精品解析：辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期10月月考（二模）数学试题

2024—2025学年高三（25届）二模数学科试卷 命题人：孙方辉 校对人：王立冉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像 A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 3. 在中，点、在边上，，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，若在有唯一的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数的最小正周期为，当时，函数取最小值，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，，，，则（ ） A. 方向的单位向量为 B. 若，则点的坐标为 C. D. 在上的投影的数量为 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 区间有两个极值点 C. D. 直线是曲线的切线 11. 中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（ ） A. B. ，，不能构成三角形 C. 若，则锐角三角形 D. 若，，均为有理数，则为有理数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，满足，则的最小值为______. 13. 函数的值域是，则实数的取值范围是______. 14. 如图，圆内接四边形中，为直径，，.则的长度为______；______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16 已知函数. （1）若为偶函数，求的最小值； （2）当时，判断的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于的不等式的解集. 17. 在中，为的中点，，记，. （1）证明：或； （2）若，且，求的最大值. 18. 如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为. （1）求和的值； （2）已知，，，求的值. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若在上单调递增，求正实数的取值范围； （3）时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三（25届）二模数学科试卷 命题人：孙方辉 校对人：王立冉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据模长公式求解. 【详解】由得， 故，故， 故选：C 2. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像 A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：记函数，则函数∵函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象∴把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B. 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 3. 在中，点、在边上，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】 由，可得， 则， 又，，所以. 故选：A 4. 设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数可得，即可代入求解. 【详解】，若是偶函数，则，故, 进而可得， 故，, ，故， 故选：D 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性求解不等式. 【详解】当时，单调递增，当时，单调递增，且在分界点处， 所以函数在定义域上单调递增， 所以，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 6. 已知函数，若在有唯一的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先判断是偶函数，根据偶函数的对称性即可求解. 【详解】由于， 所以是偶函数， 要使在有唯一的零点，则， 即，解得， 故选：A 7. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故选：C 8. 已知函数的最小正周期为，当时，函数取最小值，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再借助正弦函数的单调性判断即得. 【详解】由函数的最小正周期为，得， 而，则函数在取得最小值， 于是，即， 因此函数（）， 而，， ，又， 正弦函数在上单调递减，即， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，，，，则（ ） A. 方向的单位向量为 B. 若，则点的坐标为 C. D. 在上的投影的数量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示，结合数量积的公式，即可求解，判断选项. 【详解】对于A.,，所以方向的单位向量为，故A错误； 对于B.设，由，则， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C.，，， 所以，故C正确； 对于D.向量在方向上的投影数量，故D错误. 故选：BC. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最大值为2 B. 在区间有两个极值点 C. D. 直线是曲线的切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数解析式，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC，利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题意得 选项A：函数的最大值为，错误； 选项B：当时，，由正弦函数图象可得有2个极值点， 由和解得和为函数的极值点，正确； 选项C， 正确， 选项D， 由得， 所以或，，解得或，， 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为即，正确； 故选：BCD 11. 中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的是（ ） A. B. ，，不能构成三角形 C. 若，则锐角三角形 D. 若，，均为有理数，则为有理数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，平方即可求解A，利用即可判断B，利用余弦定理以及不等式的性质即可求解C，利用余弦定理，结合图形关系即可求解D. 【详解】对于A,由于，平方可得，相加化简可得，故A正确， 对于B，取，则，，能构成三角形，B错误， 对于C，由可知，故为最大的内角，则， 故为锐角，进而可得为锐角三角形，C正确， 对于D，若，，均为有理数，则均为有理数， 则为有理数，不妨设，延长到，使得， 过作，故， 由于， 故为有理数，所以均为有理数， 因此为有理数， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用三角形图形关系，作出，在中由余弦定理即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用数量积模的公式，转化为二次函数求最值. 【详解】 ，当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 函数的值域是，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】该函数的值域为,，从而函数和轴存在公共点，从而判别式，解该不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】根据题意知，函数可以取到0； 函数和轴有交点； ； 解得，或； 实数的取值范围为：． 故答案为：． 14. 如图，圆内接四边形中，为直径，，.则的长度为______；______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据圆的性质，得到，再根据余弦定理，即可求解，直角三角形中分别求解和，转化向量，再根据向量数量积的定义求解. 【详解】因为是直径，，，所以， ，所以，， ， 所以； 在中，，中，， ， ， ， . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【小问1详解】 设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴， ∴ ； 【小问2详解】 由已知， 时，； 时，； 综上. 16. 已知函数. （1）若为偶函数，求的最小值； （2）当时，判断的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于的不等式的解集. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据为偶函数，由恒成立求得，然后利用基本不等式求函数的最小值； （2）易知时，在R上为单调递增函数，然后指数和对数运算，得到，然后将问题转化为，利用函数的单调性求解. 【详解】（1）的定义域为R，， ∵为偶函数， ∴恒成立， ∴恒成立， 整理得恒成立， ∴ ∴，当且仅当即时等号成立． ∴最小值为2. （2）时，在R上为单调递增函数， ∵， ， 则， ∴， 即， 解得， ∴解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用指数和对数运算化简. 17. 在中，为的中点，，记，. （1）证明：或； （2）若，且，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在与中分别用正弦定理即可得到，再结合正弦的二倍角公式，即可证明； （2）分别讨论与，结合列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， 在中，则； 在中，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或，即或. 【小问2详解】 时， ∵， ∴， ∴， 由已知，矛盾； 时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为. 18. 如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为. （1）求和的值； （2）已知，，，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，即可根据周期关系得，结合中心对称即可求解， （2）根据同角关系可得，进而根据和差角公式即可求解. 小问1详解】 由已知，∵，∴，∴， 由已知，，∴，， 由图象可知，∵，∴，∴ 【小问2详解】 由（1）知， ∵，∴，∵，∴； ∵，∴， ∴，即 ∵，∴，∴， ∴. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若在上单调递增，求正实数的取值范围； （3）时，证明：. 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定单调性， （2）根据单调性将问题转化为恒成立，构造，求导，根据基本不等式，结合分类讨论即可求解， （3）根据得，两式相加，即可化简求解. 【小问1详解】 由已知，∴， 记，则，且等号不同时成立， ∴在上单调递增，又， ∴当时，；当时，， ∴的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 若在上单调递增，则恒成立， 设，则， 当时，∵，∴； ∵，∴，∴， ∴当时，，∴在上单调递增，，符合题意； 当时，，令， 当时，， ∴在上单调递增，由得， ∴，又， ∴在上存在唯一解，记为 ∴当时，，即，∴在上单调递减， ∴，即，矛盾， 综上，； 【小问3详解】 ，时，， ∴， 故， ∴， 即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤： (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $