏，他们把形状和大小完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张． （1）小明随机抽取一张卡片数字为奇数的概率是 　 ； （2）若抽取的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若抽取的两张卡片数字之和为偶数；则小颖胜．试列表或画树状图分析这个游戏是否公平，若不公平，谁获胜的可能性较大． 【分析】（1）找出1、2、3中的奇数个数，根据概率公式即可得出结论； （2）分别找出小颖获胜与小亮获胜的情况，二者比较后即可得出结论． 【解答】解；（1）∵在1、2、3中为奇数的有1、3， ∴从一个盒中抽取一张卡片，数字为奇数的概率为2÷3． 故答案为：； （2）取出的两张卡片数字之和为奇数的情况有1+2、3+2、2+1、2+3四种； 取出的两张卡片数字之和为偶数的情况有1+1、1+3、2+2、3+1、3+3五种． ∵4＜5， ∴小颖获胜的概率高，此游戏不公平． 【点评】本题考查了游戏公平性以及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【变式9-1】（2024春•巴中期末）如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是 　 　； （2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【分析】（1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【解答】解：（1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． （2）转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 【点评】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． 【变式9-2】（2024•灞桥区校级模拟）请你依据如图图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘： （1）若小颖选择了房间C，那么她获胜的概率为 　 　； （2）用树状图表示出所有可能的寻宝情况；并求出在寻宝游戏中胜出的概率． 寻宝游戏 如图，有三间房，每间房内放有两个柜子，仅有一件宝物藏着某个柜子中，寻宝游戏规则：只允许进入三个房间中的一个房间并打开其中一个柜子即为一次结束．找到宝物为游戏胜出，否则为游戏失败． 【分析】（1）根据概率的定义解答即可； （2）找出在寻宝游戏中胜出的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）若小颖选择了房间C，那么她获胜的概率为． 故答案为：． （2）根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的情况数； 因为共有6种等可能的情况数，其中在寻宝游戏中胜出的有1种， 则寻宝游戏中胜出的概率是． 【点评】本题考查用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 【变式9-3】（2024•崇明区模拟）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜． （1）用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【分析】（1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可； （2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可． 【解答】解：（1）列表如下： A╲B 0 ﹣1 ﹣2 0 0 ﹣1 ﹣2 l l 0 ﹣l 2 2 1 0 3 3 2 l 共有12种等可能的结果，其中和为0的结果有3种， ∴王扬获胜的概率； （2）这个游戏对双方不公平，理由如下： 由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，， ∴二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平， 新的游戏规则如下：①分别转动转盘A与B；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为﹣1，王扬获胜，和为2刘菲获胜． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式9-4】（2023•灞桥区校级开学）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有． （1）明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为3的倍数的概率是 　 　． （2）这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由． 【分析】（1）根据概率公式直接求出即可； （2）用列举法或画树状图法分别求出明明获胜和磊磊获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平． 【解答】解：（1）∵掷一次骰子有6种等可能的结果，其中向上一面的点数为3的倍数有2种可能的结果， ∴P（向上一面的点数为3的倍数）， 故答案为：； （2）不公平，理由如下： 列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种可能的结果， ∴P（明明获胜）， P（磊磊获胜）， ∵P（明明获胜）≠P（磊磊获胜）， ∴这个游戏不公平． 【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，以及游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 【变式9-5】（2023秋•缙云县期末）将形状、大小完全相同，分别标有数字﹣2，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x；然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y． （1）计算x+y的结果为0的概率； （2）甲、乙两同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足xy＞0，则甲胜；若x，y满足xy＜0，则乙胜．这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的游戏规则． 【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出x+y的结果为0的结果数，然后根据概率公式求解； （2）由（1）得共有12种等可能的结果，再值出xy＞0的结果和xy＜0的结果数为2种，则可计算出甲胜的概率，乙胜的概率，于是利用可判断这个游戏规则不公平；若x，y满足xy＝0，则甲胜；若x，y满足xy≠0，则乙胜，此时游戏规则公平． 【解答】解：（1）画树状图为： ， 共有12种等可能的结果，其中x+y的结果为0的结果数为2种， 所以x+y的结果为0的概率； （2）由（1）得共有12种等可能的结果，其中xy＞0的结果为0的结果数为2种，所以甲胜的概率； xy＜0的结果为0的结果数为4种，所以乙胜的概率，、 因为， 所以这个游戏规则不公平． 