第5章 一次函数知识归纳与题型训练（7类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第5章 《一次函数》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、常量与变量 常量：在一个过程中，固定不变的量称为常量； 变量：在一个过程中，可以取不同数值的量称为变量； 要点诠释： （1）常见的常量类型： ①常量是表达式中的数字部分（包含前面的正负号、π也是数字）； ②说明了是常数的字母； （2）常量与变量的关系： ①在一关系式中，常量和变量的个数没有要求，可以是1个，也可以是2个。 ②常量和变量在某一过程中是相对存在的 二、函数 定义：在某一变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫函数值，也叫因变量。 要点诠释： 函数中只要求一个x的值，对应一个y的值，但是并没有说一个y的值也只能对应一个x的值； 三、函数的三种表示方法 函数常用的表示方法有三种，分别为：解析式法、列表法、图象法 1、解析式法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式 函数表达式常见形式及其自变量的取值范围： 分式型：分母≠0; 根式型：被开方数≠0； 零指数幂型：底数≠0； 组合型：各部分同时满足； 2、列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，来表示函数关系的方法叫做列表法 3、画函数图象的一般步骤：（1）列表找点；（2）描点；（3）连线； 要点诠释： （1）函数的三种表示方法各自的优点： ①解析式法可以准确表示出两个变量之间的确定关系 ②列表法能直接确定某些自变量所对应的函数值 ③图象法可直观感受函数的变化过程 （2）从函数图象读取信息时，需要把握一下三个方面： ①横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量； ②找出图中的关键点，向横、纵轴作垂线求得该点的坐标； ③确定函数值随自变量变化而变化的实际意义； （3）求函数值问题 函数关系式确定后，当自变量x的值取确定值时，代入解析式，可求得函数值y的值；同理，当函数值y的值确定后，代入解析式，也可以求得自变量x的值； 四、一次函数 一次函数定义：形如的函数叫做一次函数； 正比例函数定义：形如的一次函数叫做正比例函数，k叫做比例系数； 待定系数法求一次函数表达式的方法： 步骤 普通一次函数具体操作 正比例函数具体操作 1.“设” 设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0） 设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0） 2.“代入” 把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组 把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程 3.“解” 解这个关于k、b的二元一次方程组 解这个关于k的一元一次方程 4.“再代入” 把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式 把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式 要点诠释： 一次函数y=kx+b的图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体） 五、一次函数的图象与性质 1、函数的图象：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象 2、一次函数的图象是一条直线，其图象的画法步骤为： 步骤 一次函数 正比例函数 找点 找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点 找除原点外的任意一个点 描点 在平面直角坐标系中描出所找的点的位置 连线 过这两个点画一条直线 过原点和这个点画一条直线 3、一次函数的性质： 对于一次函数，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 要点诠释： （1）一次函数y=kx+b的图象所过象限： （2）正比例函数的图象必过原点（0,0），当k＞0时，直线过第一、三象限； 当k＜0时，直线过第二、四象限。 （3）一次函数图象上点的坐标特征：点在图象上，点的坐标符合其表达式 六、两个一次函数图象的位置关系与系数的关系 七、一次函数的简单应用 解题步骤： （1）确定两个变量是否构成一次函数关系； （2）根据x、y的关系确定y与x的函数关系式 （3）利用一次函数的性质解决实际问题 要点诠释： 一次函数图象与性质的应用解题要点： ①明确题目中图象的横、纵坐标表示的意义； ②理解并能准确应用图象中的拐点的意义； ③理解函数图象的变化趋势、倾斜程度各表示什么意义； 题型一　函数基础知识 例题： 1．（2023秋•长兴县月考）在长方形面积计算公式S＝ab中（长方形的长为a，宽为b，面积为S）．对于长和宽不同的长方形，变量是（　　） A．S B．a，b C．S，a，b D．S＝ab 2．（2023秋•上城区校级月考）下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•衢州一模）某水文局测得一组关于降雨强度I和产汇流历时t的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得t关于I的函数表达式近似为（　　） 降雨强度I（mm/h） 4 6 8 10 12 14 产汇流历时t（h） 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 4．（2023秋•西湖区校级月考）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m 5．（2023秋•鄞州区校级月考）有一水箱，它的容积为500L，水箱内原有水100L，现往水箱中注水，已知每分钟注水10L． （1）写出水箱内水量Q（L）与注水时间t（min）的函数关系． （2）求注水18min时水箱内的水量？ （3）需多长时间把水箱注满？ 6．（2023•瑞安市校级开学）根据以下素材，完成下面的问题： [素材1]某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． [素材2]假设每位游客游玩时，行走速度v保持不变，经过每个景点都停留20分钟．小安游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小阳游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． [问题1]游客游玩时的行走速度v为 　 　米/分． [问题2]路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 　 　米． 巩固训练 7．（2023秋•温州月考）已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是S＝300t．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 8．（2023秋•舟山期末）下列四个等式中，y是x的函数的是（　　） A．|y|＝x B．y＝|x| C．y2＝x D．（y﹣4）2＝2x 9．（2023秋•上城区校级月考）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（x＞4），则应付款y与商品件数x的关系式为（　　） A．y＝24x B．y＝24x+2 C．y＝24x+20 D．y＝24x+22 10．（2023•温州模拟）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 11．（2023秋•慈溪市校级期中）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．请你根据图象进行探究： （1）小王的速度是 　 　km/h，小李的速度是 　 　km/h； （2）求当两人相距18千米时，小王行驶多少小时？（直接写出答案） 12．（2024•瑞安市校级开学）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）玲玲的速度为 　 　千米/分钟，小华返回学校的速度为 　 　千米/分钟． （2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 题型二　一次函数的定义与待定系数法 例题： 1．（2023秋•婺城区校级月考）若函数y＝（m+1）x|m|﹣6是一次函数，则m的值为（　　） A．±1 B．﹣1 C．1 D．2 2．（2023秋•鄞州区期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣1|是正比例函数，则m的值为　 　． 3．（2023秋•东阳市月考）下列函数中，属于正比例函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C． D．y＝2x2 4．（2023秋•瓯海区校级期末）若y﹣1与x+1成正比例，且当x＝2时，y＝5，则y与x之间的函数表达式为 　 　． 5．（2023秋•义乌市期末）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝10；当x＝5时，y＝1．求： （1）这个一次函数的表达式． （2）当x＝2时，函数y的值． （3）当y≤1时，自变量x的取值范围． 巩固训练 6．（2023秋•鄞州区期中）下列函数中，哪个是一次函数（　　） A． B． C．y＝x2+2 D． 7．（2023秋•温州月考）一次函数y＝kx+b（k≠0，b为常数）的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 1 2a 2a+3 … 则该一次函数的表达式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝2x+1 C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 8．（2023秋•鄞州区校级月考）若y与x成正比例，且当时，y＝4，则当y＝5时，x的值是 　 　． 9．（2023秋•西湖区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣5时，求y的值； （3）当y＞0时，求x的取值范围． 题型三　一次函数的图象与性质 例题： 1．（2023秋•嵊州市期末）一次函数y＝2x+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•奉化区期末）已知一次函数y＝﹣3x+m图象上的三点P（n，a），Q（n﹣1，b），R（n+2，c），则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c 3．（2023秋•义乌市月考）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（mn≠0）的图象在同一坐标系中不可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•西湖区校级二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，则一次函数y＝ax﹣a一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固训练 5．