第四章 整式的加减（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第4章 整式的加减（A卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．单项式的系数是（    ） A． B．2 C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．xyz与xy是同类项 B．和2x是同类项 C．﹣0.5x3y2和2x2y3是同类项 D．5m2n和﹣2nm2是同类项 3．将一列有理数 ，，，，，，，按如图所示有序排列，各个“峰”中有理数的位置依次标注为 ，，，，．根据图中的排列规律可知，有理数 在“峰 ”中的 处．则有理数 在（    ）    A．“峰 ” 处 B．“峰 ” 处 C．“峰 ” 处 D．“峰 ” 处 4．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 5．下列合并同类项正确的是（　　） ；；；；；；；． A． B． C． D． 6．一列有规律的数，，7，10，，，19，22，…，则这列数的第54个数为（    ） A．160 B． C． D．163 7．如图，有一列数分别在下列每一个方格中，且已知任意三个相邻方格中所表示的数的和相等，则前2020个格子所表示的数的和是（    ） 7 5 … A．2020 B．2017 C．2010 D．2022 8．数在数轴上所对应点如图所示：化简（   ） A． B． C． D． 9．如图1，数轴上方有1个方块，记图1共有个方块；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共有个方块；同理，记图4共有个方块．故按照此规律第2024个图中共有方块（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ）（填写正确选项的序号） ①若．则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．计算： ． 12．多项式﹣3x3y﹣1+2xy2﹣y3按照y的降幂排列为 ． 13．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．如图，正方形的边长为a，长方形的长和宽分别为b和c，且，请用代数式表示阴影部分三角形的面积 ． 15．已知多项式（其中是常数），当时的值分别是23和，那么 ． 16．若一个四位数，十位上的数字是千位与百位数字的和，个位上的数字是千位与百位数字的差，且千位数字不小于百位数字，那么这个数就称为“民安数”，例如：因为，，，且，所以是“民安数”，若是“民安数”，令，若是整数，则成为“国泰民安数”，若一个“国泰民安数”的各个数位数字之和除余，则称该数为“中华数”，求最小的“中华数”为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）化简 （1）； （2）； 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．已知多项式，若多项式的值与的值无关，求的值． 20．（8分）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 21．（8分）窗户的形状如图（1）所示（图中长度单位：m），其上部分是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米，计算：（本题取3） (1)窗户的面积； (2)窗户的外框（如图2）的总长： (3)窗户上安装玻璃（窗户内的边框忽略不计），每平方米80元，窗户外框是铝合金材料每米200元，当时，这个窗户玻璃与铝合金共花费多少元？ 22．（10分）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A、B、C三个点，其中点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，设点A、B、C所对应的数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A、C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，求p的值； (2)若原点O在图中数轴上点B的左侧，且点B到原点O的距离为1，求p的值； (3)若原点O在图中数轴上点B的右侧，且点C到点O的距离为，求p的值（用含a的式子表示）． 23．（10分）已知在数轴上的位置如图所示： （1）判断下列式子正负：a+1 0；c﹣b 0；b﹣1 0； （2）化简：|a+1|+|c﹣b|﹣|b﹣1|； （3）若与的差仍是单项式，且a与﹣1的距离等于c与﹣1的距离，求﹣4c2+2（a﹣4b）﹣3（﹣c2+5a﹣b）的值． 24．（12分）某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为，该户应缴纳的水费为 元． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 25．（14分）介绍一个“能被13整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，，．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．（注：这个规律也适用于11和7） (1)______，______（填能或不能）被13整除． (2)试证明这个“能被13整除的数的特征”的数学原理． (3)若m，n均为13的倍数，且，，（，，，且a，b，c均为整数）．规定，当时，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 整式的加减（A卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．单项式的系数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的系数是式子中所乘的数字因数即可求解． 【详解】根据题意得：单项式，可知系数为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了单项式中的系数，此类题目在中考中常以填空题的形式考查，熟练掌握相关基础知识点并能区分单项式的次数和系数是解决此类题型的关键． 2．下列说法正确的是（    ） A．xyz与xy是同类项 B．和2x是同类项 C．﹣0.5x3y2和2x2y3是同类项 D．5m2n和﹣2nm2是同类项 【答案】D 【分析】根据同类项的特点即可依次判断． 