11.6一元一次不等式组（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

10.6一元一次不等式组 题型一、解一元一次不等式组 1．将不等式组的解集表示在数轴上，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 如图， 故选B． 2．将不等式的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 故选：A． 3．不等式组的最小整数解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的解和解一元一次不等式组，解题的关键在于求出不等式组的解集． 先解不等式组求出其解集，再判定出最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得： 由②得：， ∴， ∴不等式组的最小整数解为， 故答案为：． 4．解不等式组，并把解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组、数轴，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的基本方法是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （2）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】（1）， ， ， ， ， 如图， （2）， 解①得， 解②得， ∴ 5．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组，先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 6．解不等式组： 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 7．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的步骤是解题的关键．先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 所以，原不等式组的解集是 ． 8．解下列不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组解集的口诀，即同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题关键． 有括号去括号，移项、合并同类项、系数化为，先分别求出各个不等式的解集，再求出公共解集即可． 【详解】解：由题意可得： 由①得：， 解得：； 由②得：， ， 解得：； 不等式组的解集是． 9．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 10．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1． 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集是， 整数解为，0，1． 11．求满足不等式组的所有整数解之和． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值． 求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的整数解，求其和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 所以不等式组的整数解之和为． 题型二、含有参数的一元一次不等式组 12．若关于x的不等式组的解集为，则a的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键；因此此题可根据“大大取大，小小取小，大大小小无解，大小小大中间取”进行求解． 【详解】解：由关于x的不等式组的解集为，可知：， ∴a的值不可能是， 故选A． 13．已知不等式组的解集为，则为（   ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、求代数式的值，先分别求出每个不等式得解集，再根据题意得出，，从而求出，，代入代数式即可得解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 14．若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】解：由，得， 方程的解为正整数，， 解得：， 解①得， 解②得， ， 不等式组无解， ， 即整数， 为正整数，， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：A． 15．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m的范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的整数解是3，4，5，6． ∴． 故选C． 16．关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解: 解得：， 关于的不等式组的整数解仅有5个， ， 解得：， 故选：C． 17．若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．关于x的不等式组的解集为，则求符合条件的a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式得解集，再根据不等式组的解集建立关于a的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴， 解得． 19．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式的解集为， ∴， 故答案为；． 20．若不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组、代数式求值，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 22．已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的条件得到是解答本题的关键． 先求解不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解得，进而得到满足条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有且仅有个整数解， ， ， 所有满足条件的整数的值分别为，，，，， 所有满足条件的整数的和为， 故答案为：． 23．综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程 (2) (3) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次方程的解； （1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可； （2）先求解方程和不等式组，再将含有的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出的取值范围； （3）分别求出两个方程的解，再分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再进行判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再进行判断即可． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程． （2）解：解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴， 解得：， 即的取值范围是． （3）解：解方程，得：， 解方程，得：， ∵方程和都是关于的不等式组的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当时，解不等式得 不等式组化简为：，此时不可能是不等式组的解， ∴不符合题意，舍去； ②当时，解不等式得，此时不等式组的解集为：， ∴根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围为． 题型三、方程组与不等式组的综合问题 24．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 25．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 26．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是求出．先解方程组得出，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③． 【详解】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①错误； 当时，，， ，故②正确； 当时，，， 此时，故③正确， 正确的有②③， 故选：B． 27．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 28．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． 29．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 30．已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程组和一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据， ，求出，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 31．已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是非负数建立关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得； （2）根据（1）的答案可得，，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵关于、的方程组的解是非负数， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴，， ∴ ． 32．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 33．关于，的方程组的解满足为负数，为正数．化简． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的综合应用，求出方程组的解集，根据解集的情况列出不等式组求出的取值范围，化简绝对值即可． 【详解】解：解方程得 根据题意，得 解不等式①，得． 解不等式②，得， ． 当时，． 34．