第二十二章 二次函数（A卷·基础提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第22章 二次函数（A卷·基础提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时， C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，有最小值 3．将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 5．下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（    ） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．已知抛物线的对称轴为直线，则b的值为 ． 12．如果函数是二次函数，则m的取值范围是 13．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 14．若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ． 15．抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是 ． 16．二次函数的图象经过点，，，与y轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于x的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 （填写序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）二次函数的图象顶点坐标为，且过． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 18．（8分）已知一个二次函数的图象过，，三点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式． 19．（8分）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 20．（8分）已知抛物线． (1)若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式； (2)求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）． 21．（8分）已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 22．（10分）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点； (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 23．（10分）怀远石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户从怀远购进一批石榴进行销售（只按整箱销售不零售），进价为80元/箱，当销售价为120元/箱时，每天可售出20箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价1元，平均每天可多售出2箱． (1)每箱石榴降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (2)当每箱石榴降价多少元时，商家平均每天盈利最多？ 24．（12分）如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 二次函数（A卷·基础提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择题时,答案用0.5毫米黑色签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 2．对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时， C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，有最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，结合解析式分析，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， A. ，抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意；     B. 当时，，故该选项不正确，符合题意；     C. ∵顶点，开口向上，∴抛物线与轴有两个交点，故该选项正确，不符合题意；         D. 当时，有最小值，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先化为顶点式，然后根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 4．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 5．下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（    ） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)． 【详解】解：由表可知当时，， 当时，， 抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， 方程的一个根的近似值约为， 故选：C． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 7．如图是二次函数的图象，表明无论x为何值，函数值y永远为负，则下列结论成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴的下方，可得抛物线开口向下，与x轴无交点，即． 【详解】解：∵无论x为何值，函数值y永远为负， ∴函数图象都在轴下方，与轴无交点， ∴，， 故选：D． 8．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下三个结论：①，②，③，其中正确的结论（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，二次函数的对称轴，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，理解最值的意义是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质即可求出答案． 【详解】∵抛物线的图象开口向下 ∴ ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴ ∴，故②正确； 由图象可得，当时，，故③正确． 综上所述，其中正确的结论有3个． 故选：D． 9．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质：图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，据此可以判断、、的大小关系． 【详解】解：，即 所以函数图象对称轴为直线，且开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为， 、、三点都在对称轴的右侧，且， ． 故选：B． 10．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为，将代入，得：， ∴， 当时，， ∴高度为； 故选D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．已知抛物线的对称轴为直线，则b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用对称轴公式可求得对称轴，再利用条件可得到关于b的方程，可求得答案． 【详解】解：∵的对称轴为直线， ∴， 解得，， 故答案为：2 12．如果函数是二次函数，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， ， 故答案为： 13．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 14．若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第一象限， ∴， ∴m的取值范围为． 故答案为：． 15．抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴y的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 16．二次函数的图象经过点，，，与y轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于x的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】先根据题意画出大致的图象，再令，可知，判断①；再根据抛物线与x的交点坐标可知对称轴的范围，即可判断②；根据三个点的横坐标，即可判断纵坐标之间的关系；最后根据抛物线与的交点情况判断即可． 【详解】∵抛物线与y轴正半轴相交，与x轴交点在y轴两侧， ∴抛物线开口向下， ∴当时，，所以①正确． ∵抛物线经过，，， ∴抛物线对称轴在与之间， ∴. ∵， ∴， 即，②错误． ∵，，， ∴点距离对称轴最远，点距离对称轴最近， ∴，③正确． 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，观察图像并从图像中获取信息是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）二次函数的图象顶点坐标为，且过． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数图象的增减性是解题的关键． （1）由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解； （2）根据的取值范围和函数图象增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴设抛物线顶点式为：， ∵二次函数的图象过， 代入抛物线解析式得：， 解得：， 故二次函数解析式为：； （2）解：∵，其中，对称轴为直线， ∴在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴直线右侧随的增大而增大， 又∵到直线的距离大于到直线的距离，且当时，，当时，， ∴当时，函数值的取值范围是． 18．（8分）已知一个二次函数的图象过，，三点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式． 【答案】(1) (2)向左平移个单位，再向上平移个单位得到 【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式和二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设二次函数的解析式为，将三个点代入求得a、b、c，即可解得； （2）首先将配方成，然后根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 根据题意得， 解得 ∴； （2）∵ ∴顶点坐标为 ∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到，顶点坐标为原点． 19．（8分）已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【详解】（1）解：的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表： 描点画图，得： （3）解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 20．（8分）已知抛物线． (1)若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式； (2)求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． (1)依据题意，由点在抛物线上，代入求出m即可得解； (2)依据题意，由抛物线为，进而可以得解． 【详解】（1）解∶由题意，点在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为． （2）解∶依据题意，抛物线为， 该抛物线的顶点为． 21．（8分）已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 22．（10分）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点； (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)，抛物线有最低点， (3)，抛物线有最大值，其最大值为 【分析】（1）根据二次函数的定义求出的值即可解决问题； （2）运用“当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，据此解答便可； （3）运用“当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答便可． 本题主要考查了二次函数的定义的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是根据定义列出的不等式组． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数 ∴， 解得． 当时，原函数是二次函数． （2）解：根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上， ， 即， 根据第（1）问得， ∴． 该抛物线的解析式为， 抛物线的最低点为， 故当时，抛物线有最低点，其最低点坐标为， （3）解：根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下， ， 即， 根据第（1）问得， ∴． 该抛物线的解析式为， 其函数最大值为， 故当时，抛物线有最大值，其最大值为． 23．（10分）怀远石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户从怀远购进一批石榴进行销售（只按整箱销售不零售），进价为80元/箱，当销售价为120元/箱时，每天可售出20箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价1元，平均每天可多售出2箱． (1)每箱石榴降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (2)当每箱石榴降价多少元时，商家平均每天盈利最多？ 【答案】(1)10或20 (2)15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设每箱石榴降价x元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于1200列出方程，求出解即可； （2）设利润为w，即可得出关于x的二次函数，再讨论极值即可． 【详解】（1）解：设每箱石榴降价x元，根据题意，得 ， 解得， ∴每箱石榴降价10元或20元，商家平均每天能盈利1200元； （2）解：设总利润为w，根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，元． ∴当每箱石榴降价15元时，商家平均每天盈利最多． 24．（12分）如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)3 (2)点P的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出的值，利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积； （2）首先求出，然后根据题意得到，然后代数求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得： ∴二次函数关系式为： 将代入得： ∴ ∵点，在一次函数的图象上 ∴， 解得：， ∴一次函数关系式为 当时， ∴一次函数与y轴交点坐标为 ∴，点横坐标为，点的横坐标为 ∴ ∴ ∴的面积为； （2）∵一次函数关系式 ∴当时， ∴ ∴ ∴ ∵的面积与的面积相等 ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ ∴点P的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$