5.1-5.2平面直角坐标系（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（鲁教版五四制）

5.1-5.2 平面直角坐标系 知识点一 有序数对 ◆概念：我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． ◆注意： ①两数中间有“，”两边有括号，数对（a，b）与（b，a）不同． ②有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置． 知识点二 平面直角坐标系 ◆建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ◆各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取向上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．双轴将平面分成了四部分叫象限（坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．） 知识点三 平面内点的坐标特征 ◆坐标轴上点的坐标特征：在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0. ◆角平分线上点的坐标特征：在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数. ◆平行于坐标轴点的坐标特征：在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同. 知识点四 距离 ◆点到坐标轴的距离：在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值. ◆两点间距离公式：两点，，，，则这两点间的距离为． 题型一 确定位置 解题技巧提炼 根据语言描述确定位置 1. （2024秋•乐陵市校级月考）下列描述，能确定具体位置的是　　 A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬 【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：．祖庙附近，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； ．教室第2排，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； ．北偏东，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； ．东经，北纬，能确定具体位置，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键． 2. （2024•宁津县校级开学）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，震源深度10公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是　　 A．北纬 B．东经 C．甘肃西南方向 D．北纬，东经 【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【解答】解：．北纬无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； ．东经无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； ．甘肃西南方向无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； ．北纬，东经能确定这次地震震中位置，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键． 3. （2024春•陵城区期中）下列数据中不能确定物体位置的是　　 A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：．电影票上的“5排8号”，位置明确，故本选项不符合题意； ．小明住在某小区3号楼7号，位置明确，故本选项不符合题意； ．南偏西，位置不明确，故本选项符合题意； ．东经，北纬的城市，位置明确，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 4. （2024春•惠民县期末）下列数据中不能确定物体位置的是　　 A．西偏北 B．花园小区13号楼701号 C．孙武路460号 D．东经，北纬 【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、西偏北，只确定方向，不确定距离，即无法确定物体位置，故本选项符合题意； 、花园小区13号楼701号，物体的位置明确，故本选项不符合题意； 、孙武路460号，物体的位置明确，故本选项不符合题意； 、东经，北纬，物体的位置明确，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 5. （2023秋•芝罘区期末）根据下列表述，能确定一个点位置的是　　 A．北偏东 B．某地江滨路 C．光明电影院6排 D．东经，北纬 【分析】根据各个选项中的语句可以判断哪个选项是正确的，本题得以解决． 【解答】解：根据题意可得， 北偏东无法确定位置，故选项错误； 某地江滨路无法确定位置，故选项错误； 光明电影院6排无法确定位置，故选项错误； 东经，北纬可以确定一点的位置，故选项正确， 故选：． 【点评】本题考查坐标位置的确定，解题的关键是明确题意，可以判断选项中的各个语句哪一个可以确定一点的位置． 题型二 建立平面直角坐标系确定点的位置 解题技巧提炼 根据已给出的点的特征，确定原点，进而建立直角坐标系，最后求得要求点的坐标． 1. （2024春•永定区期末）如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：棋子“炮”的坐标为：． 故选：． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 2. （2024秋•历城区校级月考）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标应为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知的两个坐标点建立坐标系，即可求解． 【解答】解：由已知的两个坐标点、，建立如图的坐标系，则可知 故选：． 【点评】本题考查用坐标表示位置，属于基础知识的考查，难度不大．解题的关键是根据已知坐标建立坐标系． 3. （2024春•兖州区期末）“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图（如图）．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，则景点“蒙山氧吧”的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】“蒙山氧吧”在“蒙山晓月”左面的第三格，所以横坐标要减去3；根据“蒙山氧吧”在“开化寺”上方的第四格，所以纵坐标要加上4，即可求出答案． 【解答】解：； ， “蒙山氧吧”的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据左减上加的方法来求点的坐标． 4. （2024春•德城区校级月考）如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点，相位于上，则炮位于点　　 A． B． C． D． 【分析】先根据“帅”和“相”的坐标建立如图所示的平面直角坐标系，从而得出答案． 【解答】解：由帅位于点可建立如图所示平面直角坐标系： 则“炮”位于点， 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据已知条件建立平面直角坐标系． 5. （2024春•无棣县期末）如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点的位置是　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：宝藏”点的位置是． 故选：． