专题05 期中真题必刷【75道 基础】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题05 期中真题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广东江门·期中）如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东清远·期中）在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 6．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则与底面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东广州·期中）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 9．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 10．（23-24高二上·广东东莞·期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 11．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 12．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·广东东莞·期中）M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知圆关于直线对称，且直线与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·广东江门·期中）已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 19．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 20．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高二下·广东河源·期中）已知过点的直线与抛物线交于，两点，点，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．有一个角为的三角形 D．面积为定值的三角形 24．（22-23高二上·广东湛江·期中）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 25．（21-22高二上·广东深圳·期中）过椭圆上一点M作圆的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高二上·广东江门·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 28．（23-24高二上·广东深圳·期中）下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 29．（23-24高二上·广东江门·期中）给出下列命题，其中正确命题有（    ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底 C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面 30．（23-24高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 31．（22-23高二上·广东东莞·期中）下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 32．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且直线恒过定点，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最小值为 C．圆上的点到直线的距离的最大值为 D． 33．（23-24高二上·广东东莞·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 C．若构成空间的一个基底，则，，不共面 D．点为圆上任意一点，则的取值范围是 34．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（    ） A．圆关于轴对称的圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 35．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标中，已知点，圆．若圆上存在点，使得，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 36．（23-24高二上·广东中山·期中）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 37．（23-24高二上·广东中山·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 38．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 39．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若双曲线上一点满足，则的周长为28 B．渐近线方程为 C．若从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 D．双曲线与椭圆的离心率互为倒数 40．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为2 C． D．的周长为 41．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角的范围是 C．方程表示的曲线是双曲线 D．曲线与曲线恰有三条公切线，则 42．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：，将绕原点逆时针方向旋转得到椭圆，将所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点、在上，且，则（    ） A．，的四个焦点构成一个正方形 B．与离心率相等 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 三、填空题 43．（23-24高二上·广东江门·期中）已知，，且，则x的值是 ． 44．（23-24高二上·广东东莞·期中）为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取，两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则斜坡面与水平面所成角的大小为 ． 45．（23-24高二上·广东深圳·期中）在平行六面体中，，，，，则 ． 46．（23-24高二上·广东深圳·期中）空间三点，，，若与，都垂直，且，则的坐标为 . 47．（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 48．（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 49．