专题05 期中真题必刷题【64道培优】-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题05 期中真题必刷题 一、单选题 1．（22-23高一上·广东肇庆·期中）若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·安徽·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） ①命题“，”的否定为“，”； ②“”是“”的充要条件； ③集合，表示同一集合． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（21-22高一上·广东佛山·期中）已知集合．若，且，则满足条件的C的个数为（    ） A．479 B．480 C．511 D．512 4．（23-24高一上·广东江门·期中）在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为（    ）千箱时，该厂当年的利润最大? A．80 B．90 C．95 D．100 5．（23-24高一上·广东广州·期中）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高一上·广东佛山·期中）已知的解集为，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一下·河南濮阳·期末）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 10．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广东佛山·期中）设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·山西·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意的，都有．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·广东广州·期中）已知定义在上的函数满足，且时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·广东佛山·期中）定义在上的函数，若的图像关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·广东广州·期中）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 19．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 20．（23-24高一上·广东·期中）下列说法正确的为（    ） A．命题“，使”的否定形式是“，使” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是的充分条件，是的充要条件，则是的必要条件 D．若命题“”是假命题，则 21．（21-22高一上·广东深圳·期中）设函数，集合，设，则下列说法正确的是（    ）. A． B．一定等于9 C．可能等于8 D．时， 22．（21-22高一上·广东广州·期中）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（    ） A．对于任意集合A，都有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知正实数满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 24．（23-24高一上·广东东莞·期中）以下结论正确的是（    ） A．不等式恒成立 B．存在，使得不等式成立 C．若，则 D．若正实数满足，则 25．（23-24高一上·广东广州·期中）设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·广东佛山·期中）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，成立”的否定是“，” C．最小值2 D．若，且，则 27．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列说法正确的有（    ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．“”是“”的充分不必要条件 28．（23-24高一上·广东潮州·期中）若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，下列选项正确的是（   ） A．方程有三个不同的实根 B．在R上单调递增 C．不等式的解集为 D．不等式的解集是 29．（23-24高一上·广东江门·期中）以下判断正确的有（    ） A．函数的图象与直线x＝1的交点最多有1个 B．与是不同函数 C．函数的最小值为2 D．若，则 30．（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若幂函数的图像过点，则 B．若函数在R上单调递增，则的取值范围是 C．已知，，且，则的最小值为 D．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解析式为 31．（23-24高一上·广东东莞·期中）设表示不超过的最大整数，如.设，且，则下列选项正确的有（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．函数的值域为 D．函数的值域为 32．（23-24高一上·广东江门·期中）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的图象关于直线成轴对称 C．在区间上，为减函数 D． 33．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C． D．满足不等式的的取值范围为 三、填空题 34．（23-24高一上·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是 35．（21-22高一上·上海黄浦·期中）设是实数，集合，若，则的取值集合是 . 36．（21-22高一上·浙江·期末）命题“”为真，则实数a的范围是 37．（20-21高一上·江苏盐城·阶段练习）设条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 38．（23-24高一上·广东珠海·期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为 . 39．（23-24高一上·广东广州·期中）若均为正数，且，则的最小值为 . 40．