公平的游戏规则可为：若x，y满足xy＝0，则甲胜；若x，y满足xy≠0，则乙胜． 【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法． 题型十 概率与统计知识的综合应用 【例题10】（2023•黄石模拟）2022北京冬奥会期间，数学兴趣小组为了解同学最喜欢的冰雪运动，从全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．每个被调查的学生在4种冰雪运动中只选择最喜欢的一种，4种冰雪运动分别是：A、滑雪，B、滑冰，C、冰球，D、冰壶．该小组将数据进行整理并绘制成如右两幅不完整的统计图． （1）这次调查中，一共调查了 　 　名学生，请补全条形统计图； （2）若全校共有2800名学生，请估计该校最喜欢“冰球”运动项目的学生约有多少人？ （3）数学兴趣小组想要从小明和小亮中选一人参加访谈，班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【分析】（1）由最喜欢B的人数除以所占的百分比求出调查的学生人数，再出最喜欢A的学生数，补全条形统计图即可； （2）由全校共有学生人数乘以最喜欢“冰球”运动项目的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，再由概率公式求出小明参加的概率与小亮参加的概率，然后进行比较即可． 【解答】解：（1）调查的人数为：16÷40%＝40（名）， ∴喜欢A的人数为：40﹣16﹣12﹣4＝8（名）， 故答案为：40， 补全条形统计图如下： （2）2800840（人）， 答：估计该校最喜欢“冰球”运动项目的学生约有840人； （3）这个游戏规则不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴小明参加的概率，小亮参加的概率， ∵， ∴这个游戏规则不公平． 【点评】本题考查了游戏的公平性、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图以及树状图法求概率等知识，关键是正确画出树状图求出概率． 【变式10-1】（2024•石家庄模拟）某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图． （1）请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有 　 　人； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为 　 　； （2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ （3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 【分析】（1）①用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的学生人数． ②用360°乘以本次调查中选择D的学生所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用2000乘以本次调查中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案 【解答】解：（1）①参加问卷调查的学生人数为84÷35%＝240（人）． 故答案为：240． ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为360°36°． 故答案为：36°． （2）扇形统计图中“D”对应的百分比为100%＝10%， ∴扇形统计图中“C”对应的百分比为1﹣25%﹣35%﹣10%＝30%， 2000×30%＝600（人）， ∴该校全体学生中最喜欢C课程的学生约有600人． （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有2种， ∴“恰好甲和丁同学被选到”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 【变式10-2】（2024秋•未央区校级月考）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是 　 　． （2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 【分析】（1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“B”和“D”的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是； 故答案为：； （2）画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“B”和“D”的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键． 【变式10-3】（2024•成都模拟）球类运动是中考体育测试项目之一，球类测试是学生从足球、篮球、排球中选择一项，按照相应规则完成测试．为了解学校学生喜欢球类活动的情况，体育老师对某班采取全面调查的方法，调查了全班学生对足球、篮球、排球三种球类的最喜爱球类（每位学生必选且只能选一种球类），根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据上述信息，解答下列问题． （1）将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中m＝　 　，n＝　 　，表示“足球”的扇形的圆心角是 　 度； （3）喜欢足球的4名学生中有3名男生和1名女生，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的足球队，请用列表或画树状图的方法，求选出的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【分析】（1）用喜欢足球的人数乘以所占的百分比求得调查总人数，再用总人数减去喜欢排球、足球类的人数即可得到喜欢篮球的人数，即可补全条形统计图； （2）分别用喜欢排球、篮球的人数除以调查总人数，再用足球所占的百分比乘以360°即可求解； （3）利用列表法得到所有等可能的结果数，再恰好是1男1女的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）全班的学生人数为：4÷10%＝40（人）， 喜欢足球的人数为：40﹣4﹣20＝16（人）， 补全统计图如图所示； （2）， 表示“足球”的扇形的圆心角是：10%×360°＝36°， 故答案为：50，40，36； （3）：列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 ﹣ （男1，男2） （男1，男3） （男1，女） 男2 （男2，男1） ﹣ （男2，男3） （男2，女） 男3 （男3，男1） （男3，男2） ﹣ （男3，女） 女 （女，男1） （女，男2） （女，男3） ﹣ 一共有12种情况，每种结果出现的可能性相等，恰好是1男1女的情况有6种， ∴P（恰好是1男1女）． 【点评】本题考查列表法与树状图法，全面调查与抽样调查，扇形统计图，条形统计图，概率公式，理解题意，能从统计图中获取有用信息并正确求解是解答的关键． 