专题06 期中真题必刷【55道 培优】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题06 期中真题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·广东东莞·期中）以下说法错误的有（    ） A．已知，，不共面，则，，一定能构成空间的一个基底 B．对于任意非零向量，，若，则 C．直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 D．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2022·广东江门·模拟预测）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东江门·期中）已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 9．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高二上·广东深圳·期中）过椭圆上一点M作圆的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·福建三明·期中）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（23-24高二上·广东珠海·期中）在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱、的中点，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是（    ） A．三棱锥体积是 B．直线平面CMN C．异面直线PD与所成角的余弦值的范围是 D．三棱锥的外接球表面积是 13．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．点到直线的距离为 C．与平面所成角为 D．点到平面的距离为 14．（23-24高二上·广东东莞·期中）在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．存在点，使得 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 15．（23-24高二上·广东东莞·期中）在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，则（    ） A．平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线到平面的距离为 16．（23-24高二上·广东深圳·期中）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（    ） A．若，则平面ACD B．当最小时， C．若，则 D．当最大时， 17．（23-24高二上·广东湛江·期中）在三棱锥A-BCD中， ，是直二面角，，如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A． B．平面的法向量与平面的法向量垂直 C．异面直线与所成的角为 D．直线与平面所成的角为 18．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆：和圆：的交点为A，B，则下列结论中正确的是（    ） A．公共弦AB所在的直线方程为 B．公共弦AB的长为 C．线段AB的中垂线方程为 D．若P为圆上的一个动点，则三角形PAB周长的最大值为 19．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且直线恒过定点，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最小值为 C．圆上的点到直线的距离的最大值为 D． 20．（23-24高二上·广东东莞·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 C．若构成空间的一个基底，则，，不共面 D．点为圆上任意一点，则的取值范围是 21．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（    ） A．圆关于轴对称的圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 22．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：和直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线一定过点 B．若，则 C．若，则 D．点到直线的距离的最大值为2 23．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆和，下列说法正确的有（    ） A．圆与圆的位置关系是相交 B．圆与圆的位置关系是相离 C．圆与圆共弦长为 D．圆与圆公共弦所在直线方程是 24．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知经过点的圆的圆心坐标为（为整数），且与直线：相切，直线：与圆相交于、两点，下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为 B．若，则实数的值为 C．若，则直线的方程为或 D．弦的中点的轨迹方程为 25．（22-23高二上·福建莆田·期末）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 26．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若双曲线上一点满足，则的周长为28 B．渐近线方程为 C．若从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 D．双曲线与椭圆的离心率互为倒数 27．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角的范围是 C．方程表示的曲线是双曲线 D．曲线与曲线恰有三条公切线，则 28．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：，将绕原点逆时针方向旋转得到椭圆，将所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点、在上，且，则（    ） A．，的四个焦点构成一个正方形 B．与离心率相等 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 三、填空题 29．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等腰三角形，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 ．    30．（23-24高二上·广东东莞·期中）平行六面体中，，，，则 ；若动点在直线上运动，则的最小值为 . 31．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 32．（23-24高二上·广东清远·期中）已知两条平行直线间的距离为，则 . 33．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 34．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 35．（22-23高二上·广东广州·期中）已知过的直线与圆交于两点，（点在轴上方），若，圆的切线.则直线与切线的距离是 . 36．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，若切线的斜率分别为，，且，则的取值范围为 ． 