（2023秋•南浔区期末）一次函数y＝﹣3x﹣1的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024•宁波模拟）已知直线y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值，则当x＝　 　时，y的值最大．（用含b的代数式表示） 7．（2024•上城区一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a（a≠0）的图象如图所示，若y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0），则下列判断正确的是（　　） A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞1 8．（2023秋•东阳市期末）在一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象中，y随x的增大而增大．则k值可以是 　 　．（写出一个答案即可） 9．（2022春•临海市期末）已知一次函数y＝﹣3x+6，完成下列问题． （1）在如下的平面直角坐标系中画出函数图象并求出与x轴的交点坐标． （2）根据图象回答：当x 　 　时，y＞3． 题型四　一次函数的图象上点的坐标特征 例题： 1．（2024•桐乡市一模）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（　　） A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（a，﹣b） D．（﹣a，﹣b） 2．（2023秋•武义县期末）已知一次函数y＝mx+2m﹣4在﹣1≤x≤2时总有y＞0，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞4 C．m＜1 D．m＜4 3．（2024春•三门县期末）一次函数y＝kx+6（k＞0）上有两点（﹣4，y1），（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 4．（2024•宁波模拟）已知一次函数y＝（2m﹣1）x﹣1+4m（m为实数），当x＜2时，y＞0，则m的取值范围是 　 　． 5．（2024•鹿城区校级开学）已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣3x+3的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（　　） A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3 C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3 6．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 巩固训练 7．（2024•鹿城区校级三模）若直线y＝（2﹣5m）x+b经过（1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•镇海区校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0），当x＜3时，y都大于0，则下列各点可能在一次函数y＝ax+b的图象上的是（　　） A．（2，0） B．（﹣1，﹣3） C．（1，2） D．（2，﹣3） 9．（2023秋•婺城区期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数经过点（1，2），则该函数的图象为（　　） A． B． C． D． 10．（2024春•恩施州期末）关于函数y＝（k﹣3）x+k，给出下列结论： ①当k≠3时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点（﹣1，3）； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0＜k＜3． 其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 11．（2023秋•余姚市期末）一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　． 12．（2023秋•余杭区月考）已知一次函数y＝（m+1）x﹣（2m+4）（m为常数，且m≠﹣1）． （1）当函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，求m的取值范围． （2）当函数图象经过第二、三、四象限时，求m的取值范围． （3）当﹣2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，求m的值． 题型五　一次函数的图象与几何变换 例题： 1．（2024春•大冶市期末）把直线y＝﹣x+3向上平移m（0＜m＜1）个单位后，与直线y＝2x+4的交点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•余杭区月考）将直线y＝2x向下平移2个单位所得的直线的解析式是（　　） A．y＝2x+2 B．y＝2x﹣2 C．y＝2x+4 D．y＝2x﹣4 3．（2023秋•西湖区期末）若一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象关于y轴对称，则k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023秋•义乌市月考）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）直接写出点A，B的坐标：A：　 　；B：　 　． （2）如图，将直线l1：y＝﹣3x+6绕点B逆时针旋转45°，得到直线l2，求直线l2的表达式．小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点A作AB的垂线交l2于点C，可求出点C的坐标为 　 　，从而求得直线l2的表达式为 　 　． 巩固训练 5．（2024春•椒江区月考）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 6．（2024春•通州区期末）将一次函数y＝﹣3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3x+5 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝﹣3x+14 D．y＝﹣3x﹣4 7．（2023秋•江北区期末）已知两个一次函数y1，y2的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如表： x m 0 2 y1 12 3 t y2 9 n ﹣6 则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C． D．5 8．（2023•金华模拟）如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD的面积为（　　） A． B．4 C． D．8 9．（2023秋•上虞区期末）在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律． 同学们通过讨论，积极发言，主要把k进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）， 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小． 【跟进练习】对于函数y＝﹣2x+3，当﹣3＜x＜3时，则y的取值范围是 　 　． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：y＝﹣2x+3与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，k2均不为0），当k1•k2＝﹣1时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线y1＝mx+n与直线互相垂直，则m＝　 　． 【灵活运用】如图2，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，且B（﹣4，0），C（2，0），延长CA交y轴于点E（0，4），求点A的坐标． 【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+5经过点A（﹣3，3），与y轴的交点为B，点C在坐标轴上，若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点C的坐标． 题型六　两个一次函数的交点问题 例题： 1．（2024•拱墅区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为 2．（2024•余姚市一模）已知一次函数y＝2x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，1），则方程组的解是 　 　． 3．（2023秋•浦江县期末）已知直线y1＝kx+b（k＞0）与x轴交于点（﹣3，0），直线y2＝mx+b（m＜0）与x轴交于点（4，0）．据此推断不等式kx+b＞0＞mx+n的解集为（　　） A．﹣3＜x＜4 B．x＞﹣3 C．x＜4 D．x＞4 4．（2023秋•长兴县期末）如图，已知直线y＝kx+b与x轴相交于点A（5，0），与y轴相交于点B，直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C（m，2）． （1）求m的值及直线AB的函数表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解． 巩固训练 5．（2023秋•鄞州区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数y＝ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大； ②方程组的解为， ③当x＝0时，ax+b＝﹣1； ④方程mx+n＝0的解为x＝2； ⑤不等式mx+n≥ax+b的解集是x≥﹣3． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024•宁波模拟）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集是 　 　． 7．（2023秋•东阳市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，0），B（2，6）两点． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积； （3）请直接写出当kx+b＜0时的x的取值范围． 题型七　一次函数的应用 例题： 1．（2024•浙江模拟）小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（km）与所花时间t（min）间的函数关系，根据图中信息，校车与步行的速度比是（　　） A． B．2 C．10 D．8 2．（2023秋•东阳市期末）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．