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 题型三 由点的坐标符号确定点的位置 解题技巧提炼 若点的坐标是已知数，则根据各象限及坐标轴上点的坐标符号特点直接判断出该点所在的象限或坐标轴；若点的坐标含有字母，需要进行分类讨论作出判断． 1. （2023春•蒙阴县期末）在平面直角坐标系中，点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：点所在象限是第四象限． 故选：． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2. 已知点在第四象限，且到轴的距离为2，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值列方程求出的值，然后求解即可． 【解答】解：点在第四象限，且到轴的距离为2， ， 解得， 所以，， 所以，点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 3. （2023春•宁津县期中）点所在象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【解答】解：因为点的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点在第二象限．故选：． 【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 4. （2024春•德城区期末）如图，小手盖住的点的坐标可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据第四象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：如图，小手盖住的点的坐标可能为， 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 5. 点在轴上，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴上点的纵坐标等于零，可得答案． 【解答】解：由题意，得， 解得， ， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：轴上的点的纵坐标为0． 6. （2023秋•济南期中）在平面直角坐标系中，位于第四象限的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：、位于第二象限，故此选项不符合题意； 、位于第三象限，故此选项不符合题意； 、位于轴上，故此选项不符合题意； 、位于第四象限，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 7. （2022秋•钢城区期末）在平面直角坐标系中，点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：点坐标为，它的横坐标为正，纵坐标为负，故它位于第四象限， 故选：． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 8. （2023秋•历下区校级月考）在平面直角坐标系中，点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据第二象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：，， 点在第二象限． 故选：． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 9. （2023春•上杭县期中）已知点的坐标为，其中，均为实数，若，满足，则称点为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点所在的象限是　　 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【分析】直接利用“和谐点”的定义得出的值，进而得出答案． 【解答】解：点在第三象限， 理由如下： 点是“和谐点”， ， 解得， ，， 点在第三象限． 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“和谐点”的定义是解题关键． 10. （2024春•岚山区期末）冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据图象可以得到位置符合题意． 【解答】解：如图，胜方最靠近原点的壶所在位置是，位于第四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标确定位置，结合图形可以直接得到答案，属于基础题型． 题型四 由平面内点到坐标轴的距离确定点的坐标 解题技巧提炼 点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值． 1. （2023春•东阿县期末）若点在第二象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【解答】解：点到轴的距离是3，到轴的距离是1， 点的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 又点在第二象限， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键． 2. 点在轴上方，轴左侧，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号即可解答． 【解答】解：点在轴上方，轴左侧，点的纵坐标大于0，横坐标小于0，点在第二象限； 点距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，所以点的横坐标是，纵坐标是2， 故选：． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 3. 点在轴的上方，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为　　 A． B．或 C． D．或 【分析】要根据两个条件解答： ①到轴的距离为3，即横坐标为； ②点距离轴5个单位长度，轴上方，即点纵坐标为5． 【解答】解：点距离轴5个单位长度， 点的纵坐标是， 又这点在轴上方， 点的纵坐标是5； 点距离轴3个单位长度即横坐标是， 点的坐标为或． 故选：． 【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离． 4. （2023秋•济南期中）若点位于第三象限，点到轴、轴的距离均为3，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据第三象限内点的坐标特征进行判断即可． 【解答】解：点位于第三象限， 纵横坐标都小于0． 点到轴、轴的距离均为3， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查了第三象限内点的坐标特征，第三象限内点的坐标特征是纵横坐标都小于0． 5. （2020秋•市中区期末）点在第二象限，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【解答】解：点位于第二象限， 点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 点距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度， 点的坐标为． 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 题型五 用“方位角+距离”表示平面内点的位置 解题技巧提炼 我们可以利用方向角和位置，确定平面内点的位置 1. （2024春•定陶区期末）如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是　　 A．北偏东，3 B．北偏东， C．东偏北 D．东偏北， 【分析】根据方向角的定义解答即可． 【解答】解：图书馆在小青家的北偏东方向的处． 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，主要是对方向角的定义的考查，需熟记． 2. （2023秋•临淄区期末）如图是雷达探测到的6个目标，若目标用表示，目标用表示，则表示为的目标是　　 A．