37．（23-24高二上·广东深圳·期中）正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 . 38．（21-22高二上·广东湛江·期中）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，过A点的截面分别交于点E，F，G，且，．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）． ①平面； ②平面； ③平面； ④若，点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上； ⑤若，则四棱锥的体积为． 四、解答题 39．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． (1)求证：； (2)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 40．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，，点是边上的动点，沿将翻折至，使得平面平面．      (1)当时，求证：； (2)当时，求二面角的正弦值． 41．（23-24高二上·广东广州·期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动. (1)求证：直线平面； (2)a为何值时，的长最小? (3)为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 42．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点. (1)求证：； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由. 43．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知圆. (1)证明：圆恒过两个定点. (2)当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率. 44．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点，圆的圆心坐标为，半径为1. (1)过点A作圆的切线，求此切线的方程； (2)设点，，为圆上任意一点，求的最大值； 45．（23-24高二上·广东揭阳·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆过点，且与圆外切于点. (1)求圆的方程； (2)设斜率为2的直线分别交轴负半轴和轴正半轴于，两点，交圆在第二象限的部分于，两点.若与的面积相等，求直线的方程. 46．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，圆经过点，，且与轴的正半轴相切于点，为坐标原点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点在圆上，过点的直线交圆于、两点，求证：． 47．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值． 48．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围. 49．（23-24高二上·广东广州·期中）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程. 50．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，经过，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点.求面积的最大值. 51．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 52．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 53．（21-22高二上·广东广州·期中）如图，在直角中，，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.AC边的中线BD所在直线方程为；AB边的中线CE所在直线方程为.    (1)若A点坐标为，求外接圆的方程； (2)若，求的面积. 54．（23-24高二下·广东广州·期中）已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； (3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 55．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 期中真题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·广东东莞·期中）以下说法错误的有（    ） A．已知，，不共面，则，，一定能构成空间的一个基底 B．对于任意非零向量，，若，则 C．直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 D．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】B 【分析】选项A，先假设其共面，由共面向量的基本定理存在使得，再由条件判断;选项B，考虑分母为0可判断；选项C，应用点到直线的距离公式求解；D，应用共面向量定理即可判断. 【详解】选项A： 设，，共面，则存在使得则. 因为，，不共面，所以，此时无解, 故，，不共面，选项A正确. 选B: 中任意一个为0时，不成立，故选项B错误. 选项C：直线的方向向量为， 又点，点，则, 在上的投影向量的长度为 所以点到的距离为，故选项C正确. 选项D. ，，三点不共线，对空间任意一点，由 即, 即 所以，，共面，故四点共面,即选项D正确. 故选：B 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率. 【详解】 设， 为等边三角形，，，又， ，，， ，， ，解得：（舍）或， 双曲线的离心率为. 故选：C. 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案. 【详解】的中点坐标为，则， 设，，则，， 相减得到：，即，， 又，，解得，，椭圆的方程为. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案. 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 解法二：求出两直线的交点坐标，利用点到直线的距离公式求出P到直线的距离的表达式，结合不等式知识，即可求得答案. 【详解】解法一：直线整理可得，， 即直线恒过，同理可得恒过， 又，直线和互相垂直， 两条直线的交点在以，为直径的圆上， 即的轨迹方程为，（去掉， （这是因为不能表示直线，不能表示直线，） 设该圆心为，则，则， 由于垂直于直线，故M到的距离即为，而， 即，而当时，点的坐标为，不符合题意。 故的取值范围是， 故选：A． 解法二：联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由， 故得的取值范围是, 故选：A． 【点睛】关键点睛；解答本题的关键在于要确定两直线所过定点，从而确定动点的轨迹方程，继而结合圆上的点到定直线的距离，求解即可. 6．（22-23高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案． 