a＝15 B．小明的速度是150米/分钟 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D．爸爸出发7分钟追上小明 3．（2023•上城区开学）（1）A、B两物体的路程随时间的变化关系分别如图①、②所示，则A的速度 　 　B的速度（填＞、＝或＜）；（2）两物体分别从甲、乙两地同时相向而行，经过6秒两物体相遇，则甲、乙两地间的距离为 　 　m． 4．（2024•嘉兴一模）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回．设汽车从甲地出发x（h）时，汽车离甲地的路程为y（km），y与x的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由． （2）求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为60km． 5．（2024•柯桥区二模）如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离d称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系，如表是测得的身高与“一拃长”一组数据： 一拃长d（cm） 16 17 18 19 身高h（cm） 162 172 182 192 （1）按照这组数据，求出身高h与一拃长d之间的函数关系式； （2）某同学一拃长为16.8cm，求他的身高是多少？ （3）若某人的身高为185cm，一般情况下他的一拃长d应是多少？ 巩固训练 6．（2024春•下城区校级月考）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．则小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地5.5km的地方的时间间隔为（　　） A．9分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．15分钟 7．（2024•新昌县一模）清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A．乙提速后每分钟攀登30米 B．乙攀登到300米时共用时11分钟 C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟 D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米 8．（2024春•玉环市期末）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是 　 　． 9．（2023秋•武义县期末）甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如表： 1kg及以内 超过1kg的部分 甲 8元 2元/kg（不足1kg按1kg计） 乙 6元 3元/kg 设邮件的质量为xkg，甲、乙两公司的快递费分别为y甲元，y乙元． （1）若y甲＝14，则x的取值范围为 　 　． （2）若y甲≤y乙，则x的取值范围为 　 　． 10．（2023秋•鄞州区期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 （1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 11．（2023秋•婺城区校级月考）一慢车和一快车沿相同路线从A地到相距120千米的B地，所行地路程与时间的函数图象如图所示．试根据图象，回答下列问题： （1）慢车比快车早出发 　 　小时，快车比慢车少用 　 　小时到达B地； （2）快车用了多少时间追上慢车；此时距离A地多少千米？ （3）慢车行驶多少小时两车相距10km． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 《一次函数》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、常量与变量 常量：在一个过程中，固定不变的量称为常量； 变量：在一个过程中，可以取不同数值的量称为变量； 要点诠释： （1）常见的常量类型： ①常量是表达式中的数字部分（包含前面的正负号、π也是数字）； ②说明了是常数的字母； （2）常量与变量的关系： ①在一关系式中，常量和变量的个数没有要求，可以是1个，也可以是2个。 ②常量和变量在某一过程中是相对存在的 二、函数 定义：在某一变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫函数值，也叫因变量。 要点诠释： 函数中只要求一个x的值，对应一个y的值，但是并没有说一个y的值也只能对应一个x的值； 三、函数的三种表示方法 函数常用的表示方法有三种，分别为：解析式法、列表法、图象法 1、解析式法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式 函数表达式常见形式及其自变量的取值范围： 分式型：分母≠0; 根式型：被开方数≠0； 零指数幂型：底数≠0； 组合型：各部分同时满足； 2、列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，来表示函数关系的方法叫做列表法 3、画函数图象的一般步骤：（1）列表找点；（2）描点；（3）连线； 要点诠释： （1）函数的三种表示方法各自的优点： ①解析式法可以准确表示出两个变量之间的确定关系 ②列表法能直接确定某些自变量所对应的函数值 ③图象法可直观感受函数的变化过程 （2）从函数图象读取信息时，需要把握一下三个方面： ①横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量； ②找出图中的关键点，向横、纵轴作垂线求得该点的坐标； ③确定函数值随自变量变化而变化的实际意义； （3）求函数值问题 函数关系式确定后，当自变量x的值取确定值时，代入解析式，可求得函数值y的值；同理，当函数值y的值确定后，代入解析式，也可以求得自变量x的值； 四、一次函数 一次函数定义：形如的函数叫做一次函数； 正比例函数定义：形如的一次函数叫做正比例函数，k叫做比例系数； 待定系数法求一次函数表达式的方法： 步骤 普通一次函数具体操作 正比例函数具体操作 1.“设” 设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0） 设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0） 2.“代入” 把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组 把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程 3.“解” 解这个关于k、b的二元一次方程组 解这个关于k的一元一次方程 4.“再代入” 把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式 把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式 要点诠释： 一次函数y=kx+b的图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体） 五、一次函数的图象与性质 1、函数的图象：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象 2、一次函数的图象是一条直线，其图象的画法步骤为： 步骤 一次函数 正比例函数 找点 找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点 找除原点外的任意一个点 描点 在平面直角坐标系中描出所找的点的位置 连线 过这两个点画一条直线 过原点和这个点画一条直线 3、一次函数的性质： 对于一次函数，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 要点诠释： （1）一次函数y=kx+b的图象所过象限： （2）正比例函数的图象必过原点（0,0），当k＞0时，直线过第一、三象限； 当k＜0时，直线过第二、四象限。 （3）一次函数图象上点的坐标特征：点在图象上，点的坐标符合其表达式 六、两个一次函数图象的位置关系与系数的关系 七、一次函数的简单应用 解题步骤： （1）确定两个变量是否构成一次函数关系； （2）根据x、y的关系确定y与x的函数关系式 （3）利用一次函数的性质解决实际问题 要点诠释： 一次函数图象与性质的应用解题要点： ①明确题目中图象的横、纵坐标表示的意义； ②理解并能准确应用图象中的拐点的意义； ③理解函数图象的变化趋势、倾斜程度各表示什么意义； 题型一　函数基础知识 例题： 1．（2023秋•长兴县月考）在长方形面积计算公式S＝ab中（长方形的长为a，宽为b，面积为S）．对于长和宽不同的长方形，变量是（　　） A．S B．a，b C．S，a，b D．S＝ab 【分析】在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，由此判断即可得出答案． 【解答】解：由题意可得：长和宽不同的长方形，面积也在变化，故变量是S，a，b， 故选：C． 2．（2023秋•上城区校级月考）下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义：在一个变化的过程中，有两个变量x和y，y随着x的变化而变化，对于每一个x都有唯一确定的y与之对应，则y叫做x的函数，进行判断即可． 【解答】解：A、能表示y是x的函数，不符合题意； B、能表示y是x的函数，不符合题意； C、对于部分x，对应2个y值，不能表示y是x的函数，符合题意； D、能表示y是x的函数，不符合题意； 故选：C． 3．（2024•衢州一模）某水文局测得一组关于降雨强度I和产汇流历时t的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得t关于I的函数表达式近似为（　　） 降雨强度I（mm/h） 4 6 8 10 12 14 产汇流历时t（h） 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【分析】根据每组数据It的值即可得到结论． 【解答】解：根据表格，得4×18.0＝72.0，6×12.1＝72.6，8×9.0＝72.0，10×7.2＝72，12×6.0＝72.0，14×5.1＝71.4， ∴近似有It＝72， ∴t＝． 故选：A． 4．（2023秋•西湖区校级月考）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m 【分析】A．根据自变量与函数的定义判断即可； BC．通过观察数据即可得出结论； D．根据C计算出空气温度为40℃的声速，即此时每秒传播的距离． 【解答】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数， ∴A正确，不符合题意； 从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢， ∴B正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高10℃，声速就增加6m/s， ∴C正确，不符合题意； 由C可知，当空气温度为40℃时，声速为348+6＝354（m/s），即当空气温度为40℃时，声音每秒可以传播354m， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 5．