（22-23高一上·广东东莞·期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元． 41．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为 ． 42．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是 ． 43．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 44．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 45．（23-24高一上·广东广州·期中）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，对于任意实数t，恒成立，求a的取值范围 ． 46．（23-24高一上·广东梅州·期中）已知函数，，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 47．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 48．（22-23高一上·广东广州·期中）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为 ． 四、解答题 49．（23-24高一上·广东梅州·期中） 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 50．（22-23高一上·广东江门·期中）已知命题，命题. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围. 51．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 52．（23-24高一上·广东东莞·期中）设函数，． (1)比较和的大小，并证明； (2)求关于的不等式（为参数）的解集． 53．（23-24高一上·广东广州·期中）设命题不等式恒成立；命题q: ，使成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题至多有一个是真命题，求实数m的取值范围. 54．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)求不等式的解集； (2)若的解集为，求关于的不等式的解集. 55．（23-24高一上·广东汕头·期中）设. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，解关于的不等式 56．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 57．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，， (1)若，成立，求的取值范围； (2)若对，总，使得，求实数的取值范围． 58．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，求的取值范围. 59．（23-24高一上·广东广州·期中）定义在上的函数满足：对于，，成立，当时，恒成立. (1)求的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)当时，解关于的不等式 60．（23-24高一上·广东揭阳·期中）函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，. (1)判断函数在的单调性，并给出证明： (2)求函数的解析式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 61．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数过点，且满足. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值的解析式； (3)设，若对任意，均成立，求实数m的取值范围. 62．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 63．（21-22高一上·广东深圳·期中）已知，，是不全为零的实数，函数，.方程的实数根都是的根；反之，的实数根都是的根. (1)若且，求方程的实数根； (2)若且，求的取值范围； (3)若，，求的取值范围. 64．（23-24高一上·广东珠海·期中）设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. (1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； (2)若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 期中真题必刷题 一、单选题 1．（22-23高一上·广东肇庆·期中）若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数的性质列不等式求函数与轴正半轴相交对应a的范围，根据必要不充分关系即可得m的范围. 【详解】由的图象与轴正半轴相交，则，即， 所以是的必要不充分条件，则. 故选：D 2．（22-23高一上·安徽·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） ①命题“，”的否定为“，”； ②“”是“”的充要条件； ③集合，表示同一集合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题． 【详解】①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确； ②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件 ，错误； ③集合，不是同一集合．错误， 正确的命题只有一个． 故选：B. 3．（21-22高一上·广东佛山·期中）已知集合．若，且，则满足条件的C的个数为（    ） A．479 B．480 C．511 D．512 【答案】B 【分析】先求出集合A的所有子集，再求出A中含有，B中不含有的元素为5，6，7，8，9，求出对应集合的子集，从而可求出满足条件的集合C的个数 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以此条件的集合C有， 因为A中含有，B中不含有的元素为5，6，7，8，9，而的非空子集有， 所以满足，且的集合的个数有, 故选：B 4．（23-24高一上·广东江门·期中）在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为（    ）千箱时，该厂当年的利润最大? A．80 B．90 C．95 D．