目标 B．目标 C．目标 D．目标 【分析】根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可． 【解答】解：目标用表示，目标用表示， 第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数， 表示为的目标是：． 故选：． 【点评】本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键． 3. （2024春•安次区校级期中）如图，一艘船在处遇险后向相距80海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置　　 A．南偏西，80海里 B．南偏西，80海里 C．北偏东，80海里 D．北偏东，80海里 【分析】直接根据题意得出的长以及的度数，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：，海里， 救生船相对于遇险船的位置是：北偏东，80海里， 故选：． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键． 4. （2022秋•铁锋区期末）如图，一艘船在处遇险后向相距50海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置　　 A．南偏西，50海里 B．南偏西，50海里 C．北偏东，50海里 D．北偏东，50海里 【分析】直接根据题意得出的长以及的度数，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：，海里， 故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西，50海里， 故选：． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键． 5. （2023春•馆陶县期末）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是　　 A．北偏东， B．东北方向 C．北偏西， D．北偏东， 【分析】根据方向角的定义解答即可． 【解答】解：小明家在少年宫的南偏西方向的处， 少年宫在小明家的北偏东方向的处． 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，主要是对方向角的定义的考查，需熟记． 6. （2022春•商南县期中）如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置正确的是　　 A．北偏东， B．北偏东， C．北偏东 D．东偏北， 【分析】根据方向角的定义解答即可． 【解答】解：如图， ， ， 图书馆在小青家的北偏东方向的处． 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，主要是对方向角的定义的考查，需熟记． 题型六 求两点之间的距离 解题技巧提炼 两点之间的距离为 1. （2024春•沂南县期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是　　 A．或 B． C． D．或 【分析】先根据题意得出点坐标，根据平行于轴设出点的坐标，进而可得出结论． 【解答】解：第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2， ， 平行于轴， 设， ， ， 或， 或． 故选：． 【点评】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键． 2. （2024•宁津县校级开学）已知点的坐标为，直线轴，若，则点的坐标为　　 A． B． C．或 D．或 【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出点的纵坐标，再分点在点的左边与右边两种情况求出点的横坐标，即可得解． 【解答】解：轴，点的坐标为， 点的纵坐标为2， ， 点在点的左边时，横坐标为， 点在点的右边时，横坐标为， 点的坐标为或． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于轴的直线是上的点的纵坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论． 3. （2024春•历下区期中）已知两点，且直线轴，则　　 A．可取任意实数， B．，可取任意实数 C．， D．， 【分析】根据平行于轴的直线纵坐标相等解答可得． 【解答】解：轴， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面内点的坐标的特点是解题的关键． 4. （2024春•齐河县校级月考）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴距离为3，到原点距离为5，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理算出，再根据横坐标的绝对值就是到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离，即可得到点的坐标． 【解答】解：由题意画图如下： 轴于点，连接， 点到轴距离为3，到原点距离为5， ，， ， 的坐标是． 故选：． 【点评】本题考查第二象限坐标的特点、勾股定理、以及点到坐标轴的距离，熟记点的坐标特征是解题关键． 5. （2023秋•临淄区期末）在平面直角坐标系中，，点在轴下方，轴，若，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，设点的坐标为，，根据的长度列方程，求出即可． 【解答】解：点在轴下方，轴， 设点，． 又， ，解得． 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是本题的关键． 6. （2024春•临沂期末）在直角坐标系中，过不同的两点与的直线轴，则　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等列出方程计算即可得解． 【解答】解：过不同的两点与的直线轴， ，， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形，熟记平行于轴的直线上点的纵坐标相等是解题的关键． 7. （2024春•临沭县期末）如图，轴，点，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】将点向下平移3个单位即可求解． 【解答】解：由题意得，将点向下平移3个单位，纵坐标为， ， 故选：． 【点评】本题考查点的平移，考查学生的几何直观，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. （2023春•郯城县期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是　　 A．1 B． C． D． 【分析】求出1与2的平方和的算术平方根即可． 【解答】解：点到原点的距离是． 故选：． 【点评】本题主要考查了点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离． 9. （2022秋•岱岳区期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是　　 A．5 B． C． D． 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中， 点到原点的距离是． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 10. （2022春•乐陵市期末）已知点，，则，两点相距　　 A．3个单位长度 B．5个单位长度 C．4个单位长度 D．6个单位长度 【分析】、两点纵坐标相等，在平行于轴的直线上，比较横坐标即可． 【解答】解：点，的纵坐标相等， 轴， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点及两点间的距离公式．熟记平行于坐标轴的直线上点的坐标特点是解题的关键． 11. （2022秋•槐荫区校级期末）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，那么的值是　　 A． B．