【变式10-4】（2023•竞秀区校级开学）为了了解我校七年级学生的计算能力，学校随机抽取了部分同学进行了数学计算题测试，王老师将成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”、“很差”五个等级，并将收集的数据整理绘制成图1、2两幅统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 　 　名同学； （2）扇形统计图中表示“较差”的圆心角度数为 　 　，并补全条形统计图； （3）若从调查的人数中随机抽取一人，求抽到的人成绩为“优秀”或“良好”的概率． 【分析】（1）根据等级为“一般”的有20人，占参加“计算测试”同学数的25%，求出本次调查中总人数即可； （2）根据“较差”的所占总数的百分比求出扇形统计图中表示“较差”的圆心角能度数即可，先算出“良好”的人数，然后补全统计图即可； （3）求出优秀+良好的人数，利用概率公式即可得出结论． 【解答】解：（1）本次调查中，一共调查的学生人数为：20÷25%＝80（人）， 故答案为：80． （2）表示“较差”的圆心角度数为：， 良好的学生人数为：80﹣15﹣20﹣15﹣5＝25（人）， 补全条形统计图，如图所示： 故答案为：67.5°． （3）∵优秀的人数是15人，良好的是25人， ∴从调查的人数中随机抽取一人，抽到的人成绩为“优秀”或“良好”的概率． 【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，解题的关键是数形结合，根据扇形统计图和条形统计图得出有用的信息． 【变式10-5】（2023•中原区校级模拟）“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题： （1）本次参与问卷调查的初中生共有　 　人，将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“合格”所对应的百分比为　 　%，“较差”所对应的圆心角度数为　 　度； （3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【分析】（1）根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出良好的人数，再将条形统计图补充完整即可； （2）用合格的人数除以总人数求出合格的人数，用360°乘以“较差”的人数所占的百分比求出“较差”所对应的圆心角度数； （3）画树状图，共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）抽取的学生人数为：16÷20%＝80（人）， 抽取的学生中良好的人数为：80﹣16﹣24﹣8＝32（人）， 将条形统计图补充完整如下： 故答案为：80； （2）扇形统计图中“合格”所对应的百分比为：100%＝30%； “较差”所对应的圆心角度数为360°36°． 故答案为：30，36； （3）画树状图如图： 共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个， 则所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图和条形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式10-6】（2024•喀什地区一模）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　 　名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角α＝　 　度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【分析】（1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A、C组的人数，补全条形统计图即可； ③由360°乘以C组所占的比例即可； （2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】（1）①调查人数：400（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：400×15%＝60（名）， C组的人数：400﹣100﹣140﹣40﹣60＝60（名）， ③扇形统计图中圆心角α＝360°54°， 故答案为：54°， （2）， 答：参加D组（阅读）的学生人数为980人； （3）树状图如下： ∵共有12中等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的有两种， ∴P（恰好抽中甲、乙两人）． 【点评】本题考查的概率及其应用，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 【变式10-7】（2024春•沙坡头区校级期中）校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生，良好85≤x＜95，优秀95≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98 10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的七、八年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 七年级 90 89 a 26.6 40% 八年级 90 b 90 30 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 ； （2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中“优秀”等级共有多少人？ （3）学校决定选取八年级成绩达到优秀的学生去参加比赛，其中有一名女生，请利用树状图或者表格求出参加比赛的人选恰好一男一女的概率是多少？ 【分析】（1）先根据众数的定义确定a的值，再计算出八年级学生中“优秀”等级的人数，则根据中位数的定义确定b的值，然后计算出八年级学生中“合格”等级的人数所占的百分比得到m的值； （2）用700乘以七、八年级学生中“优秀”等级人数所占的百分比的和即可； （3）利用列表展示6种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）七年级学生成绩的众数为95， 即a＝95． 10名八年级学生中“优秀”等级的人数为10×30%＝3（人）， 将10名八年级学生的成绩数据按照从大到小的顺序排列，排在第5，6名的成绩数据为90，90， 所以b＝（90+90）90． 10名八年级学生中“合格”等级的人数为10﹣3﹣5＝2（人）， 所以m%100%＝20%， 即m＝20． 故答案为：95；90；20； （2）700（40%+30%）＝490（人）． 所以估计该校七、八年级学生中“优秀”等级共约490人； （3）列表如下： 女 男 男 女 （女，男） （女，男） 男 （男，女） （男，男） 男 （男，女） （男，男） 共有6种等可能的结果，一男一女的结果数为4种， 所以参加比赛的人选恰好一男一女的概率． 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或B的概率． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$