第5章《一元一次方程》章节总复习（8个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教版数学七年级上册同步培优核心考点讲练 第5章《一元一次方程》章节总复习 （8个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：方程的定义 1 考点讲练2：方程的解 1 考点讲练3：一元一次方程的定义 2 考点讲练4：等式的性质 2 考点讲练5：一元一次方程的解 2 考点讲练6：解一元一次方程 3 考点讲练7：由实际问题抽象出一元一次方程 3 考点讲练8：一元一次方程的应用 3 中等题真题汇编练 4 培优题真题汇编练 6 考点讲练1：方程的定义 【精讲题】（2024•太原开学）在13b+5＞23；x+2.4x＝30；42×3＝126；1.5m＝70；8n﹣3.6中，方程有（　　）个． A．2 B．3 C．4 【举一反三1】（2024春•嘉定区校级月考）已知式子：①3﹣4＝1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0．其中是方程的有 　 ．（只填序号即可） 【举一反三2】（2023秋•禹城市校级月考）下列式子：①3x+2＝5x﹣1；②；③2x+3≤5；④y2﹣1＝2y；⑤，其中是方程的是 　 　．（填序号） 考点讲练2：方程的解 【精讲题】（2023秋•乐亭县期末）方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三1】（2023秋•固始县期末）若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（　　） A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【举一反三2】（2024春•天水期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 　． 考点讲练3：一元一次方程的定义 【精讲题】（2024春•蒸湘区校级期中）下列方程为一元一次方程的是（　　） A．3x＞9 B．x2+3＝x+2 C．﹣x﹣3＝4 D．2y﹣3x＝2 【举一反三1】（2024秋•南岗区校级月考）已知xm﹣1﹣32＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 　　． 【举一反三2】（2023秋•陆丰市期末）若方程（k﹣2）x|k|﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程，k的值为　　． 考点讲练4：等式的性质 【精讲题】（2024秋•南岗区校级月考）已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是（　　） A．4+ax＝4+ay B． C．3﹣ax＝3﹣ay D．x＝y 【举一反三1】（2024•河北模拟）如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三2】（2024•南岗区校级开学）在方程中用含x的式子表示y，则y＝　　 ． 考点讲练5：一元一次方程的解 【精讲题】（2024秋•郾城区校级月考）下列方程中，（　　）的解是x＝1.6． A．x+0.4＝1.2 B．1﹣x＝0.6 C．6x+3＝12 D．3x﹣x＝3.2 【举一反三1】（2024春•蒸湘区校级期中）若关于x的方程2x+a+b＝0的解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a﹣b的值为 　 　． 【举一反三2】（2024•渝中区校级开学）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 　　． 考点讲练6：解一元一次方程 【精讲题】（2024秋•南岗区校级月考）设x，y为任意两个有理数，规定x◎y＝xy2﹣x，若（m+1）◎2＝15，则下列正确的是（　　） A．m＝5 B． C． D．m＝4 【举一反三1】（2024秋•南岗区校级月考）解方程时，去分母正确的是（　　） A．3x﹣3＝2（x﹣1） B．3x﹣6＝2x﹣1 C．3x﹣6＝2（x﹣1） D．3x﹣3＝2x﹣1 【举一反三2】（2024秋•秀峰区校级月考）若﹣x＝﹣（﹣5），则x＝　 　． 考点讲练7：由实际问题抽象出一元一次方程 【精讲题】（2024春•鼓楼区期末）用方程表示“一个数比它的多3”，正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•赤坎区校级期末）某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？若安排x名工人生产镜片，则可列方程：　 　． 【举一反三2】（2023秋•鹿寨县期末）“双十一”期间，某商家把一款书包先按原来售价提高50%，然后再打八折出售，这样商家每卖出一个书包比原来还要多赚8元．若设此款书包原来售价是x元，由题意可列方程为 　 　．（不要求化简） 考点讲练8：一元一次方程的应用 【精讲题】（2024秋•南岗区校级月考）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（　　）名工人生产茶壶． A．8 B．14 C．10 D．12 【举一反三1】（2024秋•南岗区校级月考）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有派送员（　　） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 【举一反三2】（2024秋•鹤壁月考）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“÷”看成“+”，按照正确的运算顺序计算，结果为﹣26，则的正确结果是 　　 ． 中等题真题汇编练 1．（2024秋•南岗区校级月考）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．3x﹣5y＝2 B． C．2x2+9x＝0 D． 2．（2024秋•南岗区校级月考）已知关于x的方程2x+3a＝5的解是x＝﹣2，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 3．（2023秋•毕节市校级期末）下列变形正确的是（　　） A．4x﹣5＝3x+2变形得4x﹣3x＝﹣2+5 B．变形得4x﹣1＝3x+18 C．3（x﹣1）＝2（x+3）变形得3x﹣1＝2x+6 D．3x＝2变形得 4．（2024春•龙华区校级期中）已知x＝﹣3是关于x的方程2x+k﹣4＝0的解，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣10 D．10 5．（2024春•商水县校级期中）下列方程变形中，正确的是（　　） A．，去分母，得3x﹣（4x﹣3）＝1 B．1+x＝4，移项，得x＝4﹣1 C．2x﹣（1﹣3x）＝5，去括号，得2x﹣1﹣3x＝5 D．2x＝﹣3，两边都除以2，得 6．（2024秋•船营区校级月考）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是　 　； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 7．