专题3.3 旋转中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题3.3 旋转中的几何综合 · 典例分析 【典例1】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段．，连接、， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 请你补全余下的解答过程． （2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点P，且，，，则______度． （3）【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线、交于点O，在直线上方有一点P，，，连接，则线段的最大值为______． 【思路点拨】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对集中到一个三角形中解决问题． （1）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，再证明是直角三角形； （2）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，再证明是直角三角形； （3）将线段绕点O顺时针旋转得到线段，证明，在由三角形三边关系求出的最大值，从而求得的最大值． 【解题过程】 （1）解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在中， ． （2）解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、， ∵，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 即． 在中， ． 故答案为：． （3）解：将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接、． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即． 在中， 当点在时， ∴的最大值为 在中， ∴ ． 的最大值为． · 学霸必刷 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，与均为等边三角形，将绕点逆时针旋转，旋转角为（其中），连接，，是的中点，． （1）求证：； （2）如图2，连接，当的延长线经过点时，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，连接，若，在绕点旋转的过程中，求的最大值． 2．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在中，，，于点D．点G是射线AD上一点，过G作分别交AB、AC于点E、F：    （1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：； （2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由； （3）当点G在线段AD上时，请直接写出的最小值． 参考公式： 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．    （1）线段，，之间的数量关系是______． （2）如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 4．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的长； （3）若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 6．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 7．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 8．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F． （1）如图1，当旋转时，若，求的长； （2）如图2，当旋转时，连接，，延长交于点E，连接，求证：； （3）如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积． 9．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． （1）如图1，当点N落在的延长线上时，且，，求的长； （2）如图2，绕点A顺时针旋转得到，延长交于点D，使得，连接，猜想线段，并证明你的猜想； （3）如图3，连接，点R为的中点，连接．若，，在旋转过程中，求出的最小值；若不存在，请说明理由 10．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转． （1）观察猜想： 若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　； （2）类比探究： 若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由； （3）拓展应用： 如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值． 11．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，．，点始终在的上方，且，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线交直线于点．    （1）如图，当时，求证； （2）当点为边的中点时，连接，求的最大值； （3）如图，若，时，求的面积． 12．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知等腰直角三角形中，，点D在射线上移动（不与B、C重合），连接，线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．    （1）如图1，当点E落在线段上时， ①直接写出的度数（可用表示）； ②请用等式表示的数量关系，并说明理由； （2）当点E落在线段的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，则（1）中，的数量关系仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的数量关系． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． （1）线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，在边长为4的正方形中，连接，点在上，且，将点绕点逆时针旋转至点，旋转角的度数为，连接，与相交于点，连接，交于点，当点旋转到与点重合时旋转停止．    （1）如图2，当时， ①求证：； ②点在线段的什么位置？请说明理由； （2）在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，请直接写出的长；如果不存在，请说明理由． 15．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 16．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．    （1）【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边，交于点时： ①如图1，当时，与的数量关系为______； ②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由； ③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积与的面积之间始终保持一种不变的关系，他们之间的关系是______，并说明理由； （2）【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，，直接写出线段长的最小值和最大值． 