【详解】圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 关于直线的对称点为， 由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点， 所以，解得：. 故选：B．    【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出圆关于直线的对称的圆与圆有公共点，考查了学生思维能力. 7．（2022·广东江门·模拟预测）已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答. 【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点， 显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆， 其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图： ，两圆外离，由圆的几何性质得：，， 所以的取值范围是：. 故选：B 【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法. 8．（23-24高二上·广东江门·期中）已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似关系可得，再利用直线方程和椭圆方程后可求直线的斜率. 【详解】 因为离心率为，故可设，故， 故椭圆方程为：， 而，，故，因，故. 故直线与轴不垂直也不重合， 故可设，，，则， 由可得， 因在椭圆内部，故恒成立，且， 故，因，故， 此时，， 故在第一象限，符合条件，的斜率为， 故选：A. 9．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围 【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点， 由 得， 所以或， 当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件； 当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要， 即，即，解得，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决. 10．（21-22高二上·广东深圳·期中）过椭圆上一点M作圆的两条切线，A、B为切点，过A、B的直线l与x轴和y轴分别交于P、Q两点，则（O为坐标原点）面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，结合圆的切线方程求得直线的方程，即可求得面积的表达式，结合基本不等式即可求解答案. 【详解】设点，则，    设，则点A处的切线方程为， 点B处的切线方程为， 由于这两条切线都过点，则， 故直线的方程为， 令，令， 即，则， 由于， 当且仅当，即时等号成立， 故， 即面积的最小值为， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题求面积的最小值，因此要想法求得该三角形面积的表达式，故解答本题的关键在于要求出直线AB的方程，从而求得A，B的坐标，即可求得三角形面积表达式，结合基本不等式即可求解. 11．（22-23高二上·福建三明·期中）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，故， 又，则， 由余弦定理知：， 所以，而， 因为的内切圆的半径，故， 所以，则， 由，即， 所以，整理得且， 所以， ，当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：B 二、多选题 12．（23-24高二上·广东珠海·期中）在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱、的中点，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是（    ） A．三棱锥体积是 B．直线平面CMN C．异面直线PD与所成角的余弦值的范围是 D．三棱锥的外接球表面积是 【答案】AD 【分析】根据三棱锥体积公式可判断A；由题意说明点D不在平面CMN内，即可判断B；确定异面直线PD与所成角，利用特殊点的位置可确定角的大小范围，即可判断C；建立空间直角坐标系，求得外接球球心坐标，即可求得外接球半径，继而求得外接球表面积，判断D. 【详解】对于A，，故，A正确， 对于B，连接，则， 由于平面平面,平面，故平面, 而C是平面与平面的一个交点， 故平面与平面的交线为过点C和平行的直线， 又，则四边形为平行四边形， 所以， 即平面与平面的交线为过点C和平行的直线，也和平行， 即平面，而平面， 故平面，即平面，故直线平面CMN，B错误； 对于C，因为，故的夹角即为异面直线PD与所成角， 当P点与C重合时，的夹角为0度， 此时异面直线PD与所成角可无限接近于0度，余弦值可无限接近于1， 当P点与M重合时，的夹角最大， 由于， 故， 故异面直线PD与所成角的余弦值的范围是，C错误； 对于D，以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设三棱锥的外接球球心为， 则,即 ， 解得，经计算验证， 即，则外接球半径为， 故三棱锥的外接球的表面积为，D正确， 故选：AD 13．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．点到直线的距离为 C．与平面所成角为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出的坐标，计算其数量积，可判断A；根据空间距离的向量求法可判断B，D；求出平面的法向量，根据空间角的向量求法可判断C. 【详解】由题意可知两两垂直，故以C为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 则，即， 则与所成的角为，A正确； 对于B，，则， 故点到直线的距离为，B正确； 对于C，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设与平面所成角为，其范围为大于等于小于等于， 故，故，C错误； 对于D，，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为，D正确， 故选：ABD 14．（23-24高二上·广东东莞·期中）在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．存在点，使得 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【分析】利用空间向量运算求解判断A；利用空间向量运算求解判断B；利用等体积法求解判断C；利用线面角的求解判断D. 【详解】向量，故A正确； 假设存在点，设，， 所以. 若，所以.解得.故B错误； 因为正三棱柱，所以， 所以，所以，故C正确； 设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以即与平面所成的角， 则.故D错误. 故选：AC. 15．（23-24高二上·广东东莞·期中）在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，则（    ） A．平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， ， 所以，又平面，所以平面，故A正确； 因为，所以， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 因为， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为，故C错误； 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离，即为点到平面的距离， 因为，所以点到平面的距离， 故直线到平面的距离为，即D正确； 故选：ABD 16．