100 【答案】D 【分析】求得当年的利润的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项. 【详解】设年产量为x千箱，当年的利润为y万元， 则由已知有， 即， 当时，， 由二次函数的性质可知当时y取最大值950， 当时，. 当且仅当即时，y取得最大值1000， 又，所以当年产量为100千箱时，该厂当年的利润取得最大值1000万元. 故选：D 5．（23-24高一上·广东广州·期中）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】妙用“1”求，然后解一元二次不等式即可. 【详解】不等式有解，等价于， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即，解得或. 故选：D 6．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合. 【详解】当时，不等式化为对恒成立； 当，要使得不等式对恒成立，则，解得 综上，a的取值集合为. 故选：D. 7．（20-21高一上·广东佛山·期中）已知的解集为，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定解集可得，再代入分式不等式求解即得. 【详解】因为的解集为，则，且，即. 故，即，则， 故，解得或；或，无解. 综上有. 故选：A 8．（21-22高一下·河南濮阳·期末）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围. 【详解】若“，”是真命题， 即判别式，解得：， 所以命题“，”是假命题， 则实数的取值范围为：. 故选：A. 9．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 10．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对，，使得，由包含关系列不等式求解. 【详解】解：， 令，则， 由对勾函数的性质得：m在上递减，在上递增， 所以，则， 易知在上递增，则， 因为对，，使得， 所以，解得， 故选：A 11．（23-24高一上·广东佛山·期中）设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出函数图像，结合换元法，转化为恒成立问题求参即可. 【详解】因为，所以由函数的图象可知其值域为，如图： 的值域为时有两个解；值域为时有三个解；值域为时有唯一解； 令，则，若存在唯一的非零实数满足， 则须时，，与一一对应， 要使也一一对应，则，即()， 任意时，因为，所以不等式等价于，即在恒成立， 因为，所以，又，所以正实数的取值范围为． 故选：A. 12．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由想到构造函数，可证为偶函数且在上为增函数，结合偶函数的对称性解不等式即可求解. 【详解】令，因为函数的图象的对称中心是,函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以是偶函数，因为，所以，则， 因为对任意且时， ， 所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 13．（23-24高一上·山西·期中）已知定义域为的偶函数满足：对任意的，都有．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用函数是偶函数，得到在上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可. 【详解】因为，所以在上单调递增． 因为为偶函数，所以在上单调递减． 若，则或，解得或． 故选：C. 14．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论函数的最小值，进而求解. 【详解】当时，，对称轴为， 若，则函数在上单调递减，则恒成立； 若，则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，所以. 综上所述，当，时，恒成立. 当时，， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 15．（23-24高一上·广东广州·期中）已知定义在上的函数满足，且时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知函数关于对称，并求出时函数的解析式，画出大致图象，然后结合图象得到的解集. 【详解】定义在上的函数满足，所以关于对称， 当时，，因为在上单调递增,在上单调递减, 在上单调递增,所以在上单调递增，， 因为，当，即时， ， 令，即或（舍）， 所以画出的大致图象    由图象知，当时，，当时，，当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当或时，， 所以不等式的解集为， 故选：C. 16．（23-24高一上·广东佛山·期中）定义在上的函数，若的图像关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由的图像关于点对称，在上单调递增和，得出为奇函数，在上单调递增，且，将转化为，根据的单调性解不等式即可． 【详解】设，因为的图像关于点对称， 所以的图像关于对称， 所以为奇函数，即， 因为， 所以为奇函数， 又因为，所以，则， 而，得，即， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，得， 即不等式的解集为． 故选：A． 17．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数， 所以 所以函数是定义在上的偶函数， 因为对，且有， 所以在上单调递增， 所以， 当时，则有， 所以，即， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为， 所以即为， 所以，解得. 故选：B. 18．（23-24高一上·广东广州·期中）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，分，，，讨论求解. 【详解】当时，不等式化为，不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数图象和性质知不合题意； 当时，要使，对恒成立，则 ，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：C. 19．