已知方程组的解满足， (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，若m为整数，则____，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式的整数解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）先求出方程组的解，根据，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）根据不等式的解集为得出，求出m的范围，再根据结论求出，再求出整数m即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为： ∵关于x、y的方程组的解满足，． ∴ ， ∴； （2）解：∵不等式的解为 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 35．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【详解】（1）解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 36．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①② 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的综合应用： （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （2）①设，构成方程组，求出的范围，代入即可； ②解方程组得到关于a的不等式组解出，利用，套入a的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）解：， 由①，得：， 由②，得：， ∴； 故答案为：； （2）①设， 构成方程组，解得：， ∵， ∴，解得：； ∴． ②解，得：， ∵， ∴，解不等式组得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 题型四、不等式组的应用-方案问题 37．茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元． (1)求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？ (2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元 (2)有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意，弄清关系，根据等量关系和不等关系列出二元一次方程组和不等式组是解题的关键． （1）设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，根据等量关系“购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元”列方程组，解之即可解答； （2）设恤购买件，奥运会吉祥物购买件，根据不等关系“总费用不低于988元且不高于1000元”列一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可确定购买方案数． 【详解】（1）解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元． （2）解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件． 由题意可得：， 解得：， 又 ∵为正整数． ∴， 故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元； 恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元； 恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元； 故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元． 38．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； (2)共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意正确列方程和不等式组是解题关键． （1）每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可得出的值，进而得出租车方案和费用即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人， 则，解得：， 答：每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 则， 解得：， 的可能取值为5、6、7、8， 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 39．某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵10元，购买2件款文化衫和3件款文化衫共需要220元． (1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元； (2)已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请问共有多少种购买方案？ 【答案】(1)款文化衫每件50元，款文化衫每件40元 (2)3种 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设款文化衫每件元，款文化衫每件元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，根据总费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半建立不等式组，解不等式组求出正整数解，由此即可得． 【详解】（1）解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元． （2）解：设购买款文化衫件，则购买款文化衫件， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴满足条件的所有的值为， 答：共有3种购买方案． 40．某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件． (1)求A、B型号衣服进价各是多少元？ (2)若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？ 【答案】(1)型号衣服每件90元，型号衣服每件100元 (2)有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键； （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据等量关系：A种型号衣服9件进价B种型号衣服10件进价，A种型号衣服12件进价B种型号衣服8件进价建立方程组求解即可； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得 解得 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或，当时，，当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件. 41．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)120元，90元 (2)一共有4种方案，方案一所需费用最少，最少的费用为5400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），先设购买1个篮球为x元，1个足球需要y元，再根据等量关系列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据不等关系列出不等式组，求出解集得出方案． 【详解】（1）解：购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据题意，得 ， 解得， 所以购买1个篮球需要120元，1个足球需要90元； （2）解：设采购篮球m个，则足球个，根据题意，得 ， 解得， 所以， 一共有4种方案， 方案一：当采购篮球30个，足球20个时，所需费用为（元）； 方案二：当采购篮球31个，足球19个时，所需费用为（元）； 方案三：当采购篮球32个，足球18个时，所需费用为（元）； 方案四：当采购篮球33个，足球17个时，所需费用为（元）． ∵， ∴方案一所需费用最少，最少的费用为5400元． 42．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． (1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元 (2)有3种购买方案，分别为：购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个；购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个；购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据购买费用相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，根据总费用不超过6500，购买乙种品牌足球的个数不少于28个列出不等式组，求出解集，并确定正整数解，即可得出符合题意的方案． 【详解】（1）解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得： ， 解得， 答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元； （2）解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，依题意得： 解得：， 取正整数为20，21，22． 故有3种购买方案，分别为： 购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个； 购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个； 购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个． 43．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元． (1)求A，B两种型号电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； (2)A型号的电风扇最多能采购25台； (3)能实现利润超过1700元的目标，方案见解析． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用． （1）设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设采购A型号的电风扇a台，则采购B型号的电风扇台，根据不等关系列不等式求解即可； （3）根据不等关系列不等式求解，结合（2）得到a的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元． 依题意，得， 解得． 答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）设采购A型号的电风扇a台，则采购B型号的电风扇台． 依题意，得， 解得， ∴a最大取25． 答：A型号的电风扇最多能采购25台； （3）由题意，得， 解得． 由（2），可得，且a应为整数， 故超市能实现利润超过1700元的目标．