（23-24高二上·广东深圳·期中）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（    ） A．若，则平面ACD B．当最小时， C．若，则 D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于：若，则点即为点，进而可得结果；对于、：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断；对于：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断. 【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面， 又N在侧面上（包含边界），设，且， 于是 ， 而，则，且， 对于，若，则，点即为点，显然平面，错误； 过作，垂足为，得，， 由平面，平面，得，而，平面， 则平面，因此， 对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确； 对于，若，则，即点在线段上（包括端点）， 由平面，平面，得，正确； 对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时， 于是，正确. 故选：BCD. 17．（23-24高二上·广东湛江·期中）在三棱锥A-BCD中， ，是直二面角，，如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A． B．平面的法向量与平面的法向量垂直 C．异面直线与所成的角为 D．直线与平面所成的角为 【答案】AD 【分析】选项A，由，平面平面，推出平面，即； 选项B，由平面平面，平面与平面不平行，可判断； 选项C，根据,，计算即可； 选项D，易知即为直线与平面所成的角，得解． 【详解】由题意知，平面平面，， 选项A，因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以，即，故选项A正确； 选项B，因为平面平面，所以平面的法向量与平面的法向量垂直， 而平面与平面相交，并不平行， 所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，即选项B错误； 选项C，设，则，， 所以， 在中，， 所以，， 由于异面直线所成角的取值范围为， 故异面直线与所成的角余弦值为，对应的角显然不可能为，即选项C错误； 选项D，由选项A知，平面， 所以即为直线与平面所成的角，而，故选项D正确． 故选：AD 18．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆：和圆：的交点为A，B，则下列结论中正确的是（    ） A．公共弦AB所在的直线方程为 B．公共弦AB的长为 C．线段AB的中垂线方程为 D．若P为圆上的一个动点，则三角形PAB周长的最大值为 【答案】AC 【分析】将两圆方程相减，即得公共弦方程，判断A；根据弦长的几何求法求得公共弦AB的长，判断B；求出直线的方程，即可判断C；利用特殊点，求出此时三角形PAB周长，可判断D. 【详解】对于A，圆：，即，圆：， ，， 即两圆相交，将两圆方程相减得， 即公共弦AB所在的直线方程为，A正确； 对于B，到的距离为，圆的半径为1， 故，B错误； 对于C，线段AB的中垂线即为直线，而， 故的斜率为，则线段AB的中垂线方程为， 即，C正确； 对于D，当时，即和AB的中点三点共线， 此时， 此时三角形PAB周长为, 即角形PAB周长的最大值不是，D错误， 故选：AC 19．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且直线恒过定点，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最小值为 C．圆上的点到直线的距离的最大值为 D． 【答案】CD 【分析】设，以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程求直线的方程，进而确定的轨迹方程，由直线所过定点、圆的性质求最短弦长、圆上点到直线距离的最大值，讨论的位置，结合圆的切线性质研究角的范围，从而可求解. 【详解】对于A项：设，以为直径的圆的方程为，化简得， 与联立，两式相减得：直线的方程为，又因为直线恒过定点， 所以的轨迹方程为，即，故A项错误； 对于B项：因为，当时弦长最小，所以，故B项错误； 对于C项：因为直线恒过定点，所以圆上点到直线距离的最大值为，故C项正确； 对于D项：如图，圆心到直线的距离为，记为：， 当运动到时，，则，则， 当位于直线的其它位置时，，，则，则， 综上所述，故D项正确.    故选：CD. 20．（23-24高二上·广东东莞·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．如果且，那么直线不经过第三象限 B．空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为 C．若构成空间的一个基底，则，，不共面 D．点为圆上任意一点，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】根据一般式直线方程，得到直线的斜率和截距，即可判断A；根据空间点关于平面的对称关系，即可判断B；根据共面向量公式，即可判断C；设，根据直线与圆的位置关系，即可判断D. 【详解】A.由且，可知，直线的斜率，纵截距，则直线不经过第三象限，故A正确； B. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为，故B正确； C. 若构成空间的一个基底，则向量不共面， 设， 则，无解， 所以向量，，不共面，故C正确； D.设，则，因为点为圆上任意一点， 所以圆心到直线的距离，解得：，故D错误. 故选：ABC 21．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，下列结论正确的是（    ） A．圆关于轴对称的圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于 A ，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线经过的点，从而可求出直线方程，对于 C ，由题意可知反射光线所在的直线经过的点，再结合圆的性质即可求解，对于 D，表示出弦长和弦心距后，可表示出所求面积，从而可求出其最大值. 【详解】对于A ，圆C关于 x 轴的对称圆的方程为，所以 A 正确， 对于B ，因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心，所以入射光线所在的直线过点， 因为入射光线过点，所以入射光线所在的直线的斜率为， 所以入射光线所在直线方程为，所以 B 正确， 对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则， 因为，所以，所以C错误， 对于D，设，， 则圆心C到直线的距离为， 所以， 所以当即时，面积取得最大值，所以D正确， 故选： ABD 22．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：和直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线一定过点 B．若，则 C．若，则 D．点到直线的距离的最大值为2 【答案】AB 【分析】利用直线方程求定点的方法可判断选项A；利用两直线垂直的充要条件可判断选项B；利用两直线平行的判断方法可判断选项C；利用点到直线的距离公式分类讨论可判断选项D. 【详解】对于选项A：因为，即，所以直线过定点，故选项A正确； 对于选项B：由，可得，解得，故选项B正确； 对于选项C：由，可得，解得或. 