期中模拟押题密卷01【基础卷】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

期中模拟押题密卷01 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．过点且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 3．在四面体中，，，，，，用向量，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，则圆O关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 5．为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 10．已知空间向量，，下列结论正确的是（    ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为 ． 13．过作圆的切线，则其切线方程为 . 14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点P在C的渐近线上，且，则a的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． (1)求实数的值； (2)当时，求过点并与圆相切的直线方程． 16．已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 18．如图，在四棱锥中，，，.平面平面，为等边三角形，点是棱上的一动点. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19．设点F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l交双曲线C的右支于点A，B，分别交两条渐近线于点M，N，点A，M在第一象限，当轴时，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求直线l的斜率． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟押题密卷01 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．过点且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 故选：D 2．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】，， 因为，所以，解得. 故选：A. 3．在四面体中，，，，，，用向量，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设易知为中点，连接，根据空间向量加法、数乘的几何意义可得、，再由即可确定答案. 【详解】∵， ∴为中点，连接，如下图， ∴，而， ∴. 故选：B 4．已知圆，则圆O关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆的圆心，设出关于直线的对称点为，由两点构成直线的斜率与直线垂直以及两点的中点在直线上，列方程组即可求解，由此可得解. 【详解】设圆心关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称圆的圆心为， 所以对称圆的方程为即. 故选：A. 5．为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值. 【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线， 若、、、四点共面，则， 因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面， 所以，，解得. 故选：C. 6．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 7．已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先判断四边形为矩形，利用椭圆定义及其勾股定理即可求解. 【详解】设坐标原点为, ∵, ∴四边形为平行四边形, 又∵ ∴平行四边形为矩形, 由椭圆的定义得，即， 又∵，∴，∴， 则四边形的面积为， 故选：D . 8．已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，利用渐近线的夹角，通过求解三角形推出双曲线的离心率即可. 【详解】如图所示， 可知：，，，，， 可得， ，即 可得， 解得：或 因为，所以， 所以舍去， 故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D. 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 10．已知空间向量，，下列结论正确的是（    ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 【答案】AD 【分析】由焦点坐标求，判断A，设直线的方程，运用韦达定理和抛物线定义求斜率，判断B，写出直线的方程，运用韦达定理和抛物线的焦点弦弦长公式，计算可判断C，设直线的方程，由向量数量积的坐标公式和韦达定理，计算可判断D. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点为，可得，即，从而抛物线，故选项A正确； 对于选项B，设直线的方程，不等于0，代入，得， 所以，， 由抛物线定义可知，， 由，可得， 即，代入，可得， 由，可知，所以，从而， 把，代入，可得，故选项B错误； 对选项C，直线的斜率为2，所以直线方程：，即， 代入，可得，所以， 由抛物线定义可知，所以，故选项C错误； 对选项D，设直线的方程，代入，得， 所以，， 由， 即， 把，，代入， 可得，故选项D正确. 故选：AD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】直线与直线联立得，再由点斜式可求得直线方程. 【详解】联立，解得：． 所以与l3垂直的直线方程为：， 整理得：． 故答案为： 13．过作圆的切线，则其切线方程为 . 【答案】或 【解析】当过点的直线斜率不存在时，方程是，通过验证圆心到直线的距离，得到符合题意；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径1，建立关于的方程，解之得，进而得到直线的方程，最后综合可得答案． 【详解】圆的圆心为，半径为1， （1）当过点的直线垂直于轴时， 此时直线斜率不存在，方程是， 圆心到直线的距离为， 直线符合题意； （2）当过点的直线不垂直于轴时， 设直线方程为，即． 直线是的切线， 点到直线的距离为，解之得， 此时直线方程为． 切线方程为或． 故答案为：或． 【点睛】借助于求过圆外一个定点的圆的切线方程的问题，考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点P在C的渐近线上，且，则a的最小值为 . 【答案】1 【分析】设，由可得点在圆上，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】设，由，得， 整理得，即， 所以点在圆上，圆心为，半径为. 又渐近线即与圆有交点， 所以，即， 整理得，解得，即a的最小值为1. 故答案为：1.    四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． (1)求实数的值； (2)当时，求过点并与圆相切的直线方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于的方程即可求解出结果； （2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解. 【详解】（1）因为圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 所以，所以， 所以或. （2）因为，所以， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到的距离为，所以与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以，所以直线方程为， 所以过点并与圆相切的直线方程为或. 16．已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)有，公共弦长为 【分析】（1）计算圆心到直线距离为，再根据弦长公式计算得到答案. （2）设，根据得到，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案. 【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得； （2），设，由得， 化简得：，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 圆心距，，两圆相交， 所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为. 17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 18．如图，在四棱锥中，，，.平面平面，为等边三角形，点是棱上的一动点. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ) 作中点，连接交于点，先证四边形是菱形，进而得到，再通过面面垂直的性质定理即可得到平面； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法表示出直线与平面所成角的正弦值，根据表达式，即可求出最大值. 【详解】解：（Ⅰ）证明：如图所示： 作中点，连接交于点， 则由知：且， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， 故， 在中，分别为的中点， 故, 即， 又平面平面，平面平面， 平面； （Ⅱ）如上图所示：以点为原点，分别以，所在的直线为轴，轴，以过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意知，，，， 过点作直线与垂直，且. 平面，平面平面， 平面， 又， 即， 点在线段的中垂线上， 由对称性可知：，，三点共线， 由，得：， ， 又由，得：， 点的坐标为， ，， 设平面的法向量 ， 即， 令，则， 设，则， 则， 设直线与平面所成角为，则 .当时取等号， 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】方法点睛： 求空间角的常用方法： （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 19．设点F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l交双曲线C的右支于点A，B，分别交两条渐近线于点M，N，点A，M在第一象限，当轴时，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴可知当时，将代入即可求解. （2）设出直线的方程与双曲线联立消，求出韦达定理，利用弦长公式求出，直线与渐近线联立消，同样求出韦达定理代入弦长公式求出，利用中点与的关系将转化为与，代入相应的弦长即可求解. 【详解】（1）依题意，设， 当时，， ∴，解得，∴． ∵，∴，． ∴双曲线C的标准方程为； （2）易知，设直线l：， 设，，，． 联立，得， ∴，， ∴．① 联立，得， ∴，． ∴．② 取AB中点P，由可知点P也为MN中点． ∴． 由，得，把①②代入得， ∴．∴直线l的斜率为． 【点睛】本题考查了双曲线的基本性质，直线与双曲线的位置关系等，在处理直线与双曲线关系的问题时，设出直线方程与双曲线联立消元得出韦达定理是常用的方法，将题设的条件转化为韦达定理表示出来是此类题型的关键，涉及到的计算量较大，对考生的计算能力、分析转化能力的要求比较大. 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