精品解析：广东省佛山市金桂实验高级中学2024-2025学年高一上学期第一次统测数学试题

金桂实验高级中学2024-2025学年度第一学年高一数学科 第一次统测试题 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合集合，则 A. B. C. D. 2. 已知集合，下列式子错误是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A B. C. D. 4. 下图中可表示函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 图象是一条直线 B. 的图象是五个孤立点 C. 的值域是 D. 的最大值是 10. 下列推导过程，正确的为（ ） A. 因为a，b为正实数，所以 B. 因为，所以 C. 取得最大值时值为 D. 已知则 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的定义域为 C. D. 存在是无理数， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题，则________ 13. 已知，则的取值范围是______ 14. 函数的值域为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式 （1） （2） （3） 16. 已知函数 （1）求； （2）若，求的值． 17. 设全集，集合，集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. （1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最小值． 19. 学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示），问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金桂实验高级中学2024-2025学年度第一学年高一数学科 第一次统测试题 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 设集合集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得.故选B. 【考点定位】补集的概念 2. 已知集合，下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，即可依次判断. 对A：利用元素与集合关系判断； 对B：“”表示元素与集合之间的关系； 对C：是任何集合的子集； 对D：判断与是否为包含关系. 【详解】， . 与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故B错误. 故选：B 3. 下列各组函数中，表示同一个函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同一个函数条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 4. 下图中可表示函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解． 【详解】由，解得且． 函数的定义域为． 故选：C． 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义判定即可. 【详解】因为，即充分性成立， 当，可知，此时不成立，即必要性不成立， 故“”是“”的是充分不必要条件. 故选：B 7. 设，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 8. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对参数分类讨论，结合三个二次的关系可得结果. 【详解】函数的定义域为等价于恒成立， 当时，显然不恒成立； 当时，由，得， 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象是一条直线 B. 的图象是五个孤立点 C. 的值域是 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的解析式，以及定义域，说明函数的图象形状，以及值域，即可判断选项. 【详解】因为的定义域是只能取五个整数，所以它的图象是散点图，故A错B对． 将的值代入，得函数值为2，4，6，8，10，所以C对，D对. 故选：BCD 10. 下列推导过程，正确的为（ ） A. 因为a，b为正实数，所以 B. 因为，所以 C. 取得最大值时的值为 D. 已知则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式可确定选项正确，利用二次函数的最值可确定正确，根据不等式的性质可确定错. 【详解】对A，因为a，b为正实数，所以均大于零，，故A正确； 对B，，故，故B错误； 对C，，当时函数取得最大值，故C正确； 对D，结合基本不等式推导过程判断完全正确，故D正确． 故选：ACD. 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的定义域为 C. D. 存在是无理数， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数解析式即可得值域、定义域，即可判断AB；可知，代入运算即可判断C；举反例判断D即可. 【详解】因为函数， 所以定义域为，值城为，故A错误；B正确； 因为，所以，故C正确； 例如取，则，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】，则. 故答案为： 13. 已知，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合不等式性质列式求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，可得，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解. 详解】由函数， 根据二次函数的性质，当时，得到；当时，得到， 所以函数在的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由一元一次不等式的求解方法进行求解； （2）由一元二次不等式的求解方法进行求解； （3）由分式不等式的求解方法进行求解. 【小问1详解】 由，得 则，得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由得，得， 由二次函数的图象可知，不等式的解集是或. 于是不等式的解集为或. 【小问3详解】 不等式等价于，即， 由得， 由函数的图象可知，不等式的解集是. 于是不等式的解集为. 16. 已知函数 （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】（1）由内向外代入求值即可； （2）通过，，分类讨论即可. 【小问1详解】 所以， 因此， 【小问2详解】 当时，由，可得，舍去； 当时，由，可得； 当时，由，可得（舍）或． 综上所述，或． 17. 设全集，集合，集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， . 【小问2详解】 因为，所以， 又 ，， 即 ， 解得， 故实数的取值范围为. 18. （1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用配凑法求最小值；（2）利用“1”的替换求解. 【详解】（1）因为，则 所以 当且仅当，时，解得 ， 即时取等号，所以 的最小值为0. （2）由， 得， ，，， ， 当且仅当，解得时取等号， 所以的最小值为. 19. 学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示），问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值. 【答案】长28 m，宽为m时，占地面积最小为648 m2 【解析】 【分析】先设游泳池的长为xm,则游泳池的宽为,又设占地面积为,依题意,写出函数y的解析式,再利用基本不等式求出此函数的最小值即得游泳池的长和宽分别为多少米时,占地面积最小. 【详解】设游泳池的长为xm,则游泳池的宽为, 又设占地面积为, 依题意,得, 当且仅当,即时,取“=”. 答:游泳池的长为,宽为时,占地面积最小为 【点睛】本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、基本不等式的知识解决实际问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$