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 50．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是 ． 51．（23-24高二上·广东江门·期中）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，若AC边上的高所在直线的方程为，则点B的坐标为 ． 52．（23-24高二上·广东中山·期中）已知双曲线的左焦点为，方向向量为的直线l过与双曲线左，右两支分别交于，两点且，则双曲线离心率为 . 53．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 54．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 55．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为 56．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 57．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是C上的动点，的面积的最大值为9，则椭圆C长轴长的最小值为 . 四、解答题 58．（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 59．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 60．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． (1)若是线段的中点，求证：平面； (2)若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． 61．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. (1)求直线和平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 62．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 63．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 64．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点. (1)求的范围； (2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值. 65．（23-24高二上·广东江门·期中）的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线方程； (2)AC边上的中线所在直线方程及中线的长度． 66．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 67．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，线段的一个端点在圆上运动，另一端点． (1)若线段的中点为，求点的轨迹方程，并指出点的轨迹是什么图形； (2)设（1）中点的轨迹为图形，由图形外一点向该图形引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求的最小值． 68．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线被圆：截得的弦长为，且. (1)求圆的方程； (2)已知直线的方程为、直线的方程为和直线的方程为，且圆是的内切圆，令的面积，求的解析式. 69．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且以为底边的等腰直角三角形的顶点恰好在y轴上，求直线l的方程． 70．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆C的一个顶点为，两焦点坐标分别为，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线，与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，求k的取值范围. 71．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值． 72．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． (1)求双曲线的标准方程； (2)点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． 73．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点． 74．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围. 75．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知平面内的动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点M与两定点A，B的距离之比（，，且是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左焦点为E，过点A作直线l交圆于点S，T，求面积的最大值. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 期中真题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】，， 因为，所以，解得. 故选：A. 2．（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求出结果. 【详解】取中点，连接，如图，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则, 又，分别为母线、的中点，所以， 则，， 设异面直线和所成角的， 则，又，所以. 故选：C. 3．（22-23高二上·广东江门·期中）如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 又，，，，， 所以 所以. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解. 【详解】因为分别是的中点，是的中点， 所以，， 则. 故选：D. 5．（23-24高二上·广东清远·期中）在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先依据空间向量基本定理利用向量表示向量，进而求得的值，即可求得的值. 【详解】由 又，则 所以 故选：C 6．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则与底面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算先算出，连接，作,交延长线于M，可证面,得到,即可证面,故可得与面所成角为，即可得到答案. 【详解】因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形, ,,又,, ,，, 所以 ,即， 连接，作,交延长线于M，易知,, 因为, 所以,又面,面, 所以面，又面,所以, 因为与相交，所以面， 所以与面所成角为， 在中，, 因为,所以, 故选：B.      7．