8 C．2或8 D．或8 【分析】由点，点的坐标结合，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：点与点之间的距离是5， ， 解得：或． 故选：． 【点评】本题考查了两点间的距离公式以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用两点间的距离公式，找出关于的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则的值是 　 　． 【分析】点、的横坐标相等，则直线在平行于轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式，从而解得的值． 【解答】解：点与点之间的距离是5， ， 解得或8． 故答案为：或8． 【点评】本题是基础题，考查了坐标与图形的性质，当两点的横坐标相等时，则这两点在平行于轴的直线上． 13. （2024春•兖州区校级期末）在平面直角坐标系中已知点，若是轴上一个动点，则，两点间距离的最小值是 　 　． 【分析】根据垂线段最短确定点的位置，进而求解． 【解答】解：由题意可知，当轴于点时，，两点间的距离最小， 又点， 此时， ，两点间的距离的最小值为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了两点间的距离，根据垂线段最短确定点的位置是解题的关键． 14. （2023秋•张店区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为 　　． 【分析】根据两点间的距离公式直接计算求解即可． 【解答】解：由两点间距离公式得： ， 故答案为：10． 【点评】本题考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，若平面内两点坐标为，，，，则这两点间的距离为． 15. （2022春•阳信县期中）已知点，，则，两点距离为 　 　． 【分析】根据两点间的距离公式可直接解答． 【解答】解：点，的纵坐标相同， 平行于轴， ． 故答案填：6． 【点评】此题考查的是两点间的距离公式，比较简单． 16. 点到点的距离是 　　． 【分析】直接利用两点间的距离公式求解． 【解答】解：点到点的距离． 故答案为． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 17. （2024秋•历城区校级月考）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，，，如何求的距离．如图，在△，，所以．因此，我们得到平面上两点，，，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点，，试求、两点间的距离； （2）已知点，且，求的值； （3）求代数式的最小值． 【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【解答】解：（1）根据两点的距离公式得，； （2）， ，； （3）看成点到两点和的距离之和， 的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， 当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， 的最小值为． 【点评】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． 18. （2024春•沾化区期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，、，的距离记作，如果，、，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． （1）平面直角坐标系内任意两点，、，间的距离公式为：　　． （2）直接应用：平面内两点，之间的距离为 　　． （3）已知：，，为轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．则点的坐标为 　　． （4）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值为 　　，此时点的坐标为 　　． 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可得到结论； （2）根据两点之间距离公式直接求出即可； （3）根据两点之间距离公式和等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （4）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； 【解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2）平面内两点，之间的距离， 故答案为：5； （3）为轴上的点， 设， 是以为底边的等腰三角形， ， ， 解得， 点的坐标为， 故答案为：； （4）作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论． ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入　解得　， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． 故答案为：，． 【点评】此题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质，以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 题型七 与点的坐标有关的规律探究题 解题技巧提炼 与点的坐标有关的探究题，主要以图形规律探究为主，此类题中图形的变化具有周期性，要先确定周期及图形的变化特点，然后用所求总数除以一个周期包含的次数，得到余数，进而使所求问题得以解决． 1. （2023春•曲阜市期中）如图，直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，动点第2023次运动到点　　 A． B． C． D． 【分析】本题通过寻找到题目中的循环规律来得到纵坐标的规律，通过规律来得到横坐标的规律，最后求得对应的点的坐标． 【解答】解：由题意可知，第1次运动到点、第2次运动到点、第3次运动到点、第4次运动到点、第5次运动到点， 可得到，第次运动到点的横坐标为，纵坐标为4次一循环，循环规律为， ， 动点第2023次运动到点的坐标为， 故选． 【点评】本题通过题目给定条件，对横、纵坐标找到对应的规律，来得到最后的结果． 2. （2023春•日照期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第72次运动后，动点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数的2倍，纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可． 【解答】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 第4次运动到点，第5次接着运动到点，， 横坐标为运动次数的2倍，经过第72次运动后，动点的横坐标为144， 纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮， 经过第72次运动后，， 故动点的纵坐标为0， 经过第72次运动后，动点的坐标是． 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键． 3. （2023秋•济南期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】分析点的运动规律找到循环规律即可． 【解答】解：点坐标运动规律可以看作每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则， 所以，前505次循环运动点共向右运动个单位，且在轴上， 故点坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题． 4. （2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为　　． 