当时，直线：，直线：，此时； 当时，直线：，即，直线：，即，此时. 综上可知若，则或，故选项C错误； 对于选项D：因为点到直线的距离， 所以当时，； 当时，，则点到直线的距离的最大值不存在，故选项D错误. 故选：AB 23．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆和，下列说法正确的有（    ） A．圆与圆的位置关系是相交 B．圆与圆的位置关系是相离 C．圆与圆共弦长为 D．圆与圆公共弦所在直线方程是 【答案】AD 【分析】由圆心距与两半径的关系可判断A、B两项；将两圆方程作差可判断D项；再由弦长公式可判断C项. 【详解】解：圆，则，圆心，半径， 圆，则， 圆心，半径， 则， 因为，所以圆与圆的位置关系是相交，则A项正确，B项错误； 将两圆方程作差，得两圆的公共弦方程为：，即，则D项正确； 记圆心到公共弦直线：的距离为d，则， 则圆与圆共弦长为，则C项错误. 故选：AD. 24．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知经过点的圆的圆心坐标为（为整数），且与直线：相切，直线：与圆相交于、两点，下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为 B．若，则实数的值为 C．若，则直线的方程为或 D．弦的中点的轨迹方程为 【答案】BC 【分析】根据题意可得出关于的等式，结合为整数可求得的值，可得出圆的方程，可判断A选项；分析可知直线过圆心，求出的值，可判断B选项；利用勾股定理结合点到直线的距离求出的值，可得出直线的方程，可判断C选项；根据已知条件求出点的轨迹方程，可判断D选项. 【详解】对于选项A：设圆的半径为，由题意可得圆的方程为（为整数）， 根据点是圆上的点，且圆与直线：相切， 得，解得，或（舍去）， 则圆的标准方程为，故A选项错误； 对于选项B：由选项A知圆的标准方程为，圆心， 因为点在圆上，且，所以线段为圆的直径， 因为直线：与圆相交于两点， 所以圆心在直线上，所以，解得，故B选项正确： 对于选项C：由选项知圆的半径为2，圆心， 则圆心到直线的距离， 因为，即，解得， 所以，解得或， 则直线的方程为或，故C选项正确； 对于选项D：直线的方程可化为，过定点， 由圆的性质可得，所以点的轨迹是以线段为直径的圆， 则此圆圆心为线段的中点，其坐标为，半径为， 则该圆的方程为， 由，得两圆的交点坐标为与， 故弦的中点的轨迹方程为，故D选项错误． 故选：BC. 25．（22-23高二上·福建莆田·期末）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程可求得的值，利用△的面积即可求出P点到轴的距离；利用平面向量的夹角公式判断的大小；根据椭圆的定义可以求出△的周长；利用内切圆的几何性质可以求出内切圆半径. 【详解】由已知条件得，，， 设，则，解得，则P点到轴的距离为，故 正确； 将代入得， 则， 则，且两向量所成角的范围为，则为锐角，故错误； 由椭圆的定义可知，， △的周长为，故正确； 设△的内切圆半径为，圆心为, 则 ，解得 ，故正确； 故选：.    26．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若双曲线上一点满足，则的周长为28 B．渐近线方程为 C．若从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 D．双曲线与椭圆的离心率互为倒数 【答案】AC 【分析】计算，得到A正确，渐近线方程为，B错误，最短距离为，C正确，计算离心率得到D错误，得到答案. 【详解】双曲线的焦点分别为，， 对选项A：，，故，， 的周长为，正确； 对选项B：双曲线的渐近线方程为，错误； 对选项C：从双曲线的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为，正确； 对选项D：双曲线离心率为，椭圆的离心率，错误； 故选：AC. 27．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角的范围是 C．方程表示的曲线是双曲线 D．曲线与曲线恰有三条公切线，则 【答案】BD 【分析】代入验证知A错误，确定得到B正确，轨迹为两条射线，C错误，确定两圆外切，根据圆心距与半径的关系得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：将代入验证不成立，错误； 对选项B：直线的斜率为， 直线倾斜角为，，，则，正确； 对选项C：， 表示到点和的距离之差的绝对值为，轨迹为两条射线，错误； 对选项D：，， 两圆有三条公切线，故两圆外切，故，解得，正确； 故选：BD 28．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：，将绕原点逆时针方向旋转得到椭圆，将所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点、在上，且，则（    ） A．，的四个焦点构成一个正方形 B．与离心率相等 C．的方程为 D．线段的中点始终在直线上 【答案】ABD 【分析】A选项，求出，得到两椭圆的焦点坐标，得到A正确；BC选项，求出，得到与的离心率，B正确，C错误；D选项，由点差法得到，得到D正确. 【详解】A选项，：的焦点坐标为， 由题意得：，故焦点坐标为， 故，的四个焦点构成一个正方形，A正确； BC选项，的离心率为， 设上的点对应的上的点的坐标为， 则，故，将其代入：中，得到， 故：，C错误； 则离心率为，与离心率相等，B正确； D选项，设，则， 两式相减得， 即， 其中，    因为，所以， 故，解得， 线段的中点始终在直线，D正确. 故选：ABD 三、填空题 29．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等腰三角形，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 ．    【答案】 【分析】取中点为，中点为，连接，根据面面垂直的性质定理即可得出平面.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而求出平面的法向量，根据向量法求出点到平面的距离，即可得出答案. 【详解】如图，取中点为，中点为，连接， 因为，中点为， 所以，且. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面. 又为中点，所以. 因为为正方形，所以，. 连接，交于点，则即为的中心 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，，，. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取，则. 所以，点到平面的距离. 显然，即为平面上任意一点到底面中心的距离的最小值.    故答案为：. 30．（23-24高二上·广东东莞·期中）平行六面体中，，，，则 ；若动点在直线上运动，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】以为基底表示出，即可求得，设，根据空间向量的线性运算和数量积的运算规律可得，可求得其最小值. 【详解】根据题意可得， 所以 ， 即可得； 设，则， ； 所以 ， 由二次函数性质可知当时，取到最小值为. 故答案为：； 31．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式|可分析出当时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点，该点在圆内， 因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离， 当时，最大，最小， 又因为圆：，所以圆心，, 则，此时：. 故答案为：. 32．