17．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    （1）当点E落在上时，则线段的长度等于 ； （2）如图2，当点E落在上时，求的面积； （3）如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 18．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）在等边中， 点是上一点， 点是上一点， 与 交于点，且．    （1）如图1， 若   求 的长度； （2）如图2， 延长至点 ，使得 连接，点为中点， 连接，， 求证 ； （3）如图3， 点 为中点， 将沿折叠得到四边形，动点 在线段上运动包括端点，连接、，将绕点 顺时针旋转得到 将绕点 逆时针旋转   得到 连接． 点 为的中点，求的取值范围． 19．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．    （1）求和的长； （2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值． （3）如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长． 20．（23-24九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转 . （1）初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； （2）继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 旋转中的几何综合 · 典例分析 【典例1】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段．，连接、， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 请你补全余下的解答过程． （2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点P，且，，，则______度． （3）【拓展延伸】如图③，在正方形中，对角线、交于点O，在直线上方有一点P，，，连接，则线段的最大值为______． 【思路点拨】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对集中到一个三角形中解决问题． （1）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，再证明是直角三角形； （2）将线段绕点B逆时针旋转得到线段，证明，再证明是直角三角形； （3）将线段绕点O顺时针旋转得到线段，证明，在由三角形三边关系求出的最大值，从而求得的最大值． 【解题过程】 （1）解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在中， ． （2）解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、， ∵，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 即． 在中， ． 故答案为：． （3）解：将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接、． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即． 在中， 当点在时， ∴的最大值为 在中， ∴ ． 的最大值为． · 学霸必刷 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，与均为等边三角形，将绕点逆时针旋转，旋转角为（其中），连接，，是的中点，． （1）求证：； （2）如图2，连接，当的延长线经过点时，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，连接，若，在绕点旋转的过程中，求的最大值． 【思路点拨】 本题考查几何变换综合题、等边三角形性质、菱形的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． （1）根据等边三角形性质和旋转性质可得，，证明和全等，即可得证； （2）过点作，利用直角三角形求出的长，由勾股定理可求，可得，再利用同旁内角互补证明，即可得证； （3）取中点，连接，利用三角形三边关系即可求解． 【解题过程】 （1）解： 与为等边三角形， ， 绕点逆时针旋转， ， 在和中 ， ； （2）四边形为菱形，理由如下： 过点作，垂足为， 为等边三角形， ，， ， ， 的延长线经过点，， 由勾股定理得，， ， ， 由（1）得，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； （3）取中点，连接， 为等边三角形，为中点， ， ， ， 为中点，为中点， 为的中位线， ， 在中， 最大为． 2．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在中，，，于点D．点G是射线AD上一点，过G作分别交AB、AC于点E、F：    （1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：； （2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由； （3）当点G在线段AD上时，请直接写出的最小值． 参考公式： 【思路点拨】 （1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可求证； （2）过点作上交延长线于点，由等腰直角三角形可得，，由“ “可证，可得，可得结论； （3）将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作，交的延长线于点，由旋转的性质可得，则当点，点，点，点共线时，的值最小，最小值为的长，由角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解． 【解题过程】 （1）解：由题：在中，，，于点，, 则也是上的中点，即是的垂直平分线， ，，， ， ， ， ． （2），理由如下： 如图1，过点作交延长线于点， ，，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）如图2，将绕点顺时针旋转得到△，连接， ，过点作，交的延长线于点，    ，， ，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时， 的值最小，最小值为的长， ， ， ，， ， ， 的最小值为：． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．    （1）线段，，之间的数量关系是______． （2）如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了旋转与三角形综合， （1）先证明三点共线，再证明，得到，即可证明； （2）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，先求出，由旋转的性质可知，则，证明，得到，利用勾股定理即可证明． 【解题过程】 （1）解：结论： 理由：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）结论：,证明如下： 如图所示，将绕点A顺时针旋转得到． ∵， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【思路点拨】 （1）①根据为等边三角形，将绕点A旋转，得到，可得，又F为中点，故，，可知； ②由是的中位线，可得； （2）由等边绕点A逆时针旋转，得到，可得，，，即得，而F为中点，，有，故是等腰直角三角形，，从而； （3）分两种情况：当在下方时，求出， ，可得，故 ；当在上方时，，，有． 