（2024春•蒸湘区校级期中）我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过15m3，每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 　 　m3． 8．（2024秋•南岗区校级月考）我们定义：如果两个有理数的和等于这两个有理数的积，那么这两个有理数就叫做“和积等数对”，即：如果a+b＝a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为（a，b）．例如：2+2＝2×2，则称数对（2，2）是“和积等数对”．根据上述材料，如果（x，5）是“和积等数对”，则x＝　 　． 9．（2024秋•南岗区校级月考）轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是　 　千米/时． 10．（2024春•商水县校级期中）写出一个解为x＝﹣2，且未知数的系数为2的一元一次方程 　 　． 11．（2024春•蒸湘区校级期中）解方程：2（x﹣3）＝3（x+4）． 12．（2024秋•南岗区校级月考）m为何值时，关于x的方程3x﹣m＝2x+1的解是4＝2x﹣1的解的2倍． 13．（2024秋•南岗区校级月考）解方程： （1）4﹣3（x﹣1）＝9﹣x； （2）． 14．（2024秋•南岗区校级月考）已知x＝3是关于x的方程的解，n满足关系式|2n+3m|＝0，求m+n的值． 培优题真题汇编练 15．（2024秋•南岗区校级月考）在一次数学活动中，小明在某月的日历上圈出了相邻的三个数a，b，c，求出它们的和为33，则这三个数在日历中的排布不可能的是（　　） A． B． C． D． 16．（2023秋•利辛县期末）已知方程（k﹣1）x|k|+1＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D． 17．（2024秋•南岗区校级月考）A、B两地相距1000km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）次． A．5 B．4 C．3 D．2 18．（2023秋•萧县期末）运用等式性质进行的变形，错误的是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果a＝b，那么 C．如果a（x2+1）＝b（x2+1），那么a＝b D．如果a＝b，那么a﹣2＝b﹣2 19．（2024春•龙华区校级期中）解方程，去分母后正确的是（　　） A．3（x﹣1）＝1﹣（2x+1） B．3（x﹣1）＝6﹣（2x+1） C．3x﹣1＝1﹣（2x+1） D．3（x﹣1）＝6﹣2x+1 20．（2024•怀化开学）买2千克葡萄和3千克芒果，共付款40元．已知2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱，那么葡萄每千克 　 　元，芒果每千克 　 　元． 21．（2024秋•宜兴市校级月考）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣15、7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且点A′、B之间的距离为2，则C点表示的数是　 　． 22．（2024秋•南岗区校级月考）已知：商品利润率＝，某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为80%，每件乙种商品的利润率为50%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多20%时，这个商人得到的总利润率为60%，甲、乙两种商品进价的比值是 　 　． 23．（2024秋•南岗区校级月考）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 　 　岁． 24．（2024秋•南岗区校级月考）有理数都可以表示为（p≠0且p，q不可约分）的形式，无限循环小数也可以写成这种形式，以0.3为例：设，即0.3333⋯＝x，则3.3333⋯＝10x，则有3+x＝10x，可得，即，则＝　 　． 25．（2024秋•榆树市校级月考）如图，点O是数轴的原点，数轴上点A、B表示的数分别是4、﹣8．这个数轴上的动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发沿O→A→B方向运动到点B停止．设点P的运动时间为t（s）（t＞0）． （1）当点P与点A重合时，求t的值； （2）当点P表示的是绝对值最小的数时，求t的值； （3）当点P表示的数是倒数等于它本身的数时，求t的值； （4）在点A、B之间，当点P表示的整数的点找不到与它到原点的距离相等的点时，直接写出t的值（写出两个即可）． 26．（2024秋•碑林区校级月考）已知在数轴上A，B，C三点对应数分别为﹣4，20，n． （1）把这条数轴在数m对应的点处对折，使A，B两点恰好互相重合，则数m＝　 　； （2）若点C在数轴上表示的数为n，当A，B，C中的一个点到另外两个点的距离相等时，求此时数n的值； （3）若点A、点B同时出发，都以1个单位/秒的速度相向运动，同时点C从原点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，运动过程中，是否存在点C，使3CA＝2CB？若存在，请求出此时n的值；若不存在，请说明理由． 27．（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从 A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距36千米的路程．A、B两地间的路程有多少千米？ 28．（2023秋•阳城县期末）如图，已知点A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数是80．现在有一动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动． （1）与A、B两点距离相等的点C所对应的数是 　 　． （2）两动点P、Q相遇时所用时间为 　 　秒；此时两动点所对应的数是 　 　． （3）动点P所对应的数是22时，此时动点Q所对应的数是 　 　． （4）当动点P运动25秒钟时，动点P与动点Q之间的距离是 　 　单位长度． （5）经过 　 　秒钟，两动点P、Q在数轴上相距40个单位长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级上册同步培优核心考点讲练 第5章《一元一次方程》章节总复习 （8个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：方程的定义 1 考点讲练2：方程的解 2 考点讲练3：一元一次方程的定义 3 考点讲练4：等式的性质 4 考点讲练5：一元一次方程的解 6 考点讲练6：解一元一次方程 7 考点讲练7：由实际问题抽象出一元一次方程 8 考点讲练8：一元一次方程的应用 9 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 17 考点讲练1：方程的定义 【精讲题】（2024•太原开学）在13b+5＞23；x+2.4x＝30；42×3＝126；1.5m＝70；8n﹣3.6中，方程有（　　）个． A．