第二十四章 圆（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第二十四章 圆 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧； B．相等的圆周角所对的弧相等； C．三角形的内心到三角形三边的距离相等； D．垂直于半径的直线是圆的切线． 2．如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的方格纸上有，，，，五个点，现有如下操作：以点为圆心，3为半径作出；再以点为圆心，1为半径作出．则下列判断中正确的是（    ） A．点在上 B．直线与相切 C．与相离 D．过点只能作一条直线与相切 5．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 6．如图，四边形内接于，若，的半径为4，则的长为（　　）    A． B． C．π D． 7．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 9．如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 10．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 12．.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ． 13．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 14．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 15．如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 三、解答题 16．如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 17．如图，，若，求的半径．    18．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 19．如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，四边形内接于圆，，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形外接圆的半径． 21．在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 22．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)①求证：； ②若，，的半径为_______． (2)如图2，连接，尺规作图：在弧上求作点M，使线段平分扇形（保留作图痕迹，不写作法）． 23．【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离） (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧； B．相等的圆周角所对的弧相等； C．三角形的内心到三角形三边的距离相等； D．垂直于半径的直线是圆的切线． 【答案】C 【分析】分别根据三角形的内心，圆的切线的定义，等弧的概念，圆周角定理去判断即可． 【详解】解：A、能够重合的弧是等弧，故本选项不符合题意； B、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意； C、三角形的内心到三角形三边的距离相等，正确，符合题意； D、过半径的外端且与半径垂直的直线叫做圆的切线，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆的切线的定义，等弧的概念，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆的内接四边形的性质得到，由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得到． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 由题意得 ∵， ∴， 故选：C． 3．为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图所示的方格纸上有，，，，五个点，现有如下操作：以点为圆心，3为半径作出；再以点为圆心，1为半径作出．则下列判断中正确的是（    ） A．点在上 B．直线与相切 C．与相离 D．过点只能作一条直线与相切 【答案】C 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，切线的判定，点与圆的位置关系．由直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，切线的判定，点与圆的位置关系的判定，即可判断． 【详解】解：A、，即到圆心的距离大于圆的半径长，因此点在外，故A不符合题意； B、作，，即到直线的距离小于半径长，因此直线与相交，故B不符合题意； C、，即两圆的圆心距大于两圆的半径的和，因此与相离，正确，故C符合题意； D、过点能作两条直线与相切，故D不符合题意． 故选：C． 5．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，过点O作，交于点E，交于点F，，利用垂径定理，得到，再利用勾股定理，，，即可求出平底烧瓶的高度． 【详解】如图，连接，过点O作，交于点E，交于点F， ∵， ∴， 且易知平分， ∵， ∴， 在和中，， 由勾股定理得，， ∴该烧瓶的高度为． 故选：D 6．如图，四边形内接于，若，的半径为4，则的长为（　　）    A． B． C．π D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，得到成为解题的关键． 如图：连接．根据圆的内接四边形的性质可得，再运用三角形内角和定理结合已知条件可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】解：如图：连接．    ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设围成的圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设围成的圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即围成的圆锥的底面圆的半径为． 故选：B． 8．如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：连接，如图， 弦，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， ； ，， ， 是直径， ， 是的中位线， ， 在中，． 故选：D 9．如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 二、填空题 11．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】设过B，C，D的弧的圆心为O，连接，由勾股定理求出，，的值，进而由勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形， 再由圆周角定理得，，为半圆的直径，则，然后由等腰直角三角形的性质得，，根据即可求解． 【详解】如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接， 由勾股定理得，，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ，为半圆的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、与圆有关的计算，熟练掌握勾股定理和圆周角定理是解题的关键． 12．.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图 1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图 2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ． 【答案】 【分析】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算．根据题意作于，交于点，再利用勾股定理得出，即可解答． 【详解】解：作于，交于点， 在中，， ， ， 筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为， 故答案为：3． 13．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，折叠的性质，作点关于的对称点，连接，交于点，得到垂直平分，根据点与圆心重合，得到，，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分， ∴， ∵点与圆心重合，为直径， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴， ∴；即半径等于； 故答案为：． 