（2023秋•鄞州区校级月考）有一水箱，它的容积为500L，水箱内原有水100L，现往水箱中注水，已知每分钟注水10L． （1）写出水箱内水量Q（L）与注水时间t（min）的函数关系． （2）求注水18min时水箱内的水量？ （3）需多长时间把水箱注满？ 【分析】（1）根据“水箱内水量＝新注入的水量+原有水量”写出Q与t的函数关系式，并标明t的取值范围即可； （2）将t＝18代入（1）中得到的函数关系式，求出对应的Q的值即可； （3）将Q＝500代入（1）中得到的函数关系式，求出对应的t的值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得Q＝10t+100， 当Q＝500时，得10t+100＝500，解得t＝40， ∴0≤t≤40， ∴Q与t的函数关系式为Q＝10t+100（0≤t≤40）． （2）当t＝18时，Q＝10×18+100＝280， ∴注水18min时水箱内的水量是280L． （3）当水箱注满时，Q＝500，即10t+100＝500，解得t＝40， ∴把水箱注满需要40min． 6．（2023•瑞安市校级开学）根据以下素材，完成下面的问题： [素材1]某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． [素材2]假设每位游客游玩时，行走速度v保持不变，经过每个景点都停留20分钟．小安游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小阳游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． [问题1]游客游玩时的行走速度v为 　60　米/分． [问题2]路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 　4800　米． 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟）， 小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟）， 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米 由图象可得，， 解得：x+y+z＝2700， ∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300， ∴x+y＝2100， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）． 故答案为：60；4800． 巩固训练 7．（2023秋•温州月考）已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是S＝300t．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 【分析】根据变量的定义判断即可． 【解答】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是S＝300t． 在此变化过程中，变量是路程、时间， 故答案为：B． 8．（2023秋•舟山期末）下列四个等式中，y是x的函数的是（　　） A．|y|＝x B．y＝|x| C．y2＝x D．（y﹣4）2＝2x 【分析】根据函数的定义，逐一判断，即可求解． 【解答】解：A、除x＝0外，对于每一个x确定的值，都有两个y的值与之对应，不符合题意， B、对于每一个x确定的值，都有唯一确定的y的值与之对应，符合题意， C、除x＝0外，对于每一个x确定的值，都有两个y的值与之对应，不符合题意， D、除x＝0外，对于每一个x确定的值，都有两个y的值与之对应，不符合题意， 故选：B． 9．（2023秋•上城区校级月考）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（x＞4），则应付款y与商品件数x的关系式为（　　） A．y＝24x B．y＝24x+2 C．y＝24x+20 D．y＝24x+22 【分析】先求出打8折优惠的钱数，然后根据应付款＝100+打8折优惠的钱数列出函数式． 【解答】解：由题意得：打8折优惠的钱数为（30x﹣100）元， ∴应付款y与商品件数x的关系式为： y＝100+0.8（30x﹣100）， y＝100+24x﹣80， y＝24x+20， 故选：C． 10．（2023•温州模拟）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象． 【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 11．（2023秋•慈溪市校级期中）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．请你根据图象进行探究： （1）小王的速度是 　10　km/h，小李的速度是 　20　km/h； （2）求当两人相距18千米时，小王行驶多少小时？（直接写出答案） 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度； （2）根据题意列式计算即可解答． 【解答】解：（1）由图可得，小王的速度为：30÷3＝10（km/h）， 小李的速度为：（30﹣10×1）÷1＝20（km/h）， 故答案为：10，20； （2）①（30﹣18）÷（20+10）＝0.4（小时）； ②18÷10＝1.8（小时）， 答：当两人相距18千米时，小王行驶0.4小时或1.8小时． 12．（2024•瑞安市校级开学）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）玲玲的速度为 　0.125　千米/分钟，小华返回学校的速度为 　0.5　千米/分钟． （2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 【分析】（1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）由图象可知：玲玲的速度为：5÷40＝0.125千米/分钟， 小华返回学校的速度为：5÷（40﹣30）＝0.5千米/分钟． 故答案为：0.125；0.5； （2）由题意，得：5﹣0.5（a﹣30）＝0.125a， 解得：a＝32． 题型二　一次函数的定义与待定系数法 例题： 1．（2023秋•婺城区校级月考）若函数y＝（m+1）x|m|﹣6是一次函数，则m的值为（　　） A．±1 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】根据一次函数的定义列出有关m的方程，继而求出m的值． 【解答】解：∵函数y＝（m+1）x|m|﹣6是一次函数， ∴， ∴m＝1， 故选：C． 2．（2023秋•鄞州区期中）若y＝（m﹣2）x|m﹣1|是正比例函数，则m的值为　0　． 【分析】根据正比例函数的定义，指数为1，系数不为0． 【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m﹣1|是正比例函数， ∴|m﹣1|＝1且m﹣2≠0， 解得m＝0． 故答案为：0． 3．（2023秋•东阳市月考）下列函数中，属于正比例函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝2x﹣1 C． D．y＝2x2 【分析】函数y＝kx（k为常数，k≠0）叫做正比例函数．选项A符合正比例函数的定义，选项B、C、D均不符合，由此即可得出答案． 【解答】解：选项A，y＝2x是正比例函数，符合题意； 选项B，y＝2x﹣1是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意； 选项C，不是正比例函数，不符合题意； 选项D，y＝2x2不是正比例函数，不符合题意； 故选：A． 4．（2023秋•瓯海区校级期末）若y﹣1与x+1成正比例，且当x＝2时，y＝5，则y与x之间的函数表达式为 　　． 【分析】由题意可设y﹣1＝k（x+1），把x＝2时，y＝5代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式． 【解答】解：∵y﹣1与x+1成正比例， ∴设y﹣1＝k（x+1）， ∵当x＝2时，y＝5， ∴5﹣1＝k（2+1）， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 5．（2023秋•义乌市期末）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝10；当x＝5时，y＝1．求： （1）这个一次函数的表达式． （2）当x＝2时，函数y的值． （3）当y≤1时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求解即可； （2）将x＝2代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据k的值，可知y随x的增大而减小，分别求出y＝﹣3和y＝2对应的x的取值，即可求解． 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）， ∵当x＝﹣4时，y＝10；当x＝5时，y＝1， ∴， 解得， 函数解析式为y＝﹣x+6； （2）将x＝2代入y＝﹣x+6得，y＝﹣2+6＝4； （3）∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 把y＝1代入得，﹣x+6＝1， 解得：x＝5， ∴当x≥5时，y≤1， ∴当y≤1时，自变量x的取值范围为x≥5． 巩固训练 6．（2023秋•鄞州区期中）下列函数中，哪个是一次函数（　　） A． B． C．y＝x2+2 D． 【分析】根据一次函数的定义对每个选项进行分析即可． 【解答】解：A．函数y＝是反比例函数，不是一次函数，不符合题意； B．函数y＝﹣1是一次函数，符合题意； C．函数y＝x2+2是二次函数，不符合题意； D．函数y＝x+5不是一次函数，不符合题意， 故选：B． 7．（2023秋•温州月考）一次函数y＝kx+b（k≠0，b为常数）的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 1 2a 2a+3 … 则该一次函数的表达式为（　　） A．y＝x+1 B．y＝2x+1 C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 【分析】把表中的三组对应值分别代入y＝kx+b得到方程组，然后解方程组即可． 【解答】解：根据题意得， 解得， 所以一次函数解析式为y＝3x+1． 故选：C． 8．（2023秋•鄞州区校级月考）若y与x成正比例，且当时，y＝4，则当y＝5时，x的值是 　　． 【分析】设该正比例函数的解析式为y＝kx，把代入，求出k的值，得出该正比例函数的解析式，再把y＝5代入，即可求出x的值． 【解答】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx， 把代入得：， 解得：k＝﹣8， ∴该正比例函数的解析式为y＝﹣8x， 把y＝5代入得：5＝﹣8x， 解得：， 故答案为：． 9．（2023秋•西湖区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣5时，求y的值； （3）当y＞0时，求x的取值范围． 