（23-24高二上·广东清远·期中）已知两条平行直线间的距离为，则 . 【答案】5 【分析】先利用两直线平行求得m的值，再利用两平行直线间的距离公式求得n的值，进而求得的值. 【详解】根据题意，两条直线平行， 必有，解可得 则即，变形可得， 又由两条平行直线间的距离为，则有， 故，解之可得或， 则时；时. 故答案为：5. 33．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故答案为： 34．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】设点， 则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即， 所以，即椭圆离心率， 故答案为： 35．（22-23高二上·广东广州·期中）已知过的直线与圆交于两点，（点在轴上方），若，圆的切线.则直线与切线的距离是 . 【答案】和 【分析】设出直线的方程，联立直线与圆的方程，由求解直线方程，根据圆心与切线关系判断直线与切线距离. 【详解】因为，所以点在圆内，即点在弦上， 因为点在轴上，点在轴上方，所以点在轴下方，则可作出图象如下图所示. 则直线必不可能与轴垂直，可设方程为， 则，整理得， 由直线与圆相交两个不同的点可得，该方程有两个不相等的实数根， 设，由题意知，则， 因为，所以，即， 则，即，由可得， 所以，整理得， 解得，根据可得， 则直线的方程为，一般式为， 则圆心到直线距离为， 因为圆心到与直线平行的圆的切线距离是半径， 所以直线到与其平行的圆的两条切线距离分别是和. 故答案为：和 36．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知圆，点，从坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，若切线的斜率分别为，，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得到直线，的方程，再根据直线与圆的位置关系得到，结合，即可求得圆心的轨迹方程，求出，再由圆的性质可得的取值范围． 【详解】由题意可知，，半径为2，直线，， 因为直线，与圆相切， 所以，， 两边同时平方整理可得， ， 所以，是方程 的两个不相等的实数根，所以．又， 所以，即，则； 又， 根据圆的性质可得， 所以， 即． 故答案为：.    【点睛】思路点睛：求解定点到圆上动点距离的最值问题时，一般需要先求圆心到定点的距离，判定定点与圆的位置关系，再结合圆的性质，即可求出结果；也可根据圆的参数方程，结合三角函数的性质求解. 37．（23-24高二上·广东深圳·期中）正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 . 【答案】 【分析】利用等体积法求得，根据空间向量运算可得，则当的长度最小时，取得最小值，结合正四面体的结构特征运算求解. 【详解】设的中点为，的中心为，连接， 因为四面体是棱长为1的正四面体，可知， 即四面体的高为，则其体积为， 设正四面体内切球的半径为， 由等体积可得，解得， 如图，取的中点为， 则， 显然当的长度最小时，取得最小值. 设正四面体内切球的球心为，可求得， 因为球心到点的距离， 所以球上的点到点的最小距离为， 即当取得最小值时，点到的距离为. 故答案为：. 38．（21-22高二上·广东湛江·期中）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，过A点的截面分别交于点E，F，G，且，．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）． ①平面； ②平面； ③平面； ④若，点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上； ⑤若，则四棱锥的体积为． 【答案】①②④ 【分析】对于①，通过证明得到，即可判断；对于②，只需分别证明，，即可判断；对于③，利用反证法推翻命题即可判断；对于④⑤，建立适当的空间直角坐标系即可说明. 【详解】对于①，因为平面，平面，， 又因为，所以， 所以直角三角形全等于直角三角形， 因为，，所以， 又因为，所以直角三角形全等于直角三角形， 所以，所以， ∴，又平面，平面， ∴平面，∴①正确； 对于②，因为，，平面， 所以平面，同理平面， 又平面，平面， 所以，， 因为，，平面， 所以平面， 而平面，从而，同理， 又，平面， 所以平面，∴②正确； 对于③，由②可知，平面，而平面，所以， ∴与必相交（否则若，注意到，所以，又，而同一条直线不可能同时垂直两条相交直线，故矛盾）， 假设平面，由平面，与相交，平面， 可得平面平面，显然矛盾，∴③错误； 对于④，若，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，而平面， 所以， 由题意点分别是的中点，且， 所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 因为三点共线，所以设， 所以，所以， 而，且由③可知， 所以，解得，符合题意， 所以， 所以， ∴点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上，∴④正确； 对于⑤，连接，取的中点M，连接，则， 因为平面，所以平面， 而，，，， 由已知可得， 所以，，，， 所以，即， 根据对称性可知，四边形的面积为， ∴四棱锥的体积，∴⑤错误． 故答案为：①②④． 【点睛】关键点点睛：判断④⑤的关键在于，适当利用空间向量这一工具，由此即可顺利得解. 四、解答题 39．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． (1)求证：； (2)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得，然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得平面ACEF，从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF，AB，AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量运算求得. 【详解】（1）因为，，则四边形ABCD为直角梯形， 又因为，可得，，则， 且，． 可知，即， 又因为平面平面ABCD, 平面平面,平面ABCD， 则平面ACEF, 且平面ACEF，所以. （2）因为四边形ACEF为矩形，则, 又因为平面平面ABCD, 平面平面,平面ACEF, 则平面ABCD,且，则CE⊥平面ABCD 所以AF,AB,AD两两垂直， 以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 则， 设,平面PBD的法向量为 因为, 则,令,则,, 平面ABD的法向量为, 则,解得， 在线段AF上存在点P，使得二面角的余弦值为，线段AP的长为1. 40．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，，点是边上的动点，沿将翻折至，使得平面平面．      (1)当时，求证：； (2)当时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，根据面面垂直的性质可得平面，进而可证. （2）先建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 因为，所以， 因为平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）取的中点，在上取点使， 由得，，故，， 又因平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由得，故， 又，，则， 故，，，， 则，， 由题知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，得，令，得，，， 设二面角的平面角为，则， 故， 即二面角的正弦值为.    