相应的方案有5种，方案如下： 当时，采购A型号的电风扇21台，B型号的电风扇29台； 当时，采购A型号的电风扇22台，B型号的电风扇28台； 当时，采购A型号的电风扇23台，B型号的电风扇27台； 当时，采购A型号的电风扇24台，B型号的电风扇26台； 当时，采购A型号的电风扇25台，B型号的电风扇25台． 题型五、不等式组的应用-分配问题 44．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 45．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 46．某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 47．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 48．某市避遇严重水灾，有关部门紧急部署，组织了一批救灾帐篷和食品准备送往灾区．已知帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件． (1)求帐篷和食品各多少件？ (2)现计划用两种货车共16辆，一次性将物资送往灾区，已知A种货车可装帐篷40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，共有哪几种运输方案？ (3)在（2）的条件下，A种货车每辆运费800元，B种货车每辆运费720元，怎样安排调运方案才能使总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】(1)帐篷件，食品件； (2)共有三种运输方案：①种货车辆，则种货车辆；②种货车辆，则种货车辆；③种货车辆，则种货车辆； (3)当安排种货车辆，则种货车辆调运总运费最少，最少运费是12000元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，掌握相关知识点是解题关键． （1）设帐篷件，食品件，根据“帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件”列二元一次方程组求解即可； （2）设种货车辆，则种货车辆，根据题意列一元一次不等式组，求出的取值，即可得到答案； （3）设总费用为，根据题意得到关于的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设帐篷件，食品件， 由题意得：，解得：， 答：帐篷件，食品件； （2）解：设种货车辆，则种货车辆， 由题意得：，解得：， 为正整数， 的可能取值为， 即共有三种运输方案：①种货车辆，则种货车辆；②种货车辆，则种货车辆；③种货车辆，则种货车辆； （3）解：设总费用为， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，的值最小为元， 即当安排种货车辆，则种货车辆调运总运费最少，最少运费是12000元． 49．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学九年级名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有，两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．” 小强：“七年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用，两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 【答案】(1)每辆型客车坐满后的载客人数为60人，每辆型客车坐满后的载客人数为45人 (2)九年级租用4辆型客车，6辆型客车所需的租金最少，最少为8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键． （1）设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再表示出，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人， 根据题意，可得，解得， 答：每辆型客车坐满后的载客人数为60人，每辆型客车坐满后的载客人数为45人； （2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元， 根据题意，可得， 解得， ∵租金， 又∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为（元）， 此时（辆）， 答：九年级租用4辆型客车，6辆型客车所需的租金最少，最少为8800元． 50．近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个；分装方案2：精包装10个，简包装75个；分装方案3：精包装6个，简包装80个；分装方案4：精包装2个，简包装85个；理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用； 任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； 任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可． 【详解】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． ， 解这个方程组，得 答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒． 任务二： 解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意得： ， 由①得． 将代入②． 得， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∵m，n，为正整数， ∴或或或； ∴，或，或，或，． 分装方案1：精包装14个，简包装70个； 分装方案2：精包装10个，简包装75个； 分装方案3：精包装6个，简包装80个； 分装方案4：精包装2个，简包装85个； 51．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 52．根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； 任务3：根据题意列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 任务3：由题意，根据任务2中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为（元）． 题型六、不等式组的应用-营销问题 53．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 54．宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴．起源于明朝，已有600多年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著．已知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵50元，1袋鸭翅和2袋烤鸭刚好110元（1袋鸭翅为1kg，1袋烤鸭为一整只装）． (1)1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？ (2)仪仪一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭至少比鸭翅多1袋，又不能超过鸭翅的4倍，仪仪想用自己剩余的380元零花钱来买单，请你帮仪仪计算一下她的零花钱够不够付账． 【答案】(1)1袋鸭翅为40元、1袋烤鸭为35元 (2)仪仪的零花钱够付账的 【分析】本题考查一次函数，二元一次方程组，一元一次不等式组的实际应用： （1）设1袋鸭翅为x元、1袋烤鸭为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设烤鸭购买m袋，花费w元，然后表示出，根据题意得到，求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设1袋鸭翅为x元、1袋烤鸭为y元， 依据题意得，， 解得， 答：1袋鸭翅为40元、1袋烤鸭为35元． （2）设烤鸭购买m袋，花费w元， ， 由题意可知，， 解得， ∵m取整数， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最大，（元）， ∵ ∴仪仪的零花钱够付账的． 55．为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，如表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 (1)求甲、乙两种型号水杯的售价； (2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下，该超市如何购进甲、乙两种型号水杯才能使第三个月的利润最大，并求出第三月的最大利润． 【答案】(1)甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； (2)当甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，时，第三月利润达到最大，最大利润为：元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，根据题意列出方程组求解即可， （2）设甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，利润为元，根据题意写出利润关于的一次函数关系式，列不等式组求解的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值． 【详解】（1）解：设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，则 ①②得：， ， 把代入①得：， ， 答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； （2）解：设甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，利润为元， 所以：， 又 由①得：， 所以不等式组的解集为： 其中为正整数，所以 随的增大而减小， 当时，第三月利润达到最大，最大利润为：元． 即当甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，时，第三月利润达到最大，最大利润为：元． 56．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，根据题意列出不等组，求解即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为x，则购买品牌足球的数量为个，依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围为． 57．元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品． 品名 批发价：元/件 零售价：元/件 A礼品 15 25 B礼品 12 20 (1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润； (3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m的值． 