专题05 椭圆的标准方程与几何性质（6基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题05 椭圆的标准方程与几何性质 椭圆的定义及辨析 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P为椭圆C：上一点，且点和点分别为椭圆C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）设 P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若等于 4，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（23-24高二上·四川雅安·期中）椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ． 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 5．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是 . 椭圆中焦点三角形问题 1．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川南充·期中）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知曲线，点，，，P为曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的面积的最大值为 C．存在点P，使得 D．的最大值为7 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）（多选）已知点是椭圆上一点，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为4 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 5．（23-24高二上·四川达州·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点， 则下列关于椭圆的结论正确的有（     ） A．长轴长为 B．离心率为 C．的周长为 D．的面积为 椭圆标准方程辨析及求解 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）若过椭圆的上顶点与左顶点的直线方程为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）（多选）彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 5．（23-24高二上·四川·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为； (2)焦点坐标为和，且椭圆经过点. 椭圆的几何性质 1．（23-24高二上·四川成都·期中）椭圆C：一个焦点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知椭圆的方程为，则该椭圆的长轴长为 ． 3．（23-24高二上·四川·期中）（多选）已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（    ） A．的长轴长为 B．的短轴长为 C．的坐标为 D．的最小值为 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为2 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）（多选）已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知斜率为的两条直线都与椭圆相切，则这两条直线间的距离等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A、B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在实数k，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 4．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于，两点，且，求直线的方程． 直线与椭圆相交弦问题 1．（23-24高二上·四川·期中）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于，两点，且为的中点，则 ． 2．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，设点，在中，，周长为. (1)求椭圆C的方程； (2)过左焦点作倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求△OMN的面积. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求C的方程； (2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），试求的取值范围．（其中与分别表示和的面积） 5．（23-24高二上·四川·期中）已知是椭圆的左顶点，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，求. 求椭圆离心率的值或范围 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）若椭圆的离心率为e，则e的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知椭圆的右顶点、上顶点分别为，直线与直线相交于点，且点到轴的距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川德阳·期中）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 . 7．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为 ． 8．（23-24高二上·四川泸州·期中）设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 椭圆中的定点、定值问题 1．（23-24高二上·四川·期中）圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为. (1)求的方程； (2)若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值. 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，设P是圆上的动点，点D是点P在x轴上的射影，点M在DP的延长线上，且. (1)当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程； (2)记动点M的轨迹为曲线C，过点作两条相异直线分别与曲线相交于两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值？并说明理由. 4．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点关于x轴的对称点为点.当直线过左焦点时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于另外一点（点和点不重合），证明直线过定点. 5．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为.椭圆的左、右顶点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线与椭圆相交于，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 椭圆中的最值范围问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C． (1)求C的方程． (2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围 3．（23-24高二上·四川德阳·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值. 4．