【详解】解：A、字母不同不是同类项，故A错误； B、相同字母的指数不同不是同类项，故B错误； C、相同字母的指数不同不是同类项，故C错误； D、所含字母相同且相同字母的指数也相同，故D正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查同类项的识别，解题的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项． 3．将一列有理数 ，，，，，，，按如图所示有序排列，各个“峰”中有理数的位置依次标注为 ，，，，．根据图中的排列规律可知，有理数 在“峰 ”中的 处．则有理数 在（    ）    A．“峰 ” 处 B．“峰 ” 处 C．“峰 ” 处 D．“峰 ” 处 【答案】D 【分析】观察图形可知：相邻两峰相同位置的数的绝对值的差为5，结合，可得有理数2021在“峰404”中第5个位置上，即可求解． 【详解】解：观察图形可知：相邻两峰相同位置的数的绝对值的差为5， ∵， ∴有理数2021在“峰404”中第5个位置上， 即有理数2021在“峰404”中E的位置上； 故选：D． 【点睛】本题考查了规律探究，观察图形，得出各峰相同位置数之间的关系是解题的关键． 4．合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【分析】与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506对，计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 5．下列合并同类项正确的是（　　） ；；；；；；；． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项的知识，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键． 合并同类项之前，首先要判断各项是否是同类项，只有满足该条件，才能进行合并，由此排除部分式子，接下来根据合并同类项的法则：字母和字母的指数不变，系数相加减，逐项分析剩余式子的正误即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，中不存在同类项，故不能合并， 根据同类项的定义可知，中，故合并错误， 结合合并同类项的法则可知：；； ；，合并同类项计算正确， 故选：． 6．一列有规律的数，，7，10，，，19，22，…，则这列数的第54个数为（    ） A．160 B． C． D．163 【答案】B 【分析】根据规律：每个数的绝对值比前一个数的绝对值大3，符号4个一循环，前2个是负的，后两个是正的，据此即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，…， 第个数的绝对值为， ∴第54个数的绝对值为， ∵， ∴第54个数的符号为负， ∴这列数的第个数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 7．如图，有一列数分别在下列每一个方格中，且已知任意三个相邻方格中所表示的数的和相等，则前2020个格子所表示的数的和是（    ） 7 5 … A．2020 B．2017 C．2010 D．2022 【答案】C 【分析】由题意得出-9+a+b=a+b+c，得出c=-9，同理a=7，由题意知b与第9个数相同，得出b=5，得出每3个数-9、7、5为一个循环组依次循环，由2020÷3=673…1，得出第2020个格子中的数与第1个数相同，即可得出答案 【详解】解：（1）∵任意三个相邻方格中所填数之和都相等， ∴-9+a+b=a+b+c， ∴c=-9， 同理，a=7， 所以数据从左到右依次为-9、7、b、-9、7、b， ∴b与第9个数相同，即b=3， ∴每3个数-9、7、5为一个循环组依次循环， ∵2020÷3=673…1， ∴第2020个格子中的数与第1个数相同， ∴第2020个格子中的数为-9； 根据题意可知，每三个数一组，且它们的和为-9+7+5=3， 2020÷3=673…1， ∴前2020个格子所表示的数的和是 ， 故选：C 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，以及绝对值；此类题的关键是找出是按什么规律变化的，然后再按规律找出字母所代表的数，再进行进一步的计算． 8．数在数轴上所对应点如图所示：化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，数轴与有理数，整式的加减，根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可求解，由数轴判断出的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴原式， 故选：． 9．如图1，数轴上方有1个方块，记图1共有个方块；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共有个方块；同理，记图4共有个方块．故按照此规律第2024个图中共有方块（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，据此可得当为偶数时，第n个图的方块数为，代入求解即可． 【详解】解：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示， ∴当（k为正整数）时，第n个图的方块数为， 当时，第n个图的方块数为， ∴第2024个图中共有方块为 ， 故选：C． 10．规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ）（填写正确选项的序号） ①若．则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、代数式求值，掌握去绝对值符号的方法是解题的关键． ①根据绝对值的非负性质分别计算和的值，从而计算的值即可； ②根据去绝对值即可； ③利用数轴按不同的取值范围去绝对值符号并解方程即可； ④根据和的表达式用绝对值将表示出来，根据其几何意义判断即可． 【详解】解：①∵，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴①正确； ②∵， ∴， ∴②不正确； ③，即， 当时，得，无解； 当时，得，解得：； 当时，得，无解； ∴当时成立， ∴③不正确； ④， 它的几何意义是数轴上表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点位于表示的点与表示的点之间时，其距离之和最小，最小值为， ∴④正确． 综上，①④正确． 故选：A． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．计算： ． 【答案】 【分析】直接合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键． 