2 B．3 C．4 【思路点拨】含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【规范解答】解：方程有：x+2.4x＝30，1.5m＝70，共2个， 故选：A． 【考点评析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 【举一反三1】（2024春•嘉定区校级月考）已知式子：①3﹣4＝1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0．其中是方程的有 　③④⑤　．（只填序号即可） 【思路点拨】方程的特点：①含未知数，②是等式． 【规范解答】解：由题意知，含有未知数的等式是方程， ①3﹣4＝1中不含有未知数，不是方程，是等式； ②2x﹣5y不是等式，不是方程； ③1+2x＝0、④6x+4y＝2、⑤3x2﹣2x+1＝0都是含有未知数的等式，属于方程． 故答案为：③④⑤． 【考点评析】本题主要考查的是方程的定义，熟练掌握方程的概念是解题的关键． 【举一反三2】（2023秋•禹城市校级月考）下列式子：①3x+2＝5x﹣1；②；③2x+3≤5；④y2﹣1＝2y；⑤，其中是方程的是 　①④⑤　．（填序号） 【思路点拨】根据方程的定义逐个判定即可． 【规范解答】解：①3x+2＝5x﹣1符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③2x+3≤5不是等式，故③不是方程； ④y2﹣1＝2y符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 【考点评析】本题考查方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键． 考点讲练2：方程的解 【精讲题】（2023秋•乐亭县期末）方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】把x＝5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字． 【规范解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1， 解得：★＝1， 即★处的数字是1， 故选：A． 【考点评析】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【举一反三1】（2023秋•固始县期末）若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（　　） A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【思路点拨】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值． 【规范解答】解：依题意，得 2×（﹣1）﹣（﹣1）•k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7， 解得，k＝﹣6． 故选：C． 【考点评析】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 【举一反三2】（2024春•天水期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　x＝﹣3　． 【思路点拨】把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，求出a＝3，得出原方程为6﹣5x＝21，求出方程的解即可． 【规范解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3， ∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21， 解得：a＝3， 即原方程为6﹣5x＝21， 解得x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 考点讲练3：一元一次方程的定义 【精讲题】（2024春•蒸湘区校级期中）下列方程为一元一次方程的是（　　） A．3x＞9 B．x2+3＝x+2 C．﹣x﹣3＝4 D．2y﹣3x＝2 【思路点拨】根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：A．3x＞9不是一元一次方程，故不符合题意； B．x2+3＝x+2不是一元一次方程，故不符合题意； C．﹣x﹣3＝4是一元一次方程，故符合题意； D．2y﹣3x＝2不是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程叫一元一次方程． 【举一反三1】（2024秋•南岗区校级月考）已知xm﹣1﹣32＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 　2　． 【思路点拨】根据一元一次方程的定义得到m﹣1＝1，求出m即可． 【规范解答】解：根据题意得：m﹣1＝1， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【考点评析】本题主要考查一元一次方程的定义．解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 【举一反三2】（2023秋•陆丰市期末）若方程（k﹣2）x|k|﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程，k的值为　﹣2　． 【思路点拨】依据一元一次方程的定义得到k﹣2≠0，|k|﹣1＝1，从而可求得k的取值． 【规范解答】解：∵方程（k﹣2）x|k|﹣1+5k＝0是关于x的一元一次方程， ∴k﹣2≠0，|k|﹣1＝1． 解得：k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【考点评析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 考点讲练4：等式的性质 【精讲题】（2024秋•南岗区校级月考）已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是（　　） A．4+ax＝4+ay B． C．3﹣ax＝3﹣ay D．x＝y 【思路点拨】根据等式的基本性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、等式两边同加4，得4+ax＝4+ay，故本选项的等式变形正确； B、由于b2+1≠0，等式两边同除以b2+1，得，故本选项的等式变形正确； C、等式两边同乘﹣1，得﹣ax＝﹣ay，再在等式两边同加3，得3﹣ax＝3﹣ay，故本选项的等式变形正确； D、若a≠0，等式两边同除以a，则x＝y，故本选项的等式变形错误． 故选：D． 【考点评析】本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本性质是关键． 【举一反三1】（2024•河北模拟）如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】由图1得，3个□+2个△＝3个〇+2个□①，由图2得，3个〇+2个△＝1个□+2个〇②，①﹣②即可得出“□”与“〇”的关系． 