【答案】(1)该超市的采购总费用y与x的函数关系式为 (2)商场能获得的最大利润为2880元 (3) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）该超市采购x件A礼品，则采购件B礼品，根据总费用等于两种礼品的费用之和建立函数关系，再建立不等式组求解自变量的范围即可； （2）设总利润为W元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质可得答案； （3）设再次销售时总利润为T元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质分情况可得答案； 【详解】（1）解：该超市采购x件A礼品，则采购件B礼品， 根据题意得：， 由题意得：， 解得：， 答：该超市的采购总费用y与x的函数关系式为：； （2）解：设总利润为W元，根据题意得： ， ， 随x的增大而增大，又， 当时，W最大，最大值为2880， 答：商场能获得的最大利润为2880元； （3）解：设再次销售时总利润为T元，根据题意得： ①当即时，T随x的增大而增大， 又， 当时，T有最小值为， 解得，舍去： ②当即时，T随x的增大而减小， 又， 当时，T有最小值为， 解得：，符合题意． ③当即时，，舍去 综上所述，． 58．宣城市郎溪县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大郎溪县茶叶市场，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件A品种茶叶礼盒比B品种茶叶礼盒的售价少20元，且出售2件A品种茶叶礼盒和1件B品种茶叶礼盒的总价共500元． (1)求A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知A、B两种茶叶礼盒每件的成本分别为100元、110元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种茶叶礼盒共100盒，且A品种茶叶礼盒售出的数量不超过B品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过10500元，一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为160元，180元 (2)共有11种满足条件的方案 (3)要使农户收益最大，销售方案为售出A种茶叶礼盒50盒，售出B种茶叶礼盒50盒，最大收益为6500元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用． （1）设A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可； （2）设售出A种茶叶礼盒x盒，则售出B种茶叶礼盒盒，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论； （3）设收益为y元，根据题意结合（2）列出y关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意得， 解得： 答：A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为160元，180元； （2）解：设售出A种茶叶礼盒x盒，则售出B种茶叶礼盒盒， 根据题意得，， 解得：， ∵，为正整数， 共有11种满足条件的方案； （3）解：设收益为y元， 根据题意得，， ， 随x的增大而减小， 当时，y取得最大值，最大值为（元）， 售出B种茶叶礼盒（盒）， 答：要使农户收益最大，销售方案为售出A种茶叶礼盒50盒，售出B种茶叶礼盒50盒，最大收益为6500元． 59．一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 【答案】(1)这两种水果获得的总利润为元； (2)该经营户第二天批发车厘子，苹果 【分析】（1）设第一天，该经营户批发车厘子，苹果，根据该经营户用元批发了车厘子和苹果共，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）该经营户购进车厘子，则购进苹果，根据“车厘子的进货量不低于，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设第一天，该经营户批发车厘子，苹果， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：这两种水果获得的总利润为元； （2）设第二天，该经营户购进车厘子，则购进苹果， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴， ∴． 答：该经营户第二天批发车厘子，2苹果． 题型七、不等式组的应用-几何问题 60．如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线，可知，再结合，可得，接下来根据三角形内角和定理得，然后根据等角对等边得，设，则，最后根据三角形的三边关系得出不等式组，求出解可得答案． 【详解】如图所示，连接， 根据尺规作图的过程可知是的垂直平分线， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， 当时，，当时，（不符合题意，舍去）， ∴， 即， 解得， 即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形的三边关系，解不等式组，根据三角形的三边关系的很粗不等式组是解题的关键． 61．如图，直线与坐标轴交于点和，直线与坐标轴交于点和，不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的解集的关系，不等式组的解集的关系解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：直线与坐标轴交于点和，直线与坐标轴交于点和， ∴的解集为， 的解集为． ∴不等式组的解集是， 故选：C． 62．在平面直角坐标系中，点和图形在第一象限内，过点作轴和轴的垂线、垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且．则称四边形是图形的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．如：如图，，，，，四边形是线段的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．若在直线上存在图中的覆盖的特征点，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，解不等式组，理解题意，掌握一次函数的性质是解题的关键． 设，根据覆盖的特征点的定义，当为线段的覆盖的特征点时，求得的范围，当为线段的覆盖的特征点时，求得的范围，即可求解； 【详解】解：设， 当为线段的覆盖的特征点时，则，解得； 当为线段的覆盖的特征点时，则，解得， 综上所述，当时，为的覆盖的特征点， ∴选项符合题意， 故选：． 63．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定A，B两点以及一条线段．若线段的中点R在线段上（点R能与点P 或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称如图（a）所示为点A与点B关于线段P径向对称的示意图．如图（b）所示，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为，点M表示的数为2． 解答下列问题： 如在数轴上，点H，K，L表示的数分别是，，，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为秒，问当t在范围 时，线段上至少存在一点与点H关于线段径向对称． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 当移动的时间为 时，表示点、、，进而可得出线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，结合线段上至少存在一点与点关于线段径向对称，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：当移动的时间为时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∵线段上至少存在一点与点关于线段径向对称， ∴， 解得， ∴当时，线段上至少存在一点与点关于线段径向对称， 故答案为：． 64．三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式组．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 解得． 故答案为： 65． 阅读理解： 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出如下知识： ①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ②平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为； ③将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“美对称点”．例如：点关于轴和直线的“美对称点”为点． 应用： (1)点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是 ； (2)点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是，求和的值； (3)若点关于轴和直线的“美对称点”在第二象限，且满足条件的的整数解有且只有一个，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）画出图形，根据图形即可求解； （）由定义可得的坐标是，即得，解方程即可求解； （）由定义可得的坐标是，即得，得到，进而可得，据此即可求解； 本题考查了坐标与图形的变化，方程组与不等式组的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： 由图可得，的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是， ∴， 解得， 即； （3）点关于轴和直线的“美对称点”为， ∵在第二象限， ∴， ∴， ∵满足条件的的整数解有且只有一个， ∴， 解得． 66．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点． (1)求k，n的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据平移的性质求出平移后的函数解析式，把点代入平移后的函数解析式求出n的值，再把点代入，求出k的值即可． （2）根据题意，当时，分别求出，，的值，再根据题意列不等式组求解即可． 本题考查了一此函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 【详解】（1）函数的图象向下平移1个单位长度得到， ∵函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点 ∴将点代入，解得， 将点代入，解得， （2）把代入，求得， 把代入，求得， ∵当时，的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，， 解得． 