第五章 一元一次方程（单元重点综合测试，2024人教版）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第五章 一元一次方程（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列四个式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义依次判断即可，正确理解一元一次方程的定义是解题的关键 【详解】解：A.没有等号不是方程，故不符合题意； B.未知数的最高次数是2次，不符合定义，故不符合题意； C.方程化简后为，符合定义，故符合题意； D.不是整式方程，不符合定义，故不符合题意； 故选：C 2．（本题3分）下列方程变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原方程变形正确，不符合题意； B、若，则，原方程变形正确，不符合题意； C、若，则，原方程变形错误，符合题意； D、若，则，原方程变形正确，不符合题意； 故选：C． 3．（本题3分）已知是方程的解，那么实数m的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解．熟练掌握方程的解是解题的关键． 将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， 故选：D． 4．（本题3分）下面解方程的过程，你认为正确的是（    ） A．方程，合并，得 B．方程，去括号，得 C．方程，去分母，得 D．方程，系数化为1，得 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法和步骤解一元一次方程是解题的关键． 根据解一元一次方程的方法，逐项进行判定即可求解． 【详解】解：A、方程，合并，得，解得，，原选项表示错误，不符合题意； B、方程，去括号，得，原选项计算错误，不符合题意； C、，去分母，得，原选项计算错误，不符合题意； D、原选项计算正确，符合题意； 故选：D ． 5．（本题3分）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 6．（本题3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为，今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设原来有米x斗，则向桶中加了谷子斗，根据谷子出米率为，再舂成米为斗，共得米7斗，列出方程即可． 【详解】解：设原来有米x斗，则向桶中加了谷子斗， 谷子出米率为， 斗谷子可出米为斗， 根据题意得：． 故选：A． 7．（本题3分）若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程，同解方程就是解相同的方程，先求出第一个方程的解是解题的关键． 求出两个方程的解，根据两个方程的解相同，得到关于m的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∴， 解得：， 故选：D． 8．（本题3分）若关于的方程的解是整数，则满足条件的整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 解方程得到，然后根据解是整数求解即可． 【详解】解：， 解得， 由于解是整数，故的值可以为， 或或或， 故选A． 9．（本题3分）将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意得出关于x的方程，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选 D． 10．（本题3分）如下图，用黑白两种颜色的平行四边形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图形，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化，发现题目中白色纸片的变化规律、利用数形结合思想解题是关键．根据题目中的图形，可以发现白色纸片的变化规律，然后根据第个图案中白色纸片2022个，即可解题． 【详解】解：由图可知，第1个图案，有4个白色纸片； 第2个图案，有个白色纸片； 第3个图案，有个白色纸片； …… 以此类推，当第个图案，时，有个白色纸片， 当时，化简得 ， 解得：． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1的整式方程是一元一次方程． 根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）当 时，式子与的值相等． 【答案】 【分析】此题主要考查了代数式的值相等的问题，根据相等关系构成一元一次方程是解题关键．依题意，建立一元一次方程，再去分母和移项、合并同类项，即可作答． 【详解】解：依题意，， 去分母得， 移项合并同类项，得 解得， 故答案为：． 13．（本题3分）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解． 依据题意，由一次方程无解，从而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵无解， ， ， 故答案为：． 14．（本题3分）哈尔滨市居民每月用水收费标准：用水量不超过18立方米时，每立方米2.1元，超过18立方米的部分每立方米3.2元，该用户5月份交水费153元，则该用户用水 立方米． 【答案】54 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设该用户用水x立方米，根据“该用户5月份交水费153元，”列方程求解即可． 【详解】解：设该用户用水x立方米， 由题意得，， 解得， 即该用户用水54立方米， 故答案为：54． 15．（本题3分）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元一次方程的解求参数，整体代换解一元一次方程，掌握整体代换的思想是解题的关键．将所求方程两边同乘，整理可得，进而可求出． 【详解】解：将所求方程两边同乘， 对照 比较发现， ，而， 所以． 故答案为：． 16．（本题3分）如图，某数学活动小组编制了一个有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序进行运算，即可计算出结果．（其中“”表示一个有理数） 若“”表示的数为3． (1)若输入的数为，则运算结果是 ； (2)若运算结果是，则输入的数是 ． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查有理数的混合运算、解一元一次方程； （1）把代入进行有理数的混合运算即可； （2）由题意得，，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， 故答案为：9． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】依次进行去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解，本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是：熟练掌握解一元一次方程的五个步骤, 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得， （2）解： 去分母，得： 去括号，得： 移项、合并同类项，得： 系数化为1，得：． 18．（本题6分）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误的步骤是，正确的解法见解析． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 【详解】解：最早出现错误的步骤是，正确的解法如下： 对于方程， 将系数化为整数，得， 合并同类项，得， 系数化，得． 19．（本题6分）已知是关于x的一元一次方程，求关于y的方程的解． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的定义，绝对值，解题的关键熟练掌握一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义可得a的值，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：根据题意，得，解得． 把代入中， 得， 解得． 把代入中， 得   解得或． 20．（本题8分）若的值比的值小1，求x的值． 【答案】； 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程求解即可得到； 【详解】解：由题意可得， ， 解得：． 21．（本题8分）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，利用方程的解互为倒数得出关于的方程求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∴方程的解为， 代入可得： 解得：， ∴． 22．（本题10分）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购： 超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有5名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若12名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)225 (2)870 (3)车上有学生乘客10人，非学生乘客40人 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据学生的优惠方案，得到总票价＝票价×人数×折扣即可解答； （2）根据学生的优惠方案，得到总票价为10张原价票的金额加上2张八折票价即可； （3）设车上非学生乘客有x人，则学生乘客为人．分两种情况：①若， ②若，列方程求解． 【详解】（1）解：（元）， ∴5名学生乘客买票的总票款为225元； 故答案为：225 （2）解：（元）， ∴12名非学生乘客采用团购方式买票的总票款为870元； 故答案为：870． （3）解：设车上非学生乘客有x人，则学生乘客为人． ①若非学生乘客未达到团购人数，即，根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去． ②若非学生乘客达到团购人数，即，根据题意，得， 解得，符合题意． 综上所述，，， 答：车上有学生乘客10人，非学生乘客40人． 23．（本题9分）规定一种新的运算：．例如：．请用上述规定计算下面各式： (1) (2)，求a. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查新定义运算，有理数的混合运算以及解一元一次方程： （1）根据可以求得所求式子的值； （2）根据列出方程式求解即可 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）∵ ∴ ∴ ∴ 24．（本题9分）已知关于x的方程，解答下列问题： (1)如果方程的解是时，求字母a的值． (2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值． (3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，及方程的解法，理解题意，正确运算是解本题的关键； （1）把代入，再解方程即可； （2）按题意原方程去分母可得，把代入再解方程即可； （3）先把方程去分母整理为，由方程无解可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：把代入方程，得： ， ∴， 解得，； （2）∵， ∴（去分母时漏乘）， 把代入可得： ， 整理得：， 解得：； （3）， ∴， 整理得：， 当时，方程无解， ∴； 25．（本题10分）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列四个式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列方程变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（本题3分）已知是方程的解，那么实数m的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（本题3分）下面解方程的过程，你认为正确的是（    ） A．方程，合并，得 B．方程，去括号，得 C．方程，去分母，得 D．方程，系数化为1，得 5．（本题3分）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为，今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）若关于的方程的解是整数，则满足条件的整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．（本题3分）将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 10．（本题3分）如下图，用黑白两种颜色的平行四边形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图形，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）若是关于x的一元一次方程，则 ． 12．（本题3分）当 时，式子与的值相等． 13．（本题3分）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 14．（本题3分）哈尔滨市居民每月用水收费标准：用水量不超过18立方米时，每立方米2.1元，超过18立方米的部分每立方米3.2元，该用户5月份交水费153元，则该用户用水 立方米． 15．（本题3分）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是 ． 16．（本题3分）如图，某数学活动小组编制了一个有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序进行运算，即可计算出结果．（其中“”表示一个有理数） 若“”表示的数为3． (1)若输入的数为，则运算结果是 ； (2)若运算结果是，则输入的数是 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（本题6分）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 19．（本题6分）已知是关于x的一元一次方程，求关于y的方程的解． 20．（本题8分）若的值比的值小1，求x的值． 21．（本题8分）已知关于x的方程与方程的解互为倒数，求的值． 22．（本题10分）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给春节回家的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购： 超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有5名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若12名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数则按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 23．（本题9分）规定一种新的运算：．例如：．请用上述规定计算下面各式： (1) (2)，求a. 24．（本题9分）已知关于x的方程，解答下列问题： (1)如果方程的解是时，求字母a的值． (2)如果某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是，求字母a的值． (3)如果方程无解，请你直接写出字母a的值． 25．（本题10分）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$