12．多项式﹣3x3y﹣1+2xy2﹣y3按照y的降幂排列为 ． 【答案】﹣y3+2xy2﹣3x3y﹣1 【分析】根据多项式降幂排列的定义解答即可． 【详解】解：多项式﹣3x3y﹣1+2xy2﹣y3按照y的降幂排列为﹣y3+2xy2﹣3x3y﹣1， 故答案为：﹣y3+2xy2﹣3x3y﹣1． 【点睛】本题考查多项式降幂排列的定义，解答的关键是熟知多项式降幂排列的定义：把一个多项式按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，称为按这个字母的降幂排列，注意在排列各项时，要保持原有的符号不变． 13．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】此题主要考查了添括号法则，正确掌握添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号是解题关键． （1）直接利用添括号法则得出答案； （2）直接利用添括号法则得出答案； （3）直接利用添括号法则得出答案； （4）直接利用添括号法则得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 14．如图，正方形的边长为a，长方形的长和宽分别为b和c，且，请用代数式表示阴影部分三角形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式以及整式的加减运算，根据阴影部分三角形的面积，分别求出面积可得得出答案． 【详解】解：阴影部分三角形的面积 ， 故答案为：． 15．已知多项式（其中是常数），当时的值分别是23和，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的求值，分别将和代入，再整理相加即可得出答案． 【详解】当时，①． 当时，， 即②， 变形可得，再整体代入②得， 得， 解得． 故答案为：． 16．若一个四位数，十位上的数字是千位与百位数字的和，个位上的数字是千位与百位数字的差，且千位数字不小于百位数字，那么这个数就称为“民安数”，例如：因为，，，且，所以是“民安数”，若是“民安数”，令，若是整数，则成为“国泰民安数”，若一个“国泰民安数”的各个数位数字之和除余，则称该数为“中华数”，求最小的“中华数”为 ． 【答案】4153 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意列出满足条件的代数式进行分析判断即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ①（是整数）， ②， ③， “国泰民安数”的各个数位数字之和除余， 是的倍数， 即：， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，不存在同时满足①②③条件的数， 当时，，存在满足①②③条件的最小的数，即：，， ，， 最小的“中华数”为． 故答案为：． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）化简 （1）； （2）； 【答案】（1）4b＋3a−4；12a2b−6ab2 【分析】（1）根据合并同类项法则，直接合并同类项即可； （2）先去括号法则去括号，再根据合并同类项的法则合并同类项即可； 【详解】解：（1）原式＝4b＋3a−4； （2）原式＝15a2b−5ab2−ab2−3a2b ＝12a2b−6ab2． 【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，解题时，先利用去括号法则和合并同类项的法则化简，然后代入求值即可，解题关键是去括号时注意符号的变化，合并同类项时，注意同类项的三个“相同”． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，代数式的值为 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，先根据整式加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19．已知多项式，若多项式的值与的值无关，求的值． 【答案】的值是 【分析】先将题目中的式子去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与的值无关，即可求得、的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解： ， 多项式的值与的值无关， ，， 解得，， ， 即的值是． 【点睛】本题考查整式的加减、代数式求值，解答本题的关键是明确合并同类项和去括号的法则． 20．（8分）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解 (2)①是② 【分析】（1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的2倍减1的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； （2）解：①是“同心有理数对”， ． ， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了新定义，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． 21．（8分）窗户的形状如图（1）所示（图中长度单位：m），其上部分是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米，计算：（本题取3） (1)窗户的面积； (2)窗户的外框（如图2）的总长： (3)窗户上安装玻璃（窗户内的边框忽略不计），每平方米80元，窗户外框是铝合金材料每米200元，当时，这个窗户玻璃与铝合金共花费多少元？ 【答案】(1)窗户的面积为平方米． (2)窗户的外框总长为米． (3)制作这样一个窗户需要元钱． 【分析】本题考查了列代数式，整式的化简，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系． （1）根据窗户面积=正方形面积+半圆面积，即可解答； （2）根据窗户外框总长=正方形三边的长+半圆弧长，即可解答； （3）根据总费用=玻璃费用+窗框费用，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： （平方米）， 答：窗户的面积为平方米． （2）解：根据题意可得： （米）， 答：窗户的外框总长为米． （3）解：根据题意可得： ， 当时，原式， 答：制作这样一个窗户需要元钱． 22．