67．关于，的二元一次方程，（，，是常数，且，）有无数组解，如果我们把每组解和的值都分别作为点的横坐标和纵坐标，并描在平面直角坐标系中，会得到一个图形，我们把这个图形叫做这个二元一次方程的图象． 例如：⋯、、、、、⋯都是方程的解，对应可以得到点⋯、、、、、⋯，把所有的解对应的点都描在坐标系内，得到了方程的图象． 回答下列问题： (1)和是二元一次方程图象上的两个点，求，的值； (2)若是（1）所求二元一次方程图象上的一个点，且满足，，，都是实数，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，非负数的性质等知识，解题的关键是： （1）把和代入二元一次方程，得出关于a、b的方程，然后解方程即可； （2）根据题意得出，解方程组得，根据非负数的性质得出，求出，然后把代入，化简得，然后根据的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：把和代入二元一次方程，得， 解得； （2）解：由（1）知：二元一次方程为， ∵是二元一次方程图象上的一个点， ∴， 与联立方程组， 得， 解得， ∵，， ∴， 解得， ∴ ， ∵， ∴当时，取最小值为， 即的最小值为． 68．综合运用 定义：在平面直角坐标系中，点叫做直线的对应点，直线叫做点的对应直线．如图，已知点，，． (1)点的对应直线的表达式为__________； (2)设直线、的对应点分别为、，点在轴上，且，求点坐标． (3)点是线段上的一个动点，直线是点的对应直线，当直线与线段有公共点时，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义直接写出表达式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出的坐标，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设，得到直线的解析式为：，根据直线与线段有公共点，求出时的的值，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的对应直线的表达式为； （2）∵，， ∴直线轴，解析式为：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴或， ∴点坐标为或； （3）∵直线的解析式为：， ∴设， ∴直线的解析式为：， ∵直线与线段有公共点，，， ∴当时，，解得：， ∴，解得：， 又∵， ∴． 69．【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的度数是固定的，为70° 【分析】本题主要考查平行线的判定、三角形内角和定理，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理得出，根据，．得出，进而得出，即可得证； （2）根据三角形内角和定理得出，在中，，在中，．根据题意可得且，解不等式组即可求解． （3）根据三角形内角和定理可得，在中，得出．在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ，， ， ， ． （2）在中，， 所以． 因为，， 所以． 在中，， 在中，． 由于光线能在两面镜子之间经过两次反射，所以且． 即， 解得；． 把代入得， 解， ∴． 移项得． 即， 解得． 所以． （3）在中，，所以． 因为，，所以． 在中，． 把代入得，所以的度数是固定的，为70°． 70．在一个三角形中如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为倍半角、这个三角形叫做倍半三角形．例如：在中，，，则与互为倍平角，为倍半三角形． (1)在中，，互为倍半角，，则________°； (2)若为倍半三角形，，求这个三角形中最小的内角度数； (3)已知是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，试确定的取值范围，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)且；理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据，互为倍半角，，结合三角形内角和为，求解即可； （2）分两种情况：当是“倍半角”时，当不是“倍半角”时，分别求解即可； （3）设，则另外两个角中较小的角为，则较大的一个为，根据是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：∵，互为倍半角，， 又∵三角形内角和为， ∴， ∴。 故答案为：30； （2）解：∵为倍半三角形，， ∴当是“倍半角”中的其中一个角时， 另外一个角为，则第三个角为， 或另外一个角为，此时这两个角之和是，不合题意， ∴此时最小的角为； 当不是“倍半角”中的任何一个角时，设这个三角形中较小的“倍半角”为， 则， 解得：， 此时最小角为， 综上所述，这个三角形中最小的内角为或 （3）解：∵是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角， ∴另外两个角一定互为“倍半角”， 设，则另外两个角中较小的角为，则较大的一个为，根据题意得： ， 解得：且， ∴且． 71．在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出A、B关于直线l的1倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出A、B关于直线l的m倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果； （2）可推出B、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，从而得出关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出A、B、C、D于直线l的m倍镜像的对应点坐标，关于直线l的m倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界m的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为， ，， 点距离y轴距离最大为：3， 故答案为：3； ②点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， ，，， 、C距离y轴的距离之差是8， 、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8， ，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4， 故答案为：4； （3）解：如图2， 点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时， ， ， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，． 题型八、一次函数背景下的不等式组应用 72．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，以及一次函数与一元一次方程组的关系问题，求出点P的坐标是本题的关键． 根据交点在一次函数上，可以求出点P的坐标，结合图象能算出不等式的解集，再算出的解集，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：将代入得：， 解得， ∴， ∴不等式的解集为， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 73．已知两条直线与的交点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的交点问题、点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先联立两个一次函数的解析式求出交点的坐标，再根据第二象限内的点的横坐标小于0、纵坐标大于0建立不等式组，分①和②两种情况，解不等式组即可得． 【详解】解：∵两条直线与有交点， ∴， 联立，解得， ∴这两条直线的交点坐标为， ∵这两条直线的交点在第二象限， ∴， ①当时，则，解得，这个不等式组无解； ②当时，则，解得，符合题设； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 74．已知一次函数． （1）当时，则 ； （2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键． （1）将代入解答即可； （2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可． 【详解】（1）当时，， ∴， 则， ∵， ∴， 解得， 故答案为：1 （2）①当时，随着的增大而增大， ∴当时，可得， 解得， ∵自变量的负整数值恰好有2个， ∴负整数值只能是， 则 解得， ②当时，随着的增大而减小， ∴当时，可得， 解得， ∵自变量的负整数值恰好有2个， ∴负整数值只能是， 则 解得， 综上可知，的取值范围为或 故答案为：或 75．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出两点坐标，直线上时的函数值，根据动点P在的内部列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴， ∵动点P在的内部， ∴且， ∴； 故答案为： 76．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式组的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解一元一次不等式组，解题的关键在于求出交点坐标． 先根据两直线的交点为，将交点分别代入两直线解析式，求出，再解一元一次不等式组即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，直线和相交于点， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴不等式组即为：， 解得：， 故答案为：． 77．已知一次函数，将该函数向下平移1个单位后，若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象直线的平移和等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质解题的关键．先求出平移后的解析式，再根据函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数，将该函数向下平移1个单位后， 解析式为， 由于，函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 78．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 79．关于函数，给出下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图象必经过点；③若图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中正确的说法是 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，一般地，先求出交点坐标，再把坐标满足的条件转化成相应的方程或是不等式（组）进而解决问题．