【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【解答】解：， 则的坐标是，，． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加． 5. （2023•利津县一模）如图，在单位为1的方格纸上，△，△，△，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若△的顶点坐标分别为，，．则依图中所示规律，的坐标为　　． 【分析】首先确定角码的变化规律，利用规律确定答案即可． 【解答】解：各三角形都是等腰直角三角形， 直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半， ，，， 余1， 点在轴正半轴，横坐标是0，横坐标是， 的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2021是奇数，求出点的角码是奇数时的变化规律是解题的关键． 6. （2023秋•莱山区校级月考）如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形．若△的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为　　． 【分析】根据图形得到规律：当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半．然后确定出第2019个点的坐标即可． 【解答】解：各三角形都是等腰直角三角形， 直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半， ，，，，，，，，，，，，， 由上可知，当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半． ， 点在轴负半轴上，横坐标是，纵坐标是0， 的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，找出“当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半．”这一变化规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1-5.2 平面直角坐标系 知识点一 有序数对 ◆概念：我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． ◆注意： ①两数中间有“，”两边有括号，数对（a，b）与（b，a）不同． ②有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置． 知识点二 平面直角坐标系 ◆建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ◆各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取向上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．双轴将平面分成了四部分叫象限（坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．） 知识点三 平面内点的坐标特征 ◆坐标轴上点的坐标特征：在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0. ◆角平分线上点的坐标特征：在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数. ◆平行于坐标轴点的坐标特征：在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同. 知识点四 距离 ◆点到坐标轴的距离：在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值. ◆两点间距离公式：两点，，，，则这两点间的距离为． 题型一 确定位置 解题技巧提炼 根据语言描述确定位置 1. （2024秋•乐陵市校级月考）下列描述，能确定具体位置的是　　 A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬 2. （2024•宁津县校级开学）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，震源深度10公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是　　 A．北纬 B．东经 C．甘肃西南方向 D．北纬，东经 3. （2024春•陵城区期中）下列数据中不能确定物体位置的是　　 A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼7号 C．南偏西 D．东经，北纬的城市 4. （2024春•惠民县期末）下列数据中不能确定物体位置的是　　 A．西偏北 B．花园小区13号楼701号 C．孙武路460号 D．东经，北纬 5. （2023秋•芝罘区期末）根据下列表述，能确定一个点位置的是　　 A．北偏东 B．某地江滨路 C．光明电影院6排 D．东经，北纬 题型二 建立平面直角坐标系确定点的位置 解题技巧提炼 根据已给出的点的特征，确定原点，进而建立直角坐标系，最后求得要求点的坐标． 1. （2024春•永定区期末）如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为　　 A． B． C． D． 2. （2024秋•历城区校级月考）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，则藏宝处点的坐标应为　　 A． B． C． D． 3. （2024春•兖州区期末）“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图（如图）．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，则景点“蒙山氧吧”的坐标为　　 A． B． C． D． 4. （2024春•德城区校级月考）如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点，相位于上，则炮位于点　　 A． B． C． D． 5. （2024春•无棣县期末）如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点，，则“宝藏”点的位置是　　 A． B． C． D． 题型三 由点的坐标符号确定点的位置 解题技巧提炼 若点的坐标是已知数，则根据各象限及坐标轴上点的坐标符号特点直接判断出该点所在的象限或坐标轴；若点的坐标含有字母，需要进行分类讨论作出判断． 1. （2023春•蒙阴县期末）在平面直角坐标系中，点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 已知点在第四象限，且到轴的距离为2，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 3. （2023春•宁津县期中）点所在象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. （2024春•德城区期末）如图，小手盖住的点的坐标可能为　　 A． B． C． D． 5. 点在轴上，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 6. （2023秋•济南期中）在平面直角坐标系中，位于第四象限的点的坐标是　　 A． B． C． D． 7. （2022秋•钢城区期末）在平面直角坐标系中，点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8. （2023秋•历下区校级月考）在平面直角坐标系中，点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9. （2023春•上杭县期中）已知点的坐标为，其中，均为实数，若，满足，则称点为“和谐点”．