【规范解答】解：由图1得，3个□+2个△＝3个〇+2个□①， 由图2得，3个〇+2个△＝1个□+2个〇②， ①﹣②，得3个□﹣3个〇＝1个〇+1个□， ∴1个□＝2个〇， ∴n＝2， 故选：B． 【考点评析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【举一反三2】（2024•南岗区校级开学）在方程中用含x的式子表示y，则y＝　　． 【思路点拨】根据等式的性质解答即可． 【规范解答】解：， 方程两边同时加上y，得，即， 方程两边再同时减去2，得， 所以． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 考点讲练5：一元一次方程的解 【精讲题】（2024秋•郾城区校级月考）下列方程中，（　　）的解是x＝1.6． A．x+0.4＝1.2 B．1﹣x＝0.6 C．6x+3＝12 D．3x﹣x＝3.2 【思路点拨】根据方程解的定义逐项代入即可判断． 【规范解答】解：A．当x＝1.6时，左边＝1.6+0.4＝2，左边≠右边，所以x＝1.6不是原方程的解，故原选项不合题意； B．当x＝1.6时，左边＝1﹣1.6＝﹣0.6，左边≠右边，所以x＝1.6不是原方程的解，故原选项不符合题意； C．当x＝1.6时，左边＝6×1.6+3＝12.6，左边≠右边，所以x＝1.6不是原方程的解，故原选项不合题意； D．当x＝1.6时，左边＝3×1.6﹣1.6＝3.2，左边＝右边，所以x＝1.6是原方程的解，故原选项合题意． 故选：D． 【考点评析】本题考查了一元一次方程解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，熟知方程的解的定义是解题关键． 【举一反三1】（2024春•蒸湘区校级期中）若关于x的方程2x+a+b＝0的解是x＝﹣1，则代数式2024﹣a﹣b的值为 　2022　． 【思路点拨】根据方程的解，即可求出（a+b），即可求出代数式的值． 【规范解答】解：∵x＝﹣1是方程2x+a+b＝0的解， ∴﹣2+a+b＝0， 即a+b＝2， ∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣2＝2022． 故答案为：2022． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，正确进行计算是解题关键． 【举一反三2】（2024•渝中区校级开学）已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 　2　． 【思路点拨】先求解方程，解得：x＝，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【规范解答】解：解方程得：x＝， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或﹣2， ∴所有k值的和为0+1+3﹣2＝2， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查的是一元一次方程的解，解题的关键是先求解出原方程，再根据已知条件求出所有k值的和． 考点讲练6：解一元一次方程 【精讲题】（2024秋•南岗区校级月考）设x，y为任意两个有理数，规定x◎y＝xy2﹣x，若（m+1）◎2＝15，则下列正确的是（　　） A．m＝5 B． C． D．m＝4 【思路点拨】利用题中的新定义化简，然后解一元一次方程即可求出m的值． 【规范解答】解：根据题意得：（m+1）◎2＝（m+1）×22﹣（m+1）＝15， 即4m+4﹣m﹣1＝15， 解得：m＝4， 故选：D． 【考点评析】此题考查了解一元一次方程的解，根据新定义得到关于m的方程是解题的关键． 【举一反三1】（2024秋•南岗区校级月考）解方程时，去分母正确的是（　　） A．3x﹣3＝2（x﹣1） B．3x﹣6＝2x﹣1 C．3x﹣6＝2（x﹣1） D．3x﹣3＝2x﹣1 【思路点拨】在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6，整理即可得解． 【规范解答】解：方程两边同时乘以6得：3x﹣6＝2（x﹣1）， 故选：C． 【考点评析】本题考查解一元一次方程的方法．解题时需注意在去分母的过程中分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项． 【举一反三2】（2024秋•秀峰区校级月考）若﹣x＝﹣（﹣5），则x＝　﹣5　． 【思路点拨】根据等式的性质，把一元一次方程﹣x＝﹣（﹣5）的两边同时除以﹣1，求出x的值即可． 【规范解答】解：∵﹣x＝﹣（﹣5）， ∴﹣x＝5， ∴﹣x÷（﹣1）＝5÷（﹣1）， 解得x＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【考点评析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用． 考点讲练7：由实际问题抽象出一元一次方程 【精讲题】（2024春•鼓楼区期末）用方程表示“一个数比它的多3”，正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设该数为x，等量关系为：一个数﹣它的＝3． 【规范解答】解：由题意得：x﹣x＝3． 故选：B． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 【举一反三1】（2023秋•赤坎区校级期末）某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？若安排x名工人生产镜片，则可列方程：　60x＝2×40（28﹣x）　． 【思路点拨】设安排x名工人生产镜片，则（28﹣x）人生产镜架，根据2个镜片和1个镜架恰好配一套，列方程即可． 【规范解答】解：设安排x名工人生产镜片， 由题意得，60x＝2×40（28﹣x）． 故答案为：60x＝2×40（28﹣x）． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 【举一反三2】（2023秋•鹿寨县期末）“双十一”期间，某商家把一款书包先按原来售价提高50%，然后再打八折出售，这样商家每卖出一个书包比原来还要多赚8元．若设此款书包原来售价是x元，由题意可列方程为 　0.8×（1+50%）x﹣x＝8　．（不要求化简） 【思路点拨】若设此款书包原来售价是x元，则每个书包现在的售价是0.8×（1+50%）x元，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】解：若设此款书包原来售价是x元，则每个书包现在的售价是0.8×（1+50%）x元， 根据题意得：0.8×（1+50%）x﹣x＝8， 故答案为：0.8×（1+50%）x﹣x＝8． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 考点讲练8：一元一次方程的应用 【精讲题】（2024秋•南岗区校级月考）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（　　）名工人生产茶壶． A．8 B．14 C．10 D．