①当时，函数是一次函数；②，当时，，过函数过点，即可求解；③函数经过二，三，四象限，可得，从而可以求得k的取值范围；④当时，，与x轴无交点；当时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即，即可求解． 【详解】解：①当时，函数是一次函数；故①符合题意； ②， 当时，，过函数过点，故②符合题意； ③函数经过二，三，四象限，则， 解得：，故③符合题意； ④当，即时，，与x轴无交点； 当，即时， 令，则， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵函数图象与x轴的交点始终在正半轴， 即， 由除法的意义可得：或， 解得：，故④不符合题； 故答案为：①②③． 80．若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 【答案】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值． 【详解】解：，解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴ ∵不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得：， 又∵，且其结果不含二次项， ∴的系数为零 ∴ ∴ 解得：或 又∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，绝对值，多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 81．有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有三张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数，老师把这张卡片发给、、、、、六名同学，每个同学得到两张颜色不同的卡片，然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和，六名同学交上来的答案如下表所示： 学生 答案 老师看完六名同学的答案后说：“只有一名同学的答案错了，但这个同学肯定不是．”那么： (1)同学______的答案是错误的，该同学应得到的正确结果是______； (2)四种颜色卡片上所写各数中最小的一个数是多少？ 【答案】(1)， (2)卡片上最小数为 【分析】本题考查逻辑推理的方法，不等式的应用；四个数两两相加得到六个和，六个和两两组合必然得到3个相同结果，据此分析出计算错误的同学，求出应得到的正确结果是解决问题的关键． （1）如果都计算正确，这6个和两两组合会得到3个相同结果，因为有一名同学的答案错了，会有两个结果相同，不相同的结果里必有一个数是错误的，据此可以分析出计算错误的同学，并求出应得到的正确结果； （2）设这4张不同颜色卡片数为，分析出他们两两相加得到的几个算式，问题可以得到解决． 【详解】（1）解：设这4张不同颜色卡片数为，，，， 则任选两个不同数相加，会出现种不同的和，分别为：，，，，，， 将这种不同的和两两组合并相加，发现， 故，在计算都正确的情况下，这种不同的和两两组合并相加会得到个相同的结果， 发现， 而， 故、中有一人错了，因为不是错，所以是错，正确为． 故答案为： ，136 （2）设这4张不同颜色卡片数为，所以，， 最小的数加第三小的数相加必然得第二小的和，所以， 最大的数加第三大的数相加必然得第二大的和，所以， 所以或， 由得， 而与奇偶性一样， 故， 而， 故． 故卡片上最小数为． 82．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 83．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 84．对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形关于点的“斗转星移图”． (1)点关于点的“斗转星移图”为________； (2)若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值； (3)已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”有公共点，则的取值范围是________． 【答案】(1)． (2)； (3)． 【分析】（1）根据新定义结合平移的性质，即可求解； （2）根据新定义，得出向上平移个单位得，进而列方程即可求解； （3）根据，，得出线段，的对应点，根据线段有交点，得出不等式，解不等式，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将向上平移个单位长度，得到， 即点关于点的“斗转星移图”为； 故答案为：． （2）解：∵点关于点的“斗转星移图”坐标为， 又向上平移个单位得， ∴，且 解得； （3）解：∵， 又∵点，点，点， ∴线段关于点的“斗转星移图”的横坐标为：，的横坐标为 ∴，，在上， ∵，点，点，， ∴线段关于点的“斗转星移图”， ∵与有交点， ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了平移与轴对称变换，坐标与图象，解不等式组，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 85．如图，在中，是的中点，是边上一动点，连接，过点作交边于点（点与点、不重合），延长到点，使，连接、，已知，，． (1)求证：； (2)设，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的长度是或 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，由D是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，推出，于是得到结论； （2）连接，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，于是得到方程，即可得到结论； （3）①当时，，求得y的值，再代入中，即可得到；②当时，连接，过点，垂足为点H，可得，根据勾股定理得方程，求得，代入中，即可求得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴自变量x的取值范围：； （3）解：∵D为的中点， ∴， ①当时，， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，连接，过点D作，垂足为点H，如图所示： ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得：， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴ ∴ ，即， 综上所述，的长度是或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 86．平面直角坐标系中，过点作平行于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于x轴对称得到点，再将点关于直线l对称得到点，若在x轴和直线l之间（可以在x轴或者直线l上），我们就称点P为近l对称点． (1)①在点，和中，近2对称点是________． ②该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，若该线段上存在近2对称点，直接写出该线段中点纵坐标m的取值范围是________； (2)若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，求t的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)或 【分析】（1）根据定义，分别求得三个点，先将其关于y轴对称，再关于直线对称得到点的坐标，看是否在与x轴之间，即可求解； （2）根据定义，先将关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，点在直线与x轴之间，列出不等式组，解不等式组。再将关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，点在直线与x轴之间，列出不等式组，解不等式组。综合起来即可得到m的取值范围。 （3）根据题意，底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，则长为4的线段在直线和与之间，或长为的线段在直线和与之间据此列出不等式即可求解． 【详解】（1）①过点作直线， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， 点不在直线和x轴之间， ∴不是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线上， ∴点是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， 点在直线和x轴之间， ∴是近2对称点； 故答案为：， ②根据题意，该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，且该线段上存在近2对称点， ∴点或是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线和x轴之间， ∴， ∴， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线和x轴之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是或； 故答案为：或； （2）解：底边为4的等腰直角三角形腰长为， 设底边为4的等腰直角三角形，底边上的中点纵坐标为n， ∵底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点， ∴①当底边平行于y轴时，长为4的线段上每一点既是近t对称点又是近对称点，所以长为4的线段夹在直线和之间， ∴， 解得或． ②当一条腰平行于y轴时，长为2的线段上的每一点既是近t对称点又是近对称点， 同理可得，长为的线段夹在直线和之间， ∴， 解得或． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，不等式的应用，轴对称的性质，中点坐标公式，理解新定义是解题的关键． 87．已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和． (1)若．请回答以下两个问题： ①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号） ①    ②3    ③5 ②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______． (2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______． 