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为. (1)求的方程； (2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围. 5．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆过和两点.    (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 椭圆中向量共线比例问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆C：的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如图所示，且，则直线l的斜率为 ． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､. (1)求椭圆的方程； (2)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 椭圆的标准方程与几何性质 椭圆的定义及辨析 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P为椭圆C：上一点，且点和点分别为椭圆C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】B 【解析】因为椭圆C：，则， 由题意定义可得，且，则.故选：B 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）设 P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若等于 4，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】由， 因为P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点， 所以，故选：D 3．（23-24高二上·四川雅安·期中）椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则， 所以椭圆上一点到两个焦点的距离之和为． 故答案为：20 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】不妨设椭圆的右焦点， 因为点是椭圆上的动点， 所以， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 又， 则的最小值为． 故答案为：． 5．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为点到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为， 所以，所以， 所以， 因为， 又，所以当 所以的取值范围是. 故答案为：. 椭圆中焦点三角形问题 1．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于2，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆离心率为，故可设，， 则椭圆的方程为. 由椭圆的定义可知，， 在中，， 由余弦定理可知， 所以， 即， 所以， 又因为，， 所以， 所以，解得， 所以椭圆的方程为.故选：C 2．（23-24高二上·四川南充·期中）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故.故选：C. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知曲线，点，，，P为曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的面积的最大值为 C．存在点P，使得 D．的最大值为7 【答案】BD 【解析】因为曲线，，， 所以，所以曲线是椭圆，其中，则， 所以曲线的标准方程为， 对于A，的周长为，故A错误； 对于B，当P为椭圆短轴顶点时，点到边的距离最大，则的面积最大， 则最大面积，故B正确； 对于C，当P为椭圆短轴顶点时，最大， 此时，即为锐角， 所以不存在点P使得，故C错误； 对于D，如图，，， 所以， 所以， 当且仅当在的延长线上时，等号成立，故D正确．故选：BD. 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）（多选）已知点是椭圆上一点，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为4 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得：故D项错误.故选：BC. 5．（23-24高二上·四川达州·期中）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点， 则下列关于椭圆的结论正确的有（     ） A．长轴长为 B．离心率为 C．的周长为 D．的面积为 【答案】BCD 【解析】由椭圆：，得：，， 对于A项：长轴长为，故A项错误； 对于B项：离心率，故B项正确； 对于C项：由椭圆定义得：， 的周长为，故C项正确； 对于D项：因为，所以得：， 解得：，故D项正确.故选：BCD. 椭圆标准方程辨析及求解 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）若过椭圆的上顶点与左顶点的直线方程为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直线方程中，令，得，得到椭圆的上顶点坐标为，所以， 令，得，得到椭圆的左顶点坐标为，所以， 所以椭圆的标准方程为，故选：C. 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程， 故，，所以，， 所以椭圆方程为.故选：A 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）（多选）彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由已知可得，， 则，，， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为； 当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为，即；故选：AC. 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）椭圆的焦点为， 设所求椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. 5．（23-24高二上·四川·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为； (2)焦点坐标为和，且椭圆经过点. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为椭圆的焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，则，可得， 所以，， 因此，椭圆的标准方程为. （2）因为焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆经过点，由椭圆定义可得， 所以，，则， 因此，椭圆的标准方程为. 椭圆的几何性质 1．（23-24高二上·四川成都·期中）椭圆C：一个焦点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆C：，知， 故焦点坐标为.故选：B 2．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知椭圆的方程为，则该椭圆的长轴长为 ． 【答案】4 【解析】由题意椭圆标准方程是，所以，长轴长为． 故答案为：4. 3．（23-24高二上·四川·期中）（多选）已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（    ） A．的长轴长为 B．的短轴长为 C．的坐标为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】由椭圆，可得，，则， 所以，椭圆的长轴长为，的短轴长为，上焦点的坐标为， 根据椭圆的几何性质，得到的最小值为．故选：ABD. 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为2 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 【答案】B 【解析】椭圆中，， 故长轴长为，焦距，离心率为，左顶点的坐标为，故只有B正确. 