12 【思路点拨】设分配x名工人生产茶壶，则（22﹣x）人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【规范解答】解：设分配x名工人生产茶壶，则（22﹣x）人生产茶杯，根据题意得： 4×30x＝100（22﹣x），即120x＝2200﹣100x， 解得：x＝10， 故需要有10名工人生产茶壶， 故选：C． 【考点评析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系． 【举一反三1】（2024秋•南岗区校级月考）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有派送员（　　） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 【思路点拨】设该分派站现有快递员x人，根据“每个快递员派送150件，还剩60件；若每个快递员派送170件，还差20件，”列出方程，解出即可． 【规范解答】解：设该分派站现有快递员x人，根据题意得： 150x+60＝170x﹣20， 解得：x＝4， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【举一反三2】（2024秋•鹤壁月考）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“÷”看成“+”，按照正确的运算顺序计算，结果为﹣26，则的正确结果是 　　． 【思路点拨】根据题意构建方程，求解得a＝10，进而求代数式值． 【规范解答】解：设☆代表一个有理数为a， 根据题意，， 解得a＝10，即☆代表10， ∴； 故答案为：． 【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，关键是根据题意找到等量关系式． 中等题真题汇编练 1．（2024秋•南岗区校级月考）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．3x﹣5y＝2 B． C．2x2+9x＝0 D． 【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程即可判断求解． 【规范解答】解：A、方程3x﹣5y＝2含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程是一元一次方程，该选项符合题意； C、方程2x2+9x＝0中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，该选项不合题意； D、方程的右边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了一元一次方程，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 2．（2024秋•南岗区校级月考）已知关于x的方程2x+3a＝5的解是x＝﹣2，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【思路点拨】把x＝﹣2代入方程2x+3a＝5，得到关于a的方程，求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的方程2x+3a＝5的解是x＝﹣2， ∴2×（﹣2）+3a＝5， 解得a＝3． 故选：B． 【考点评析】本题考查方程的解，解一元一次方程，解题的关键是理解方程的解的定义． 3．（2023秋•毕节市校级期末）下列变形正确的是（　　） A．4x﹣5＝3x+2变形得4x﹣3x＝﹣2+5 B．变形得4x﹣1＝3x+18 C．3（x﹣1）＝2（x+3）变形得3x﹣1＝2x+6 D．3x＝2变形得 【思路点拨】等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．根据等式的性质解答即可． 【规范解答】解：A．4x﹣5＝3x+2变形得4x﹣3x＝2+5，故变形错误，不符合题意； B． ，等式两边同时乘以6，变形可得4x﹣6＝3x+18，故变形错误，不符合题意； C．3（x﹣1）＝2（x+3）去括号可得3x﹣3＝2x+6，故变形错误，不符合题意； D．3x＝2变形得，变形正确，符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 4．（2024春•龙华区校级期中）已知x＝﹣3是关于x的方程2x+k﹣4＝0的解，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣10 D．10 【思路点拨】根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把x＝﹣3代入原方程求出k的值即可． 【规范解答】解：∵x＝﹣3是关于x的方程2x+k﹣4＝0的解， ∴2×（﹣3）+k﹣4＝0， ∴k＝10， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 5．（2024春•商水县校级期中）下列方程变形中，正确的是（　　） A．，去分母，得3x﹣（4x﹣3）＝1 B．1+x＝4，移项，得x＝4﹣1 C．2x﹣（1﹣3x）＝5，去括号，得2x﹣1﹣3x＝5 D．2x＝﹣3，两边都除以2，得 【思路点拨】根据去分母、去括号、移项、系数化1等基本步骤逐项判断即可． 【规范解答】解：A，去分母，得3x﹣（4x﹣3）＝3，故本选项错误，不合题意； B，1+x＝4，移项，得x＝4﹣1，故本选项正确，符合题意； C，2x﹣（1﹣3x）＝5，去括号，得2x﹣1+3x＝5，故本选项错误，不合题意； D，2x＝﹣3，两边都除以2，得，故本选项错误，不合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了解一元一次方程，掌握去分母、去括号、移项、系数化1等基本步骤是关键． 6．（2024秋•船营区校级月考）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是　﹣4　； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点分情况列出方程求解． 【规范解答】解：（1）根据数轴上两点间的距离数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4， 故答案为：﹣4； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②当P不超过Q时，则10+4t﹣6t＝8， 解得t＝1； 当P超过Q时，则10+4t+8＝6t， 解得t＝9； 所以当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【考点评析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 7．（2024春•蒸湘区校级期中）我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过15m3，每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 　26　m3． 