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p为“，”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为命题“，”为真命题，令，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为命题p“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 令，其对称轴为， 当，即时，，解得，此时； 当，即时，，解得，此时无解； 当，即时，，即，此时， 综上：实数a的取值范围是， 故选：B 二、多选题 20．（23-24高一上·广东·期中）下列说法正确的为（    ） A．命题“，使”的否定形式是“，使” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是的充分条件，是的充要条件，则是的必要条件 D．若命题“”是假命题，则 【答案】BC 【分析】用逻辑和命题的相关知识点，逐个选项分析，即可得到答案. 【详解】对于A，命题“，使”的否定形式是，使，故A错误 对于B，当时，成立，当时，解得或，故“”是“” 的充分不必要条件，故B正确 对于C，若是的充分条件，是的充要条件，则有，故是的必要条件，故C正确 对于D，若命题“”是假命题，则是真命题，故或解得，故D错误 故选：BC 21．（21-22高一上·广东深圳·期中）设函数，集合，设，则下列说法正确的是（    ）. A． B．一定等于9 C．可能等于8 D．时， 【答案】ABD 【分析】由解集为正整数解集可知，，，再结合，即可判断各选项. 【详解】令，则， 因为解集为正整数解集，而， 当时，；当时，； 当时，，符合正整数解集. 因为只有3个正整数解，又，所以 对于A，，A对； 对于B， ，B对； 对于C，由B选项可知，C错； 对于D，时，，D对. 故选：ABD. 22．（21-22高一上·广东广州·期中）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（    ） A．对于任意集合A，都有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据P（A）的定义判断ACD，结合n（A）的定义判断B，由此可得正确选项. 【详解】对于任意集合A，都有，所以，A对， 由已知可得，，又， 所以，B对， ∵ ， 所以， 所以，C错误， 对于任意的，则，又，所以，所以， D对， 故选：ABD. 23．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知正实数满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式和对勾函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则，且， 故,当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B，若，，则，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C，若，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，若，，则，即， 所以，故 所以 函数在单调递减， 所以 即，故D正确. 故选：ACD 24．（23-24高一上·广东东莞·期中）以下结论正确的是（    ） A．不等式恒成立 B．存在，使得不等式成立 C．若，则 D．若正实数满足，则 【答案】BC 【分析】集合基本不等式成立条件和乘“”法确定. 【详解】对于A，不等式恒成立的条件是，故A错误； 对于B，当时，不等式成立，故B正确； 对于C，若，则，当且仅当时取等号； 对于D，若正实数满足，则， 当且仅当，即时取等号；故D错误. 故选：BC 25．（23-24高一上·广东广州·期中）设a，b为正实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式以及其变形与不等式性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，为正实数，，故， 故，即，故A正确； 对于B，由于，当且仅当即时取等号， ，当且仅当即时取等号， 故，故B正确； 对于C，，为正实数，则，故， 即，故，故C错误； 对于D，因为，为正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D正确. 故选：ABD. 26．（23-24高一上·广东佛山·期中）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，成立”的否定是“，” C．最小值2 D．若，且，则 【答案】AD 【分析】根据充分不必要条件判断A选项，应用命题的否定判断B选项，应用基本不等式判断C,D选项. 【详解】对于A选项，且，所以，“”“”， 且“”“”，所以，“”是“”的充分不必要条件，A对； 对于B，命题“，成立”的否定是“，”，B错； 对于C中，由，当且仅当时，即时，显然不成立，所以C错误； 对于D中，若且，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以，所以D正确． 故选：AD. 27．（23-24高一上·广东深圳·期中）下列说法正确的有（    ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】选项A，由存在量词命题的否定是全称量词命题可得；选项B，转化为方程没有实数根求解；选项C，当时，；选项D，证明充分性，当时，，说明“”是“”的不必要条件. 【详解】选项A，存在量词命题的否定是全称量词命题，选项A正确； 选项B，若命题“，”为假命题， 即方程没有实数根， 则，解得，选项B正确； 选项C，若，， 所以“”不是“”的充要条件，故C错误； 选项D，， 当，但不成立，即，故D正确. 故选：ABD. 28．（23-24高一上·广东潮州·期中）若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，下列选项正确的是（   ） A．方程有三个不同的实根 B．在R上单调递增 C．不等式的解集为 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】A选项，根据函数奇偶性得到，且，只有三个根；B选项，举出反例；C选项，分，与三种情况，结合函数单调性求出答案；D选项，分类讨论，求出解集. 【详解】A选项，因为为R上的奇函数，故， 奇函数在区间上单调递增，故在区间上单调递增， 又，所以， 故方程有三个不同的实根，A正确； B选项，当时，， 当时，，故在R上不单调递增，B错误； C选项，，当时，， 在区间上单调递增，故， 当时，，满足要求， 当时，， 在区间上单调递增，故， 综上，不等式的解集为，C正确； D选项，，显然， 当时，，，此时，满足要求， 当时，，，此时，不合要求， 当时，，，此时，满足要求， 当时，，，此时，不合要求， 当时，，，此时，满足要求， 综上，不等式的解集是. 故选：ACD 29．（23-24高一上·广东江门·期中）以下判断正确的有（    ） A．函数的图象与直线x＝1的交点最多有1个 B．