（23-24高二上·广东广州·期中）已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为为空间内三个不共面的向量，所以可以作为空间内的一组基底， 又平面和平面的法向量分别为和且， 所以，则，即， 所以，解得，所以. 故选：B 8．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 9．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可. 【详解】直线：与直线：平行， 则，解得或， 当时，此时直线：与直线：平行， 当时，此时直线：与直线：平行， 故或 故选：C 10．（23-24高二上·广东东莞·期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将两个圆的方程相减，可得两圆的公共弦的方程，求得弦所在直线与坐标轴的截距，即可求得答案. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1， 圆的圆心为，半径为2， 则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交， 故将和相减得， 即圆与圆的公共弦所在直线方程为， 令，则；令，则， 故与两坐标轴所围城的三角形面积为， 故选：C 11．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可. 【详解】 如图，设关于直线对称的点为， 则得即， 易知， 当三点共线时， 取得最小值， 最小值为. 故选：A 12．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先由直线平行求得的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，且，解得， 则，即，， 所以与的距离为. 故选：C. 13．（23-24高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程. 【详解】圆，圆心为，半径为2， 设圆心关于直线对称的点是， 则，解得. 则所求圆的方程为. 故选：D 14．（23-24高二上·广东东莞·期中）M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 如图，由弦长公式知，，解得， 所以，点N在以为圆心，1为半径的圆上， 由图可知，的最小值为. 故选：B 15．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知圆关于直线对称，且直线与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆关于直线对称，所以圆心在直线上，又由直线与直线平行，从而求解. 【详解】由圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 又因为直线与直线平行， 所以：设直线方程：， 将圆心代入得：，得直线方程：，故B项正确. 故选：B. 16．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，直线， 可变形可得， 联立，解得，则直线恒过定点，记为， 圆的圆心为，半径，则， 又为圆的弦，设的中点为，则有， 所以， 易知，记，则，， 所以的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即的面积的最大值为. 故选：D. 17．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线l的方程恒过定点，斜率为. 因为，， 所以，. 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 18．（23-24高二上·广东江门·期中）已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似关系可得，再利用直线方程和椭圆方程后可求直线的斜率. 【详解】 因为离心率为，故可设，故， 故椭圆方程为：， 而，，故，因，故. 故直线与轴不垂直也不重合， 故可设，，，则， 由可得， 因在椭圆内部，故恒成立，且， 故，因，故， 此时，， 故在第一象限，符合条件，的斜率为， 故选：A. 19．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆两个焦点为分别为、，过的直线交该椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由图形及椭圆定义可得答案. 【详解】由椭圆方程可得：， 的周长为. 故选：D. 20．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案. 【详解】的中点坐标为，则， 设，，则，， 相减得到：，即，， 又，，解得，，椭圆的方程为. 故选：C. 21．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在为直径的圆上，即，根据得到离心率范围. 【详解】，故在为直径的圆上，即， 圆在椭圆内部，故，，故. 故选：B. 22．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围 【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点， 由 得， 所以或， 当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件； 当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要， 即，即，解得，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决. 23．（22-23高二下·广东河源·期中）已知过点的直线与抛物线交于，两点，点，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．有一个角为的三角形 D．面积为定值的三角形 【答案】B 【分析】 设，，过点的直线方程为，联立方程组可证，进而易判断A，B，C，可证的面积不为定值，可判断D． 【详解】 设，，过点的直线方程为， 将直线方程与抛物线联立得：，， ，， 点，，， ， 所以，故B正确． 当直线无限接近平行于对称轴时，显然， 不一定是等腰三角形，同时无限接近，故AC不正确； 点到直线的距离为， ， 不为定值．故D错误． 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是设过点的直线方程为，联立方程组利用韦达定理解决问题. 24．（22-23高二上·广东湛江·期中）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得各边长，再利用面积公式即可求得的面积. 【详解】由题可知，焦距，则，又椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4， 即，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 整理得，所以，则，故的面积. 故选：D. 25．