（10分）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A、B、C三个点，其中点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，设点A、B、C所对应的数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A、C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，求p的值； (2)若原点O在图中数轴上点B的左侧，且点B到原点O的距离为1，求p的值； (3)若原点O在图中数轴上点B的右侧，且点C到点O的距离为，求p的值（用含a的式子表示）． 【答案】(1)点A表示的数为，点C表示的数为，； (2)4 (3)或 【分析】本题考查了数轴和列代数式，解题的关键是正确求出各点表示的数和分类讨论． （1）根据点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，可以写出两种情况下各点表示的数，进而列式求出p的值； （2）根据题目中点的位置关系，与数量关系依次求出点B，点A，点C表示的数，再列式计算出p的值； （3）分两种情况：点O在点C的左侧时；点O在点C的右侧时．分别根据位置与数量关系求出A、B、C三点表示的数，进而列式求得p． 【详解】（1）解：∵以B为原点，点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，数轴上从左到右有A、B、C三个点， ∴点A表示的数为，点C表示的数为， 此时，； ∵以C为原点，点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，数轴上从左到右有A、B、C三个点， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， 此时，； （2）解：∵原点O在图中数轴上点B的左侧，且点B到原点O的距离为1， ∴点B表示的数是， ∵点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，数轴上从左到右有A、B、C三个点， ∴点A表示的数为，点C表示的数为， ∴； （3）解：根据题意得， ①当原点O在点C的左侧时，则C点表示的数为a，B点表示的数为，A点表示的数为， 此时，； ②当原点O在点C的右侧时，则C点表示的数为，B点表示的数为，A点表示的数为， 此时，． 综上，或． 23．（10分）已知在数轴上的位置如图所示： （1）判断下列式子正负：a+1 0；c﹣b 0；b﹣1 0； （2）化简：|a+1|+|c﹣b|﹣|b﹣1|； （3）若与的差仍是单项式，且a与﹣1的距离等于c与﹣1的距离，求﹣4c2+2（a﹣4b）﹣3（﹣c2+5a﹣b）的值． 【答案】（1）＞，＜，＜；（2）；（3）-74 【分析】（1）先根据数轴上点的位置可得到，由此进行求解即可； （2）根据（1）计算的结果，根据去绝对值的方法进行求解即可； （3）根据题意可得与是同类项，由此即可求出，然后求出a与﹣1的距离，即可得到c与﹣1的距离， 则，然后根据整式的加减计算法则先化简，然后求值即可． 【详解】解：（1）由数轴上点的位置可知：， ∴，，， 故答案为：＞，＜，＜； （2）∵，，， ∴ ； （3）∵与的差仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴a与﹣1的距离， ∵a与﹣1的距离等于c与﹣1的距离， ∴c与﹣1的距离， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判定式子符号，化简绝对值，同类项的定义，整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与数轴，整式的加减计算法则． 24．（12分）某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为，该户应缴纳的水费为 元． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可； （2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【详解】（1）解： （元）， ∴该户这个月应缴纳的水费为元； （2）解： （元）， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴ 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴ 元， 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴ 元； 综上所述，当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25．（14分）介绍一个“能被13整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如数字160485，这个数末三位是485，末三位以前是160，，．即325能被13整除，那么160485也能被13整除．（注：这个规律也适用于11和7） (1)______，______（填能或不能）被13整除． (2)试证明这个“能被13整除的数的特征”的数学原理． (3)若m，n均为13的倍数，且，，（，，，且a，b，c均为整数）．规定，当时，直接写出的值． 【答案】(1)；能； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题干中的条件用减去即为所求；用481除以13能除尽，因此可得出结论； （2）设这个数为；因此这个数的末3位数为n，末三位数以前的数为m，得出，利用它是13的整数倍，设，将得到的等式再带回到，即可证明出结论； （3）利用a、b、c的限定范围和为13的倍数，先确定出a的值，进而得到，进一步求出，得到，可完成求解． 【详解】（1）解：； ②∵， ∴能被13整除； 故答案为：；能； （2）证明：设这个数为； 因此这个数的末3位数为n，末三位数以前的数为m， ∴， 若能被13整除，则设， ∴或， ∴， 或， ∴一个多位数，如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除． （3）∵，，（，，，且，，均为整数） ∴，， ∴，， ∵为13的倍数， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴， ∴的值为． 【点睛】本题属于新定义题型，综合考查了学生对代数的认识和分析推理的能力，解题的关键是要求学生能读懂题意，提取出正确的代数式，能通过计算确定其中字母的取值，或通过缩小范围来判断出字母的所有可能的取值等；本题蕴含了分类讨论的思想方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$