【解题过程】 （1）解：①∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴， ∵F为中点， ∴，是的中位线，也是的中位线， ∴， ∴； 故答案为：或或或(写出一个即可)； ②由①知，是的中位线， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 如图：    ∵等边绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）当在下方时，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ； 当BE在BC上方时，如图：    ∵， ∴； 综上所述，的长为或1． 5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的长； （3）若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 【思路点拨】 （1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； （3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：与的位置关系为． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴, ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． （2）解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． （3）解：①经过点B时，题（2）已求； ②经过点A时，如图所示， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； ③再次经过点B时，如下图： 同理可证：，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； 综上所述：或． 6．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【思路点拨】 （1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，， 根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【解题过程】 解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 7．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【思路点拨】 （1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 8．（2023·重庆九龙坡·模拟预测）在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F． （1）如图1，当旋转时，若，求的长； （2）如图2，当旋转时，连接，，延长交于点E，连接，求证：； （3）如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积． 【思路点拨】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会转化的思想思考问题 （1）过点G作于点H，得到，即可求得，再由，勾股定理求得； （2）延长交于点T，连接，求得，可得，，由，得到，即可得到 （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接、，当点P、Q、N、A四点共线时，的值最小，此时是等腰直角三角形的一条中线，即可求得的面积 【解题过程】 （1）解：如图1，当旋转时，则， 过点G作于点H，则， 在等腰中，， 则， 则， 在等腰中， ； （2）证明：如图2，过点D作于点M，过点B作于点N， ∵， ∴ ∵，， ∴ 而， ∴ 又，， ∴四边形是矩形 ∴ 延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，将绕点B逆时针旋转得到， 连接，． 则，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴当P，Q，N，A共线时，的值最小． 此时，，， 并且是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且 又， ∴，， ∴， ∴的面积． 9．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． （1）如图1，当点N落在的延长线上时，且，，求的长； （2）如图2，绕点A顺时针旋转得到，延长交于点D，使得，连接，猜想线段，并证明你的猜想； （3）如图3，连接，点R为的中点，连接．若，，在旋转过程中，求出的最小值；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）根据旋转的性质得到，利用勾股定理求得，故的长为16； （2）在上取点Q，使，连接，由旋转的性质得到：，得是等边三角形，证明，可得，即可得，由，可得，从而可证，得，故； （3）过B作交MC延长线于P，连接，由旋转的性质得到，证得，得，从而，即可证，可知G是中点，，要使GR最小，只需最小，此时N、C、A共线，的最小值为，故最小为． 【解题过程】 （1）解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 在上取点Q，使，连接，如图： 由绕点A顺时针旋转得到得：， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由旋转性质知， ， ， ， ， ，即， 由旋转性质知， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在旋转过程中，存在最小值2，理由如下： 过B作交MC延长线于P，连接，如图： 绕点A顺时针旋转得到， ， ， 而，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即G是中点， ∵点R为的中点， ∴是的中位线， ， 要使最小，只需最小， 而， ∴N、C、A共线，的最小值为， ∴最小为． 10．（23-24八年级下·山西晋中·期末）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转． （1）观察猜想： 若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　； （2）类比探究： 若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由； （3）拓展应用： 如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值． 【思路点拨】 （1）由旋转性质和“”可证，即可求解； （2）由旋转性质和“”可证，可得，由外角的性质可得结论； （3）先证明是等腰直角三角形，可得 ，则当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即可求面积最大值． 【解题过程】 （1）解：如图1，， ， ， ， ， ， ， 由旋转得: , , 在和中 ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：如图，设与的交点为点P， 绕点A旋转到如图3所示的位置，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的外角，也是的外角， ， ， ； （3）解： M，P，N分别是，，的中点， ，， ，， ， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即面积有最大值， 的最大值为， 面积的最大值为． 11．