（21-22高二上·广东深圳·期中）过椭圆上一点M作圆的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，结合圆的切线方程求得直线的方程，即可求得面积的表达式，结合基本不等式即可求解答案. 【详解】设点，则，    设，则点A处的切线方程为， 点B处的切线方程为， 由于这两条切线都过点，则， 故直线的方程为， 令，令， 即，则， 由于， 当且仅当，即时等号成立， 故， 即面积的最小值为， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题求面积的最小值，因此要想法求得该三角形面积的表达式，故解答本题的关键在于要求出直线AB的方程，从而求得A，B的坐标，即可求得三角形面积表达式，结合基本不等式即可求解. 26．（21-22高二上·广东深圳·期中）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线离心率可得，根据双曲线定义推出，利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由题意双曲线C的离心率为，焦点为F1、F2，点A在C上， 故不妨设为左、右焦点，由可知A在双曲线右支上， 则，故， 由于双曲线C的离心率为，则，即， 在中， ， 故选：B 27．（22-23高二上·广东江门·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得 ，由离心率可求出，同理结合代入余弦定理可求，进而得解. 【详解】由题可知，，求得， 对由余弦定理可得 ，即， 即，因为，解得， 又， 即，解得，， 所以的周长为. 故选：A 二、多选题 28．（23-24高二上·广东深圳·期中）下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 【答案】BC 【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；   对于B中，因为，则，即， 又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，由是空间的一组基底，且， 令，可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间基底，所以C正确； 对于D中，若为钝角，则，且与不共线， 由，解得，当时与平行时，由，解得， 当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误. 故选：BC 29．（23-24高二上·广东江门·期中）给出下列命题，其中正确命题有（    ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底 C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可. 【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确； 选项中，根据空间基底的概念，可得不正确； 选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确； 选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确. 故选：ACD. 30．（23-24高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】BD 【分析】 对A，求出圆心到直线的距离，将圆上点到直线的最短距离与比较即可；对B，转化为两圆外切即可；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】 选项A，由题知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由，圆上不存在点到直线的距离为，故A错误； 选项B， 整理得，圆心为，半径为， 由题可知两圆外切时有三条公切线，则，解得，B正确； 选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为， 此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误； 选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BD. 31．（22-23高二上·广东东莞·期中）下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AD 【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D. 【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角， 但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意， 综上可得，故B正确； 对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为时直线方程为， 当截距都不为时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误. 故选：AD 32．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且直线恒过定点，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最小值为 C．圆上的点到直线的距离的最大值为 D． 【答案】CD 【分析】设，以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程求直线的方程，进而确定的轨迹方程，由直线所过定点、圆的性质求最短弦长、圆上点到直线距离的最大值，讨论的位置，结合圆的切线性质研究角的范围，从而可求解. 【详解】对于A项：设，以为直径的圆的方程为，化简得， 与联立，两式相减得：直线的方程为，又因为直线恒过定点， 所以的轨迹方程为，即，故A项错误； 对于B项：因为，当时弦长最小，所以，故B项错误； 对于C项：因为直线恒过定点，所以圆上点到直线距离的最大值为，故C项正确； 对于D项：如图，圆心到直线的距离为，记为：， 当运动到时，，则，则， 当位于直线的其它位置时，，，则，则， 综上所述，故D项正确.    故选：CD. 33．（23-24高二上·广东东莞·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 C．若构成空间的一个基底，则，，不共面 D．点为圆上任意一点，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】根据一般式直线方程，得到直线的斜率和截距，即可判断A；根据空间点关于平面的对称关系，即可判断B；根据共面向量公式，即可判断C；设，根据直线与圆的位置关系，即可判断D. 【详解】A.由且，可知，直线的斜率，纵截距，则直线不经过第三象限，故A正确； B. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为，故B正确； C. 若构成空间的一个基底，则向量不共面， 设， 则，无解， 所以向量，，不共面，故C正确； D.设，则，因为点为圆上任意一点， 所以圆心到直线的距离，解得：，故D错误. 故选：ABC 34．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（    ） A．