【分析】（1）y1与x﹣1成正比例，可设y1＝k1（x﹣1），y2与x成正比例，设y2＝k2x，利用待定系数法即可求解． （2）直接把x的值代入（1）中的函数关系式即可； （3）由y＞0得到一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【解答】解：（1）设y1＝k1（x﹣1），设y2＝k2x，则y＝k1（x﹣1）+k2x， 根据题意得，， 解得． ∴y＝2×（x﹣1）+x， 即y＝3x﹣2； （2）把x＝﹣5代入y＝3x﹣2中：y＝﹣15﹣2＝﹣17； （3）∵y＞0， ∴3x﹣2＞0， 解得：x＞． 题型三　一次函数的图象与性质 例题： 1．（2023秋•嵊州市期末）一次函数y＝2x+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的系数即可确定图象． 【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限， 故选：A． 2．（2023秋•奉化区期末）已知一次函数y＝﹣3x+m图象上的三点P（n，a），Q（n﹣1，b），R（n+2，c），则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y值随着x值的增大而减小，再结合n﹣1＜n＜n+2，即可得出b＞a＞c． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y值随着x值的增大而减小． 又∵n﹣1＜n＜n+2， ∴b＞a＞c． 故选：A． 3．（2023秋•义乌市月考）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（mn≠0）的图象在同一坐标系中不可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论一致，故本选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论不一致，故本选项符合题意； C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知，m＜0，n＜0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（2024•西湖区校级二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，则一次函数y＝ax﹣a一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，可以得到a﹣1＞0，从而可以得到a的取值范围，然后即可得到一次函数y＝ax﹣a经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限， ∴a﹣1＞0， 解得a＞1， ∴﹣a＜﹣1， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 巩固训练 5．（2023秋•南浔区期末）一次函数y＝﹣3x﹣1的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数不经过哪个象限，本题得以解决． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x﹣1，k＝﹣3，b＝﹣1， ∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 6．（2024•宁波模拟）已知直线y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值，则当x＝　b　时，y的值最大．（用含b的代数式表示） 【分析】依据题意求得三条直线的交点，再利用题意求得y值，最后利用一次函数的性质解答即可． 【解答】解：由题意可知三条直线两两相交， 由得：； 由得：； 由得：． ∴三个交点为：A（，），B（b，b），C（b，b），如图， 当x≤b时，y3的值最小， ∵无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值， ∴y＝y3的值， ∵y3的值随x的增大而增大， ∴当x＝b时，y的值最大为b； 当x≥b时，y2的值最小， ∵无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值， ∴y＝y2的值， ∵y3的值随x的增大而减小， ∴当x＝b时，y的值最大为b． 综上，当x＝b时，y的值最大． 故答案为：b． 7．（2024•上城区一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a（a≠0）的图象如图所示，若y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0），则下列判断正确的是（　　） A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞1 【分析】先根据函数图象判断出a的取值范围，用a表示出m的值，再用取特殊值法即可得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，﹣1＜a＜0， ∵y＝ax+1的图象与x轴交于（m，0）， ∴当y＝0时，ax+1＝0， ∴x＝﹣， ∴m＝﹣， 令a＝﹣0.5，则﹣a＝0.5， ∴﹣＝＝2＞1， ∴m＞1． 故选：D． 8．（2023秋•东阳市期末）在一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象中，y随x的增大而增大．则k值可以是 　2（答案不唯一）　．（写出一个答案即可） 【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k﹣1＞0，解之即可得出k的值，再取其内的任意一值即可得出结论． 【解答】解：∵在一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象中，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＞0， 解得：k＞1． ∴k值可以为2． 故答案为：2（答案不唯一）． 9．（2022春•临海市期末）已知一次函数y＝﹣3x+6，完成下列问题． （1）在如下的平面直角坐标系中画出函数图象并求出与x轴的交点坐标． （2）根据图象回答：当x 　＜1　时，y＞3． 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图形即可，解方程即可得到结论； （2）根据图象即可得到答案． 【解答】解：（1）如图，当y＝0，即﹣3x+6＝0， 解得，x＝2， ∴函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）； （2）由图象知：当x＜1时，y＞3． 故答案为：＜1． 题型四　一次函数的图象上点的坐标特征 例题： 1．（2024•桐乡市一模）已知一次函数y＝ax+b的图象如图所示，若小兔子挡住了点A，则点A的坐标可能是（　　） A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（a，﹣b） D．（﹣a，﹣b） 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由已知函数图象判断a、b的符号，然后根据第二象限坐标特点即可得出答案． 【解答】解：∵函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0， ∴点A的坐标可能是（﹣a，﹣b）． 故选：D． 2．（2023秋•武义县期末）已知一次函数y＝mx+2m﹣4在﹣1≤x≤2时总有y＞0，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞4 C．m＜1 D．m＜4 【分析】分两种情况：①m＞0和②m＜0，利用一次函数的性质求解即可得． 【解答】解：由一次函数的定义可知，m≠0， ①当m＞0时，y随x的增大而增大， 则在﹣1≤x≤2内，当x＝﹣1时，y取得最小值，最小值为﹣m+2m﹣4＝m﹣4， 要使在﹣1≤x≤2时的函数值总是正的， 则m﹣4＞0，解得m＞4，符合题设； ②当m＜0时，y随的增大而减小， 则在﹣1≤x≤2内，当x＝2时，y取得最小值，最小值为4m﹣4， 要使在时的函数值总是正的， 则4m﹣4＞0， 解得m＞1，不符合题设，舍去； 综上，的取值范围是m＞4， 故选：B． 3．（2024春•三门县期末）一次函数y＝kx+6（k＞0）上有两点（﹣4，y1），（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 【分析】对于一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0时，y 随x 的增大而增大，当k＜0时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【解答】解：∵在一次函数y＝kx+6中，k＞0， ∴y随x增大而增大， ∵点（﹣4，y1），（3，y2）在一次函数y＝kx+6（k＞0）的图象上，且﹣4＜3， ∴y1＜y2， 故选：C． 4．（2024•宁波模拟）已知一次函数y＝（2m﹣1）x﹣1+4m（m为实数），当x＜2时，y＞0，则m的取值范围是 　≤m＜　． 【分析】根据x＜2时，y＞0，得出图象2m﹣1＜0，≥2，从而得出m的取值范围． 【解答】解：当y＝0时，（2m﹣1）x﹣1+4m＝0， 解得：x＝， ∵x＜2时，y＞0， ∴2m﹣1＜0，≥2， ∴≤m＜， 故答案为：≤m＜． 5．（2024•鹿城区校级开学）已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣3x+3的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（　　） A．a﹣b＝3 B．a﹣b＝﹣3 C．a+b＝3 D．a+b＝﹣3 【分析】根据题意将A，B两点代入一次函数解析式化简得到a，b的关系式即可得解． 【解答】解：将点A（x1，a），B（x1+1，b）代入y＝﹣3x+3得： a＝﹣3x1+3，b＝﹣3（x1+1）+3， 解得：， 则，即a﹣b＝3， 故选：A． 6．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 【分析】（1）把原式化为y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1的形式，令x+3＝0，求出y的对应值即可； （2）分a＞0和a＜0两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1， 当x＝﹣3时，y＝1， ∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点（﹣3，1）； （2）当a＞0时，此函数是增函数，当x＝4时，最大值为6， 当x＝4时，一次函数y1＝4a+3a+1＝6， 解得， 当a＜0时，此函数是，减函数，当x＝2时，最大值为6 当x＝2时，一次函数y1＝2a+3a+1＝6， 解得a＝1（不合题意，舍去）， 综上所述，． 巩固训练 7．（2024•鹿城区校级三模）若直线y＝（2﹣5m）x+b经过（1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由x1＜x2时，y1＞y2，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数2﹣5m＜0，解不等式即可． 【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴2﹣5m＜0， ∴， 故选：B． 8．（2024•镇海区校级模拟）一次函数y＝ax+b（a≠0），当x＜3时，y都大于0，则下列各点可能在一次函数y＝ax+b的图象上的是（　　） A．