【思路点拨】设小明家3月份用水x m3，先求出用水量为15m3时应交水费，与89比较后即可得出x＞15，再根据题意得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设小明家3月份用水x m3，当用水量为15m3时， 应交水费为15×3＝45（元）． ∵45＜89， ∴x＞15． 根据题意得：45+（x﹣15）×（1+3）＝89， 解得：x＝26． 答：他家该月用水26m3． 故答案为：26． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是要认真审题确定等量关系． 8．（2024秋•南岗区校级月考）我们定义：如果两个有理数的和等于这两个有理数的积，那么这两个有理数就叫做“和积等数对”，即：如果a+b＝a×b，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为（a，b）．例如：2+2＝2×2，则称数对（2，2）是“和积等数对”．根据上述材料，如果（x，5）是“和积等数对”，则x＝　　． 【思路点拨】根据“和积等数对”的定义可得x+5＝5x，求解即可． 【规范解答】解：∵（x，5）是“和积等数对”， ∴x+5＝5x， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查新定义，解一元一次方程，解题的关键是理解题意，构建方程解决问题． 9．（2024秋•南岗区校级月考）轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船在静水中的速度是　15　千米/时． 【思路点拨】首先设船在静水中的速度是x千米/时，根据逆水时间×逆水速度＝顺水时间×顺水速度可得方程，再解方程即可． 【规范解答】解：设船在静水中的速度是x千米/时，由题意得： 3（x﹣3）＝2（x+3）， 解得：x＝15． 故答案为：15． 【考点评析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 10．（2024春•商水县校级期中）写出一个解为x＝﹣2，且未知数的系数为2的一元一次方程 　2x+4＝0 （答案不唯一）　． 【思路点拨】根据一元一次方程的定义，只要含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），且系数是2，还要满足方程的解是2，这样的方程即可，答案不唯一，只要符合以上条件即可．此题要求的是满足条件的一元一次方程，形如2x+a＝2×2+a都是正确的答案． 【规范解答】解：此题答案不唯一， 如：2x+4＝0，2x+4＝4+4都是正确的． 故答案为：2x+4＝0 （答案不唯一）． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．注意方程的解是指能使方程成立的未知数的值． 11．（2024春•蒸湘区校级期中）解方程：2（x﹣3）＝3（x+4）． 【思路点拨】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【规范解答】解：2（x﹣3）＝3（x+4）， 去括号得，2x﹣6＝3x+12， 移项，合并同类项得，﹣x＝18， 系数化为1得，x＝﹣18． 【考点评析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 12．（2024秋•南岗区校级月考）m为何值时，关于x的方程3x﹣m＝2x+1的解是4＝2x﹣1的解的2倍． 【思路点拨】先求出方程4＝2x﹣1的解，进而得到方程3x﹣m＝2x+1的解，再把解代入方程即可求出m的值，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由方程4＝2x﹣1得，， ∵方程3x﹣m＝2x+1的解是4＝2x﹣1的解的2倍， ∴方程3x﹣m＝2x+1的解为x＝5， 把x＝5代入方程3x﹣m＝2x+1得，15﹣m＝10+1， 解得m＝4． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 13．（2024秋•南岗区校级月考）解方程： （1）4﹣3（x﹣1）＝9﹣x； （2）． 【思路点拨】（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）4﹣3（x﹣1）＝9﹣x 去括号，得4﹣3x+3＝9﹣x， 移项，得﹣3x+x＝9﹣4﹣3， 合并同类项，得﹣2x＝2， 系数化为1，得x＝﹣1； （2） 去分母，得4（2x﹣1）﹣12＝2x﹣3（x+3） 去括号，得8x﹣4﹣12＝2x﹣3x﹣9， 移项，得8x﹣2x+3x＝﹣9+4+12， 合并同类项，得9x＝7， 系数化为1，得． 【考点评析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 14．（2024秋•南岗区校级月考）已知x＝3是关于x的方程的解，n满足关系式|2n+3m|＝0，求m+n的值． 【思路点拨】把x＝3代入方程求出m的值，再代入关系式求出n，进而把m、n的值代入代数式计算即可求解． 【规范解答】解：将x＝3代入方程中得， ， 解得， 将代入关系式|2n+3m|＝0中得，， ∴2n﹣8＝0， 解得n＝4， ∴． 【考点评析】本题考查了方程的解，代数式求值，掌握方程解的定义是解题的关键． 培优题真题汇编练 15．（2024秋•南岗区校级月考）在一次数学活动中，小明在某月的日历上圈出了相邻的三个数a，b，c，求出它们的和为33，则这三个数在日历中的排布不可能的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意逐项列方程求解，即可判断． 【规范解答】解：A、设a＝x，则b＝x+7，c＝x+14， ∴x+x+7+x+14＝33， 解得x＝4， ∴a＝4，b＝11，c＝18．本选项不合题意； B、设a＝x，则c＝x+1，b＝x﹣6， ∴x+x+1+x﹣6＝33， 解得，本选项符合题意； C、设a＝x，则b＝x+7，c＝x+8， ∴x+x+7+x+8＝33， 解得x＝6， ∴a＝6，b＝13，c＝14．本选项不合题意； D、设a＝x，则b＝x+8，c＝x+16， ∴x+x+8+x+16＝33， 解得x＝3， ∴a＝3，b＝11，c＝19．本选项不合题意． 故选：B． 【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，掌握用字母表示数，列代数式的方法，列方程解应用题方法与步骤是解题关键． 16．（2023秋•利辛县期末）已知方程（k﹣1）x|k|+1＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D． 【思路点拨】根据一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此求出k的值，然后再求解方程即可． 【规范解答】解：根据一元一次方程的定义可知，|k|＝1且k﹣1≠0， 解得：k＝﹣1， 原方程为：﹣2x+1＝0， 解得：x＝， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解题的关键． 17．