圆关于轴对称的圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于 A ，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线经过的点，从而可求出直线方程，对于 C ，由题意可知反射光线所在的直线经过的点，再结合圆的性质即可求解，对于 D，表示出弦长和弦心距后，可表示出所求面积，从而可求出其最大值. 【详解】对于A ，圆C关于 x 轴的对称圆的方程为，所以 A 正确， 对于B ，因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心，所以入射光线所在的直线过点， 因为入射光线过点，所以入射光线所在的直线的斜率为， 所以入射光线所在直线方程为，所以 B 正确， 对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则， 因为，所以，所以C错误， 对于D，设，， 则圆心C到直线的距离为， 所以， 所以当即时，面积取得最大值，所以D正确， 故选： ABD 35．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标中，已知点，圆．若圆上存在点，使得，则实数的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】BC 【分析】设，求得点的轨迹方程，根据圆与圆的位置关系求得的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】设，由得：， 整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 圆的圆心为，半径， 由于点存在，两圆有公共点， 所以，即， 其中恒成立， 由得，， 所以AD选项错误，BC选项正确. 故选：BC 36．（23-24高二上·广东中山·期中）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 【答案】AC 【分析】根据曲线方程的特点可得答案. 【详解】若，即时，曲线表示圆，A正确； 当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确； 若表示双曲线，则有，即或，C正确； 若表示椭圆，则，解得且，D不正确. 故选：AC 37．（23-24高二上·广东中山·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（    ） A． B．若，则直线的斜率为 C．若直线的斜率为2，则 D． 【答案】AD 【分析】由焦点坐标求，判断A，设直线的方程，运用韦达定理和抛物线定义求斜率，判断B，写出直线的方程，运用韦达定理和抛物线的焦点弦弦长公式，计算可判断C，设直线的方程，由向量数量积的坐标公式和韦达定理，计算可判断D. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点为，可得，即，从而抛物线，故选项A正确； 对于选项B，设直线的方程，不等于0，代入，得， 所以，， 由抛物线定义可知，， 由，可得， 即，代入，可得， 由，可知，所以，从而， 把，代入，可得，故选项B错误； 对选项C，直线的斜率为2，所以直线方程：，即， 代入，可得，所以， 由抛物线定义可知，所以，故选项C错误； 对选项D，设直线的方程，代入，得， 所以，， 由， 即， 把，，代入， 可得，故选项D正确. 故选：AD. 38．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 【答案】BD 【分析】由双曲线，求得，根据选项，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】解：由双曲线，可得，则， 对于A中，设点的坐标为， 其中，则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，，所以A不正确； 对于B中，由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到的距离为，所以B正确； 对于C中，由由双曲线的近线方程为， 要使得直线与双曲线C有交点，则，所以C不正确； 对于D中，设点的坐标为，则，可得， 又由，则， 所以D正确. 故选：BD. 39．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若双曲线上一点满足，则的周长为28 B．渐近线方程为 C．若从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 D．双曲线与椭圆的离心率互为倒数 【答案】AC 【分析】计算，得到A正确，渐近线方程为，B错误，最短距离为，C正确，计算离心率得到D错误，得到答案. 【详解】双曲线的焦点分别为，， 对选项A：，，故，， 的周长为，正确； 对选项B：双曲线的渐近线方程为，错误； 对选项C：从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为，正确； 对选项D：双曲线离心率为，椭圆的离心率，错误； 故选：AC. 40．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为2 C． D．的周长为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的短轴长以及离心率求得，即可求得椭圆方程，判断A；求出焦距判断B；求出椭圆的通径长判断C；结合的周长为4a，判断D. 【详解】对于A，设椭圆的方程为，则由题意得， 离心率为，即， 即椭圆的方程为，A错误； 对于B，由，可得椭圆的焦距为2，B正确； 对于C，不设椭圆的焦点，将代入中，    可得，故，C正确； 对于D，的周长为，D错误； 故选：BC 41．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角的范围是 C．方程表示的曲线是双曲线 D．曲线与曲线恰有三条公切线，则 【答案】BD 【分析】代入验证知A错误，确定得到B正确，轨迹为两条射线，C错误，确定两圆外切，根据圆心距与半径的关系得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：将代入验证不成立，错误； 对选项B：直线的斜率为， 直线倾斜角为，，，则，正确； 对选项C：， 表示到点和的距离之差的绝对值为，轨迹为两条射线，错误； 对选项D：，， 两圆有三条公切线，故两圆外切，故，解得，正确； 故选：BD 42．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：，将绕原点逆时针方向旋转得到椭圆，将所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点、在上，且，则（    ） A．，的四个焦点构成一个正方形 B．与离心率相等 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 【答案】ABD 【分析】A选项，求出，得到两椭圆的焦点坐标，得到A正确；BC选项，求出，得到与的离心率，B正确，C错误；D选项，由点差法得到，得到D正确. 【详解】A选项，：的焦点坐标为， 由题意得：，故焦点坐标为， 故，的四个焦点构成一个正方形，A正确； BC选项，的离心率为， 设上的点对应的上的点的坐标为， 则，故，将其代入：中，得到， 故：，C错误； 则离心率为，与离心率相等，B正确； D选项，设，则， 两式相减得， 即， 其中，    因为，所以， 故，解得， 线段的中点始终在直线，D正确. 