41．（23-24高二上·广东广州·期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动. (1)求证：直线平面； (2)a为何值时，的长最小? (3)为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）在平面内，过点作，交于点，连接.由已知可证明.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.然后即可根据面面平行的性质，得出证明； （2）先求出，.进而根据面面垂直的性质定理以及（1）的结论推得.根据勾股定理得出，结合的取值范围，即可得出答案； （3）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出，以及平面的一个法向量.设线面角为，根据向量表示出.分以及结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】（1） 如图1，在平面内，过点作，交于点，连接， 因为，所以. 由已知可得，，， 所以，，， 所以，， 所以，. 又，所以. 因为平面，，平面， 所以，平面. 同理可得，平面. 因为平面，平面，， 所以，平面平面. 因为平面，所以直线平面. （2）由（1）可知，，， 所以，， 所以，. 同理可得，. 又平面平面，平面平面，，平面， 所以，平面. 因为平面，所以. 因为，，所以. 所以，是直角三角形， 所以， . 又，所以，即为线段中点时，有最小值， 所以，当时，的长度最小，最小值为. （3）由（2）知，平面. 又， 如图2，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，设，， 所以，，，. 设是平面的一个法向量， 则，取，则是平面的一个法向量. 因为. 设与平面所成的角为， 则. 当时，； 当时， 有 . 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，，， 所以，. 因为，所以. 综上所述，与平面所成角的正弦值的最大值为. 42．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点. (1)求证：； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先利用线面垂直从而证明平面，从而证明； （2）利用空间向量法求出直线与平面的夹角为时点的位置，从而求解. 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为四边形是菱形，所以， 因为，所以为等边三角形， 又因为为的中点，所以， 因为是等边三角形，为中点，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为，所以平面， 因为平面，所以. （2）存在，，理由如下： 因为平面平面，平面平面， 由(1)知，，平面，所以平面， 因为，以点为坐标原点，，，所在直线分别 为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， ，， 设，， ， 设平面的一个法向量， ，取，得：， 因为直线与平面的夹角的正弦值为， 所以：， 整理得：，由，解得：. 故存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时：. 43．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知圆. (1)证明：圆恒过两个定点. (2)当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）圆的方程可化为，令，解得即可证明结论成立； （2）由题意设出直线方程，然后直线与圆联立方程组，消掉以后得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系化简求值即可，注意一元二次方程有两个解，则. 【详解】（1）证明：圆的方程可化为. 令得或， 故圆恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和. （2）解：当时，圆的方程可化为. 由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立消去得， 所以，解得. 因为，所以，解得，又，所以. 44．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点，圆的圆心坐标为，半径为1. (1)过点A作圆的切线，求此切线的方程； (2)设点，，为圆上任意一点，求的最大值； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆心到直线距离等于半径求解切线方程即可. （2）设，将用表示出，再求其最大值. 【详解】（1）由题意得圆标准方程为，，, 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 由，解得：， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 所以切线的方程为或. （2）方法一：设点，则， ∴ 设点，则 ∵， ∴， 即的最大值为； 方法二：设点，则，即， ∴ 设，则直线与圆有公共点， ∴圆心到直线的距离， 解得，故得的最大值为； 方法三：设点，则， 设， ，当时取最大值， 故得的最大值为 45．（23-24高二上·广东揭阳·期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆过点，且与圆外切于点. (1)求圆的方程； (2)设斜率为2的直线分别交轴负半轴和轴正半轴于，两点，交圆在第二象限的部分于，两点.若与的面积相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题知圆的圆心在直线上，进而根据题意，待定系数求解即可； （2）设直线的方程为（），根据与的面积相等得， 进而，的中点重合且为，在结合求解即可. 【详解】（1）解：设圆的方程为（）， 因为圆的方程为， 所以，圆的的圆心坐标为， 因为圆与圆外切于点， 所以，圆的圆心在直线上， 因为直线的方程为， 所以， 因为圆过点，且与圆外切于点， 所以,解得，，， 所以圆的方程为； （2）解：设直线的方程为（），则，， 因为圆的方程为， 所以，圆与轴正半轴的交点的坐标为， 因为直线交圆在第二象限的部分于，两点， 所以，圆心到直线的距离满足且， 所以， 因为与的面积相等，则， 所以，的中点重合. 所以的中点 因为，， 所以，，即，解得， 所以直线的方程为. 46．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，圆经过点，，且与轴的正半轴相切于点，为坐标原点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点在圆上，过点的直线交圆于、两点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出圆心的横坐标，从而由题可知得出圆的半径，再用待定系数法即可求解； （2）先讨论直线的斜率是否存在的两种情况，当斜率存在时，设出直线的点斜式方程并与圆联立方程组，求出，的值，通过运算可求得，从而得证. 【详解】（1）因为圆经过点，，且与轴的正半轴相切， 所以圆心的横坐标，半径， 设圆的标准方程为，代入点， 解得（舍去）， 所以圆的标准方程为． （2）证明：由（1）可知，则圆的方程为． 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，， 由．得． 则，． 则， 而 所以，故． 当直线轴时，成立． 