（2024秋•南岗区校级月考）A、B两地相距1000km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）次． A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，相距200km要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【规范解答】解：设两车相距200km时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距200km时，则有：200t+75t+200＝1000， 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距200km时， 200t+75t﹣200＝1000， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶5×75＝375km， ∵375＞200， ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： 75t＝200+200（t﹣5）， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距200km时，则有200（t﹣5）﹣75t＝200， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了10×75＝750km，距终点还需行驶1000﹣750＝250km，则有：75t＝1000﹣200， 解得． 综上所述，两车恰好相距200km的次数为5次． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式． 18．（2023秋•萧县期末）运用等式性质进行的变形，错误的是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果a＝b，那么 C．如果a（x2+1）＝b（x2+1），那么a＝b D．如果a＝b，那么a﹣2＝b﹣2 【思路点拨】根据等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【规范解答】解：A．如果 ，那么 a＝b成立，故本选项不符合题意； B．如果 a＝b，当c＝0，那么 不成立，故本选项符合题意； C．如果 a（x2+1）＝b（x2+1），因为x2+1≥1，那么 a＝b成立，故本选项不符合题意； D．如果 a＝b，那么 a﹣2＝b﹣2成立，故本选项不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题主要考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 19．（2024春•龙华区校级期中）解方程，去分母后正确的是（　　） A．3（x﹣1）＝1﹣（2x+1） B．3（x﹣1）＝6﹣（2x+1） C．3x﹣1＝1﹣（2x+1） D．3（x﹣1）＝6﹣2x+1 【思路点拨】根据等式的法则解答即可． 【规范解答】解：， 两边同时乘以6，去分母得：3（x﹣1）＝6﹣（2x+1）， 故选：B． 【考点评析】本题考查了解含分母的一元一次方程，解题的关键是熟练掌握去分母的法则等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数． 20．（2024•怀化开学）买2千克葡萄和3千克芒果，共付款40元．已知2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱，那么葡萄每千克 　5　元，芒果每千克 　10　元． 【思路点拨】设葡萄每千克x元，芒果每千克y元，根据买2千克葡萄和3千克芒果，共付40元．2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设葡萄每千克x元，芒果每千克y元， 由题意得：， 解得：， 即葡萄每千克5元，芒果每千克10元， 故答案为：5，10． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21．（2024秋•宜兴市校级月考）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣15、7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且点A′、B之间的距离为2，则C点表示的数是　﹣3　． 【思路点拨】设点C表示的数为m，根据题意，得CA＝m﹣（﹣15）＝m+15，CB＝7﹣m，CA′＝CB+A′B＝9﹣m，根据对折的性质，建立方程解答即可． 【规范解答】解：设点C表示的数为m， 根据题意，得CA＝m﹣（﹣15）＝m+15，CB＝7﹣m， CA′＝CB+A′B＝9﹣m， 故m+15＝9﹣m， 解得m＝﹣3， 故点C表示的数是﹣3． 故答案为：﹣3． 【考点评析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程，表示距离是解题的关键． 22．（2024秋•南岗区校级月考）已知：商品利润率＝，某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为80%，每件乙种商品的利润率为50%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多20%时，这个商人得到的总利润率为60%，甲、乙两种商品进价的比值是 　　． 【思路点拨】根据甲种商品利润+乙种商品利润＝两种商品的总进价×总利润率列出等式，对等式进行化简即可求解 【规范解答】解：设甲、乙商品进价分别为a、b，售出甲种商品m件，则每件甲种商品的利润为80%a，每件乙种商品的利润为50%b，售出乙种商品（1+20%）m件， 根据题意得，80%am+50%b×（1+20%）m＝60%[am+b×（1+20%）m]， 化简得，4a+3b＝3a+3.6b， ∴a＝0.6b， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，正确假设出未知数是解题的关键． 23．（2024秋•南岗区校级月考）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 　11　岁． 【思路点拨】由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为4x岁，列一元一次方程即可求解． 【规范解答】解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为4x岁，由题意得： 4x﹣x＝33， 解得x＝11，即王芳现在的年龄是11岁， 故答案为：11． 【考点评析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键． 24．（2024秋•南岗区校级月考）有理数都可以表示为（p≠0且p，q不可约分）的形式，无限循环小数也可以写成这种形式，以0.3为例：设，即0.3333⋯＝x，则3.3333⋯＝10x，则有3+x＝10x，可得，即，则＝　　． 【思路点拨】设，则，根据题中所给方法列出方程即可求解． 【规范解答】解：设，则， ∴47+x＝100x， ∴99x＝47， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 25．（2024秋•榆树市校级月考）如图，点O是数轴的原点，数轴上点A、B表示的数分别是4、﹣8．