【答案】(1)①：②③；②：2、3、4； (2) 【分析】（1）①由题意可知，线段的中点在数轴上对应的数为，再结合“关联图”的定义求解即可；②根据“关联图”的定义，得到，再由绝对值的意义，得到，最后确定的取值范围，再写出满足条件的所有整数解即可； （2）线段的中点在数轴上对应的数为，由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、，分三种情况讨论：①当时，点在点的左侧；②当时，点在线段上，③当时，点在点的右侧，结合“关联图”的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：、在数轴上对应的数分别为、， 线段的中点在数轴上对应的数为， 线段是线段的“关联图”， 线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等， 在数轴上对应的数为0， 点在数轴上对应的数， ②③满足条件； ②设点、对应的数分别为、， 线段为线段的“关联图”， 线段上存在不同的两点到线段中点的距离相等， ，， ， ， 到点的距离与到点的距离之和为5， ， ， 满足的所有整数的值为2、3、4； （2）解：、在数轴上对应的数分别为、， 线段的中点在数轴上对应的数为， 由题意可知，移动后数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、， 若点和点重合，则，解得； 若点和点重合，则，解得：； ①当时，点在点的左侧， 此时， 解得：， ； ②当时，点在线段上， 此时或， 解得：或， 或； ③当时，点在点的右侧， 此时， 解得：， ， 综上可知，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解“关联图”的定义是解题关键． 试卷第90页，共94页 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.6一元一次不等式组 题型一、解一元一次不等式组 1．将不等式组的解集表示在数轴上，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将不等式的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的最小整数解为 ． 4．解不等式组，并把解集表示在数轴上． (1) (2) 5．解不等式组：． 6．解不等式组： 7．解不等式组： 8．解下列不等式组：． 9．解不等式组：． 10．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 11．求满足不等式组的所有整数解之和． 题型二、含有参数的一元一次不等式组 12．若关于x的不等式组的解集为，则a的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 13．已知不等式组的解集为，则为（   ） A．1 B． C．2 D．0 14．若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 18．关于x的不等式组的解集为，则求符合条件的a的取值范围． 19．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 20．若不等式组的解集是，则 ． 21．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 22．已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 23．综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 题型三、方程组与不等式组的综合问题 24．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 26．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 27．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 28．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 29．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 30．已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 31．已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 32．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 33．关于，的方程组的解满足为负数，为正数．化简． 34．已知方程组的解满足， (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，若m为整数，则____，不等式的解集为． 35．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 36．（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 题型四、不等式组的应用-方案问题 37．茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元． (1)求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？ (2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 38．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 39．某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵10元，购买2件款文化衫和3件款文化衫共需要220元． (1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元； (2)已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请问共有多少种购买方案？ 40．某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件． (1)求A、B型号衣服进价各是多少元？ (2)若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？ 41．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 42．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． (1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？ 43．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元． (1)求A，B两种型号电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 题型五、不等式组的应用-分配问题 44．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 45．春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 46．某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 47．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 48．某市避遇严重水灾，有关部门紧急部署，组织了一批救灾帐篷和食品准备送往灾区．已知帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件． (1)求帐篷和食品各多少件？ (2)现计划用两种货车共16辆，一次性将物资送往灾区，已知A种货车可装帐篷40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，共有哪几种运输方案？ (3)在（2）的条件下，A种货车每辆运费800元，B种货车每辆运费720元，怎样安排调运方案才能使总运费最少？最少运费是多少？ 49．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学九年级名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有，两种型号的客车可供租用，型客车每辆租金元，型客车每辆租金元．” 小强：“七年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 小国：“八年级人，租用辆型客车和辆型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆型客车和型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用，两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 50．近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 51．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 52．根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 题型六、不等式组的应用-营销问题 53．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 54．宜良烤鸭，是云南省经典的地方传统名肴．起源于明朝，已有600多年的历史，它肥瘦相宜，皮酥脆，内香嫩，光亮油润，色泽红艳，清香离骨，地方风味显著．已知3袋鸭翅比2袋烤鸭贵50元，1袋鸭翅和2袋烤鸭刚好110元（1袋鸭翅为1kg，1袋烤鸭为一整只装）． (1)1袋鸭翅、1袋烤鸭分别是多少元？ (2)仪仪一家计划购买烤鸭和鸭翅共10袋，带回家与亲友共享，其中烤鸭至少比鸭翅多1袋，又不能超过鸭翅的4倍，仪仪想用自己剩余的380元零花钱来买单，请你帮仪仪计算一下她的零花钱够不够付账． 55．为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，如表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 (1)求甲、乙两种型号水杯的售价； (2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下，该超市如何购进甲、乙两种型号水杯才能使第三个月的利润最大，并求出第三月的最大利润． 56．为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球数量，且总费用不超过2900元．设购买A品牌足球的数量为x，列出关于x的不等式组并求出x的取值范围． 57．元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品． 品名 批发价：元/件 零售价：元/件 A礼品 15 25 B礼品 12 20 (1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润； (3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m的值． 58．宣城市郎溪县是我国绿茶之乡，县内有八万亩茶园．为拓宽销售渠道，进一步向外扩大郎溪县茶叶市场，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的茶叶包装成茶叶礼盒后再出售．