高二上学期期中测试（范围：直线与圆+圆锥曲线）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（北师大版2019选择性必修第一册）

2024－2025学年度高二上学期 期中测试 北师大版2019 数 学 范围：选修第一册 （直线与圆、圆锥曲线） 注意事项： 1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，请监考人员将答题卡收回． 2．选择题部分用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得答案. 【详解】解：因为直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则有，解得， 所以其倾斜角为． 故选：A． 2.以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 3.已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 4.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】运用离心率公式结合渐近线方程可解. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为. 故选：D 5.已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 6.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】作出图形，由圆心作直线的垂线段，则以为直径的圆即为所求圆，另作一圆进行说明理由，再根据图形特征求出圆的圆心和半径即得方程. 【详解】    如图，过圆的圆心作直线的垂线，垂足为， 则以为直径的圆(设其半径为)即为所求圆.理由如下： 另作一个圆，与圆相切，与直线切于点，设其半径为， 由图知，即，即，即圆是符合要求的最小圆. 由点到直线的距离为，则， 设点，由可得，，即①， 由点到直线的距离等于可得②， 联立①②可解得，或，由图知仅符合题意， 即得，故所求圆的方程为. 故选：C. 7.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设过点的直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可. 【详解】 由抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 8.已知点，且点在直线上，则下列命题中错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．的最大值为3 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值、轨迹问题——圆 【分析】判断以为直径的圆与直线线的位置关系即可判断A是否正确；求出满足的点的轨迹方程，在判断与直线关系是否有公共点即可；求出点关于直线的对称点为，利用三角形不等式可求出的最小值；利用三角形不等式即可判断. 【详解】对于A：构造以为直径的圆，其方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 所以在直线不存在点，使得，故A错误; 对于B：设，由可得， ， 化简得，即， 所以圆心为，半径为， 可判断圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交 所以存在点，使得，故B正确； 对于C项：设关于直线的对称点为， 由可解得，即， 则， 所以，故C正确； 对于D项：当点与不共线时 当点与共线时， 此时点，故D正确. 故选:A. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知，，，则（    ） A．直线与线段有公共点 B．直线的倾斜角大于 C．的边上的高所在直线的方程为 D．的边上的中垂线所在直线的方程为 【答案】BC 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】判断在直线的同一侧，判断A的真假；求直线的斜率，根据直线的倾斜角和斜率的关系判断B的真假；根据两直线垂直，斜率之积等于，求出高的斜率，利用点斜式可求边上的高所在的直线方程，判断C的真假；同理可得线段的中垂线的方程，判断D的真假. 【详解】对A：因为，，所以点在直线的同一侧，所以直线与线段无公共点，故A错误； 对B：因为直线的斜率为：，所以直线的倾斜角大于，故B正确； 对C：因为，所以边的高所在直线的斜率为，又直线过点， 由直线的点斜式方程可得的边上的高所在直线的方程为，即，故C正确； 对D：因为线段的中点坐标为，所以线段的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误； 故选：BC 10.已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 【答案】ABD 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】由题意得出的值，得到椭圆方程，由此判断出ABC选项，D选项需要对线段转化为，变成求最大值，从而得出结果. 【详解】由题意可知：，解得， ∴，A选项正确； ∴ ∴椭圆：，B选项正确； ∵，∴，C选项错误； ， 当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确； 故选：ABD 11.已知曲线C：，下列结论中正确的有（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 【答案】ACD 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线 【分析】根据不同的条件结合椭圆、圆、双曲线的标准方程和直线方程进行判断各个选项； 【详解】对于A，若，则可化为，∴，∴，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为，此时曲线C表示双曲线，由可得，故C正确； 对于D，若，，则可化为，，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、切线长 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【详解】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 13.已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 14.中国灯笼又称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．每年的农历正月十五元霄节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼，来营造一种喜庆的氛围．如图，是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼的高为20cm，在距离最大横截面6cm处的横截面的面积为，则该灯笼的轴截面的离心率为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设该椭圆的方程为，根据条件得点在椭圆上，解得，再求离心率即可. 【详解】由该灯笼的轴截面为椭圆和高为20cm，可设该椭圆的方程为， 记在距离最大横截面6cm处的横截面的半径为，则，解得， 所以点在椭圆上，即，解得， 所以该灯笼的轴截面的离心率为． 故答案为： 4、 解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分）（1）求过点,且与直线垂直的直线方程； （2）已知直线，. 若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】已知直线平行求参数、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）利用两直线垂直斜率之积为求出斜率，结合点坐标写出直线的点斜式方程，化为一般式； （2）利用两直线平行求参数值，代入验证排除重合情况. 【详解】（1）∵， ∴，直线斜率为， ∴所求直线斜率为， ∵直线过点, ∴直线方程为，整理得. （2）∵， ∴， ∴或. 当时，，，两直线重合，不合题意； 当时，，，满足要求. 综上得，. 16.（15分）已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，且的面积为15，求的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或. 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）点代入解方程组即可得出结果； （2）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值； （3）分直线l的斜率不存在及存在两种情况，结合的面积为15，可得答案． 