若点是“和谐点”，则点所在的象限是　　 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 10. （2024春•岚山区期末）冰壶是在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶所在位置位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四 由平面内点到坐标轴的距离确定点的坐标 解题技巧提炼 点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值． 1. （2023春•东阿县期末）若点在第二象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 2. 点在轴上方，轴左侧，距离轴2个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 3. 点在轴的上方，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为　　 A． B．或 C． D．或 4. （2023秋•济南期中）若点位于第三象限，点到轴、轴的距离均为3，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 5. （2020秋•市中区期末）点在第二象限，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 题型五 用“方位角+距离”表示平面内点的位置 解题技巧提炼 我们可以利用方向角和位置，确定平面内点的位置 1. （2024春•定陶区期末）如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是　　 A．北偏东，3 B．北偏东， C．东偏北 D．东偏北， 2. （2023秋•临淄区期末）如图是雷达探测到的6个目标，若目标用表示，目标用表示，则表示为的目标是　　 A．目标 B．目标 C．目标 D．目标 3. （2024春•安次区校级期中）如图，一艘船在处遇险后向相距80海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置　　 A．南偏西，80海里 B．南偏西，80海里 C．北偏东，80海里 D．北偏东，80海里 4. （2022秋•铁锋区期末）如图，一艘船在处遇险后向相距50海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置　　 A．南偏西，50海里 B．南偏西，50海里 C．北偏东，50海里 D．北偏东，50海里 5. （2023春•馆陶县期末）如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确的是　　 A．北偏东， B．东北方向 C．北偏西， D．北偏东， 6. （2022春•商南县期中）如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置正确的是　　 A．北偏东， B．北偏东， C．北偏东 D．东偏北， 题型六 求两点之间的距离 解题技巧提炼 两点之间的距离为 1. （2024春•沂南县期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是　　 A．或 B． C． D．或 2. （2024•宁津县校级开学）已知点的坐标为，直线轴，若，则点的坐标为　　 A． B． C．或 D．或 3. （2024春•历下区期中）已知两点，且直线轴，则　　 A．可取任意实数， B．，可取任意实数 C．， D．， 4. （2024春•齐河县校级月考）在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴距离为3，到原点距离为5，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 5. （2023秋•临淄区期末）在平面直角坐标系中，，点在轴下方，轴，若，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 6. （2024春•临沂期末）在直角坐标系中，过不同的两点与的直线轴，则　　 A．， B．， C．， D．， 7. （2024春•临沭县期末）如图，轴，点，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 8. （2023春•郯城县期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是　　 A．1 B． C． D． 9. （2022秋•岱岳区期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是　　 A．5 B． C． D． 10. （2022春•乐陵市期末）已知点，，则，两点相距　　 A．3个单位长度 B．5个单位长度 C．4个单位长度 D．6个单位长度 11. （2022秋•槐荫区校级期末）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，那么的值是　　 A． B．8 C．2或8 D．或8 12. 在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则的值是 　 　． 13. （2024春•兖州区校级期末）在平面直角坐标系中已知点，若是轴上一个动点，则，两点间距离的最小值是 　 　． 14. （2023秋•张店区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为 　　． 15. （2022春•阳信县期中）已知点，，则，两点距离为 　 　． 16. 点到点的距离是 　　． 17. （2024秋•历城区校级月考）阅读理解：在平面直角坐标系中，，，，，如何求的距离．如图，在△，，所以．因此，我们得到平面上两点，，，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知点，，试求、两点间的距离； （2）已知点，且，求的值； （3）求代数式的最小值． 18. （2024春•沾化区期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，、，的距离记作，如果，、，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． （1）平面直角坐标系内任意两点，、，间的距离公式为：　　． （2）直接应用：平面内两点，之间的距离为 　　． （3）已知：，，为轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形．则点的坐标为 　　． （4）在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值为 　　，此时点的坐标为 　　． 题型七 与点的坐标有关的规律探究题 解题技巧提炼 与点的坐标有关的探究题，主要以图形规律探究为主，此类题中图形的变化具有周期性，要先确定周期及图形的变化特点，然后用所求总数除以一个周期包含的次数，得到余数，进而使所求问题得以解决． 1. （2023春•曲阜市期中）如图，直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，动点第2023次运动到点　　 A． B． C． D． 2. （2023春•日照期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第72次运动后，动点的坐标是　　 A． B． C． D． 3. （2023秋•济南期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点的坐标是　　 A． B． C． D． 4. （2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为　　． 5. （2023•利津县一模）如图，在单位为1的方格纸上，△，△，△，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若△的顶点坐标分别为，，．则依图中所示规律，的坐标为　　． 6. （2023秋•莱山区校级月考）如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形．若△的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为　　． 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