故选：ABD 三、填空题 43．（23-24高二上·广东江门·期中）已知，，且，则x的值是 ． 【答案】2 【分析】由，得直接求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得， 故答案为：2 44．（23-24高二上·广东东莞·期中）为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取，两点，且，到直线的距离，到直线的距离，，则斜坡面与水平面所成角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】利用空间向量数量积的运算律求解． 【详解】设与的夹角为， 因为， 所以， 又，即， 所以，又，所以， 所以斜坡面与水平面所成的角为. 故答案为： 45．（23-24高二上·广东深圳·期中）在平行六面体中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】由题意可知， 所以 . 故答案为：. 46．（23-24高二上·广东深圳·期中）空间三点，，，若与，都垂直，且，则的坐标为 . 【答案】或 【分析】先求出，设，再根据与垂直及的模长列出方程组求解即可. 【详解】， 设，则，解得或 所以的坐标为或. 故答案为：或 47．（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆作差相减，以能求出两圆的公共弦所在的直线方程. 【详解】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为：. 48．（23-24高二上·广东江门·期中）平面直角坐标系中，直线与交于点，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出点的轨迹，然后利用几何关系求出到直线距离的最小值. 【详解】由直线与直线，得 所以两直线垂直， 又因为直线恒过，直线恒过， 所以点的轨迹为以点和点为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以， 圆心到直线的距离， 到直线距离的最小值为. 故答案为： 49．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式|可分析出当时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点，该点在圆内， 因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离， 当时，最大，最小， 又因为圆：，所以圆心，, 则，此时：. 故答案为：. 50．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知，直线上存在点，满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 根据条件先判断点在线段上，结合点在直线上得出点是线段与直线的公共点，接着判断直线过定点，最后通过直线的斜率范围求得数的取值范围. 【详解】   如图，由可得 因点满足，即, 故点在线段上， 又因过点，则点是线段与直线的公共点. 由整理得：， 则易得直线过定点， 直线的斜率为直线的斜率为 又由知其斜率必存在（否则直线与线段无公共点）， 依题意，其斜率需满足，解得：或. 故答案为：. 51．（23-24高二上·广东江门·期中）已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，若AC边上的高所在直线的方程为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，满足AC边上的高所在直线方程；将中点坐标代入方程；两方程联立可求得点坐标. 【详解】设，代入AC边上的高所在直线的方程得：， 的中点坐标为，代入方程为：， 即， 联立得，解得：，. 故答案为： 52．（23-24高二上·广东中山·期中）已知双曲线的左焦点为，方向向量为的直线l过与双曲线左，右两支分别交于，两点且，则双曲线离心率为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义及直角三角形的性质可得答案. 【详解】因为直线l过且方向向量为，所以倾斜角为，即，如图， 连接，由定义可得,， 因为，所以， 取AB中点Q，则，且， 中，由，可得， 所以， 中，由勾股定理可得，即离心率. 故答案为：    53．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故答案为： 54．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】设点， 则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即， 所以，即椭圆离心率， 故答案为： 55．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为 【答案】 【分析】 设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系求出C，D点坐标，得出直线方程，即可求出直线所过定点 【详解】 因为，，， 则：，：． 设，． 联立椭圆方程与得： 得， ∴， 因为， ∴，∴， 联立椭圆方程与得：， 得， ∴，∴， 因为，， 所以：，即， 当时，即时方程恒成立，故直线过定点． 故答案为： 56．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 【答案】4 【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面积为4. 【详解】根据椭圆定义可知， 由勾股定理可得， 所以可得， 因此可得三角形的面积为. 故答案为：4 57．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是C上的动点，的面积的最大值为9，则椭圆C长轴长的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意知当M为短轴端点时面积最大，由此求出，由结合基本不等式即可求解. 【详解】当M为短轴端点时面积最大，此时， ，当且仅当时，等号成立，所以，所以    故答案为： 四、解答题 58．（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标系，利用空间距离的向量求法，即可求得答案; 【详解】（1）连接，因为三棱柱所有棱长均为2，则为等边三角形， 因为为中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，可得， 由题设知四边形为菱形，则， 因为，分别为，中点，则，可得， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）连接，因为，，所以为正三角形，所以， 又侧面与底面垂直，平面，侧面底面， 所以平面，所以，，两两垂直． 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， 点为棱上靠近的三等分点，故， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为； 59．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 60．