已知每件A品种茶叶礼盒比B品种茶叶礼盒的售价少20元，且出售2件A品种茶叶礼盒和1件B品种茶叶礼盒的总价共500元． (1)求A、B两种茶叶礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知A、B两种茶叶礼盒每件的成本分别为100元、110元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种茶叶礼盒共100盒，且A品种茶叶礼盒售出的数量不超过B品种茶叶礼盒数量的1.5倍，总成本不超过10500元，一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种茶叶礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 59．一水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与 零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格(元/ ) 零售价格(元/ ) 请解答下列问题： (1)第一天，该经营户用元批发了车厘子和苹果共  ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ (2)第二天，该经营户依然用元批发了车厘子和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且车厘子的进货量不低于，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发 这两种水果可能的方案有哪些？ 题型七、不等式组的应用-几何问题 60．如图，已知，，，分别以，两点为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，，直线分别交，于点，，则长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 61．如图，直线与坐标轴交于点和，直线与坐标轴交于点和，不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 62．在平面直角坐标系中，点和图形在第一象限内，过点作轴和轴的垂线、垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且．则称四边形是图形的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．如：如图，，，，，四边形是线段的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．若在直线上存在图中的覆盖的特征点，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 63．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定A，B两点以及一条线段．若线段的中点R在线段上（点R能与点P 或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称如图（a）所示为点A与点B关于线段P径向对称的示意图．如图（b）所示，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为，点M表示的数为2． 解答下列问题： 如在数轴上，点H，K，L表示的数分别是，，，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为秒，问当t在范围 时，线段上至少存在一点与点H关于线段径向对称． 64．三角形的三边长度数据如图所示，则的取值范围为 ． 65． 阅读理解： 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出如下知识： ①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ②平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为； ③将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“美对称点”．例如：点关于轴和直线的“美对称点”为点． 应用： (1)点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是 ； (2)点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是，求和的值； (3)若点关于轴和直线的“美对称点”在第二象限，且满足条件的的整数解有且只有一个，求的取值范围． 66．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移1个单位，与函数的图象交于点． (1)求k，n的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 67．关于，的二元一次方程，（，，是常数，且，）有无数组解，如果我们把每组解和的值都分别作为点的横坐标和纵坐标，并描在平面直角坐标系中，会得到一个图形，我们把这个图形叫做这个二元一次方程的图象． 例如：⋯、、、、、⋯都是方程的解，对应可以得到点⋯、、、、、⋯，把所有的解对应的点都描在坐标系内，得到了方程的图象． 回答下列问题： (1)和是二元一次方程图象上的两个点，求，的值； (2)若是（1）所求二元一次方程图象上的一个点，且满足，，，都是实数，求的最小值． 68．综合运用 定义：在平面直角坐标系中，点叫做直线的对应点，直线叫做点的对应直线．如图，已知点，，． (1)点的对应直线的表达式为__________； (2)设直线、的对应点分别为、，点在轴上，且，求点坐标． (3)点是线段上的一个动点，直线是点的对应直线，当直线与线段有公共点时，请直接写出点横坐标的取值范围． 69．【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 70．在一个三角形中如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为倍半角、这个三角形叫做倍半三角形．例如：在中，，，则与互为倍平角，为倍半三角形． (1)在中，，互为倍半角，，则________°； (2)若为倍半三角形，，求这个三角形中最小的内角度数； (3)已知是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，试确定的取值范围，并说明理由． 71．在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 题型八、一次函数背景下的不等式组应用 72．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为 ． 73．已知两条直线与的交点在第二象限，则的取值范围是 ． 74．已知一次函数． （1）当时，则 ； （2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ． 75．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为 ． 76．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式组的解集为 ．    77．已知一次函数，将该函数向下平移1个单位后，若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 78．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 79．关于函数，给出下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图象必经过点；③若图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中正确的说法是 ．（只填序号） 80．若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ． 81．有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有三张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数，老师把这张卡片发给、、、、、六名同学，每个同学得到两张颜色不同的卡片，然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和，六名同学交上来的答案如下表所示： 学生 答案 老师看完六名同学的答案后说：“只有一名同学的答案错了，但这个同学肯定不是．”那么： (1)同学______的答案是错误的，该同学应得到的正确结果是______； (2)四种颜色卡片上所写各数中最小的一个数是多少？ 82．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 83．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 84．对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形关于点的“斗转星移图”． (1)点关于点的“斗转星移图”为________； (2)若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值； (3)已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”有公共点，则的取值范围是________． 85．如图，在中，是的中点，是边上一动点，连接，过点作交边于点（点与点、不重合），延长到点，使，连接、，已知，，． (1)求证：； (2)设，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 86．平面直角坐标系中，过点作平行于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于x轴对称得到点，再将点关于直线l对称得到点，若在x轴和直线l之间（可以在x轴或者直线l上），我们就称点P为近l对称点． (1)①在点，和中，近2对称点是________． ②该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，若该线段上存在近2对称点，直接写出该线段中点纵坐标m的取值范围是________； (2)若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，求t的取值范围． 87．已知图形和线段，若图形上存在不同的两点和，使得点与点到线段中点的距离相等，则称图形为线段的“关联图”．已知：、、在数轴上对应的数分别为、0和． (1)若．请回答以下两个问题： ①记以下数在数轴上对应的点为，则满足线段是线段的“关联图”的有______．（填序号） ①    ②3    ③5 ②设点、对应的数分别为、，若线段为线段的“关联图”，则满足的所有整数的值为______． (2)已知数轴上三点、、在数轴上对应的数分别为、、18，现将、均以每秒4个单位长度沿数轴向右移动，将以每秒2个单位长度沿数轴向左移动，移动时间为秒．当时，线段上总存在点，使线段为线段的“关联图”，则的取值范围为______． 试卷第90页，共94页 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$