与是不同函数 C．函数的最小值为2 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据函数定义域与值域的关系即可对A项判断；根据函数与的定义域与对应关系是否相等可对B项判断；利用基本不等式及取等条件即可对C项判断；先求出，然后再求，即可对D项判断. 【详解】对于A：函数的图象与直线的交点可以为或，故A项正确； 对于B：，，两函数定义域和对应关系都相等是同一函数，故B项错误； 对于C：因为，所以， 当且仅当时取到等号，又因为无解，故等号取不到，故C项错误； 对于D：，，故D项正确. 故选：AD. 30．（23-24高一上·广东广州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若幂函数的图像过点，则 B．若函数在R上单调递增，则的取值范围是 C．已知，，且，则的最小值为 D．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解析式为 【答案】AC 【分析】A选项，设出函数解析式，代入点的坐标，求出解析式；B选项，举出反例；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，利用奇函数求对称区间解析式的方法求出解析式. 【详解】对于A，，将代入得，，解得，故，故A正确； 对于B，当时，， 其图象如下： 满足在R上单调递增，故B错误； 对于C，已知，，且， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为，故C正确； 对于D，函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 当时，，所以， 又因为，所以， 当时，， 所以的解析式为，故D错误， 故选：AC. 31．（23-24高一上·广东东莞·期中）设表示不超过的最大整数，如.设，且，则下列选项正确的有（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】由已知可得，，分类讨论，求出和值. 【详解】，时，在R上单调递减；时，在R上单调递增， 由，有，则，即，可得， 所以函数的值域为，A选项正确； 且，且， 故，又是R上的单调函数， 若，则，B选项正确； 又由， 故当，时， ， ， 故当时， ， 故当，时， ， ， 函数的值域为，C选项错误； 函数的值域为，D选项正确 故选：ABD 32．（23-24高一上·广东江门·期中）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的图象关于直线成轴对称 C．在区间上，为减函数 D． 【答案】ABC 【分析】根据条件先判断函数的对称轴和周期，然后结合函数的单调性进行转化比较即可. 【详解】因为，所以函数的图象关于对称，故选项B正确； 因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称； 结合函数的图象关于对称，所以函数的图象关于点中心对称， 故选项A正确； 又在区间上，有，所以在上单调递增， 结合函数的图象关于对称及关于点成中心对称， 所以在上单调递减，故选项C正确； 由奇函数性质知，所以，即， 所以，所以函数是周期函数，且， 又在上单调递增，所以，故选项D错误. 故选：ABC 33．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上单调递减 C． D．满足不等式的的取值范围为 【答案】ACD 【分析】令，求得，可判定A正确；令，得到，结合单调性的定义，得到为单调递增函数，可判定B不正确；结合，可判定C正确；由，求得，把不等式转化为，结合函数的单调性，列出不等式组，可判定D正确. 【详解】因为， 令，可得，解得，所以A正确； 令，可得，所以， 任取且，则， 因为，所以，所以， 可得函数在上单调递增函数，所以B不正确； 由，所以C正确； 因为，由，可得， 所以， 所以等价于，即， 因为函数在上单调递增函数，可得，解得， 即不等式的解集为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 34．（23-24高一上·广东梅州·期中）若集合的所有子集个数是，则的值是 【答案】或 【分析】首先将题目等价转换为方程只有一个解，从而对分类讨论即可求解. 【详解】由题意只含有一个元素，当且仅当方程只有一个解， 情形一：当时，方程变为了，此时方程只有一个解满足题意； 情形二：当时，若一元二次方程只有一个解， 则只能， 解得. 综上所述，满足题意的的值是或. 故答案为：或. 35．（21-22高一上·上海黄浦·期中）设是实数，集合，若，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】先求解集合中的一元二次方程可得，由，分，，三种情况讨论，即得解 【详解】由题意，集合 若，且集合中至多有一个元素 则当时，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 综上，的取值集合是 故答案为： 36．（21-22高一上·浙江·期末）命题“”为真，则实数a的范围是 【答案】 【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围. 【详解】由题意知：不等式对恒成立， 当时，可得，恒成立满足； 当时，若不等式恒成立则需，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路： （1）先分析的情况； （2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围； （3）综合（1）（2）求解出最终结果. 37．（20-21高一上·江苏盐城·阶段练习）设条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题首先可根据题意确定命题以及命题中的的取值范围，然后根据是的必要不充分条件即可列出不等式并通过计算得出结果． 【详解】条件p：，，解得， 条件q：，，解得， 因为是的必要不充分条件， 所以，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查充分条件以及必要条件，给出一个命题“若则”，如果可以证明，则是的充分条件，如果可以证明，则是的必要条件，考查推理能力，属于常考题． 38．（23-24高一上·广东珠海·期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件将问题转化不等式在上有解，利用判别式求解. 【详解】因为命题：，为真命题， 所以不等式在上有解， 当时，不等式可化为，得，符合题意； 当时，由题意得，即， 解得，结合，得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 39．