（2，0） B．（﹣1，﹣3） C．（1，2） D．（2，﹣3） 【分析】根据当x＜3时，y都大于0分析判断各项正误即可． 【解答】解：A、当x＝2＜3，函数值应该大于0，故点（2，0）不在直线上，不符合题意； B、当x＝﹣1＜3，函数值应该大于0，故点（﹣1，﹣3）不在直线上，不符合题意； C、当x＝1＜3，函数值为2＞0，故点（1，2）在直线上，符合题意； D、当x＝2＜3，函数值应该大于0，故点（2，﹣3）不在直线上，不符合题意； 故选：C． 9．（2023秋•婺城区期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数经过点（1，2），则该函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】把（1，2）代入y＝x+a，求出a的值，根据图象解答即可． 【解答】解：y＝x+a，经过（1，2）， ∴把（1，2）代入y＝x+a， ..2＝+a＝a， ∴a＝， ∴y＝x+， ∴图象过P（1，2）且与y轴交于正半轴． 故选：A． 10．（2024春•恩施州期末）关于函数y＝（k﹣3）x+k，给出下列结论： ①当k≠3时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点（﹣1，3）； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0＜k＜3． 其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】①根据一次函数定义即可求解； ②y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，即可求解； ③图象经过二、三、四象限，则k﹣3＜0，k＜0，解即可求解； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x＝＞0，即可求解． 【解答】解：①根据一次函数定义：k≠0函数为一次函数，故正确； ②y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，故函数过（﹣1，3），故正确； ③图象经过二、三、四象限，则k﹣3＜0，k＜0，解得：k＜0，故正确； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x＝＞0，解得：0＜k＜3，故正确． 故选：D． 11．（2023秋•余姚市期末）一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　m＜3　． 【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式2m﹣6＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小， ∴2m﹣6＜0， 解得，m＜3； 故答案为：m＜3． 12．（2023秋•余杭区月考）已知一次函数y＝（m+1）x﹣（2m+4）（m为常数，且m≠﹣1）． （1）当函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，求m的取值范围． （2）当函数图象经过第二、三、四象限时，求m的取值范围． （3）当﹣2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，求m的值． 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b中，b＞0时，与y轴的交点在y轴的正半轴，可得答案． （2）根据一次函数y＝kx+b中，k＜0，b＜0时，函数的图象经过第二、三、四象限，可得答案． （3）①根据一次函数y＝kx+b中，k＞0时，y随x的增大而增大，则当x＝4时，最大值是4，②根据一次函数y＝kx+b中，k＜0时，y随x的增大而减小，则当x＝﹣2时，最大值是4，可得答案． 【解答】解：（1）∵函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上， ∴﹣（2m+4）＞0， ∴m＜﹣2； （2）∵函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得﹣2＜m＜﹣1； （3）①当m+1＞0时，即m＞﹣1时， y随x的增大而增大， ∴当x＝4时，最大值是4， ∴4（m+1）﹣（2m+4）＝4， 解得m＝2； ②当m+1＜0时，即m＜﹣1时， y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣2时，最大值是4， ∴﹣2（m+1）﹣（2m+4）＝4， 解得m＝﹣2.5． 综上，m的值为2或﹣2.5． 题型五　一次函数的图象与几何变换 例题： 1．（2024春•大冶市期末）把直线y＝﹣x+3向上平移m（0＜m＜1）个单位后，与直线y＝2x+4的交点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题意得到平移后的函数解析式，与y＝2x+4联立，用含有m的代数式表示交点坐标，并判断其正负性，从而判断交点所在象限． 【解答】解：由题意得： 直线y＝﹣x+3向上平移m（0＜m＜1）个单位后变为：y＝﹣x+3+m， 与直线y＝2x+4联立得： ， 解得：， ∵0＜m＜1， ∴， ∴交点在第二象限， 故选：B． 2．（2023秋•余杭区月考）将直线y＝2x向下平移2个单位所得的直线的解析式是（　　） A．y＝2x+2 B．y＝2x﹣2 C．y＝2x+4 D．y＝2x﹣4 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x向下平移2个单位所得的直线的解析式是y＝2x﹣2， 故选：B． 3．（2023秋•西湖区期末）若一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象关于y轴对称，则k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由直线y＝﹣x+2，知与x轴交于（2，0），与y轴交于（0，2），根据轴对称性质，直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），（0，2），建立二元一次方程组求解． 【解答】解：直线y＝﹣x+2，x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝2； ∴直线y＝﹣x+2与x轴交于（2，0），与y轴交于（0，2）． ∴直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），（0，2）． ∴， 解得k＝1． 故选：A． 4．（2023秋•义乌市月考）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）直接写出点A，B的坐标：A：　（2，0）　；B：　（0，6）　． （2）如图，将直线l1：y＝﹣3x+6绕点B逆时针旋转45°，得到直线l2，求直线l2的表达式．小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点A作AB的垂线交l2于点C，可求出点C的坐标为 　（8，2）　，从而求得直线l2的表达式为 　　． 【分析】（1）分别把y＝0和x＝0代入y＝﹣3x+6解答即可求解； （2）过点C作CD⊥x轴于点D，证明△ADC≌△BOA（AAS），得到CD＝AO＝2，AD＝BO＝6，即可求出点C的坐标，设直线l2的表达式为y＝kx+b，把B、C的坐标代入计算即可求解； 【解答】解：（1）当y＝0时，由﹣3x+6＝0得，x＝2， ∴点A的坐标为（2，0）； 当x＝0时，由﹣3×0+6＝y得，y＝6， ∴点B的坐标为（0，6）； 故答案为：（2，0），（0，6）； （2）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠BOA＝90°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAD＝90°， ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠CAD＝∠ABO， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∴AC＝AB， 在△ADC和△BOA中， ， ∴△ADC≌△BOA（AAS）， ∴CD＝AO＝2，AD＝BO＝6， ∴OD＝OA+AD＝2+6＝8， ∴点C的坐标为（8，2）， 设直线l2的表达式为y＝kx+b，把B（0，6）、C（8，2）代入得， ， 解得， ∴直线l2的表达式为， 故答案为：（8，2），． 巩固训练 5．（2024春•椒江区月考）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣3×1+2＝﹣1， ∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过点（1，﹣1），选项A错误，不符合题意； B、由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到y＝3x﹣2，故选项B错误，不合题意 C、∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、∵k＝﹣3＜0，b＝2＞0， ∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 6．（2024春•通州区期末）将一次函数y＝﹣3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3x+5 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝﹣3x+14 D．y＝﹣3x﹣4 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可． 【解答】解：将一次函数y＝﹣3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为：y＝﹣3x+2﹣3， 即y＝﹣3x﹣1． 故选：B． 7．（2023秋•江北区期末）已知两个一次函数y1，y2的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如表： x m 0 2 y1 12 3 t y2 9 n ﹣6 则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C． D．5 【分析】设，将（m，12）、（0，3）代入y1＝ax+b1，得到am＝9；将（m，9）、（0，n）、（2，﹣6）代入y2＝ax+b2，解方程组即可求出m的值． 【解答】解：∵两个一次函数y1，y2的图象互相平行， ∴， 设，则y1＝ax+b1，y2＝ax+b2， 将（m，12）、（0，3）代入y1＝ax+b1， 得，整理得am＝9①； 将（m，9）、（0，n）、（2，﹣6）代入y2＝ax+b2， 得，整理得：am+n＝9②，2a+n＝﹣6③， ①代入②，得n＝0， 把n＝0代入③，得a＝﹣3， 把a＝﹣3代入①，得m＝﹣3． 故选：B． 8．（2023•金华模拟）如图1，在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么平行四边形ABCD的面积为（　　） A． B．4 C． D．8 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB＝8﹣4＝4，当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M．