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，．，点始终在的上方，且，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线交直线于点．    （1）如图，当时，求证； （2）当点为边的中点时，连接，求的最大值； （3）如图，若，时，求的面积． 【思路点拨】 （1）证得，再利用三角形得内角和定理及垂直定义即可得证； （2）如图，取中点，连接、，由勾股定理得．由直角三角形的性质得，又根据中位线的性质得，进而三角形的三边关系即可求解； （3）连接，过点作于点，过点作交延长线于点，于点，证，得，进而求得，再利用勾股定理及三角形的面积公式即可求解． 【解题过程】 （1）证明：如图， ∵，将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ，， ，  （2）解：如图，取中点，连接、，    ， ． ， 点为的中点， 当、、三点共线时，最大 此时，； （3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，于点，    ， ， ， ， ． 12．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知等腰直角三角形中，，点D在射线上移动（不与B、C重合），连接，线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．    （1）如图1，当点E落在线段上时， ①直接写出的度数（可用表示）； ②请用等式表示的数量关系，并说明理由； （2）当点E落在线段的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，则（1）中，的数量关系仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的数量关系． 【思路点拨】 （1）①由旋转的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，则可得出答案；②过点E作于F，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）过点E作，交的延长线于F，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【解题过程】 （1）①∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点E作于F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为： （2）如图，    不成立，，理由如下： 过点E作，交的延长线于F， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． （1）线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【思路点拨】 （1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【解题过程】 （1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 14．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，在边长为4的正方形中，连接，点在上，且，将点绕点逆时针旋转至点，旋转角的度数为，连接，与相交于点，连接，交于点，当点旋转到与点重合时旋转停止．    （1）如图2，当时， ①求证：； ②点在线段的什么位置？请说明理由； （2）在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，请直接写出的长；如果不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）①证明：证明为等边三角形，再根据为的中点，可得；②由先求出，，过点作于点，证明四边形是矩形，再证明问题得解； （2）根据为等腰三角形，分情况讨论：第一种情况：当时，可得，这与相矛盾，故此种情况不存在；第二种情况：当时，过F点作于Q点，如图，在中，，再在中，；第三种情况：当时，过F点作于T点，过B点作于S点，如图，根据等腰三角形的性质可得，再在中，，利用，可得，进而在中，，即，再在中利用勾股定理即可作答． 【解题过程】 （1）①证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵，即， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴； ②由（1）知， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，过点作于点，    则， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴ ∴， ∴在中点的位置； （2）存在．的长为或． 根据为等腰三角形，分情况讨论： 第一种情况：当时， ∵，， ∴， ∴，这与相矛盾，故此种情况不存在； 第二种情况：当时，过F点作于Q点，如图，    ∵，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴在中，； 第三种情况：当时，过F点作于T点，过B点作于S点，如图，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 综上：的长为或． 15．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【思路点拨】 （1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 16．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转．    （1）【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边，交于点时： ①如图1，当时，与的数量关系为______； ②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在①中数量关系，请你说明理由； ③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积与的面积之间始终保持一种不变的关系，他们之间的关系是______，并说明理由； （2）【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，，直接写出线段长的最小值和最大值． 【思路点拨】 （1）①连接，由已知可证四边形是正方形，即可得；②连接，证明，即得；③由，知，故，四边形的面积始终保持不变； （2）由，，，，，，求出，，当点，，在一条直线上，且点在点和点之间时，线段长的最小，此时线段长的最小值为；当点，，在一条直线上，且点，在点和点之间时，线段长的最大，此时线段长的最大值为． 【解题过程】 （1）解：①，理由如下： 连接，如图：    ， 四边形是矩形， ，，为中点， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 故答案为：； ②，理由如下： 连接，如图：    ，，为中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ③，理由如下： ， ， ， 不变， 四边形的面积始终保持不变，即， 故答案为：； （2）如图：    ，，，，，， ，， 在中，， 当点，，在一条直线上，且点在点和点之间时，线段长的最小，如图：    此时线段长的最小值为； 当点，，在一条直线上，且点，在点和点之间时，线段长的最大，如图：    此时线段长的最大值为， 答：长的最小值是，最大值是． 17．