（23-24高一上·广东广州·期中）若均为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解. 【详解】因为均为正数，所以，则， 又因为，所以， 令，则，即， 解得或（舍去）， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 40．（22-23高一上·广东东莞·期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元． 【答案】1440 【分析】设 长为 , 则 , 求出 , 再结合各个区域的造价求得 , 利用基本不等式可得最值. 【详解】设 长为 , 则 , 即 , 所以 . 当且仅当 , 即 时, 等号成立, 所以当 时, 取最小值为1440 . 故答案为：1440. 41．（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）已知正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用基本不等式可得当且仅当时有最大值，从而得到，利用二次函数的性质可得其最大值. 【详解】由，得， 所以， 其中，当且仅当即时取最小值2， 故，取得最大值， 此时，， 所以， 故当时，有最大值为， 故答案为：. 42．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据是定义在上的偶函数，将不等式转化为，再利用其单调性求解. 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且在上递减， 所以在上递增， 不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 43．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由函数解析式得在上的值域为，结合函数的值域为，可确定为（记在上的值域为M）；再根据的不确定性进行分类讨论，确定每一种情况下函数值域，建立不等式求解的取值范围即可. 【详解】记在上的值域为M 因为在上的值域为，所以． 当时，符合题意． 当时，由于函数的图象开口向上，不满足，故不符合题意． 当且，即时，在上的值域为，由题意可得，解得，故． 当，且，即时，在上值域为，由题意可得，解得，故． 综上，的取值范围是． 故答案为：. 44．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性得到不等关系，解得答案. 【详解】函数是上的减函数，故，解得. 故答案为：. 45．（23-24高一上·广东广州·期中）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，对于任意实数t，恒成立，求a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，得，即，然后构造函数，令，由基本不等式可求出其最大值，从而可求出a的取值范围. 【详解】因为是定义在R上的偶函数， 所以由，得， 因为在上单调递增，所以恒成立， 所以，令， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，得或， 即a的取值范围为， 故答案为：. 46．（23-24高一上·广东梅州·期中）已知函数，，若对于恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】时，转化为对于恒成立，时，根据、取值可得答案． 【详解】①当时，，若对于恒成立， 则，整理得：对于恒成立， 当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，要使对于恒成立， 则，解得； 当时，，二次函数开口向下， 所以在不能恒成立，故不符合题意； ②当时，恒成立，而此时开口向下， 故x取正无穷大时，，不能使对于恒成立，故不符合题意； 综上，实数a的取值范围是． 故答案为：． 47．（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数为偶函数，不等式变形为，又在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，且， 因为在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 当时，则，故， 当时，则，故， 综上：的解集为. 故答案为：. 48．（22-23高一上·广东广州·期中）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集. 【详解】解：不妨令，则等价于， 可得， 构造函数，则是上的增函数， 因为， 所以等价于， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 49．（23-24高一上·广东梅州·期中） 已知命题: 命题: (1)写出命题. (2)若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由全称量词命题的否定的定义即可写出. （2）将问题等价转换为和均有实数根，从而均有，由此即可求解. 【详解】（1）因为命题: 所以：. （2）命题为假命题，    ：为真命题， 即有实数根， ，               又命题q为真命题， 有实数根， ，                             m的取值范围是. 50．（22-23高一上·广东江门·期中）已知命题，命题. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）由题意可得方程有解，然后分和两种情况讨论即可； （2）先由命题为真，求得，设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B，再由题意可得B是A的真子集，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）当，显然不存在使方程1=0成立； 当时，一元二次方程的判别式， 所以，解得或. （2）若命题为真，则， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B， 因为命题为真是命题为真的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 所以，故. 51．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）由不等式恒成立进行参变分离，结合函数的单调性求出最值得出结果； （2）分成，，三种情况讨论一元二次不等式的解集. 【详解】（1）因为时，恒成立，即恒成立，即， 设，则函数在上单调递减， 所以函数的最大值，，得； （2）关于x的不等式，整理得，即， 当时，即，解得或； 当时，即，解得； 当时，即，解得或； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 52．（23-24高一上·广东东莞·期中）设函数，． (1)比较和的大小，并证明； (2)求关于的不等式（为参数）的解集． 【答案】(1)，证明见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）利用作差比较法可得答案； （2）对方程的两根大小讨论可得解. 【详解】（1）， . （2）不等式，即为，即， 当时，不等式，解得或； 当时，不等式，解得； 当时，不等式，解得或； 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 53．（23-24高一上·广东广州·期中）设命题不等式恒成立；命题q: ，使成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题至多有一个是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由，利用基本不等式求得其最小值即可； （2）分别求得命题是真命题时的m的范围，再根据“命题至多有一个是真命题”的反面是“两个都是真命题”，先求出对应范围，再求其补集. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，即，即，解得， 所以实数m的取值范围是； （2）当为真命题时，，解得，       当命题都是真命题，则且 ，即， 若命题至多有一个是真命题，则或， 综上，实数m的取值范围为或. 54．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)求不等式的解集； (2)若的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由得，再分类讨论的取值情况即可得解； （2）由题意可得方程的两个根为和2，可求得，则不等式化为，然后转化为整式不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由，得，则， 当时，，所以的解集为； 当时，不等式为，故其解集为； 当时，，所以的解集为； 综上：当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）因为的解集为， 所以方程的两个根为和2， 所以，解得， 所以不等式，可化为， 所以，即， 所以，解得， 即不等式的解集为. 55．（23-24高一上·广东汕头·期中）设. (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，解关于的不等式 【答案】(1)1 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可得和1为方程的两实数根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对一切实数恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可； （3）将不等式化为，进而根据一元二次不等式的解法步骤求解即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集是， 所以和1为方程的两实数根，且， 则，解得. （2）由对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立， 当时，，不满足题意； 当时，则满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （3）由不等式，即， 方程的两个根为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，解集为. 56．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为奇函数，且， 可得，则，解得，可得， 经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称， 可得，所以是奇函数，满足题意 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增． （2）解：由题意，函数，令，可得， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是． 57．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，， (1)若，成立，求的取值范围； (2)若对，总，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得到，，再根据二次函数的性质可得，进而求解即可； （2）先根据题意可得原条件等价于在上的最小值大于在上的最小值，再结合二次函数的性质分，，三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）因为，成立， 即，成立， 所以，， 设， 则， 解得或， 故的取值范围为. （2）对，总，使得，等价于， 等价于在上的最小值大于在上的最小值， 由于在上单调递增，因此； 因为开口向上，且其对称轴为， ①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即，解得，不符合； ②若，即，函数在上单调递增， 则， 所以，即，解得，符合； ③若，即，函数在上单调递减， 则， 所以，即，无解， 综上所述，的取值范围是． 58．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上是增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由条件可得，求出的值，然后根据可求出； （2）根据函数单调性的定义判断并证明即可； （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得满足的不等式组，从而得出答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得，则， 又因为，则，解得，所以， 对于，，即是奇函数， 所以. （2），函数在上是增函数. 证明：任取， 所以 ， 因为，所以， 则，所以， 故函数在上是增函数. （3）函数是定义在上的奇函数，且， 则， 因为函数在上是增函数， 所以，则，解得， 所以的取值范围是. 59．（23-24高一上·广东广州·期中）定义在上的函数满足：对于，，成立，当时，恒成立. (1)求的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)当时，解关于的不等式 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令可得； （2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性； （3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集. 