14．如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为： 15．如图，为正方形内一点，，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，又有、、三点共圆，圆心为的中点，当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，利用正方形性质和勾股定理得到，进而推出，即可解题． 【详解】解：，分别是，的中点， 连接， ， ， 、、三点共圆，圆心为的中点， 当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 连接，交于点， 四边形为正方形，， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，勾股定理，三点共圆，三角形中位线定理，解题的关键在于找到最小值情况． 三、解答题 16．如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上 (1)请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写圆心的坐标：______． (2)尺规作图：画出，并作它的一个内接三角形，要求该三角形为等边三角形． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】（1）分别作、的垂直平分线相交于点，则点即为所求； （2）利用半径把圆等分即可作出等边三角形． 【详解】（1）如图所示，点即为所求，， 故答案为：； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图，坐标与图形的性质，垂径定理，三角形外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 17．如图，，若，求的半径．    【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，过点分别作于点于点，由矩形的判定及性质得到，再根据垂径定理，得为的中点，为的中点，连接，在中，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：过点分别作于点于点，连接，如图所示：     由垂径定理，得为的中点，为的中点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ∴在中，由勾股定理可得． 18．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 19．如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，圆周角与弦之间的关系等等： （1）连接，由切线的性质可知，从而可证明，接下来由平行线的性质、等腰三角形的性质可证明，进而证明； （2）在中依据勾股定理可求得的长，从而得到的长，接下来证明，依据相似三角形的性质可求得的长． 【详解】（1）证明：如图所示，连接． ∵切于点D， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． ∵为的直径，， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴ ∴， ∴． ∴，即． ∴． 20．如图，四边形内接于圆，，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形外接圆的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，等腰三角形判定及性质，圆内接四边形性质． （1）利用圆周角定理，可得，再得到，即可得到本题答案； （2）根据圆内接四边形性质可得，继而得到，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ∵， ， ； （2）解：四边形内接于圆， ， 又， ， 为四边形外接圆的半径， ， ， 四边形外接圆的半径为． 21．在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，同圆的半径相等和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，过点作于点，设，则，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 即， ． 是的半径， 是的切线； （2）连接，过点作于点，如图， 为的直径， ，． ． ，， ， ， ，． ，， ， ， ， ，． 设，则， ， ． 解得：． ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 22．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)①求证：； ②若，，的半径为_______． (2)如图2，连接，尺规作图：在弧上求作点M，使线段平分扇形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)①见解析；②2 (2)见解析 【分析】（1）①连接，由切线的性质结合圆周角的性质得到，进而得到，推出，即可证明结论；②利用勾股定理即可求解． （2）以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交弧于点，射线为的角平分线，则线段平分扇形． 【详解】（1）证明：①证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 是的切线，是的半径， ， ， ， ， ， ， ． ②， ， ， 解得， 即的半径为2， 故答案为：2． （2）如图，线段为所求作． 说明：以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交弧于点，则线段平分扇形． 【点睛】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，圆周角定理以及勾股定理，尺规作图作角平分线，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 23．【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材 1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 在旅游旺季，拟在图1所示的桥拱上悬挂“鲤鱼跃龙门”五个大字的牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾宽，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于，牌匾上的每个字占地为长度和宽度都是的正方形，为了美观，相邻两个字的水平间距均为（第一个文字和最后一个文字与牌匾两端也分别有一个的间距）． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？若能成功，请说明理由；若不能成功，请你设计可行性的方案；（可以考虑改变字体的大小和字与字的间距从而改变牌匾的宽度或者改变牌匾底部与水面的安全距离） (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，悬挂方案仍需满足素材 2 的牌匾悬挂条件，请你通过计算判断方案是否可行，若不可行，请你重新设计可行性的方案．（参考数据： 【答案】(1)（答案不唯一） (2)牌匾悬挂不能成功，见解析 (3)原方案可行 【分析】（1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得出结论； （2）根据题意， 危险高度，安全最低高度为，计算出安全宽度，与方案宽度比较，计算判断即可． （3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ，设圆的半径为，则，，利用垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，与拱形桥顶端交于点O，以点O为原点，建立如图所示的坐标系， 由题意可知该抛物线顶点坐标为，， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：根据题意， 危险高度，安全最低高度为， ∵， 当时，， 解得， ∴匾额的最大长度为， 根据题意，方案的设计长度为， 由， 故牌匾悬挂不能成功． 若相邻两个字的水平间距均为，则匾额的长度为， 即把字间距由改为即可实现悬挂目标． （3）解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得， ∵， 设圆的半径为，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点， 连接，则，， ∴， ∴， 根据题意，方案的设计宽度为， 由， 故牌匾悬挂能成功． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$