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    （1）当点E落在上时，则线段的长度等于 ； （2）如图2，当点E落在上时，求的面积； （3）如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； （4）在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【思路点拨】 （1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【解题过程】 （1）解：当落在上时，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得： ， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为：2； （2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，    在中，由勾股定理得： , ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，    由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； （4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，    ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 18．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）在等边中， 点是上一点， 点是上一点， 与 交于点，且．    （1）如图1， 若   求 的长度； （2）如图2， 延长至点 ，使得 连接，点为中点， 连接，， 求证 ； （3）如图3， 点 为中点， 将沿折叠得到四边形，动点 在线段上运动包括端点，连接、，将绕点 顺时针旋转得到 将绕点 逆时针旋转   得到 连接． 点 为的中点，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）过点作于点，根据已知条件证明，得出，在，中，勾股定理即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，得出，证明是等边三角形，延长至，使得，证明，得出，根据中位线的性质得出，等量代换，即可得证； （3）连接，将绕点逆时针旋转得到，连接则是等边三角形，根据中位线的性质，旋转的性质得出的轨迹为平行于的一条线段，且，进而找到最大值和最小值的位置，勾股定理，即可求解． 【解题过程】 （1）解：如图所示，过点作于点，    ∵等边中， ∴， ∵， 又∵ ∴， 在中， ∴ ∴ 在中，，， ∴， 在中， （2）解：如图所示，    延长至，使得，连接 ∵ ∴是等边三角形， ∴， 设， 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， 延长至，使得， ∴ ∴ 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接则是等边三角形，    ∵将沿折叠得到四边形， ∴四边形是菱形， 依题意，三点共线，且， 又， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的轨迹为平行于的一条线段，且    ∵点 为中点，则， 由（1）可得，则为的中点,则 在中， ∴， ∵， ∴ ∴， 如图所示，当重合时，取得最大值，此时如图所示，    ∵，， 则共线， ∴ 在中， 如图所示，当重合时，最小，    在中， ∴ ∴． 19．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．    （1）求和的长； （2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值． （3）如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长． 【思路点拨】 （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值； （3）在旋转过程中，等腰有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ∵点F是点E关于的对称点， ，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． （2）解：设平移中的三角形为，如图所示：    由对称点性质可知，．， 由平移性质可知，，，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ，， ， 又易知， 为等腰三角形， ， ，即； （3）解：存在．理由如下： 在旋转过程中，等腰依次有以下4种情形： ①如图所示，点Q落在延长线上，且，则，    ， ，， ， ， ． 在中，由勾股定理得：． ； ②如图所示，点Q落在上，且，则，    ， ， ， 则此时点落在边上． ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ； ③如图所示，点Q落在上，且，则．    ，， ． ， ． ， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， ； ④如图所示，点Q落在上，且，则．    ，，， ， ， ． 综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使为等腰三角形；的长度分别为2或或或． 20．（23-24九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转 . （1）初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； （2）继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 【思路点拨】 本题考查三角形全等的判定及性质，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理． （1）由矩形的性质可得，，从而通过“”证明，即可得到； （2）①过点Q作于点K，作于点L．由矩形和矩形得到，，因此四边形是平行四边形．通过“”证明，得到，从而得证是菱形； ②由菱形的面积公式可得，而在中，，因此当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值．而随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大．当点F与点C重合时或点E与点B重合时， 有最大值；当点N与点K重合时，，为最小值．分别求解即可解答． 【解题过程】 （1），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ （2）①过点Q作于点K，作于点L． ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴，， ∴， ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∵矩形和的宽相等，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值． ∵随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大． 如图①，当点F与点C重合时，有最大值，此时点A与点Q，点D与点K重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴ ∴， ∴ ， 或如图②，当点E与点B重合时，有最大值，此时点D与点G，点N重合 同理设，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴ ∴ ， 即菱形面积的最大值为20； 如图③，当点N与点K重合时，，为最小值，此时， ∴ 即菱形面积的最小值为16； 综上所述，四边形的最大面积为20，最小面积为16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$