【详解】（1）∵和为圆上两点. ∴，解得：. ∴圆的方程为： （2）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为5，即，解得， 所以切线l的方程为，即． 综上，切线l的方程为或． （3）由（1）可知，圆C的方程为，， 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为，易知此时，点到直线的距离为3，则，与已知矛盾； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，设，联立， ， 则， 由弦长公式可得， 点到直线l的距离为，则. 解得或，则直线的方程为或. 17.（15分）如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米. (1)求最小直径圆面的面积； (2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）. 【答案】(1)平方米 (2)米 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线的其他应用 【分析】（1）由题设，则有在双曲线上，代入得解双曲线方程，得到最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面得解； （2）求得一条渐近线方程为 ，由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行，所以四边形是平行四边形，求得得解. 【详解】（1） 由题设，则有在双曲线上， 所以，解得， 因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面， 此时圆面的面积为（平方米）； （2）由（1）可知的一条渐近线方程为， 如图由题意知上下轴截面平行且直母线与渐近线其中一条平行， 所以四边形是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为， ， 由，解得，则， 由，解得，则， 所以（米）. 18.（17分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 【答案】(1)，为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆的顶点坐标、椭圆中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据斜率的计算公式利用直接法即可得结果； （3）根据椭圆（类似）的性质作答即可； （3）直线的斜率为，通过联立方程组求出的坐标，通过斜率计算公式可得的斜率为，进而可得结果. 【详解】（1）依题意可得， 化简得， ∴为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）曲线的上下顶点为，曲线上点到中心的距离的取值范围为等； （3）设直线的斜率为，则其方程为． 由，解得． 记，则，，． 于是直线的斜率为，方程为． 由得①， 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为，∴，即是直角三角形． 19.（17分）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 【答案】(1)答案见解析(2)(3) 【知识点】求点到直线的距离、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】（1）选①：因点在抛物线的内部，由抛物线的定义，点P到点F与它到点B的距离之和的最小值就是点B到准线l的距离，即可求出；选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离，由两点距离公式即可求出； （2）点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值，即为，由两点距离公式即可求出； （3）点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值，即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式即可求得. 【详解】（1）因为抛物线的焦点F的坐标,准线l的方程为, 选①：因点在抛物线的内部， 根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离, 所以最小值就是点B到准线l的距离， 故最小值是； 选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离， 故最小值是. （2） 因为点在准线l上， 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值， 则最小值为. （3） 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值， 即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式得 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度高二上学期 期中测试 北师大版2019 数 学 范围：选修第一册 （直线与圆、圆锥曲线） 注意事项： 1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，请监考人员将答题卡收回． 2．选择题部分用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2.以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 3.已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 4.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5.已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 7.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 8.已知点，且点在直线上，则下列命题中错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．的最大值为3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知，，，则（    ） A．直线与线段有公共点 B．直线的倾斜角大于 C．的边上的高所在直线的方程为 D．的边上的中垂线所在直线的方程为 10.已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 11.已知曲线C：，下列结论中正确的有（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若从点引圆的切线，则切线长是 ． 13.已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 14.中国灯笼又称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．每年的农历正月十五元霄节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼，来营造一种喜庆的氛围．如图，是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼的高为20cm，在距离最大横截面6cm处的横截面的面积为，则该灯笼的轴截面的离心率为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（13分）（1）求过点,且与直线垂直的直线方程； （2）已知直线，. 若，求的值. 16.（15分）已知和为圆上两点. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，求切线的方程； (3)若过的直线交于另一点，且的面积为15，求的方程. 17.（15分）如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米. (1)求最小直径圆面的面积； (2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）. 18.（17分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 19.（17分）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$