第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第十四章 整式的乘法与因式分解 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握相关知识是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的方法解题即可． 【详解】解： ， 的公因式是； 故选：B． 2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此即可求解． 【详解】解：A选项符合因式分解的定义，符合题意； B选项是整式的乘法运算，不符合题意； C选项等号右边不是几个整式的积的形式，不符合题意； D选项等号右边的因式里面包含分式，不符合题意； 故选：A． 3．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 4．若，，则的值为（    ） A．2024 B．6072 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，，得出，，即，整理得出，得出，将变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， 故选：D． 5．若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ） A．±6 B．±12 C．-13或11 D．13或-11 【答案】C 【分析】先找到平方项是与9，由此得到另一项的值，由此计算得到k的值即可. 【详解】∵能用完全平方公式因式分解， ∴平方项是与9， ∴=， ∴, ∴k= -13或11, 故选：C. 【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的计算方法及特点是解题的关键. 6．已知，，，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解. 【详解】∵，，， ∴， ， ， ∴ 故选D. 【点睛】本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入. 7．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出则的值． 【详解】， 即， 解得， ， 故选：B． 8．仔细观察,探索规律: 则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】仔细观察，探索规律可知：22019+22018+22017+…+2+1=（22020-1）÷（2-1），依此计算即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴ ， ∴22019+22018+22017+…+2+1 =（22020-1）÷（2-1） =22020-1， ∵2n的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505， ∵22020的个位数字是6， ∴22020-1的个位数字是5， ∴22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是5． 故答案选：C 【点睛】本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 9．观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　） A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0 【答案】D 【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得． 【详解】情况一：指数为0，底数不为0 即：a+2=0，2a－1≠0 解得：a=－2 情况二：底数为1，指数为任意值 即：2a－1=1 解得：a=1 情况三：底数为－1，指数为偶数 即：2a－1=－1，解得a=0 代入a+2=2，为偶数，成立 故答案为：D 【点睛】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注． 10．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） 1   1                  1   2   1              1   3   3   1          1   4   6   4   1      …                                         …                  请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 【答案】D 【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可 【详解】解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021， ∴第一项为：x2021， 第二项为： 故选：D 【点睛】本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键 二、填空题 11．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解—提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是先提取公因式，然后再根据平方差公式进一步分解即可．因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可． 【详解】， 这个单项式为； ， 这个单项式为． 故答案为：或． 14．若，则   . 【答案】8 【分析】先把可化为 ，再将化为，然后代入即可解答． 【详解】解：∵可化为，化为 ∴原式==32-1=8 【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用． 15．长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键． 对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，故， 即； 故答案为： 三、解答题 16．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 【分析】（1）根据求解即可得到答案； （2）根据求解即可得到答案； （3）根据多项式除以单项式的法则直接求解即可得到答案； （4）先计算乘法，再合并同类项直接求解即可得到答案； （5）先计算乘方，再计算乘除，最后算加减即可得到答案； （6）先计算乘方，再计算乘除，最后算加减即可得到答案； （7）根据求解即可得到答案； （8）根据求解即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握，及整式乘除法法则． 17．分解因式： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将原式变形后，提取公因式即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可； （4）直接用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法，提取公因式法；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．（1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘的性质，整体代入求解也比较关键．此题考查了多项式乘多项式． （1）根据同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算计算． （2）根据题意列出乘式，去括号合并后，根据结果中不含项和项，求出与的值． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：根据题意得：， 由多项式与的积不含项和项， 得到，解得， 所以． 19．阅读理解：规定两数，之间的一种运算，若，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则______． (2)若，，，请推理，，三个量的数量关系． 【答案】(1)①27，② (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用： （1）根据新运算，得到，进行求解即可； （2）根据新运算，，根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用进行判断即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：27 ②∵， ∴ 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值． (3)当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)4 (3)时，有最小值，最小值是 【分析】此题考查了完全平方公式的运用，平方差公式因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题． （1）按照题目中配方法进行因式分解即可； （2）按照题目配方法进行因式分解，求出的值，即可求解； （3）按照题目中配方法进行因式分解并取最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ； （3）解： ， ， 时，有最小值，最小值是． 21．阅读材料： 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； 类比应用： (1)因式分解：； (2)已知三角形的三边长分别是a，b，c且满足：，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，再利用完全平方公式和提公因式法分解得到，根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：这个三角形为等腰三角形，理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b，c是三角形的三边长 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴这个三角形为等腰三角形． 22．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 23．【探究】 若x满足，求的值． 设，则， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，则的值为　　； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】（1）5；（2）；②12 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设， 则， ； （2）①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是 8 ， ， 阴影部分面积， 设， 则，     ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是 12 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．把分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D．2 2．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．若，，则的值为（    ） A．2024 B．6072 C． D． 5．若能用完全平方公式因式分解，则的值为（    ） A．±6 B．±12 C．-13或11 D．13或-11 6．已知，，，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 8．仔细观察,探索规律: 则的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（　　） A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0 10．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序） 1   1                  1   2   1              1   3   3   1          1   4   6   4   1      …                                         …                  请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042 二、填空题 11．因式分解： ． 12．计算： ． 13．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ． 14．若，则   . 15．长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的方式放置，始终不变，则，应满足 ． 三、解答题 16．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 17．分解因式： (1)； (2)； (3) (4) 18．（1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 19．阅读理解：规定两数，之间的一种运算，若，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则______． (2)若，，，请推理，，三个量的数量关系． 20．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值． (3)当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 21．阅读材料： 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； 类比应用： (1)因式分解：； (2)已知三角形的三边长分别是a，b，c且满足：，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 22．【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 23．【探究】 若x满足，求的值． 设，则， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足，则的值为　　； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$