利用勾股定理即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B， 则AB＝8﹣4＝4， 如图1， 当直线经过D点，设交AB与N，则DN＝2，作DM⊥AB于点M． ∵y＝﹣x与x轴形成的角是45°， 又∵AB∥x轴， ∴∠DNM＝45°， ∴DM＝MN, ∴DM＝＝2， 则平行四边形的面积是：AB•DM＝4×2＝8． 故选：D． 9．（2023秋•上虞区期末）在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律． 同学们通过讨论，积极发言，主要把k进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）， 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小． 【跟进练习】对于函数y＝﹣2x+3，当﹣3＜x＜3时，则y的取值范围是 　﹣3＜y＜9　． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：y＝﹣2x+3与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2（k1，k2均不为0），当k1•k2＝﹣1时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线y1＝mx+n与直线互相垂直，则m＝　　． 【灵活运用】如图2，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，且B（﹣4，0），C（2，0），延长CA交y轴于点E（0，4），求点A的坐标． 【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+5经过点A（﹣3，3），与y轴的交点为B，点C在坐标轴上，若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点C的坐标． 【分析】【跟进练习】根据x的取值即可求出y的取值； 【结论理解】直接利用结论求出m即可； 【灵活运用】先求出直线CE的解析式，再设直线AB的解析式并求出，最后联立两个解析式即可； 【延伸拓展】先求出直线解析式，再得出点B坐标，最后由A，B的坐标结合以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形即可． 【解答】解：【跟进练习】∵y＝﹣2x+3，﹣3＜x＜3， ∴当x＝﹣3时，y＝9；当x＝3时，y＝﹣3， ∴﹣3＜y＜9， 故答案为：﹣3＜y＜9； 【结论理解】∵直线y1＝mx+n与直线互相垂直， ∴， ∴， 故答案为：； 【灵活运用】∵C（2，0），E（0，4）， ∴直线CE的解析式为：y＝﹣2x+4， 设直线AB的解析式为：， 将B（﹣4，0）代入得b＝2， ∴， 由得， ∴； 【延伸拓展】∵直线y＝kx+5经过点A（﹣3，3）， ∴3＝﹣3k+5得， ∴， 与y轴的交点B（0，5）， ∵A（﹣3，3），B（0，5），C为顶点的三角形是直角三角形， 如图， 当AC⊥BC，点C在y轴上时，C点坐标是C（0，3）， 当AC⊥AB时，直线，直线AC与坐标轴交点即可所求点C， 点C在y轴上时，C点坐标是， 点C在x轴上时，C点坐标是C（﹣1，0）， 当BC⊥AB时，直线，直线BC与坐标轴交点即可所求点C， 点C在x轴上时，C点坐标是， 综上所述：C点坐标可以是以下各点： C（0，3），，C（﹣1，0），． 题型六　两个一次函数的交点问题 例题： 1．（2024•拱墅区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为 【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【解答】解：A、由图象得：当x＞2时，y1＞y2，故A不符合题意； B、由图象得：当x＜0时，y1＜3，y2＞3，故B不符合题意； C、由图象得：当x﹣2时，y1＝y2，即2a+b＝2m+n， ∴b﹣n＝2（m﹣a），故C是符合题意； D、由图象得：关于x，y的方程组的解为，故D不符合题意． 故选：C． 2．（2024•余姚市一模）已知一次函数y＝2x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，1），则方程组的解是 　　． 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，1）， ∴方程组的解是． 故答案为：． 3．（2023秋•浦江县期末）已知直线y1＝kx+b（k＞0）与x轴交于点（﹣3，0），直线y2＝mx+b（m＜0）与x轴交于点（4，0）．据此推断不等式kx+b＞0＞mx+n的解集为（　　） A．﹣3＜x＜4 B．x＞﹣3 C．x＜4 D．x＞4 【分析】分别根据图象求出kx+b＞0的解集是x＞﹣3，mx+n＜0的解集是x＞4，即可得到答案． 【解答】解：∵直线y1＝kx+b（k＞0）与x轴交于点（﹣3，0），直线y2＝mx+n（m＜0）与x轴交于点（4，0）． 由图象可知，kx+b＞0的解集是x＞﹣3，mx+n＜0的解集是x＞4， ∴kx+b＞0＞mx+n的解解集是x＞4， 故选：D． 4．（2023秋•长兴县期末）如图，已知直线y＝kx+b与x轴相交于点A（5，0），与y轴相交于点B，直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C（m，2）． （1）求m的值及直线AB的函数表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解． 【分析】（1）把C（m，2）代入直线 y＝2x﹣4中可得到m的值，然后利用待定系数法求直线AB的解析式； （2）结合函数图象，找出直线y＝2x﹣4在直线y＝kx+b的上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）把C（m，2）代入直线 y＝2x﹣4得2＝2m﹣4， 解得m＝3； 把A（5，0），C（3，2）代入直线y＝k+b得， 解得 k＝﹣1，b＝5， ∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5； （2）当x＞3时，2x﹣4＞kx+b， ∴关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集为x＞3． 巩固训练 5．（2023秋•鄞州区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数y＝ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大； ②方程组的解为， ③当x＝0时，ax+b＝﹣1； ④方程mx+n＝0的解为x＝2； ⑤不等式mx+n≥ax+b的解集是x≥﹣3． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解答． 【解答】解：∵由图象可知一次函数y＝ax+b，y的值随着x值的增大而减小； 故①错误； ∵由图象可知：一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象相交点（﹣3，2）， ∴方程组的解为， 故②正确； ∵由图象可知：一次函数y＝ax+b与y轴的交点为（0，﹣2）， ∴当x＝0时，ax+b＝﹣2， 故③错误； ∵由图象可知：一次函数y＝mx+n（a＜m＜0）与x轴的交点为（2，0）， ∴方程mx+n＝0的解为x＝2， 故④正确； ∵由图象可知：一次函数y＝ax+b图象在y＝mx+n（a＜m＜0）的图象下方的时x≥﹣3， 故⑤正确； ∴正确的有3个； 故选：C． 6．（2024•宁波模拟）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集是 　x＜﹣2　． 【分析】利用给出函数图象写出直线y＝﹣x+m在直线y＝nx+4n（n≠0）上方所对应的自变量x的范围即可． 【解答】解：当x＜﹣2时，﹣x+m＞nx+4n， ∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 7．（2023秋•东阳市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，0），B（2，6）两点． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积； （3）请直接写出当kx+b＜0时的x的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先确定一次函数图象与坐标轴的两交点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可； （3）利用一次函数的性质，利用x＝﹣4，y＝0可得到kx+b＜0时的x的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+4； （2）当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴一次函数与y轴的交点坐标为（0，4）， ∵一次函数与x轴的交点A点的坐标为（﹣4，0）， ∴这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积＝×4×4＝8； （3）当kx+b＜0时的x的取值范围为x＜﹣4． 题型七　一次函数的应用 例题： 1．（2024•浙江模拟）小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（km）与所花时间t（min）间的函数关系，根据图中信息，校车与步行的速度比是（　　） A． B．2 C．10 D．8 【分析】根据图象可知小明先步行然后等车然后坐车，可知小明步行时间为20分钟，等车时间为（26﹣20）分钟，坐车时间为（40﹣26）分钟，然后根据的关系式，即可计算出步行的速度和校车的速度，然后比较即可． 【解答】解：根据函数关系图可知，步行的速度为：， 校车的速度为：， ∴校车与步行的速度比是：， 故选：C． 2．（2023秋•东阳市期末）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．a＝15 B．小明的速度是150米/分钟 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D．爸爸出发7分钟追上小明 【分析】由图象可得a的值；根据小明的路程和时间可得速度；设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，列一元一次方程可求解；根据追及问题中相距路程÷速度差＝时间可得答案． 【解答】解：线段BC是爸爸买水果的时间5分钟，a＝10+5＝15，故A不符合题意； 由图象可得小明的速度是3300÷（20+2）＝150（米/分钟），故B不符合题意； 设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，则从商店到学校的速度是（x+60）米/分钟， 依题意得，10x+（20﹣15）（x+60）＝3300， 解得x＝200， 所以爸爸从家到商店的速度是200米/分钟，故C不符合题意； 爸爸追上小明得时间是150×2÷（200﹣150）＝6（分钟），故D符合题意． 故选：D． 3．（2023•上城区开学）（1）A、B两物体的路程随时间的变化关系分别如图①、②所示，则A的速度 　＜　B的速度（填＞、＝或＜）；（2）两物体分别从甲、乙两地同时相向而行，经过6秒两物体相遇，则甲、乙两地间的距离为 　15　m． 