精品解析：云南省保山市智源高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

保山市智源中学 2024-2025 学年上学期高二年级 第一次月考数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 命题人：徐梦雪 审题人：周雪梅 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号.在试卷上作答无效. 一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知全集，集合, 集合，那么= A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，E是棱的三等分点，且，F是棱的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣x﹣2y＝0，则的最小值为（　　　　） A B. 2 C. D. 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10. 已知圆和圆的交点为，，则（ ） A. 圆和圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 圆上存两点和使得 D. 圆上的点到直线的最大距离为 11. 是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的值域为 B. 当时， C. 图象的对称轴为直线 D. 方程恰有5个实数解 三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知直线与平行，则与之间的距离为_______ 13. 已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________． 14. 关于函数有如下四个命题： ①是定义域为的奇函数． ②一个周期为． ③的图象关于直线对称． ④的图象关于点对称． 其中所有真命题序号是______________． 四、解答题(本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知两点，，两直线：，：． 求：（1）过点且与直线平行的直线方程； （2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程． 16. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，已知，，. （1）求证：； （2）求平面ASB与SBC平面所成夹角的正弦值. 18. 已知圆，经过点的直线与圆交于不同的两点，. （1）若直线的斜率为2，求； （2）求的取值范围. 19. 向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题． （1）（ⅰ）若，，比较与的大小； （ⅱ）若，，比较与的大小； （2），为非零向量，，，证明：； （3）设为正数，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山市智源中学 2024-2025 学年上学期高二年级 第一次月考数学试卷 （闭卷考试，考试时间 120 分钟，全卷满分150） 命题人：徐梦雪 审题人：周雪梅 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场号、座位号在答卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案的标号.在试卷上作答无效. 一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知全集，集合, 集合，那么= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A和B,再求. 【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以. 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用. 2. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简复数，再根据复数是纯虚数即可列式求解. 【详解】， 又是纯虚数，，解得. 故选：C. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，所以，即， 所以. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出的值，然后利用诱导公式、二倍角公式结合弦化切的思想可求出所求代数式的值. 详解】，解得. 因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查两角差的正切公式、诱导公式、二倍角公式求值，解题的关键就是利用弦化切思想进行化简，同时也要注意弦化切所适用的基本类型，考查运算求解能力，属于中等题. 6. 在三棱柱中，E是棱三等分点，且，F是棱的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点D，连接，进而表示，再根据求解即可. 【详解】取的中点D，连接. 所以. 因为， 所以. 故选：D 7. 若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣x﹣2y＝0，则的最小值为（　　　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线的方程，然后利用基本不等式求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，由于直线平分圆，故圆心在直线上，即，所以，当且仅当时等号成立. 故选：C 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值. 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件找到外接球球心，利用勾股定理得到半径，再求解面积即可. 【详解】 如图，取的中点，连接， 则，又，所以， 故，因为是边长为2的等边三角形， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 设和的外心分别为， 则分别在线段上， 且，设外接球的球心为O， 连接， 在正方形中，由勾股定理得， 由勾股定理得， 故，故B正确 故选：B 二、多项选择题(本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】A：，， ，则，直线与垂直，故A正确； B：，，则， 则，或，故B错误； C：，，与不共线，不成立，故C错误； D：∵点，，，，. 向量是平面的法向量，， 即，解得，故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆和圆的交点为，，则（ ） A. 圆和圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 圆上存在两点和使得 D. 