【详解】（1）由已知，对于，，成立． 令，则，可得． （2）由（1）得， 令，则．所以，对有， 故是奇函数． （3）任取且，则，由已知有， 又，得， 所以在上是减函数． 因为，即 所以． 即， 因为在上是减函数， 所以， 即，又， 所以. 讨论如下：当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 60．（23-24高一上·广东揭阳·期中）函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，. (1)判断函数在的单调性，并给出证明： (2)求函数的解析式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数单调性定义证明即可； （2）令，则，代入的解析式，根据奇偶性即可求得的解析式； （3）判断函数的单调性，根据函数单调性列出定义域的不等式，反解算出范围即可. 【详解】（1）当时，，函数在上单调递增. 证明如下：任取，且， ， ∵，，∴，， 又，∴， ∵，即， ∴函数在上单调递增； （2）因为当时，， 所以，当时，，∴， 又因为是定义在实数集R上的奇函数， 所以，， 即当时，. 所以，函数的解析式为； （3）∵函数在上单调递增，且， 又因为是定义在实数集R上的奇函数， 所以，函数在上单调递增，且时，， 所以，函数在实数集R上单调递增； 那么不等式， 即：， 则有， 即恒成立， 所以， 又当时，，当时，， 所以，实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数单调性列出定义域的不等式，解出不等式即可. 61．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数过点，且满足. (1)求的解析式； (2)求在上的最大值的解析式； (3)设，若对任意，均成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）利用二次函数的性质分类讨论计算即可； （3）先得出，分离参数化简不等式为，利用二次函数的性质在定区间内求函数最小值，再解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知， 则， 所以； （2）由上可知，其开口向下，对称轴为， 若，则在上的最大值为， 若，则在上的最大值为， 综上； （3）由（1）可知， 故 对任意恒成立， 整理得， 当时，可知， 在即时取得最大值，在即时取得最小值， 故， 即. 【点睛】本题第二问需要注意分类讨论结合二次函数的性质求最值；第三问需要分离参数将恒成立问题转化为求函数最值，再解不等式即可. 62．（23-24高一上·广东湛江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)， (2)为奇函数，理由见解析 (3)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法即可求得； （2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性； （3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性. 【详解】（1）令，可得，解得， 令，可得，① 令，可得，② 联立①②可得（因为当时，，所以（舍去）． （2）为奇函数．理由如下： 令，可得（且），③ 用替换，令，可得（且），④ 由③④可得（，且）， 当时，，也满足，故为定义在上的奇函数． （3）在上单调递减．证明如下： 由（2）可得，，所以，， 令，，可得， 设，则，， 因为当时，，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减． 【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性． 63．（21-22高一上·广东深圳·期中）已知，，是不全为零的实数，函数，.方程的实数根都是的根；反之，的实数根都是的根. (1)若且，求方程的实数根； (2)若且，求的取值范围； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题设有，求解即可. （2）由有，讨论、判断方程根的情况是否符合题设，进而求的取值范围； （3）由已知得，，进而有，结合已知讨论、判断方程根的情况是否符合题设，求的取值范围； 【详解】（1）由，即①， 当，时，①的根为，； （2）由且，则， ∴. ，即.② （i）当时，，①、②的根都为，符合题意. （ii）当，时，①的根为，，它们也都是②的根， 又，不是的实数根. 由题意，无实数根，故，得. 综上，若，则的取值范围为. （3）由，得：，， .③ 由可以推得，知的根一定是的根. 由题意，的实数根都是的根， （i）当时，符合题意. （ii）当时，，的根不是④的根. （a）当④无实数根时符合题意，解得； （b）当或时，由④得，即，⑤ 根据题意，方程⑤无实数根， ， 当时，只需，解得，矛盾，舍去. 当时，只需，解得，即. 综上，所求的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：将方程化为多个子方程，讨论参数，研究各子方程根的情况，并保证在符合题设、的根相同情况下求参数范围. 64．（23-24高一上·广东珠海·期中）设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. (1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； (2)若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 【答案】(1)①具有性质，②不具有性质； (2). 【分析】（1）记当时，的值域为M，则性质1；性质2.然后求出①的值域，根据集合包含关系即可判断；注意当时，②的函数值不存在即可判断； （2）分，和分别求出函数值域，根据集合关系讨论即可. 【详解】（1）记当时，的值域为M， 则性质1；性质2    . 对于①，当时，，即， 所以，，即函数满足性质1，具有T性质. 对于②，因为当时，函数值不存在，故函数不具有T性质. （2）由二次函数性质知，函数在上单调递增， 在上单调递减， 当时，的值域为，显然不满足性质2， 故，要使具有T性质，则， 所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 所以的值域为，满足，即满足性质1，具有T性质； 当时，的值域为， 因为，所以不是的子集， 且， 所以，此时不具有T性质. 综上，若函数在区间具有性质，则的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$