这个数轴上的动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发沿O→A→B方向运动到点B停止．设点P的运动时间为t（s）（t＞0）． （1）当点P与点A重合时，求t的值； （2）当点P表示的是绝对值最小的数时，求t的值； （3）当点P表示的数是倒数等于它本身的数时，求t的值； （4）在点A、B之间，当点P表示的整数的点找不到与它到原点的距离相等的点时，直接写出t的值（写出两个即可）． 【思路点拨】（1）由题意得点P运动的距离为4个单位长度，再根据时间＝路程÷速度，即可求解； （2）由题意得绝对值最小的数是0，同（1）即可求解； （3）由题意得倒数等于它本身的数是1或﹣1，同（1）即可求解； （4）由题意得点P表示的数为﹣5或﹣6或﹣7或﹣8，同（1）即可求解． 【规范解答】解：（1）当点P与点A重合时，点P运动的距离为4个单位长度， 此时，秒； （2）∵绝对值最小的数是0，则点P运动的距离为0或8个单位长度， ∴秒或秒； （3）∵倒数等于它本身的数是1或﹣1，则点P运动的距离为1或7或9个单位长度， ∴秒或秒或秒； （4）由题意得点P表示的数为﹣5或﹣6或﹣7或﹣8， 则点P运动的距离为13或14或15或16个单位长度， ∴秒或秒或秒或秒． 【考点评析】本题考查了绝对值的性质、相反数、倒数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件求解． 26．（2024秋•碑林区校级月考）已知在数轴上A，B，C三点对应数分别为﹣4，20，n． （1）把这条数轴在数m对应的点处对折，使A，B两点恰好互相重合，则数m＝　8　； （2）若点C在数轴上表示的数为n，当A，B，C中的一个点到另外两个点的距离相等时，求此时数n的值； （3）若点A、点B同时出发，都以1个单位/秒的速度相向运动，同时点C从原点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，运动过程中，是否存在点C，使3CA＝2CB？若存在，请求出此时n的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）利用中点坐标计算方法直接得出答案即可； （2）AB＝20﹣（﹣4）＝24，①点A到B，C的距离相等，则AC＝AB，得到|n+4|＝24，②点C到A，B的距离相等，则CA＝CB，得到n+4＝20﹣n，③点B到A，C的距离相等，则BA＝BC，得到|n﹣20|＝24，再分别解方程即可； （3）分类讨论，当点A在点B左侧和点B在点A左侧时，分别表示CA，CB，根据3CA＝2CB建立一元一次方程，求解即可． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：8． （2）AB＝20﹣（﹣4）＝24 ①点A到B，C的距离相等，则AC＝AB， ∴|n+4|＝24， ∴n＝20或n＝﹣28； ②点C到A，B的距离相等，则CA＝CB， ∴n+4＝20﹣n， ∴n＝8； ③点B到A，C的距离相等，则BA＝BC， ∴|n﹣20|＝24， ∴n＝44或n＝﹣4， 综上：数n的值为20或﹣28或8或44或﹣4； （3）当点A在点B左侧，如图： CA＝2t﹣（﹣4+t）＝t+4，CB＝20﹣t﹣2t＝20﹣3t ∵3CA＝2CB ∴3（t+4）＝2（20﹣3t）， 解得：， 则； ②当点A在点B右侧时，如图： CA＝2t﹣（﹣4+t）＝t+4，CB＝2t﹣（20﹣t）＝3t﹣20， ∵3CA＝2CB， ∴3（t+4）＝2（3t﹣20）， 解得：， ∴， 综上所述，存在，或． 【考点评析】此题考查数轴，数轴上两点距离，一元一次方程的实际运用，利用图形，得出数量关系是解决问题的关键． 27．（2024秋•浙江校级月考）上午八时，张、王两同学分别从 A、B两地同时骑摩托车出发，相向而行．已知张同学每小时比王多行2千米，到上午十时，两人仍相距36千米的路程．相遇后，两人停车闲谈了15分钟，再同时按各自的方向和原来的速度继续前进，到中午十二时十五分，两人又相距36千米的路程．A、B两地间的路程有多少千米？ 【思路点拨】由题意可知，从上午10时到中午12时15分共用了2小时15分钟，减去两人闲谈用去的15分，即两人共行（36+36）千米用了2小时，则两人速度和是（36+36）÷2＝36（千米/时），得两人共行36千米需要1小时，到上午十时，两人已共行了2小时，共行的路程是36×2＝72（千米），此时两人相距36千米，所以两地相距72+36＝108（千米）． 【规范解答】解：12时（15分）﹣10时﹣（15分）＝2小时，10时﹣8时＝2小时， 设两个人的速度和为x千米/时，根据题意得2x＝36+36， ∴x＝（36+36）÷2＝72÷2＝36（千米/时）， ∴36×2+36 ＝72+36 ＝108（千米）， 答：A、B两地相距108千米． 【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意求出两人的速度和，再用第一次相距36千米加上两人共行的路程即可得出全程长度． 28．（2023秋•阳城县期末）如图，已知点A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数是80．现在有一动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动． （1）与A、B两点距离相等的点C所对应的数是 　30　． （2）两动点P、Q相遇时所用时间为 　20　秒；此时两动点所对应的数是 　40　． （3）动点P所对应的数是22时，此时动点Q所对应的数是 　52　． （4）当动点P运动25秒钟时，动点P与动点Q之间的距离是 　25　单位长度． （5）经过 　12或28　秒钟，两动点P、Q在数轴上相距40个单位长度． 【思路点拨】（1）根据题意，可知与A、B两点相等的点C所对应的数就是点A和点B组成的线段的中点对应的数据，然后计算即可； （2）根据数轴中的数据和题意，可以得到相应的一元一次方程，然后求解即可； （3）根据题目中的数据，可以计算出动点P所对应的数是22时对应的运动时间，从而可以计算出此时动点Q所对应的数； （4）根据题目中的数据，可以计算出当动点P运动25秒钟时，动点P与动点Q对应的数据，然后作差即可； （5）根据题意，可以分两种讨论，然后列出相应的方程，然后求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意可得， 点C表示的数为：＝30， 故答案为：30； （2）设两动点P、Q相遇时所用时间为t秒， 3t+2t＝80﹣（﹣20）， 解得t＝20， 此时两动点所对应的数是﹣20+3×20＝40， 故答案为：20，40； （3）动点P所对应的数是22时， 此时点P运动的时间为：[22﹣（﹣20）]÷3＝14（秒），此时动点Q所对应的数是80﹣2×14＝52， 故答案为：52； （4）当动点P运动25秒钟时，动点P与动点Q之间的距离是（﹣20+25×3）﹣（80﹣2×25）＝25， 故答案为：25； （5）设经过a秒钟，两动点P、Q在数轴上相距40个单位长度， 相遇前相距40个单位长度，（80﹣2a）﹣（﹣20+3a）＝40， 解得a＝12； 相遇后相距40个单位长度，（﹣20+3a）﹣（80﹣2a）＝40， 解得a＝28； 故答案为：12或28． 【考点评析】本题考查一元一次方程的应用、数轴，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$