故选：B 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）（多选）已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】ABC 【解析】由已知条件得椭圆中，，，， 则该椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为； 椭圆中，焦点在轴上，，，， 故这两个椭圆只有焦距相等.故选：. 直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知斜率为的两条直线都与椭圆相切，则这两条直线间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切线方程为，则，则， ，解得， 切线方程为，故这两条直线间的距离等于.故选：B. 2．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，线段的中点， 若此椭圆上存在不同的两点关于直线对称， 所以直线的方程可以设为， 联立，化为， ，解得， 而，所以，即， 代入直线可得， 所以，即实数m的取值范围是.故选：D. 3．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A、B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在实数k，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）依题意有解得，. ∴椭圆C的方程为. （2）假设在线段的中垂线上， 联立消去y得. 设，，则，. ∴. ∴的中点坐标为. ∴， ∴，即，解得. ∴存在时，点在线段的中垂线上. 4．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）因为圆经过椭圆的右焦点，所以，， 且过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为， 所以在椭圆上，即， 所以，，故椭圆的方程为． （2）当直线的斜率为零或不存在时，显然不满足题意． 设直线方程为， 联立，化简整理，得． 设交点，的坐标为，， 则，， 故有 由，得， 即有，解得， 所以直线的方程为或． 直线与椭圆相交弦问题 1．（23-24高二上·四川·期中）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于，两点，且为的中点，则 ． 【答案】 【解析】设椭圆上的点，则， 两式相减得， 而， 即，整理得， 又，于是， 显然点在椭圆内，符合题意，所以. 2．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：， 因为焦距为，， 又离心率，， 再由， 所以椭圆标准方程为：. （2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则， ， 由弦长公式, 到直线的距离, ． 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，设点，在中，，周长为. (1)求椭圆C的方程； (2)过左焦点作倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求△OMN的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由 ，① 又的周长为， ，② 联立①②，解得， 椭圆方程为 （2）直线的方程为:，设，， 由得，， 因为直线过椭圆内焦点，所以恒成立， ，， ， 原点到直线的距离为， 所以的面积. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求C的方程； (2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），试求的取值范围．（其中与分别表示和的面积） 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得，把代入，解得， 所以C的方程为； （2）由（1）知：，， 明显直线l的斜率不为零，设l：，，， 由，得，显然， 所以，， 因为，， 所以， 因为， 当时，，解得，此时， 当时，，所以． 又， 设，则，，解得且， 所以， 综上所述可得的取值范围为．    5．（23-24高二上·四川·期中）已知是椭圆的左顶点，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，求. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）依题意可得，解得，所以的方程为. （2）联立消去得， 因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立. 则. 所以，解得，即.    求椭圆离心率的值或范围 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）若椭圆的离心率为e，则e的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得椭圆长半轴，短半轴，所以半焦距， 所以离心率，故选：C. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆， 则椭圆的离心率， 又因为，则， 所以.故选：B 3．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知椭圆的右顶点、上顶点分别为，直线与直线相交于点，且点到轴的距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，设直线与轴的交点为，则， 所以，所以，所以离心率为．故选：A. 4．（23-24高二上·四川德阳·期中）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，， 所以，， 在中，，即， 解得，所以，，， 在中，由勾股定理可得，即， 整理可得，解得.故选：C. 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在直角中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是.故选：B. 6．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】如图所示： 不妨取点在轴上方，设点的纵坐标为，点的纵坐标为， 的内切圆半径为，椭圆焦距为， 取线段的中点为，设点的纵坐标为， 由可得，即 又为的中点，可得，即， 所以三点共线，且，可得， 又因为，所以； 利用椭圆定义以及等面积法可得， ， ， 所以，可得， 即椭圆离心率为. 故答案为： 7．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】不妨取为上顶点，如图所示： 则，设，则，则， 整理得到，， 中，根据余弦定理：， 整理得到，即. 故答案为：. 8．（23-24高二上·四川泸州·期中）设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 故答案为： 椭圆中的定点、定值问题 1．（23-24高二上·四川·期中）圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为. (1)求的方程； (2)若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）当，的斜率等于0时，，， 所以； 当，的斜率不等于0时，设：，则：， 由，得， 令，得. 设到的距离为，则， 得， 由，得， 易知，设，，则， 则， 故. 综上，是定值. 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）设点，依题意可得， 化简得， 所以曲线C的方程为. （2）证明：设，，直线l：. 由，消去y得， 则， ，， 则， 因为四边形为平行四边形，所以. 设，则， 又因为，即，得， 所以， 因为坐标原点到直线l的距离， 所以的面积为， 所以的面积为定值.    