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． (1)若是线段的中点，求证：平面； (2)若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据已知得出.进而根据面面垂直以及线面垂直的性质定理得出.然后根据菱形的性质得出.进而即可根据线面垂直的判定定理，得出证明； （2）连接，先根据已知推得面.以为原点，建立直角坐标系．设，得出各点的坐标，根据向量共线得出点坐标，求出平面以及平面的法向量.根据已知列出方程，结合图象，即可得出的值. 【详解】（1）连接， 因为为正三角形且是的中点，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为四边形是菱形， 所以. 又，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面． （2） 连接， 因为四边形是菱形， 所以，. 又，所以为等边三角形. 又是的中点，所以. 平面平面，平面平面，平面， 所以，面. 以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴、所在直线为轴，如图建立直角坐标系． 设，则，，， 所以，，，. 又，所以. 设面法向量为， 因为，， 所以，即， 取，得. 设，则，， 由得，， 即，即， 则，则，. 设为面法向量，则 ，所以有，即， 取可得，. 由已知可得，解得或5． 因为二面角为锐二面角，所以由图可知，． 61．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. (1)求直线和平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）首先求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线和平面所成角的正弦值. （2）设，利用二面角的大小列方程，求得，进而求得. 【详解】（1）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形，∴是直角三角形，，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，， ∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （2）在棱上存在点，使二面角的大小为. 设 由（1）知，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵二面角的大小为， ∴， 即， 整理得，，解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，. 62．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 63．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】 （1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1） 解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2） 解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 64．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点. (1)求的范围； (2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相交列出不等式，可得解； （2）直线与圆联立利用韦达定理可求得直线的方程，进而得解. 【详解】（1）∵直线与圆交于两点，∴， 解得. （2）设，， 将代入方程， 整理得， ∴，， ， 解得，由（1）知， 所以直线的方程为， 可知圆心在直线上， ∴是圆的直径，且， ∵是圆上的一动点（异于，）， ∴到直线的最大距离即为半径为1， ∴面积的最大值为. 65．（23-24高二上·广东江门·期中）的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线方程； (2)AC边上的中线所在直线方程及中线的长度． 【答案】(1) (2)；中线的长度为5. 【分析】（1）先求的斜率，进而可得边上的高的斜率，结合斜截式即可求解； （2）先求出边上的中点的坐标，再利用两点式求出边上的中线所在直线方程；再利用两点间的距离公式求得边上的中线的长度的值． 【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为， ，则， 由斜截式知边上的高所在直线方程为：， 即边上的高所在直线方程为：. （2）的三个顶点，，， 故边上的中点，边上的中线所在直线方程为， 即. 边上的中线的长度. 66．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案； （2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程． 【详解】（1）设动点的坐标为，则由, 得，即， 即， 即的方程为； （2）直线，即， 由于，故令，解得， 即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内， 即直线l和圆相交， 当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值， 由于，故，圆半径为， 故的长度的最小值为. 又的斜率为，故此时直线l的斜率为3， 则直线l的方程为，即. 67．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，线段的一个端点在圆上运动，另一端点． (1)若线段的中点为，求点的轨迹方程，并指出点的轨迹是什么图形； (2)设（1）中点的轨迹为图形，由图形外一点向该图形引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求的最小值． 【答案】(1)；圆 (2) 【分析】（1）设出，然后表示出并代入圆的方程，从而求解. （2）由利用距离公式得出，然后利用几何知识从而求解. 【详解】（1）由题意得：设，由为线段中点，所以， 又点在圆上，所以：，化简得： 所以点的轨迹方程为， 点的轨迹是一个以为圆心为半径的圆. （2）由（1）知图：，得：， 又因为，所以：， 化简得：，所以点在直线上， 所以当最小时，即最小，即为原点到直线的距离， 故的最小值为. 68．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线被圆：截得的弦长为，且. (1)求圆的方程； (2)已知直线的方程为、直线的方程为和直线的方程为，且圆是的内切圆，令的面积，求的解析式. 【答案】(1) (2)（）. 【分析】（1）根据弦长列方程求得的值，从而求得圆的方程. （2）根据点到直线的距离公式求得，求得点的恒坐标，根据三角形的面积公式求得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 依题意，直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 即，由于，所以， 所以圆的方程为. （2）由于直线与圆相切于原点，如图所示， 切线不过原点，所以且. 