综上，． 47．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦距得到，，得到椭圆方程； （2）考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，代入计算得到答案. 【详解】（1）由题可得，解得，可得 ，椭圆的方程为； （2）①当直线斜率为0时，； ②当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，， ，则，, 故，， ； 综上所述：. 48．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2),． 【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可； （2）设直线的方程为为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案． 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）因为左焦点， 由题意可得直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为为不等于0的实数），，，，， 由，可得， 则，，， 所以， 所以的中点为，， 所以线段的中垂线方程为：， 令，则，即点纵坐标为， 又因为是与轴交于负半轴，所以，， 又因为点的纵坐标的最大值为， 所以，解得， 又因为 ， 因为， 令，，由于函数在单调递增， 所以在,上单调递增， 所以，， 所以，， 即的取值范围为：,． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 49．（23-24高二上·广东广州·期中）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先表示的坐标，即可得到，根据及，求出，即可求出，从而得解； （2）设，联立直线与椭圆的方程，消元，利用根与系数的关系可以表示的值，进而可以表示面积，由基本不等式的性质分析可得答案. 【详解】（1）依题意，，， 所以，，由，可得， 即，解得或（舍去），故，， 所以椭圆的方程为. （2）设、，联立直线与椭圆的方程， 可得，由，得， 所以， 设原点到直线的距离为， 所以， 所以， 令，则，所以， 当且仅当时，等号成立，即当时（满足），面积取得最大值， 此时直线方程为.    50．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，经过，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点.求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点，可得，再根据离心率公式可得，进而可得椭圆方程； （2）联立直线方程，结合韦达定理可求得，结合二次函数性质可得最大值. 【详解】（1）由椭圆，经过， 得，解得， 又椭圆离心率为， 解得，， 所以椭圆方程为； （2） 设点， 联立直线与椭圆方程，得， 则，即， 且，， 又直线与轴的交点， 所以， 所以当，即时，取最大值为. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 51．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据定义先求出，然后利用圆上的点到圆心的距离为半径求出，最后求出和椭圆方程； （2）先联立得到的取值范围，然后得到面积的解析式，根据函数性质求得面积最大值，最后判断是否符合要求即可. 【详解】（1）因为，所以， 又且以为圆心的圆与直线相切，所以， 又圆过点，所以，解得， 所以， 故椭圆方程为； （2）如图所示，    不妨令直线，， 联立，得， 所以，解得， 又， 且点到直线的距离为， ， 所以， 当且仅当时取到最大值，此时满足， 所以. 【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解决解析几何的基本功，需要大量的训练和练习. 52．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知点，动点与点的距离是它与点距离的倍． (1)动点的轨迹为曲线，求的方程； (2)设直线，直线与曲线交于两点，当弦的长度取得最小值时，求弦的长度和直线的方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设动点的坐标为，根据题意列出方程，化简可得答案； （2）分离参数，求出直线所过定点E，确定当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值，结合圆的弦长的求解，即可求得弦的长度，结合直线的垂直关系即可求得直线的方程． 【详解】（1）设动点的坐标为，则由, 得，即， 即， 即的方程为； （2）直线，即， 由于，故令，解得， 即直线l过定点，设为，由于，故定点在圆内， 即直线l和圆相交， 当直线l和直线垂直时，的长度取得最小值， 由于，故，圆半径为， 故的长度的最小值为. 又的斜率为，故此时直线l的斜率为3， 则直线l的方程为，即. 53．（21-22高二上·广东广州·期中）如图，在直角中，，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.AC边的中线BD所在直线方程为；AB边的中线CE所在直线方程为.    (1)若A点坐标为，求外接圆的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）设点，所以，代入直线可得点B的坐标，同理可得点C的坐标，求出BC的中点坐标即为外接圆圆心，计算，即可得外接圆的方程； （2）利用重心的性质得到，，，用平面向量的数量积得到，利用角的关系及斜率公式求出，进而得到，，再利用面积公式得到，最终求得的面积. 【详解】（1）因为点B在直线上，所以设， 因为A点坐标为，E为AB中点，所以， 因为E在直线上，所以，解得， 所以，设，则，所以， 解得，所以，因为，所以线段BC为外接圆直径， 则BC的中点，半径， 所以外接圆方程为； （2）设CE与BD相交于点G，则联立方程：，解得， 所以，G为的重心，则有，，所以， 因为，， 所以， 因为，所以，故， 因为，所以，所以， 设直线的斜率为且与x轴交点为P， 直线的斜率为且与x轴交点为M，    则， 所以， 因为G在圆的内部，所以为钝角，则，， 所以， 解得， 所以， 所以. 54．（23-24高二下·广东广州·期中）已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； (3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义即得动圆圆心的轨迹方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，再由计算可得； （3）根据题设先求出的解析式，可将距离最小值问题转化为二次函数最小值问题，分类讨论即得. 【详解】（1）因为动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切， 即点到定点的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上， 所以由抛物线定义知：圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线， 抛物线方程形如，又，则， 故圆心的轨迹方程为． （2）如图，由题知，直线的方程为， 由，解得或，所以，， 所以.    （3）设，则，又， 则， 因二次函数的对称轴为， 故当，即时，，此时； 当，即时，，此时. 所以. 55．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$