3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，设P是圆上的动点，点D是点P在x轴上的射影，点M在DP的延长线上，且. (1)当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程； (2)记动点M的轨迹为曲线C，过点作两条相异直线分别与曲线相交于两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值？并说明理由. 【答案】(1)；(2)是定值，理由见解析 【解析】（1）设，， 因为点是在轴上的射影，是线段上一点，且， 所以，因为在圆上，所以， 化简得，因为，所以， 动点的轨迹方程为. （2） 法一：由题意可知直线的斜率存在且不过点， 设直线的方程为，， ，，由， 消去整理得， 需满足，则，， 因为，， ， ， 将，， 代入得， 化简得，即， 整理得，而， ，所以直线的斜率为定值，其定值为2. 法二：由题意可设:， 由，得， 设，则，， ，， 同理， ，则， ， 为定值. 4．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点关于x轴的对称点为点.当直线过左焦点时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于另外一点（点和点不重合），证明直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由已知得直线过左焦点时，即为通径，可得； 又，且，解得； 所以椭圆C的方程为 （2）由题意得直线AP的斜率一定存在， 如下图所示： 设直线的方程为， 联立直线和椭圆方程，消去可得， 所以可得 因为三点共线，可得， 所以，即， 即 所以， 也即,可得， 所以直线的方程为 即直线恒过定点. 5．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为.椭圆的左、右顶点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线与椭圆相交于，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)过定点；， 【解析】（1）由离心率.且左右顶点间距离为， 所以，，， ∴椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，整理得. 设，，则，② 由直线，令，得，同理， ∴以为直径的圆的方程为， 即，③ 由②得， 代入③得圆的方程为. 若圆过定点，则解得或 ∴以为直径的圆恒过两定点，. 椭圆中的最值范围问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，，， 则，． 由得， 从而，即曲线的方程为． （2）由于，所以． 当与一条与轴垂直，另一条与轴垂直时， 不妨设， 可得． 当与都不与坐标轴垂直时，不妨设，，其中． 将的方程与曲线的方程联立消去得， 显然对都有．设，， 则，， 因此． 同理可得． 所以． 令，有． 由于，因此， 从而． 综上所述，的取值范围是． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C． (1)求C的方程． (2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得，所以圆心为，半径为4， 连接MA，由l是线段AB的中垂线，得， 所以，又， 根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆， 所以，，，所求曲线C的方程为； （2）由直线EF与直线PQ垂直，可得， 于是， ①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零， 此时可不妨取，，，， 所以， ②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得， ③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在， 于是可设直线PQ的方程为，，，，， 则直线EF的方程为， 将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，， 所以，， 于是 ， 将上面的k换成，可得， 所以， 令，则，于是上式化简整理可得， ， 由，得，所以， 综合①②③可知，的取值范围为． 3．（23-24高二上·四川德阳·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以，则， 所以的标准方程为， 因为点在上，所以， 解得，从而，. 所以的标准方程为. （2）易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0， 设，，， 联立方程组消去得， 由得，由根与系数的关系知 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以的面积 令，得，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足，所以的最大值为. 评分细则： 第二问另解： （2）设，，， 联立方程组，消去得. 由得，由根与系数的关系知. 所以， 化简得. 设点到直线的距离为，则， 所以的面积. 令，得， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 因为满足，所以的最大值为. 4．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为. (1)求的方程； (2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得，设，，， 则，， 故， 又，的斜率之积为，故，解得， 所以椭圆； （2）由（1）知，， 故， 当，的斜率不存在时，四边形为矩形， 令得，，故，同理可得， 故，， 故四边形面积为， 当，的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形， 设，联立得， 易得，设， 则， 则， 设点到直线的距离为，则， 故四边形面积为， 令，则， 则， 因为，所以，故，， ，， 故， 综上：四边形面积的取值范围是. 5．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知椭圆过和两点.    (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）6 【解析】（1）依题意将和两点代入椭圆可得 ，解得； 所以椭圆方程为 （2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，； 根据题意可知直线斜率均存在，且； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则； 联立直线和椭圆方程，消去可得； 由韦达定理可得，解得，则； 则，； 所以； 即可知为钝角， 所以点B在以为直径的圆内； （ii）易知四边形的面积为 ， 设，则，当且仅当时等号成立； 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，可得， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 椭圆中向量共线比例问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆C：的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如图所示，且，则直线l的斜率为 ． 【答案】/0.75 【解析】设，因为直线斜率为正，设为，所以可设点在第一象限， ，，且A，B，P，Q四点共线， ，， 又，，，， 在椭圆上，，， 两式相减可得，，， 又，， ，即，， ，又直线斜率为正，． 故答案为：. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆：焦距为，过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点､. (1)求椭圆的方程； (2)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若､和点共线，求实数的值. 【答案】(1)；(2)2 【解析】（1）由题意得：焦距为，得， 点坐标代入椭圆方程得：， ，解得：，， 所以椭圆的标准方程为. （2）   设，，，， 则①，②， 又，所以可设，直线的方程为， 由消去可得， 则，即， 由，及①， 代入可得， 又，所以，所以， 同理可得. 故，， 因为､､三点共线，所以. 将点，的坐标代入，通分化简得，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$