圆心到直线，即的距离为： ，两边平方并整理得. 圆心到直线，即的距离为： ，两边平方并整理得. 依题意可知， 由消去并化简得， 由于在轴上，圆是的内切圆，所以在轴的右侧， 则，且， 所以 ， 其中， ， ，符合题意. 所以（）. 【点睛】求解直线和圆相切有关问题，首先要判断两点：一个是判断已知点是在圆上还是在圆外，如果已知点在圆上，则只有一条切线；另一个是要判断切线的斜率是否存在，此时可以结合图象来进行判断. 69．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，且以为底边的等腰直角三角形的顶点恰好在y轴上，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，由求解； （2）当直线l与x轴重合时，符合题意；当直线l与x轴垂直时，判断；当直线l与x轴不重合，不垂直时，设直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得线段AB的中点M及中垂线方程，令得到点N的坐标，再由求解. 【详解】（1）解：由题意得：， 又，解得， 所以椭圆的方程为： （2）如图所示： 当直线l与x轴重合时，符合题意； 当直线l与x轴垂直时，，，N，不符合题意； 当直线l与x轴不重合，不垂直时，设直线方程为， ， 联立，消去y得， 则，， ， 线段AB的中点坐标为， 则线段AB的中垂线方程为，即， 令，得， 由题意知：，则， 所以， 即， 即， 整理解得，即， 所以直线方程为：， 综上：直线的方程为：或. 70．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆C的一个顶点为，两焦点坐标分别为，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线，与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和顶点坐标求解出的值，根据求解出的值，则的标准方程可求； （2）联立直线与椭圆方程得到对应坐标的韦达定理形式，根据得到斜率之间的关系，结合解不等式即可. 【详解】（1）因为焦点坐标为，所以， 又因为焦点在轴上且为顶点，所以， 所以，所以的标准方程为； （2）设，的中点为， 联立，得， 所以， 且，即， 又因为的中点坐标为，即为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 71．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦距得到，，得到椭圆方程； （2）考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，代入计算得到答案. 【详解】（1）由题可得，解得，可得 ，椭圆的方程为； （2）①当直线斜率为0时，； ②当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，， ，则，, 故，， ； 综上所述：. 72．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． (1)求双曲线的标准方程； (2)点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴时，，，设，利用三角形面积公式求解； （2）设出直线，然后与双曲线的方程联立，再结合根与系数的关系，从而可求解. 【详解】（1）当轴时，不失一般性，不妨设 ， 由题得，则，则双曲线的方程为， 故双曲线的标准方程为：. （2）设直线，，，， 联立双曲线方程，得， 于是，得， 由于直线，令，则， 由于， 那么，于是 ， 令，则，那么， 从而. 故的取值范围为.    【点睛】关键点睛：（2）问中合理设出直线的方程并与双曲线联立，然后结合根与系数关系并利用换元法求出的取值范围. 73．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及过的点，列出方程，求得，即得答案； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，求得的纵坐标的表达式，结合化简可得之间的关系，代入中，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知椭圆的离心率为，且过点， 故，且， 解得， 故椭圆C的方程为. （2）由于，可知在x的同侧，则l的斜率不为0， 故设，联立， 得，设， 需满足，即有解； 则， 直线的方程为，令，得， 同理可得， 则，即， 整理得， 即， 即，即， 即得或，均满足有解， 当时，直线l为，此时直线过定点，不合题意； 当时，直线l为，此时直线过定点. 【点睛】方法点睛：本题考差了椭圆方程的球法以及直线和椭圆位置关系中的直线过定点问题，解答时要设直线方程，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，结合题设化简；解答的难点在计算过程复杂，计算量较大. 74．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2),． 【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可； （2）设直线的方程为为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案． 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）因为左焦点， 由题意可得直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为为不等于0的实数），，，，， 由，可得， 则，，， 所以， 所以的中点为，， 所以线段的中垂线方程为：， 令，则，即点纵坐标为， 又因为是与轴交于负半轴，所以，， 又因为点的纵坐标的最大值为， 所以，解得， 又因为 ， 因为， 令，，由于函数在单调递增， 所以在,上单调递增， 所以，， 所以，， 即的取值范围为：,． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 75．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知平面内的动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点M与两定点A，B的距离之比（，，且是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左焦点为E，过点A作直线l交圆于点S，T，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）取特殊点，根据阿波罗尼斯圆定义列方程即可求出c，然后可得椭圆方程； （2）结合图形可得，然后设直线方程为，联立圆方程消去x，利用韦达定理代入整理，然后利用基本不等式可得最值. 【详解】（1）取，由阿波罗尼斯圆定义可得， 由题知，，代入上式可解得， 所以， 所以椭圆C的标准方程为 （2）由题知， 显然，直线l的斜率不为0，故设l的方程为， 代入整理得， 设， 则， 由得， 由图知，， 易知同号， 所以 ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值3. 【点睛】本题难点在于结合图形，将的面积转化为，利用坐标表示后，即可由韦达定理代入求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$