【分析】（1）根据图象，用路程除以时间求出A、B的速度，进行比较即可； （2）根据甲、乙两地之间的路程＝A、B两物体的路程之和计算即可． 【解答】解：（1）根据图①②可知， A的速度为＝0.5（m/s），B的速度为＝2（m/s）， ∵0.5＜2， ∴A的速度小于B的速度， 故答案为：＜； （2）甲、乙两地间的距离为6×2+6×0.5＝12+3＝15（m）， 故答案为：15． 4．（2024•嘉兴一模）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回．设汽车从甲地出发x（h）时，汽车离甲地的路程为y（km），y与x的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由． （2）求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为60km． 【分析】（1）利用速度＝路程÷时间，可求出这辆汽车的往、返速度，比较后即可得出结论； （2）分0≤x≤2及2.6≤x≤5两种情况考虑，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，求出y＝60时x的值即可． 【解答】解：（1）这辆汽车的往、返速度不相同，理由如下： 这辆汽车从甲地到乙地的速度为120÷2＝60（km/h）， 这辆汽车从乙地返回甲地的速度为120÷（5﹣2.6）＝50（km/h）． ∵60＞50， ∴这辆汽车的往、返速度不相同； （2）当0≤x≤2时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，0），（2，120）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴当0≤x≤2时，y与x的函数关系式为y＝60x， 若y＝120﹣60＝60，则60x＝60， 解得：x＝1； 当2.6≤x≤5时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将（2.6，120），（5，0）代入y＝mx+n得：， 解得：， ∴当2.6≤x≤5时，y与x的函数关系式为y＝﹣50x+250， 若y＝120﹣60＝60，则﹣50x+250＝60， 解得：x＝3.8． 答：这辆汽车从甲地出发1小时或3.8小时时离乙地的路程为60km． 5．（2024•柯桥区二模）如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离d称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系，如表是测得的身高与“一拃长”一组数据： 一拃长d（cm） 16 17 18 19 身高h（cm） 162 172 182 192 （1）按照这组数据，求出身高h与一拃长d之间的函数关系式； （2）某同学一拃长为16.8cm，求他的身高是多少？ （3）若某人的身高为185cm，一般情况下他的一拃长d应是多少？ 【分析】（1）设h＝kd+b，用待定系数法可得身高h与一拃长d之间的函数关系式为h＝10d+2； （2）在h＝10d+2中，令d＝16.8得h＝10×16.8+2＝170，故他的身高是170cm； （3）在h＝10d+2中，令h＝185得185＝10d+2，d＝18.3，故他的一拃长d应是18.3cm． 【解答】解：（1）设h＝kd+b， 把（16，162），（17，172）代入得：， 解得， ∴身高h与一拃长d之间的函数关系式为h＝10d+2； （2）在h＝10d+2中，令d＝16.8得h＝10×16.8+2＝170， ∴他的身高是170cm； （3）在h＝10d+2中，令h＝185得185＝10d+2， 解得d＝18.3， ∴他的一拃长d应是18.3cm． 巩固训练 6．（2024春•下城区校级月考）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．则小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地5.5km的地方的时间间隔为（　　） A．9分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．15分钟 【分析】两次的时间间隔就是：去乙地时距离甲地5.5千米剩下的路程的时间加上返回时到达距离甲地5.5km时用的时间，根据路程和速度算出时间即可． 【解答】解：由图象知：小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3＝15（km/h），小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5＝10（km/h），小明骑车在下坡路的速度为：15+5＝20（km/h）． ∴小明第一次经过距离甲地5.5km的地方时是上坡，其距离乙地还需骑车：（6.5﹣5.5）÷10＝0.1h， 小明第二次经过距离甲地5.5km的地方时是下坡：（6.5﹣5.5）÷20＝0.05h， 则两次的时间间隔是：0.1+0.05＝0.15h，即9分钟； 故选：A． 7．（2024•新昌县一模）清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A．乙提速后每分钟攀登30米 B．乙攀登到300米时共用时11分钟 C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟 D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米 【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D． 【解答】解：甲的速度为：（300﹣100）÷20＝10（米/分）， 10×3＝30（米/分）， 即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意； 乙攀登到300米时共用时：2+（300﹣30）÷30＝11（分钟），故选项B不符合题意； 设y甲＝k1x+b1，y乙＝k2x+b2， 由函数图象得：， 解得， ∴y甲＝10x+100， ∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍， ∴乙提速后的速度为：30米/分， ∴乙从A到B的时间为：（300﹣30）÷30＝9， ∴t＝2+9＝11， ∴B（11，300）， ∴， 解得， ∴y乙＝30x﹣30， （3）当y甲＝y乙时， 则10x+100＝30x﹣30， 解得x＝6.5， 即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故选项C不符合题意； 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了：6.5×10+30+30×（6.5﹣2）＝65+30+135＝230（米），故选项D符合题意． 故选：D． 8．（2024春•玉环市期末）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是 　　． 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲20秒跑完80米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑8秒钟跑的路程之和为80米，从而可以求得乙的速度，然后用80除以乙的速度，即可得到t的值． 【解答】解：由图象可得， 甲的速度为80÷20＝4（米/秒）， 乙的速度为：80÷8﹣4＝10﹣4＝6（米/秒）， 则t＝＝， 故答案为：． 9．（2023秋•武义县期末）甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如表： 1kg及以内 超过1kg的部分 甲 8元 2元/kg（不足1kg按1kg计） 乙 6元 3元/kg 设邮件的质量为xkg，甲、乙两公司的快递费分别为y甲元，y乙元． （1）若y甲＝14，则x的取值范围为 　4　． （2）若y甲≤y乙，则x的取值范围为 　x≥3　． 【分析】先根据表格列出解析式，令y甲＝14解出答空1答案，在根据y甲≤y乙列不等式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得， ，， 当y甲＝14时，2x+6＝14， 解得：x＝4， 故答案为：4， （2）当y甲≤y乙时， 2x+6≤3x+3，解得：x≥3， 故答案为：x≥3． 10．（2023秋•鄞州区期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲种 5 8 乙种 9 13 （1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以得到利润与购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进（160﹣x）千克， 由题意可得：5x+9（160﹣x）＝1000， 解得x＝110， ∴160﹣x＝50， 答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克； （2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果购进（160﹣m）千克，获得的利润为w元， 由题意可得：w＝（8﹣5）m+（13﹣9）（160﹣m）＝﹣m+640， ∴w随m的增大而减小， ∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍， ∴160﹣m≤3m， 解得m≥40， ∴当m＝40时，w取得最大值，此时w＝600，160﹣m＝120， 答：安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元． 11．（2023秋•婺城区校级月考）一慢车和一快车沿相同路线从A地到相距120千米的B地，所行地路程与时间的函数图象如图所示．试根据图象，回答下列问题： （1）慢车比快车早出发 　2　小时，快车比慢车少用 　8　小时到达B地； （2）快车用了多少时间追上慢车；此时距离A地多少千米？ （3）慢车行驶多少小时两车相距10km． 【分析】（1）根据函数图象所给的信息进行求解即可； （2）根据函数图象先求出快车的速度为12km/h，慢车的速度为，设快车出发t小时后追上慢车，根据快车追上慢车时两车所走的路程相同列出方程求解即可； （3）设慢车行驶m小时两车相距10km，然后分当快车未出发两车相距10km时，当快车出发且未追上慢车且两车相距10km时，当快车出发追上慢车后且未到终点前两车相距10km时，当快车到达终点后两车相距10km时，四种情况列出方程求解即可． 【解答】解：（1）由函数图象可知，慢车比快车早出发2小时，快车比慢车少用18﹣（12﹣2）＝8小时到达B地， 故答案为：2；8； （2）由题意得，快车的速度为，慢车的速度为， 设快车出发t小时后追上慢车， 由题意得，， 解得t＝2.5， ∴快车用了2.5小时追上了慢车，此时距离A地2.5×12＝30km； （3）设慢车行驶m小时两车相距10km， 当快车未出发两车相距10km时，则，解得； 当快车出发且未追上慢车且两车相距10km时，则，解得； 当快车出发追上慢车后且未到终点前两车相距10km时，则，解得； 当快车到达终点后两车相距10km时，则，解得； 综上所述，慢车行驶小时或小时或小时或小时两车相距10km． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$