圆上的点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离. 【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确； 对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确； 对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误； 对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 11. 是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的值域为 B. 当时， C. 图象的对称轴为直线 D. 方程恰有5个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确； 根据周期为，当时，，故B正确. 故选：ABD. 三、填空题(本题共3个小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知直线与平行，则与之间的距离为_______ 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据两条直线平行求出参数，再有两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】由直线与平行， 则，即， 故直线，化为， 又， 故与之间的距离为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查两条直线平行斜率的关系以及两平行线间的距离公式，属于基础题. 13. 已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】利用勾股定理求出下底面的边长，利用棱台的体积公式计算可得体积. 【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则， 解得， 故该正四棱台的体积为． 故答案为：①4；②. 14. 关于函数有如下四个命题： ①是定义域为的奇函数． ②的一个周期为． ③的图象关于直线对称． ④的图象关于点对称． 其中所有真命题的序号是______________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】由与都是奇函数可判断①正确；由可判断②错误；由可判断③错误；对，由可判断④正确. 【详解】对于①：显然函数的定义域为，且与都是奇函数，所以是奇函数，故①正确； 对于②：，，显然，故②错误； 对于③：，，显然，故③错误； 对于④：对，，故④正确. 故答案为：①④. 四、解答题(本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知两点，，两直线：，：． 求：（1）过点且与直线平行的直线方程； （2）过线段的中点以及直线与的交点的直线方程． 【答案】（1）（2）． 【解析】 【详解】【试题分析】（1）设所求直线方程为：，将点坐标代入，求得的值，即得所求.（2）求得中点坐标和直线交点的坐标，利用点斜式得到所求直线方程. 【试题解析】 （1）设与：平行的直线方程为：， 将代入，得，解得， 故所求直线方程是：． （2）∵，，∴线段的中点是， 设两直线的交点为，联立解得交点， 则， 故所求直线的方程为：，即． 16. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题设条件，结合三角恒等变换的公式，化简求得，即可求得角的大小； （2）由余弦定理得到，结合，求得，进而利用正弦定理，即可求解. 【详解】（1）由题意知：， 可得， 由正弦定理，可得， 整理得， 因为，所以，可得， 又因为，所以. （2）由余弦定理，可得， 因为，所以，所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，以及三角函数恒等变换的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题． 17. 如图，在四棱锥中，已知，，. （1）求证：； （2）求平面ASB与SBC平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过A作，垂足为E，连接DE，设DE与AC交于O点，连接SO，则由已知条件可得且O为AC中点，得，则由线面垂直的性质可得面SOD，从而可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：过A作，垂足为E，连接DE， 设DE与AC交于O点，连接SO， ∵且， ∴四边形AECD为正方形， ∴且O为AC中点， 又∵， ∴， ∴，面SOD， ∴面SOD， ∵面SOD， ∴. 【小问2详解】 设，则，， 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设平面ASB的一个法向量为， 则，即， 令，可得， 设平面SBC一个法向量为， 则，即，即， 令，可得， 设平面ASB与平面SBC所成夹角为， 则， 所以， 所以平面ASB与SBC平面所成夹角的正弦值为. 18. 已知圆，经过点的直线与圆交于不同的两点，. （1）若直线的斜率为2，求； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）写出直线的方程，求出弦心距，利用勾股定理可以求弦长. （2）当的斜率不存在时，可直接求；当的斜率存在时；设，与圆的方程联立后消参，由，可以得的取值范围，利用两点间距离公式将用表示出来，结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）由已知得直线的方程为，即. 设圆心到直线的距离为，则， 因为圆半径，所以， 所以. （2）解法一：①当的斜率不存在时，，此时，，， . ②当的斜率存在时，设直线的斜率为，，，则， 由，消得， 因为直线与圆有不同的两个交点，则，即， 所以，而，所以. 又，， 所以 . 因为，所以， 综上可得：. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了求弦长，属于中档题. 19. 向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题． （1）（ⅰ）若，，比较与的大小； （ⅱ）若，，比较与的大小； （2），为非零向量，，，证明：； （3）设为正数，，，，求的值． 【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ）；（2）具体见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求得； （2）根据容易发现， 为两个平面向量的数量积，分别为两个平面向量模的平方，根据即可证明； （3）根据这样的结构，可以设，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求得. 【详解】（1）（ⅰ），， ∴； （ⅱ），， ∴； （2）∵，，而， ∴； （3）设，∴，， ∴，而为正数，∴， 即，则同向.设，即，∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $